CC BY
13Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4
УДК 517.95
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКОВ
В ОДНОМЕРНОМ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ С УЧЕТОМ ЗАСТОЙНЫХ ЗОН С. Г. Пятков, В. В. Ротко
Аннотация. Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратной задачи определения функции источников в системе, состоящей из параболического уравнения и обыкновенного дифференциального уравнения. В качестве условия переопределения берется значение концентрации примеси в выделенных точках. Доказаны существование и единственность решений задачи. Ключевые слова: параболическое уравнение, обратная задача, тепломассопере-нос, краевая задача, функция источников.
Введение
Пусть С = (а, Ь) и Ц = О х (0,То). Мы рассматриваем вопрос об определении вместе с решением правой части специального вида (функции источника) в системе
дС дС д2С
т^ + им^ - я^г = - С) - АС + з{х,г), (0.1)
дС
± = т-\с-с3)-\3с3, (0.2)
где и(х, £) — скорость потока, О > 0 — коэффициент дисперсии, е — отношение объема застойной зоны к объему главного течения на единицу длины, Т — среднее время пребывания частиц в застойной зоне, А и А8 — соответствующие коэффициенты разложения загрязняющих веществ. Для простоты формулировок считаем, что величины О, Т, А, Ав, е постоянные. Все эти параметры считаются известными. Определению подлежат функции С, Са — концентрации загрязняющих веществ в реке и в застойных зонах реки соответственно, и неизвестная правая часть в(х, £) вида
п
1=1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и правительства Ханты-Мансийского автономного округа — Югры (код проекта 15-41-00063, р-урал-а).
© 2016 Пятков С. Г., Ротко В. В.
(функции qi(t) считаются неизвестными). Уравнение (0.1) дополняется начальными и граничными условиями.
С^=о = со(х), 6^=0 = сх(ж), Б1С (a,t) = ацС* (a,t) + вl(t)C(a,t) = ^l(t), (0.3)
Б2С(Ь, t) = а2С*(Ь, t) + в2(t)C(b, t) =
Считаем, что а. = 1 или а. = 0, в последнем случае считаем, что в. = 1, г = 1, 2. В качестве условия переопределения берутся данные замеров концентрации С в некоторых фиксированных точках, т. е. условия вида
С(х.^) = ф.^), г = 1, 2,..., п, (0.4)
где х. = х2 при г = j. Результаты по исследованию прямых задач и численные алгоритмы решения задачи (0.1)-(0.3) имеются, например, в [1-7]. Большое число работ посвящено численному решению близких задач — задач о загрязнении подземных вод (см., например, [8]). Работа [9] посвящена численному алгоритму решения обратной задачи (0.1)-(0.5) в случаях, когда в(х^) = а(х)/или
г
в(х^) = /()6(х - Хг) .= 1
(здесь 6 — дельта-функция Дирака и € С, к = 1, 2,..., г) и некоторым представлениям решений. Вопросы разрешимости близких обратных задач, когда система (0.1) сводится к одному уравнению и уравнение (0.2) отсутствует, в пространствах Гельдера исследовалась в монографии [10], а в пространствах Соболева — в [11]. Среди монографий, посвященных обратным задачам для параболических и эллиптических уравнений и систем, отметим [12-14].
В данной работе при естественных условиях на данные задачи (0.1)-(0.5) показана ее корректность в пространствах С. Л. Соболева. Результаты обобщают результаты работы [11] на случай системы (0.1), (0.2).
В § 1 описаны условия на данные задачи, приведены вспомогательные утверждения и сформулированы основные результаты, в § 2 приведено их доказательство.
§ 1. Определения, обозначения и формулировка основных результатов
Пусть Е — банахово пространство. Через Ьр(С; Е) (С — область в М") обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на С, со значениями в Е и конечной нормой ||||и(х)||£[15]. Также используем пространства Гёльдера Са{С) и анизотропные пространства Гёльдера СА/2'А((3) (см. определения в [15,16]). Обозначения для пространств Соболева Wp(С), ^(д), Wг?'г(ф) = W;(J; Ьр(С)) П ; Wгr(С)), J = (0,То) и т. д. стандартны (см., например, [15,16]).
