Об одной линейной обратной задаче для параболической системы уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2014. Том 21, № 3

УДК 517.956

ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С. Г. Пятков, Е. М. Короткова

Аннотация. Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева линейной обратной задачи об определении правой части в параболической системе уравнений. В качестве условия переопределения задаются данные на системе поверхностей. Доказана корректность задачи при определенных условиях на граничные операторы.

Ключевые слова: параболическая система, обратная задача, краевая задача, условия переопределения.

§ 1. Введение

Пусть G — ограниченная область в Rn с границей Г класса C2m и Q = (0,T) х G. Параболическая система уравнений имеет вид

r

ut + A(t,x,D)u ^^ bi(t, x)qi(t, x') + f, (t,x) G Q, x = (x',x''), (1)

i=1

где x' = (xi,x2,... ,xk), x '' = (xk+1 ,xfe+2,... ,x„), bi, i = 1, 2,... , r, и f — заданные вектор-функции, при этом компоненты bi начиная с номера ro + 1 (ro < h) равны 0, A — матричный эллиптический оператор порядка 2m с матричными коэффициентами размерности h х h, представимый в виде

A(t,x,D)= aa(t, x)Da, D = (дХ1 ,дХ2 ,...,дХп ).

| а| <2m

Неизвестными в (1) являются решение u и функции qi(t, x'), i = 1, 2, .. ., r = sro, входящие в правую часть (1). Уравнение (1) дополняется начальными и граничными условиями

u|t=o = uo, Bju|s = bj/з(t, x)Deu|s = gj(t, x), (2)

1в|<тз

где mj < 2m, j = 1, 2,..., m, и S = (0,T) х Г. Обозначим через Poa вектор длины ro < h, координаты которого совпадают с первыми ro координатами исходного вектора a длины h. Условия переопределения для нахождения функций qi имеют вид

Pou | si = ^ (t,x'), Si = (0,T ) х ri, i = 1, 2,..., s, (3)

где {ri} — множество гладких k-мерных поверхностей, лежащих в G, и i = 1, 2,..., s, — заданные вектор-функции.

(g 2014 Пятков С. Г., Короткова Е. М.

Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассо-переноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и многих других. Большое количество обратных коэффициентных задач с условиями переопределения вида (3) и k = п — 1 для параболических уравнений второго порядка рассмотрено в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и др. (см. [1]). В случае п =1 (к = 0) неизвестные функции ^ зависят только от £ и поверхности Бi — точки. Такие линейные и нелинейные задачи рассматривались, например, в [2]. Можно отметить работы [3,4], где рассмотрены задачи вида (1), (2) в общей постановке. Большинство работ посвящено различным модельным задачам. Одной из моделей, возникающих при описании процессов тепломассопереноса, является система уравнений Навье — Стокса, дополненная уравнениями для температуры и концентраций переносимых веществ. По данным измерений на сечениях канала или некоторым другим характеристикам определяются те или иные параметры в задаче (коэффициенты уравнений) или плотности источников (правая часть) (см., например, [5-8]).

Большое количество обратных и экстремальных задач в стационарном случае рассмотрено в работах Г. В. Алексеева (см., например, [9-11]). Стоит также отметить работы [12-16]. В частности, в [13] рассмотрен вопрос о разрешимости задачи (1)-(3) в классах Гельдера, в случае когда A — эллиптический оператор второго порядка, а в работах [3,4] — вопросы о разрешимости задачи (1)-(3) как в линейном, так и в нелинейном случае, когда по = Н. Наши результаты в целом аналогичны полученным в [3]. Среди монографий, посвященных обратным задачам для параболических и эллиптических уравнений и систем, отметим [17-19], а среди последних работ — [20-22].

В данной работе при определенных условиях на данные покажем существование и единственность решений задачи (1)-(3) в пространстве Соболева и установим непрерывную зависимость решений от данных задачи.

