Об одной параболической обратной задаче с данными Коши на боковой поверхности цилиндра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

_____________________________2011 г. Выпуск 3 (22). С. 65-71_______________________

УДК 519.85; 621.391

ОБ ОДНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ КОШИ НА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА

А. Г. Боричевская, С. Г. Пятков

Введение

В работе рассматривается краевая задача вида:

и - Ьи = /о (х, г )д( х, г)+/1 (х, г), (х, г) е 2 = О х (0, т), (1)

4=0 = ио( х), п\я = я( X, г), (2)

где О - ограниченная область в Е” с гладкой границей Г,£ = Гх (0,Т), X = (х1,х2,..., хп-1) и

Ьи = ^” ау(х,г)ихх +'У1 ”=1 Ь(х,г)и х + с(х,г)и - эллиптический оператор. Мы ищем реше-

ние и задачи (1), (2) и частично неизвестную функцию ^(х', г), входящую в правую часть уравнения (1). Условия переопределения для нахождения неизвестной функции q(х' , г) имеют вид:

ди

дхп

/(х, і), (3)

л0

где £0 = Г0 х (0, Т) и Г0 - часть границы области О, описываемая уравнением хп = ф(х')(х ' е О) . Второе условие в (2) и условие (3) также можно переписать в виде:

(х, і),

где функция / вычисляется через д(х, і), /(х, і) . Однако задание условий в виде (2), (3) позволяет сформулировать все условия на данные в более простом виде. Считаем, что функция д(х', і) известна для (х, і) є Q' = {(х, і) є Q : х ' £ О'} , где О ' - строго внутренняя подобласть области О' и неизвестна для оставшейся части цилиндра Q.

В данной работе мы рассматриваем вопрос об оценках устойчивости решения (и, ^) задачи (1)-(3). Решение ищется в пространствах Гельдера С2+“,1+“/2^). Предполагается, что данные задачи (1)-(3) и коэффициенты уравнения принадлежат соответствующим классам Гельдера. Проблемы вида (1)-(3) и близкие к ним возникают при описании процессов тепло-массопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях. Подобные задачи в случае, когда условия переопределения вида (3) заданы не на границе цилиндра, а на некоторых внутренних многообразиях (в частности, на плоскостях, пересекающих G ), рассматривались в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и ряда других авторов (см. [4, 6] и имеющуюся там библиографию). Довольно подробно задачи вида (1)-(3) были исследованы в случае п = 1 [3, 8-12]. В частности, теоремы существования и оценки устойчивости в пространствах Гельдера могут быть найдены в монографии М. Иванчова [3]. Что касается многомерной ситуации, - имеются лишь отдельные результаты [7, 8]. В частности, в [7] была рассмотрена аналогичная задача и получена оценка устойчивости решений в случае, когда область G имеет вид G = Бх (ё1,ё2), а в качестве множества Г0 берется основание цилиндра G, т. е. множество Б х{^1] . Такая задача проще с точки зрения исследова-

Л

0

ния. Отметим монографии [1-5], где изложено много результатов, касающихся обратных параболических задач, и имеется достаточно полная библиография.

1. Условия на данные и формулировка основных результатов

Перейдем к изложению результатов. Пространства Гельдера, используемые в работе, можно определить следующим образом. Для Р,у& (0,1) положим:

Wв,0 = SUP*1,x2 Є G, * Є (0,T)’ v(X1> *) - v(X2 ,t) /

в

W Or = Supt1 ,t2 Є (0,T ^ X Є G, IV( X’ *1) - V( X’ t2)/ 1*1 - *

W p,r= W во + W 0,y , I Mice,

в

(Q) llVlc (Q) +

M

P,r'

Соответственно, для в, Y є (0,1), норму в С2+a,1+Y(Q) можно определить так:

+

llc2+e1+Y(Q) II t ||ceY(Q) ' Z-i a=2

Si

Dav

a - + S' Vr

CeY(Q) x

C1+e,1+Y(Q)

+ V

ca’Y(Q) •

Приведем условия на данные задачи. Считаем, что G область ограничена, .Г є С2+а для некоторого а є (0,1) и ф є С2+“(0) . Далее фиксируем это а .