Прежде чем переходить к формулировке вспомогательных и затем наших главных результатов, приведем некоторые построения. Из уравнения (0.2) имеем
дС
Используя начальные условия (0.3), получим
г
С3 = С1(х)е-^1+х^ + 1 У с1т.
о
Подставляя полученное выражение в уравнение (0.1), придем к равенству С + иСх - ОСхх + (еТ-1 + А)С
= еТ-1 [ С1(Ж)е-(т +А«)* + / ---С(т) йт ) + з{х, ¿).
о
Отсюда получим уравнение для функции С вида
Г
Ь0С = а + г/а - + (еТ-1 + Х)С - ^ У е-Р^+^-^ОД с1т
г=1
Т
/о = /о + |;С1Ие-^1+А^. Функция С удовлетворяет начальным и краевым условиям (0.3). Обозначим
Г
Ь1С = Ь0С+-^ I е-^+^-^тИт. о
Предположим, что мы нашли решение вспомогательной задачи
ЬоСо = /0, Со|г=о = со(х), ад,(М) = В2Со(Ь,4) = (1.1)
Тогда после замены С = Со + V получим, что функция V есть решение задачи
п
^ = 53 и(*Шх,*), V |г=о = 0, (а, = 0, ^ (Ь, = 0. (1.2)
г=1
Условия переопределения (0.4) будут иметь вид
V (хг ,4) = С (хг ,4) - Со(хг,4) = - Со(хг,4) = I = 1, 2,..., п. (1.3)
Таким образом, мы (по крайней мере формально) свели задачу (0.1)—(0.4) к задаче о нахождении набора функций V, ,..., дп таких, что выполнены равенства (1.2), (1.3). Далее, в доказательстве теоремы 1.3, обоснуем эти рассужде-
ния.
Будем считать, что параметр р > 3 зафиксирован. Фиксируем также некоторое число 6 > 0 такое, что Бй(ж^) П Бй(жц) = 0 при г = з (ж^) — 6-окрестность точки ж^),
п
С = и Б&(жг) С С.
г=1
Пусть ( = С5 х (0, То). Сформулируем необходимые условия на данные задачи. Условия согласования и гладкости данных могут быть записаны в
виде
2--
с0(х)£]¥р р (а, Ъ), 1Г£ЬР(<Э), ¡з3{1) еС1/2([0,То]), (1.4)
€= Шр 2р (0, То) при оч + 0, € Шр 2р (0, То) при оч = 0, 3 = 1,2,
(1.5)
а1Сох (о) + в1(0)ео(о) = (0), а2Сох(Ь) + в2(0)со(Ь) = ^(0). (1.6) /о(ж,г) € Ьр((), /ох(ж,4) € Ьр^), (1.7)
2--
с0х(ж)еи^ Р(С5), С1(ж) е ьр(С)пи^(Сг), ихсьРШ, (1.8)
/г(ж,4) € £то(0,То; Ьр(о,Ь)), /«(ж,*) € Ьто(0,То; Ьр(С6)), € ^1(0, То),
(1.9)
где г = 1, 2,. .., п.
Рассмотрим матрицу Б(*) размера п х п, элементы которой имеют вид Ьц(*) = /ц(жг,*). Можно показать, используя условия (1.9) и теоремы вложения (см. лемму 2.1 ниже), что функции /ц(ж,*) непрерывны (и даже удовлетворяют условию Гельдера) как функции переменной ж со значениями в Ьж(0, То). Тогда следы /ц(ж^,определены и принадлежат пространству Ьто(0,То). Потребуем, чтобы существовала постоянная 6о > 0 такая, что
| Б(*) | > 6о > 0 для почти всех * € [0, То]. (1.10)
Рассмотрим вспомогательную задачу
ЬоСо = /о, ОЖ=о = со, Б1Со(о) = , Б2Со(Ь) = ^ (1.11)
Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (1.4)—(1.6) и /о € Ьр((). Тогда существует единственное решение Со € Жр1,2(() задачи (1.11) такое, что имеет место оценка
IIСо||^1,2(д) < с(||со|| 2_§ +||^1||<1(01То) + ||^2||<2(01То) + ||/0|и1)(д)), (1.12) "р (С)
где = 1 — 1/2р в случае а = 0 и = 1/2 — 1/2р в случае а = 1, г = 1, 2. Если дополнительно выполняются условия
2-2
с0,е]¥р Р(С5), /о, е (1.13)
то решение задачи (1.11) обладает свойством
Сох € Ж,1'2^) У61 <6.