§ 2. Определения, обозначения и формулировки основных результатов

Пусть Е — банахово пространство. Обозначим через Ьр(0; Е) (О — область в М") пространство сильно измеримых функций, определенных на О, со значениями в Е и конечной нормой ||||и(ж)||£. Также используются пространства Ск(С\Е), состоящие из функций, обладающих всеми производными до к включительно, непрерывных и ограниченных в О и имеющих непрерывное дополнение на С. Пространства Соболева Игр(С\Е), \Ур((2;Е) определены стандартным образом [23-26]. Для дробных в пространство Соболева Шр,(О; Е) совпадает с пространством Бесова Вр р(О; Е). Если Е = С или Е = С", то используется обозначение Врр(С). Аналогично вместо Игр(С\Е) или Ск(С\Е) используем обозначение Игр{С) или Ск(С). Принадлежность и £ Цгр{С) (или и £ Ск{С)) для заданной вектор-функции и = (их, 112,... означает, что каждая компонента щ принадлежит Цгр{С) (или Ск(С)). Норма в соответствующем пространстве — сумма норм координат, если не указано другое. Аналогичное соглашение примем для матриц, т. е. включение а € '№£(О), а = {а^ }к .¿=1, означает, что aij(ж) € Шр,(О) для всех 1,]. Для заданного интервала J = (0,Т)

положим

ЩГ(Я) = Ш;(7; ЬР(С)) П ; И£(С)),

Шр8-Г(5) = ш;(7; Ь;(Г)) П ; ^(Г)).

Опишем класс областей С. Будем говорить, что Г = дС принадлежит С2т, если для любой точки жо € Г найдутся окрестность и (координатная окрестность) и система координат у (локальная система координат), полученная из исходной путем поворота и переноса начала координат, в которой

и П С = {у е Мп : у' е Вг, ш(у') <уп< ш(у') + <!}, у' = (У1,..., Уп_{),

и П (М™ \ С) = {у е М™ : ш(у>) -¿<уп< ш(у')},

тпй={уежп-.у'евг, уп = ш{у')},

где у ' = (у 1, у2,..., уп-1), Вг = {у ' : |у '| < г}, 5 > 0 — некоторая постоянная и ш (Е С2т(Вг). Без ограничения общности считаем, что для локальной системы координат ось уп направлена по нормали к Г в точке жо.

Пусть далее параметр р > п + 2т зафиксирован. Пусть Вг(жо) — шар радиуса г с центром в точке жо. Запишем условия на область С и поверхности Г.

(Л) (а) Случай к > 1. Существуют область О С Мк с границей класса С2т такая, что С С О х Мп_к,

Г = {ж € Кп : ж '' = <(ж ') = (<4+1 (ж'), ^к+2(ж '),. .. , <П(ж')), ж ' € О},

<р1{х') £ С2т(0) при всех г = 1, 2,..., в, и константа 8 > 0 такая, что

Цк = {(ж ', <(ж') + п) : ж ' € О, п € Шп_к, |п| < 5} С С, Цк П Цу = 0,

для г = 3, г,^ = 1, 2,. .., е.

(б) Случай к = 0. В качестве множеств {Ц}®=1 берем внутренние точки {ж^}®=1 области С. Положим Цк = Bs(ж^) и выберем число 5 > 0 такое, что Usi С С и Usi П = 0 для г ^ = 1,2,..., е.

Требование условия (А) носит геометрический характер; оно используется во всех работах, посвященных рассматриваемым обратным задачам. Условие (А) выполнено, например, если С = О х Мп_к, где О — ограниченная область класса С2т.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: Ят = (0, т) х С, Яо = (0, Т) х О, Ят = (0, т) х О, 5о = (0, Т) х дО, С = и Цк, Г5 = Г П дС5,

& = (0, Т) х Г5, = (0, Т) х и5г, = (0, Т) х С и =*(0, т) х С. Далее считаем, что выполнены следующие условия.

Условия согласования и гладкости данных.

ЗФ(*,ж) € Ш1'2^): Ф|4=о = ио(ж), В,- Ф|я = д, , 3 = 1,...,т, (4)

дх%Ф € Щ,1'2^), РоФ|^3 = Ь(*,ж ') € Ш'^Яо), (5)

/еад), дХг.Г&ьр(д8), /| 8геОД0), (6)

где 3 = 1, 2,..., в, г = к + 1,..., п и 5 — постоянная из условия (А).