Мы предполагаем, что оператор Ь эллиптичен, т. е. найдется постоянная 51 > 0 такая, что:

£ аи (х, г)^ >8\£\2 У(х, г) є О, .

і,І=1

Далее мы предположим, что:

аи], Ь, с є Са,а/2 (О), ( і ,} = 1,2,...«), (4)

и, є С2+а(О),/о,/і є Са,а/2(О). (5)

Обозначим

Со.- = {( X, х,,): X єП,| х,-ф( X)| <8}, 0,(0) = О П О0„ Ов = О,х (0, Г), 0= (0,Г),

О8=08, Ог=о х (0,Г), 5?=до х (0,у), в'=пх (0,/), 50; = Г0 х (0,г).

Дополнительно к (4), (5) мы потребуем, что существует постоянная 8, > 0 такая, что:

(6)

4-,Л,,bn,^ еCa,a/2(Qs),(i,l = 1,2,...,n),

Uon е C2+«(6Д/^, flXn е C°a2(Qs),

/0(х',ф(х'),t) ф 0Vx' еО,фе C2+a(Q). (7)

Граничные данные q,^ удовлетворяют условиям:

q е C2+a,1+al2(Sе C2+аД+а/2(£0). (8)

Полагая в (1), что х' е Q', хп = ф(х'), t = 0 и используя краевые условия, найдем для таких точек величину q(х', 0):

q(х ', 0) = (qt - LU0 - /1 (х, 0)) / /0 (х, 0), х ' е Q', хп = ф(х').

Таким образом, неизвестная величина q(х', 0)(х’ е Q') определяется из данных задачи. Тогда условия согласования запишутся в виде:

ц - Ьщ = /0 (X, 0)ц(X, 0) + /і (х, 0), х є Г,

Иг - дх«Ьи0 = /0х„(х 0)ц(х, 0) + /1Х„(х, 0), х є Го,

ц(х,0)|г = щ(х)|Г и(х,0)

= и0

Г0 0хп

Г0

(9)

(10)

(11)

Найдем є -окрестность множества 0є множества О' такую, что 0є ^О, є < 8 и построим множество О'є = {(х', хп) є О : х' є 0є,\хп - ф(х')| < є}. Положим 0є= О'єх (0, Г).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)-(11). Тогда задача об определении функции ц(х', г) сводится к уравнению Фредгольма второго рода. Найдется постоянная с > 0 такая, что справедлива оценка устойчивости:

- +1 /х, - - +

77 +

II ІІС 2+а,1+а/2 (0) 1

+

С2+а,1+а/2(0є) +11Ц11са,а/2(00) “ С(11

Саа/2(0)

са,а/2(0,)

Ыг

С 2+а(О)

+

Ы

0 хп

где 00 =0 'х(0,Г).

С2+а(О ) +1 1Ц11с2+а1+а/2(5) +1ИС2+а,1+а/2(50) +1 цІСа,а/2(0^ПЄ'));

2. Доказательство основных результатов

Приведем некоторые вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть у(х,¿) е Св,вп(0г)(в е (0,1)) и у(х,0) = 0. Тогда существует постоянная с(а, в) такая, что при 0 <а < в имеем:

|НІСа,а/2(дГ) < с(а, Р') |МСв,в/2(дГ) У

(в-а)/2

Утверждение вытекает из интерполяционных неравенств и определения нормы в пространстве Гельдера.

Рассмотрим вспомогательное уравнение:

щ -Ьи = /(х,г),(х,0 е 0, (12)

где Ь-эллиптический оператор с коэффициентами класса С2+а,1+а/2(0) .

Лемма 2 [13, 14]. Пусть Г е С2+а,и0 е С2+а(0), q е С2+а,1+а/2(£), у е Са,а/2(0) и выполнены условия согласования (равенство (9), где в правой части стоит / (х, 0), и первое из равенств (11)). Тогда существует единственное решение задачи (12), (2) из класса и е С2+а,1+а/2(0) и справедлива оценка:

Ы

С 2+а,1+а/2(0 )

* С (/

Саа/2(0)

С2+а(О) + 1142+а,1+а/2(5)) .