Доказательство основано на стандартных результатах о разрешимости параболических задач и свойств их решений. Рассмотрим параболическую задачу
ЬгФ = /о, Ф|4=о = со (ж), ВхФ(М) = Б2Ф(Ь,г) = (р2 (¿).
Используя стандартные результаты (см. [16]), получим, что существует единственное решение этой задачи из пространства ""р1'2^). Обозначим через Ь-1 оператор, сопоставляющий правой части /о решение этой задачи с однородными начальными и краевыми условиями. Сделаем в (1.11) замену Со = "Из + Ф. Тогда функция "0 есть решение задачи
LoV0 = ^-2 J e-^-'+^-^Hdr
,oVo = — J е - ■><В[т)ат = д0, о
Vo |t=o = 0, BiVo(o,í) = 0, B2V0 (b,t)=0. Уравнение (1.14) можно переписать в виде
(1.14)
= I e-C-'+^-VoMcfrj +LrV
Доказательство разрешимости этого уравнения проводится по той же схеме, что и доказательство разрешимости уравнения (2.6) в теореме 1.3 с использованием теоремы о неподвижной точке. Более того, необходимая оценка интегрального оператора в правой части значительно проще, чем в теореме 1.3, поэтому доказательство опускаем. Необходимая дополнительная гладкость функций V0, Ф вытекает, например, из теоремы 3 в [17].
Введем еще две области вида QY = (a, b) х (0, 7), Q¿ = G х (0, 7), 7 < T0. Рассмотрим задачу
L0C0 = fo, Со |t=o = 0, BiCo(a) = 0, B2Co(b)=0. (1.15)
Теорема 1.2. Пусть fo G Lp(QY), fox G Lp(Q¿), 7 < To, и выполнены условия (1.4) для функций U,Pj (j = 1,2). Тогда существует единственное решение задачи (1.15) такое что
Co G Wp'2(QY), Cox G Wp1'2(QYl) V5i <5, и при фиксированном 51 <5 справедлива оценка
llCollwp2(QY) + llC0x|| Wp1-2(QY1) < c(\\fo\\bp(QY) + \\f0x\\bp(Q-¡ )),
где постоянная c не зависит от 7 G (0, To].
Утверждение теоремы 1.2 легко вытекает из теоремы 1.1 и того факта, что функцию fo, определенную на (0,7), можно продолжить нулем на весь временной интервал (0,To) с сохранением класса.
Теоремы 1.1 и 1.2 — главные утверждения, используемые при доказательстве основного результата — теоремы 1.3.
t
Теорема 1.3. Пусть условия (1.4)—(1.10) выполнены. Тогда существует единственное решение задачи (0.1)—(0.4) такое, что
С € Жр1'2(0, Ся € Жр1(0,То; £р(о,Ь)), € Ьр(0,То), г = 1,2,...,п,
Сх € Ж1'2^), € Ьр(0,То; Ьр(С51)) У61 <6. Решение при фиксированном 61 <6 удовлетворяет оценке
НС + ||Сх||"р1'2(да) + ||С У"р1(о,То;Ьр(а,Ь)) + II Сзх || Ьр^ )
п
+ Е\\Ф)\\ьр{0,то)<с(\Ы\ +||сох|| 2'-! + |Ы|ьр(С)
^ И'р Р(С) И/р р(Сг)
+ ||с1хУьр(Сг) + У^11"1 (о,То) + У^У"2 (о,То) + УЛУмд) + ||/ох|Ьр(дг)),
где = 1 — 1/2р в случае а = 0 и = 1/2 — 1/2р в случае а = 1, г = 1, 2, и постоянная с на зависит от данных задачи и решения.
Нам понадобится одно вспомогательное утверждение.
Лемма 1.1. Пусть и € Жр(0,7; Ьр(С)) и и(ж, 0) = 0. Тогда справедлива оценка.
||и(ж,т)||Ьр№) < Т||ит(ж,т)|Ьр(дт). Доказательство вытекает из формулы Ньютона — Лейбница
с
4(м)=/ит (ж,т) 'т
и неравенства Гельдера.