Как следствие условий (4)-(6) и известных теорем вложения имеем

дх9з € Wp;j'2гпк1 Б), 0Хгио(ж) € В2ртр-2т/р(О&), (8)

] = 1, 2,...,т, г = к + 1,...,п,

что при выполнении условий согласования гарантирует существование функции Ф со свойствами (4), (5). Для вывода (7), (8) необходимо использовать теоремы о продолжении функции, заданных на границе области, внутрь области с сохранением необходимых классов. Однако, чтобы упростить изложение, запишем эти условия в виде (4), (5).

Условия на коэффициенты операторов А и Вц более или менее стандартны. Считаем, что

aa(t,x) G L00(Q), |а| < 2то, aa(t,x) £ C(Q)), |а| = 2то,

bjp £ С2"1-"1; (S), j = 1,..., то, < uij, ^

bj (t,x) G LTO(Q), 6Xi bj (t,x) G LTO(Qs), j = 1, 2,...,s,i > k + 1, (10) при всех i = k + 1, k + 2,... ,n функции dXi aa(t, x), dXi bjp (t, x) удовлетворяют условиям (9), где область Q заменена на Qs, (11)

а S — на Ss.

Рассмотрим матрицу B(t, x') размера sro х sro, строки которой с номерами от (j — 1)ro + 1 до jro занимают вектор-столбцы

(-Pobi(t,x), —Pob2(t,x),..., — Pobr(t, x))|x"=vj(x').

Элементы этой матрицы ограничены на Qo почти всюду. Потребуем, чтобы существовала постоянная ¿o > 0 такая, что

| det B(t, x')| > So почти всюду в tt х (0,T). (12)

Рассмотрим систему уравнений

B(t,x')qo = g, qo = ,ql.0), (13)

где g — вектор-столбец, координаты которого с номерами от (j — 1)ro + 1 до jro совпадают с координатами вектора

Po(fo(t, x', 4P (x')) — A<£(t, x', 4P (x')) — Фt(t, x', 4P (x'))).

При выполнении условия (12) система (13) имеет единственное решение qo = (ql,..., qSr0) = (B(t,x'))-1g(t,x'). Приведенные выше условия на данные задачи гарантируют, что qo G Lp(Qo).

Рассмотрим оператор Ao(t,x,D) = aaDa и предположим, что опера-

| а| =2m

тор dt + Ao параболичен, т. е. найдется постоянная > 0 такая, что любой корень p многочлена det(Ao(t,x,i£) + pE) = 0 (E — единичная матрица) удовлетворяет неравенству

Rep < — Sil^l2m, £ G Rn, (x,t) G Q. (14)

Условие Лопатинского представляется в следующем виде: для любой точки

(¿о,жо) € 5 запишем операторы Ао и В,о в точке (¿о, жо) (В,о = ^ Дв) в

^Нелокальной системе координат у и предположим, что система

(АЯ + 'Л„))^(у„) = 0, ', д;„М0) = Л, € С

(15)

С ' = • • • Уп €

j = 1,2, ...,т, имеет единственное решение в

С(М ¡С1), убывающее на бесконечности для всех £ М™ 1, | аг§ Л| < тг/2 и Л, € С^ таких, что |£ '| + |А| = 0.

При выполнении условий (4), (9), (14), (15) справедлива следующая теорема (см. [27, гл. 7, теорема 10.4]).

Теорема 1. Пусть С — ограниченная область с границей класса С2т. Тогда если д € (ф), то существует единственное решение и € ^гр1'2т(ф) задачи

щ + А(4, ж, Дх)и = д, ж) € Я, и|(=о = ио(ж), В,и|я = д,, удовлетворяющее оценке

1^1,2т(д) < с

1Ьр№)

+ Е Уд,-

■л^2^ (5) +

2т— 2т/ р

(С)

где с — постоянная, не зависящая от данных задачи д, д,, ио и решения и.

Зафиксируем г € {1, 2,..., в} и перейдем в области фг^, < 5, к переменным у ' = ж ', у '' = ж '' — ^г(ж '), 4 = При такой замене операторы А и В, перейдут в некоторые операторы Аг(£, у, Д;) и В,у, Д;). Обозначим через Ау и части операторов Аг и В,, не содержащие производных по переменным у^+1, у^+2,..., уп, а через А;„ и В®;„ — остатки. Аналогичный смысл имеют обозначения Ах', В,х', Ах" ,В,х», Аох', Аох".