(13)

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда найдется не зависящая от у е (0,Т) постоянная С0 > 0 такая, что решение задачи (12), (2) удовлетворяет оценке:

Ы

С 2+а,1+а/2 (^у )

Доказательство. Положим:

ОП * С ( /

+

пГ

/,=

Са,а/2(0Г)

/(х, г), г <Y,

+

С 2+а (О) ІР ІІС 2+а,1+а/2( $у)

е/)).

\/(х,гХг є (у,Г).

Имеем

/г

<

Саа2(0)

/

Са,а/2(дГ) ■

Аналогично пусть:

rq( x, *), * < Y,

r lq(x,r)+(*-T)qt(x,r),* є (Y,T)-

Тогда qY є С2+“,1+“/2(g) и очевидно, что найдется постоянная С > 0, независящая от

Y є (0, T) такая, что:

qy

С 2+а,1+а/2( g )

< СМ

С2+а,1+а/2 ( gy )

Пусть иг решение задачи (12), (2) с правой частью У и граничным условием qr. Тогда

по лемме 2 получим неравенство:

С 2+a,1+a/2(QY)

<

и4С2+a,1+a/2(Q) С( f

С«,«/2^)

+

Ur

С 2+a(G) +

С2+а,1+а/2(g)) <

<

С.(||/II,

C“,“/2(QY)

С2+а(0) +

С 2+а,1+а/2( gy)

)•

В силу единственности решения первой начально-краевой задачи щ, = и на [0, у] (и -

решение задачи (12), (2)). Тогда утверждение вытекает из полученного неравенства.

Доказательство теоремы 1. Пусть (и, q( х', I)) - решение обратной задачи (1), (2), (3), из

класса указанного в теореме 1. Построим функцию ф(х) е С^(00^(0)) (такую, что ф(х) = 1 для х еЦ), где О1 е О и О' е О1 .Тогда функция V = (иф)хп является обобщенным решением уравнения:

д

V - = (/ф)« -дх~ [1,1Ф Ы + Ьх«У = /2,

где [Ь,ф] и = Ь(фи) -фЬи и Ь, - оператор Ь, коэффициенты которого продифференцированы по переменной хп. Определение обобщенного решения уравнения может быть найдено в § 3 гл. 1 в [13].

Построим область G1 такую, что G1 е 03 (О), G1 имеет границу класса С

2+а

и

sup рфП G ^ G1. Тогда функция v есть обобщенное решение задачи:

vt- Lv = f2, v(x,0) = (фи0) хп, v|s =4>w+^w = w, (14)

где S1 =dG1 х(0,Т). В силу свойств обобщенных решений (см. гл. 3 в [13], v е C2+“,1+“/2(Q1) , (Q1 = Gj х (0, T)) . В силу леммы 3 существует постоянная C > 0 :

||М||с2+a,1+a/2(QY) < С( (i^U0)Xn

+

+

11/21 с

(15)

С2+а^3) \\Т 11С2+а1+а/2^У) \У Ц\Са,а/2(0Гу

где 01 = G1 х (0, у) и постоянная С > 0 не зависит от у е [о,Т ]. Само решение и в силу леммы 3 удовлетворяет оценке:

U

С 2+а,1+а/2 (Qy )

< С (/

C“,“/2(Q)

+

Ur

2+ - +

С 2+a(G)

С 2+а,1+а/2( gY)

sy))^

(16)

Используя определение функции /2 и оценку (16) из (15) получим оценку:

- < С (

С 2+a,1+a/2(QY) V

Ur

+

/1

C“,“/2(QY)

С2+“ (G)

АХ,

+

0 X„

C2+a(Gs)

+

C“,“/2(QY)

) + C1

С2+а,1+а/2(gy) + ЦУ ||c2+a,1+a/2(gy)

)) + 1 mc^^riQ')^

+

(17)