Опишем связь между производными в новых и старых переменных. Имеем

дх, = д;, —

г=&+1

д;, = дх

+

п

Е

г=&+1

(у ' )дУг;

<^х, (ж ' )дХг ,

j < к, дх, = ду,, j > к

j < к,

д = д ■

j > к.

Таким образом,

а;, (¿, у, Ду) = Ах' (¿, у ', у '' + </(у '), Ду),

В,у (¿, у, Д;' ) = В,х' (¿, у ', у '' + </(у '), Д;' ),

Отсюда видно, что при переходе к новым переменным вид операторов Ах' и В,х' не меняется. Пусть {агт(£,ж ',^г(ж'),Дх')}?'т=1 и {Ьгт(4, ж', ^г(ж'),Дх')}^т=1 — элементы матриц Ах'(¿, ж',^г(ж'),Дх') и В,х'(¿, ж',^г(ж'),Дх') соответственно. Обозначим через Ах' (АУ) матричный оператор с элементами {агт}

т}г,т=1'

через В,х' (В,у) — матричный оператор с элементами {Ьгт}[0т=1. Для произвольного вектора а длины Л обозначим через Р1а вектор длины Л, получаемый

и

в

из вектора а длины ¡г путем замены нулями его первых го координат. Предположим, что выполнено условие

(В) для любого 3 = 1,...,8 оператор А°у' параболичен в области ^о, deg РоАЦР1ь < 2т, 3 = 1, 2,..., 8, и выполнено условие Лопатинского для операторов 'А3у', В3гу', г = 1, ... ,т, в до.

Тогда можно рассмотреть вспомогательные задачи

ф3 + АУ'(г,у\Бу')ф3 =0, (г, у') € до, (16)

ф3 (о, у' ) = 0, (17)

ВЗу'Г\з0 =0, 3 = 1, 2,...,8, г = 1, 2,... ,т, (18)

где ф3 — вектор длины го.

Справедлива следующая теорема единственности (см. [27, гл. 7, теорема 10.4]).

Теорема 2. Пусть О — ограниченная область с границей класса С2т и выполнены условия (9) и (В). Тогда решения ф3 € Wp¡,2m(Qо), 3 = 1,...,8, задач (16)—(18) тождественно равны нулю.

Теоремы 1 и 2 — главные утверждения, используемые при доказательстве наших основных результатов. Они справедливы для широкого класса областей (см. [27]).

Пусть Фо — класс вектор-функций ф = (ф1,ф2,... ,фв) € Wp1'2m(Qо) длины го, координаты которых удовлетворяют (16), (17), существует функция Ф, удовлетворяющая (4), (5), где щ = 0, дц = 0, 3 = 1,... ,т, такая, что

Ро (Вх (г,ж',р3 (ж' ),БХ' )ф3 )к = РоВх (1,ж',р3 (ж' ),БХ' )(1 - Р^Ф^о, (19)

где г = 1, 2,... ,т, 3 = 1,..., 8 и ф3 — вектор длины первые го координат которого совпадают с координатами ф3, а оставшиеся координаты нулевые. Говорим, что равенства (3) выполняются в обобщенном смысле, если найдется вектор-функция ф = (ф1, ф2,..., фв) € Фо такая, что

Рои^ = фг(г,ж') + фг(г, ж'), (г,ж') € до, г = 1,2,..., 8. (20)

Выполнение совокупности равенств (3) в обобщенном смысле означает, что выполнение имеет место в фактор-пространстве (Wp1'2m(Qо))в/Фо, где в данном случае (W^'2m(Qо))в — пространство вектор-функций ф = (ф1,ф2,... ,фв), при этом каждая из компонент ф1 € W^'2m(Q о) — вектор длины го.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (А), (В), (4)—(6), (9)—(12), (14) и (15). Зафиксируем 61 <6. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Найдется постоянная с > 0 такая, что решение и, д1,..., дг задачи (1)—(3) из класса

и € Wp'2ra(Q), Ух-и € Wp1'2m(Qs2), 62 <6, Ц3 € Ь^о), 3 = 1, 2,...,г,

удовлетворяет оценке

Н^Ни^сд) + ) + Е И® И^(«>) < с

,=1 V

Гс \

+ НУх''ФНир1-2т(дг) + И/Ньр(д) + /Ньр(«,) + Е Н-Нир1-2т(дсИ • (21)

,=1 )

2. Существует единственное решение (и, 51,..., дг) задачи (1)—(3), где равенство (3) понимается в обобщенном смысле, из класса

ие ^р1'2™^), е ), ¿1 <5, д, е з = 1,

3. Решения (и, д1,..., дг) задачи (1)-(3), где и0 = 0, / = 0, д, = 0, = (—ь —2, ..., —в) е Ф0, из класса

и е ю^2^), Ух"и е ), ¿1 < 5,

не существует, если — ^ 0.

4. Если Р0( В, " у) = 0 и Р0(Р^) = 0 для любого у и для всех г = 1, 2,..., т, з = 1, 2,..., в, то Ф0 = {0} и существует единственное решение (и, 51,..., дг) задачи (1)-(3), где равенство (3) понимается в обычном смысле, из класса

и&Цг}'2т(С}), У^иё^1'2"1^), б! <6, д]еСЩ; = 1,2,...,г.

§ 3. Доказательство основных результатов

Нам понадобится одно вспомогательное утверждение, вытекающее из теорем вложения.

Лемма 1. Если и е Жр'2т(дт), т > 0, р > п + 2т, то производная вида -О^и при |а| < 2т — 1, быть может, после изменения на множестве меры нуль принадлежит С{(^т), и если и(0,х) = 0, то для всех а, |а| < 2т, справедлива оценка

\\Оаи\\ст < сЦиЦ^^^^т13, где в, с — некоторые положительные постоянные, не зависящие от и.

Доказательство леммы можно найти в [3].

Доказательство теоремы 3. Вначале докажем утверждение 4. Пусть и — решение задачи (1), (2). Установим некоторые оценки. Сделаем замену

х ') = х') + х') и и = у + Ф, где Ф — функция из условия (4). Имеем

г

у + х, О)у = д + Ьг(4, х)^г(£,х '), (£,х) е д, (22)

где

д = / — Фt — А(х, I, О)Ф Ь^, х)д0(х'),

г=1

у|е=0 = 0, В, у|я = 0, з = 1, 2,..., т. (23)

= у(г,х '^¿(х' )) = 0, I = 1, 2,..., в. (24)

Таким образом, свели задачу (1)—(3) к эквивалентной и более простой задаче (22)—(24), которую и будем исследовать. Фиксируя функции Дз € Ьр(^т) и находя решение V задачи (22), (23) на интервале (0, т), получим отображение V =

г

v(Д), Д = (м1,...,Мг). Изучим его свойства. Пусть Ы\ьр(ят) = Е \\^\\ьр(Ят0)

¿=1

и \\Д\\ьр(дт) < Ко. Постоянную Ко определим ниже. Используя теорему 1, выразим V = «(Д) через функции Дi, т. е.

г

V = (д + А)-1д + (д + А)-1^ Ьi(í,x)дi(í,x'). (25)

¿=1

Получим оценку

Мш^^т) < сЫ\ьр(Я) + с\Д\ьр(дт) < с\\д\\Ьр(д) + сКо = С1. (26) Здесь и далее через ^ обозначаем постоянные, не зависящие от конкретных данных задачи ,щ, фз. Покажем, что полученное решение обладает большей

^. Рассмотрим область QTj.

г-

у0

фо = 0 при |х''| > ¿1 и фо = 1 при |х ''| < 62. Тогда функция ф = фо(х" — (х')) имеет носитель, лежащий в области \Jsj- Положим Д^г> = (у(х + е^) — у(х))/г], где — г-й координатный вектор, г > к и |п| < 6 — 61. Тогда функция V = ф(х)А^V — решение задачи

гладкостью в областях QTj. Рассмотрим область QTj. Фиксируем 62 <61 <6 (постоянная 6 взята из условия (А)). Построим функцию фо(х'') € Сд°(Шп-к) :

щ + А(1,х,В)Ъ = ф[А,А^ + фАгд + [А,ф]А^ + фАг ( ^ Ъ^ (1,х)д^ (1,х')

3=1

Вг = ф[Вг, А^ + [Вг ,ф]А¿V, г = 1, 2,...,т. (27)