\\Саа/2(0))

где все постоянные в правой части не зависят от у. Аналогично (16) переписывается в виде:

77 <

|| ||с 2+a,1+a/2(_Y) —

С (|| и0

С 2+a(G ) +

С 2+a,1+a/2( gY) + +

/1

+

_)). (18)

Ca,a/2(QY) ' IF IICa’a/2(gY)

Сделаем в уравнении (1) замену xn = ф(x'),x'eD . Получим равенство:

fQ ( x', ф( x'), t )q( x', t ) = Lu( x', ф( x'), t ) - f ( x', ф( x'), t ). (19)

Запишем представление для правой части. Имеем:

u ( x' ,ф( x'), t ) = q( x' , t ), uXn ( x ' ,ф( x'), t ) = /( x ', t ).

Отсюда получим, что:

ихг + щф = qXl, (i < n -1),

ux x + uxx фх + ux x фх + ux фхх + ux x фТ фх = qxx , (i, j < n -1),

Л^Л j lA’i •Л'П j Л^Л j i lA'i n Л^Л j n i j Л^Л j ' \ ' ts s J

uxnx} + uxnxA] = /X] , ( j < n -1).

Таким образом, производные вида:

uxtx} (x ', Ф(x '), tX uxtxn (x ', ф(x '), t) , (h j < n -1) выражаются через производные от известных функций и через производную u от функции u . Подставляя эти представления для производных в (19), получим равенство:

1

q( x ', t )

/о( х,ф( x 'Xt )

annuxnxn + Li(qw)

(20)

где Ц (д, /) - известный линейный дифференциальный оператор от д и / и апп - некоторая функция. По условию, функция /0(х,ф(х’), ї) отлична от нуля и существует постоянная 50 > 0: |/о(х' ,ф(х' ),і^ ^ > 0, Ух ' є О, Уї є (0, Т). Используя определение нормы в простран-

С а а/2

, получим неравенство:

- < С

\Ca,a/2(Q/) 2

Uxnxn (x ',Ф(x 'X t)

- + с,

Ca,a/2(_Y) 1

+

С 2+a-l+a/2( sy) Ip IC2+a’1+a/2( sy)

где постоянные С1, С2 не зависят от ;к < Т . Первое слагаемое в правой части можем оценить

через С3

Ux

1a(1a)/2 _Y . Эту норму будем оценивать используя интерполяционные нера-

С , (_о )

венства (см. пункт 4.5.21 в [15]):

IICa(G)

где в <a <у,вр + (1 - в)у _ a, в є (0,1). Имеем, что:

u||<C||u||IU

i—в

Ca(G)ll IICY (G)

U U + u < c u в II u 1—в +c u в u

xn C1+a,(1+a)/2(eY ) xn c1+a,0(_Y) xn C0,(1+a)/2 (_Y ) xn 1 c2+“,°(eY) Il xn C (_Y) 1 xn с0Д+“/2 (_y ) xn

<

с (_Y)

1—в 1—в

ufa IXn Y u c(QY) ' ux n

< C2

Таким образом, получим оценку: и

Cl+a,(1+a)/2(_Y)

Используя (17), (18), выведем оценку:

С2+a,1+a/2 (_/ )

< C3Y1/(2+a)

< СзГ

1/(2+a)

ux

u

С2+a,1+a/2(_Y) ' С2+a,1+a/2(_/) *

u

- < С (

С 2+a,1+a/2(_Y) V

ur

C2+a(G)

+

и

0 x„

C2+a(G ) + lr IIc2+a,1+a/2(sy) + 1 lqllc2+aa+a/2(sY) +

/і

Caa/2(Qy)

/і

1x„

Caa/2(Q?)

) + C1

\ca,a/2(QT)

+

C“-“/2(QYnQ')

J,

где все постоянные в правой части не зависят от у. Из (22), (23) получим неравенство:

< C уУ(2+а)\ы - + C

Cl+a,(1+a)/2(QY) 2' ІРІІС2+a,1+a/2(Qy) ^'-"З?