Здесь [А, Аг] = AАi — А¿A, [А, ф] = Аф — фА, и т. д. (таким образом, квадратные скобки обозначают соответствующий коммутатор). Правая часть имеет носитель, лежащий в Qsj■ Более того, используя свойства конечных разностей (см. [28, гл. 2, лемма 4.6]) и условия гладкости на коэффициенты, можем сказать, что норма правой части (27) в Ьр^т) равномерно по п ограничена величиной

С2(\ \ дх1 д\\ьр(д6з) + \\д\\мд)) + Сз ||Д\ир(дТ0). С помощью теоремы 1, оценки (26) и теоремы вложения заключаем, что справедливо неравенство

Н^^1'2"(дт) < С4(\\^х"д\\ьр(д6]) + \\д\\ьр(д)) + С5Ко = С6. (28)

Постоянные в правой части (28) не зависят от п и т. Ввиду леммы 4.6 из [28, гл. 2] обобщенная производная дХ1 V принадлежит QT2j) и удовлетворяет

оценке

V

х\\шр1,2т(дт23.)

< С6. (29)

В силу произвольности 62 <6 и з заключаем, что решение V обладает свойством vxi € Жр'2т( Qj для любого 62 <6 и 3 = 1, 2,... Без ограничения общности считаем, что постоянная Сб в (29) не зависит также и от г = к + 1,... ,п. Используя (29), можно записать

НУх'Ч^1-2-(дт ) < С7(\^х''д\ир(дг) + \\д\ьр(д)) + С8\\Д\ир(дт). (30)

Докажем разрешимость задачи. Пусть V, Д — решение задачи (22)—(24), таким образом, V = г>(Д). Перейдя в области , ¿1 < к переменным у' = х', у'' = х'' — ^ (х'), 4 = получим, что область перейдет в область = (0, Т) х О х В^, Вг1 = {у '' : |у''| < 51}. Рассмотрим операторы , В^у, Ау„, . Операторы с индексом у' — части соответствующих операторов, не содержащие производных по переменным у ''. Полагая у '' = 0, с учетом равенств А^у(/ — Р1^|у" =о = 0, 3 = 1, 2,..., в, г = г + 1,..., г, получаем

Ро(Ау„ V) |у''=о — Род(4,у V (у ')) + Ро (Ау, Р^)|„» =0

Г

= £ РоЬ^у V(у ')М*,у '). (31)

г=1

Правая часть в (31) может быть записана в виде В(4, у ')Д, где матрица В определена в § 2 и Д = (Д1,Д2,..., ДГ). Левая часть представляется в виде суммы векторов до(4, у ') + Н(Д), где до, Н(Д) — векторы-столбцы, координаты которых с номерами от (3 — 1)го + 1 до з'го, j = 1, 2,..., в, суть векторы

Г

Ро/(4, у ', ^(у ')) — Ро(АФ(4, у ', (у '))) — РоФ^, у ') +53 Ро&г(4, у ', <^(у ')к°(^ х'),

соответственно

—Ро(АУ,,v(t, у ', 0)) — Ро(АУ,Р^,у', 0)).

у" » ' о V У'

По определению функций до первый из векторов равен 0. Тогда

Д(4,у ' ) = В-1Н (Д)(4,у ' )= Д(Д) = Д(0) + До(Д), До(Д) = Д(Д) — Д(0). (32)

Это и есть система уравнений относительно д^. В правую часть входит некоторый оператор, сопоставляющий вектор-функции Д величины

—Ро (Ау„v(t, у ', 0) + Ау,Р^, у ', 0)) |у'=о,

где v — решение задачи (23)-(25). Если v е Жр1-2т(дт) и Ух»v е )

для всех ¿1 < 5, то в силу условий на коэффициенты и леммы 1 каждая из производных вида и входящих в операторы Ро(Ау,,V) |у„_о и

Ау,у ', 0), непрерывна на (после, может быть, изменения на множестве меры 0). Положим До = 2||Д(0)||^ (ф0). Очевидно, что (в силу оценок (26) и (29) с До = 0)

До < с(|д|^р1'2т(д) + ||ух''д|^р1'2т(дг)).

Покажем, что можно найти такое число т1 < Т, для которого оператор

Д(Д) = В-1Н(Д)(4,у '), Д : Д) ^ Д(^),

определен, переводит шар В^,(Т1) = {Д е ) : ||Д||ьр(дт1) < До} в про-

странстве (^т1) в себя и является в нем сжимающим. Заметим, что включение Ух''V е ) влечет, что Уу"v е ^^(С^) с = (0, т) х О х В^, ВЙ1 = {у '' : |у''| < 51}, и наоборот. Фиксируем 51 < 5. Используя лемму 1 и оценки (26) и (30), получим

||Д(Д) — Д(0)||Ьр(дт) < сотв(||Ух''VlУWpl.2m(QJl) + ЬН^^т)) < твсь (33)

Тогда по определению Но имеем

Н

НВ^ЯОЭД*,у')\\ьАЯт) < -у2т(дт)), (34)

где v1 — решение задачи (22), (23) с д = 0. Из (26), (30) вытекает, что справедлива оценка

н

НВДНыо.) + трс1. (35)

Выберем т1 такое, что с1тв < Но. В силу (35) оператор Н определен, переводит шар Бд0 (т1) в себя и является в нем сжимающим. Применяя теорему о неподвижной точке, получим, что в шаре Бщ0 (т1) существует единственное решение системы (32). Положим V = v(¡¡). Покажем, что построенная функция удовлетворяет условиям (24). По построению V — решение задачи (22), (23). Перейдя в области Qs1j, < 6, к переменным у' = х', у'' = х" — Ц(х'), г = г, полагая у'' = 0 и применяя Ро, вместо (22), (23) получим равенства

г

Ф1 + А4у'(г,у',Бу')фр + (РоАу'Р1V + РоАу'V\у''=о = ^ РоЬг(I,у', 0)л(Ь,у'),

Б? v\sT1 =0, ^о1 = (0,тх) х П, I = 1,...,т, ] = 1, 2,...,з, (36)

где фр = Роv|y''=о. Учитывая (31) и условия Ро (Б31у'V |so = 0 и Ро (Б31у'РхV) |so = 0 для любого V и для всех г = 1, 2,. .. ,т, ] = 1, 2,. .., в, получим

фр + Ау ' (г, у ',Бу' )фр = 0, (37)

Бру' Фр ^ = Ро(Бгу' (I—Рх Шу', 0))^ =0, г = 1,... ,т, ] = 1, 2,..., в. (38)

Поскольку по предположению справедливо утверждение теоремы 2, получим фр = 0, следовательно, V удовлетворяет условиям переопределения (24).

Утверждения 1 и 4 теоремы 3 доказаны локально по времени. Однако рассуждения можно повторить на промежутках [то, 2то], [2то, 3то] и т. д., заметив при этом, что интервал разрешимости не увеличивается в силу линейности задачи. Тем самым устанавливается разрешимость и оценка на всем промежутке

[0,Т ].

Докажем утверждение 2. Рассмотрим интегральное уравнение (32), которое, как мы показали, разрешимо локально по времени. Функция V = и — Ф удовлетворяет условиям (23). Более того, функции фр = Pоv(t,y', 0) удовлетворяют системе (37). Очевидно, что

Б1Х' фр (г,х' (х')) = Ро(Б1Х' (I — Р1) V) | ж ' (х '), г = 1, 2,...,т, ] = 1,..., в.

(39)

Таким образом, набор (ф1 ,ф2,... ,фв) принадлежит классу Фо. Из равенства и = V + Ф вытекает, что граничные условия (3) принимаются в обобщенном смысле. Единственность решений, удовлетворяющих (3) в обобщенном смысле,

-Л -2 «

очевидна, поскольку соответствующие векторы ¡л1, ¡2 удовлетворяют одной и той же системе (37).

Покажем утверждение 3 теоремы. Пусть u (qi, q2, • • •, qr) — решение задачи (1)-(3) с данными, указанными в формулировке теоремы 3. Имеем

r

ut + A(t, x, D)u = bi(t, x)q(t, x'), (t, x) G Q, (40)

i=i

u|t=o = 0, Bju|s = 0, j = 1, 2, • • •, m, (41)

u|s = ^, i =1, 2, • • •, s^ (42)

Перейдя в области Q^j, 5i < к переменным y' = x ', y'' = x'' — (x '), t = t, полагая y '' = 0 и используя определение класса Фо, получим

r

Po (Ay-u) ly''=o + РоАУ'Piu = ^ Pobi(t, y ', (y '))q(t, y '),

i=i

где u — решение задачи (40), (41). Получили аналог системы (32) — фактически систему (32), но с нулевыми данными. Как доказано, система (32) локально имеет единственное решение, значит, q = 0. Из (40), (41) получим, что u = 0; противоречие.