(23)

(24)

где постоянная С3 содержит нормы известных величин из (23). Используя (24) в правой части (21) получим оценку:

q( x', t)

Ca,a/2(Q/\

<

C4rV(2+a) q(x',t)

C«,«/2(q/) + C5 •

(25)

Выберем у таким образом, чтобы С6у11('2+а) = —. Тогда оценка (25) перепишется в виде:

1

q( x', t)

2

_ < 2C

Ca,a/2(QY) ^5

где C5 = C (||

Ul°| C 2+“(G ) +

un

С2+«(ог) II' ПС2+“,1+“/2(^Г) ■ II--1ЦС2+“,™'2(5Г) ■ 1КН\са,“'2(ег) _

некоторая постоянная, не зависящая от у. Отметим, что постоянная С4 в (25) не зависит от у. Используя (26) в (17), (18), получим неравенство:

c2+a,1+a/2 ( gу )

+

fix

(26) ) и C -

ux

+ 1 lUll ^?+a 1+a/2 , * < C6 (|Unll^9+a,—* +

C2+a,1+a/2 (QY ) 11 ІІС2+a,1+a/2 (Qy )

°l C 2+a(G)

u,

0 xn

C 2+a(Os)

+

-'2+a,1+a/2( gy ) +| |q||c2+a,1+a/2( gy ) +~

+

/і

Caa/2(Qy)

+

/і

1x„

Ca,a/2(Qy) +lq ICa-a/2(QynQ')) •

(27)

Из (26), (27) вытекает искомая оценка из теоремы I на промежутке [0, у]. Далее мы повторяем рассуждения на промежутках (у,2у],(2Y, 3y] и т. д. За конечное число шагов мы по-

лучим требуемую оценку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kozhanov, A. I. Composite type equations and inverse problems. - Utrecht : VSP. - 1999. - 171 p.

2. Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. - Springer-Verlag, Berlin. -1998. - 284 p.

3. Ivanchov, M. Inverse problems for equation of parabolic type. Math. Studies. Monograph Series. - V. i0. - Lviv : WNTL Publishers. - 2003. - 250 p.

4. Belov, Ya. Ya. Inverse problems for parabolic equations. - Utrecht : VSP. - 2002.

5. Prilepko, A. I. , Orlovsky, D. G., and Vasin, I. A. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics. - New-York : Marcel Dekker, Inc. - 1999. - 709 p.

6. Anikonov, Yu. E. and Belov, Yu. Ya. Determining of two unknown coefficients of parabolic type equation // J. Inv. Ill-Posed Problems. - V. 9. - No. 5. - 2001. - P. 469-488.

7. Iskenderova, A. D. and Akhundov, A. Ya. Inverse problem for a linear system of parabolic equations. Dokl. Mathematics. - 2009. - Vol. 79. - No. I. - Pp. 73-75.

8. Ikehata, M. An inverse source problem for the heat equation and the enclosure method // Inverse Problems. - V. 23. - 2007. - P. 183-202.

9. Саяхов, Ф. Л. Некоторые задачи теплопроводности и акустическое взаимодействие с электромагнитными диэлектриками [Текст] / Ф. Л. Саяхов, Г. П. Смирнов, М. А. Фаты-хок // Инженерно-физич. журн. - 1981. - Т. 41. - № 5. - С. 916-921.

10. Dinh Nho Hao. A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic equations and related inverse problems: I. Solvability. Inverse problems // Inverse problems. - 1994. - V. 10. -P. 295-315.

11. He Guo-qiang, Meng Ze-hong. A Newton type iterative method for heat-conduction inverse problems // Applied Mathematics and Mechanics. - 2007. - V. 28(2). - P. 531-539.

12. Иванчов, М. Об определении двух зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении [Текст] / М. Иванчов // Сиб. мат. журнал. - 2002. - Т. 43. - № 2. -С. 406-413.

13. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа [Текст] / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. - М. : Наука, 1967.

14. Крылов, Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера [Текст] / Н. В. Крылов. - Новосибирск : Научная книга, 1998.