ЛИТЕРАТУРА

1. Belov Ya. Ya. Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.

2. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

3. Pyatkov S. G., Samkov M. L. On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations // Sib. Adv. Math. 2012. V. 22, N 4. P. 287-302.

4. Pyatkov S. G. On some classes of inverse problems for parabolic equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 18, N 8. P. 917-934.

5. Capatina A., Stavre R. A control problem in biconvective flow //J. Math. Kyoto Univ. 1997. V. 37, N 4. P. 585-595.

6. Babeshko O. M., Evdokimova O. V., Evdokimov S. M. On taking into account the types of sources and settling zones of pollutants // Dokl. Math. 2000. V. 61, N 2. P. 283-285.

7. Калинина Е. А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальневост. мат. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 89-99.

8. Криксин Ю. А., Плющев С. Н., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции-диффузии // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, № 11. С. 95-108.

9. Алексеев Г. В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. С. 243-263.

10. Алексеев Г. В., Калинина Е. А. Идентификация младшего коэффициента для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции. // Сиб. журн. индустр. математики. 2007. Т. 10, № 1. С. 3-16.

11. Alekseev G. V. Coefficient inverse extremum problems for stationary heat and mass transfer equations // Comp. Math. Math. Phys. 2007. V. 47, N 6. P. 1007-1028.

12. Ефременкова О. В. О разрешимости параболической обратной задачи для нахождения коэффициента поглощения специального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, № 1. С. 72-79.

13. Пятков С. Г., Цыбиков Б. Н. О некоторых эволюционных обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН. 2008. Т. 418, № 5. С. 596-598.

14. Sergienko I. V., Deineka V. S. Solution of inverse boundary-value problems for multicompo-nent parabolic distributed systems // Cybern. Syst. Anal. 2007. V. 43, N 4. P. 507-526.

15. Farcas A., Lesnic D. The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable // J. Eng. Math. 2006. V. 54. P. 375-388.

16. Iskenderova A. D., Akhundov A. Ya. Inverse problem for a linear system of parabolic equations // Dokl. Math. 2009. V. 79, N 1. P. 73-75.

17. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

18. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verl., 2006. (Appl. Math. Sci.; V. 127).

19. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc., 1999.

20. Пятков С. Г., Сафонов Е. И. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений // Сиб. электрон. мат. изв. 2014. Т. 11. С. 777-799.

21. Pyatkov S. G., Safonov E. I. Some inverse problems for convection-diffusion systems of equations // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. ???. V. 7, N 4. P. 36-50.

22. Пятков С. Г., Сафонов Е. И. Об определении функции источника в математических моделях конвекции-диффузии // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2. С. 117-130.

23. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. Berlin: VEB Deutscher Verl. Wissenschaften, 1978.

24. Amann H. Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary value problems // Function spaces, differential operators and nonlinear analysis. Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1993. P. 9-126. (Teubner-Texte Math.; V. 133).

25. Amann H. Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces // Glasnik mat. 2000. V. 35. P. 161-177.

26. Denk R., Hieber M., Pruss J. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data // Math. Z. 2007. V. 257 ???. P. . ?! ? в 26 надо указать страницы! ?!

27. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural'tseva N. N. Linear and quasi-linear equations of parabolic type. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1968. (Transl. Math. Monogr.; V. 23).

28. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

Статья поступила 11 ноября 2014 г.

Пятков Сергей Григорьевич

Югорский гос. университет,

ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012;

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,

пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090

s-pyatkov@ugrasu.ru, pyatkov@math.nsc.ru

Короткова Екатерина Михайловна

Югорский гос. университет,

ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012;

Югорский научно-исследовательский институт информационных технологий, ул. Мира, 151, Ханты-Мансийск 628011 kem@uriit.ru