§ 2. Доказательство теоремы 1.3
Используя теорему 1.1, найдем решение Со задачи (1.1) и сделаем замену С = Со + V в уравнении (1.1). Придем к задаче
п
^ = Е 9(*Шж,*) = д, V|с=о = 0, Б1V(о, = 0, Б2V(Ь,*) = 0. (2.1)
г=1
Условия переопределения (0.4) будут иметь вид
V (ж^)= — Со(жг,*) = € Ж (0, То), г = 1, 2,..., п. (2.2)
Отметим, что в силу теоремы 1.1 Со € Жр'2((), Сох € Жр'2((51) для всех 61 <6 и тогда Со(жг,£) € Ж1(0,То). Пусть € Ьр(0,7), 7 < То, г = 1, 2,..., п. Из
'р Vй! -'-о;- ц)"° чп^ € -^р ункции
имеем оценку
условий на функции / вытекает, что д € Ьр((), дх € Ьр(() и, более того,
||д|Ьр(дт) + !Ыкр(д]) < (о^ (2.3)
где постоянная а1 не зависит от 7, а зависит от величин ||/г||ьте(о'То;ьр(С)), ||/гх|ьте(о'То;Ьр(Сг)), г = 1, 2,..., п. По определению д = (91, 92,..., 9п), и под
нормой вектора здесь и далее понимаем сумму норм координат. Обращая оператор Ьо в (2.1), что возможно по теоремам 1.1, 1.2, и используя оценку из теоремы 1.2 и оценку (2.3), получим, что функция V выражается через правую часть, V = 1д и, более того, имеем оценку (при фиксированном <
(2.4)
где постоянная а2 не зависит от 7. Положим ж — ж^ в (2.1). Используя условия переопределения (2.2), придем к равенству
+ и(жг,£)"х(жг,£) - + (еТ-1 +
г - п
£ = = (2.5)
Т2
о ^
Правая часть здесь — это в точности г-я координата вектора Бд, где матрица Б определена перед теоремой 1.1. Тогда равенство (2.5) переписывается в виде
д = д + Д(д), (2.6)
где д = Б-1^, г-я координата вектора -Р есть функция
г
+ (¿Г"1 + Х)фг - ^ у ¿г,
о
соответственно Д(д) = Б-1 До и г-я координата вектора До есть функция
и(жг,4)"х(жг,4) - ,4),
где V = Ь—1д. Уравнение (2.6) — основное уравнение, которое будем исследовать. Фиксируем 7 < То и получим некоторые оценки. В силу условия (1.10) имеем
п
НЯШмол) < аз\\йо\\ < а^(\\г)\\ьр(о,7) + Ни(жг,^(жг, ¿)\\Мол)),
г=1
(2.7)
где постоянные аз, а4 не зависят от 7. Далее используем теоремы вложения и интерполяционные неравенства (см. [15]). В силу теорем вложения имеем
,-0\\мо'7) < НЬр(о,гЖ1/Р+'(011)) < абН"Нмол^^ ))Н"НЬр(^),
где е € (0,1 — 1 /р) произвольно, (2 + 1/р + е) = 30 и постоянная аб, как и ранее, не зависит от 7. Из (2.4) и леммы 1.1 получим оценку
\\Vxx(жг^)\\Мол) < агНЙ\1р(о'7)71-е < авНдЪр^Т1-6. (2.8)
Оценим второе слагаемое в (2.7). В силу теорем вложения имеем
\\и(жг,4)"х(ж,4)НЬр(о'7) < а9\\и\\ьр(о,7)) ).
Используем одну оценку, вытекающую из леммы 3.3 в [16], где взято 6 = ^/7:
13 А
И^И^.Л,^ /Зо = -----, А € [0,1 - 3/р].
Фиксируем А € (0,1 — 3/р) и применим это неравенство к функции УХ. Имеем
где постоянная с не зависит от 7. Используя неравенство (2.4), придем к неравенству
НУхНЬ^) < аюНдЬр(0,7)7во. (2.9).
Окончательно из неравенств (2.7)—(2.9) получим оценку
ТОН^,(0,7) < «11 Н1к(0,7)Тв, в = ш1п(во, 1 — 0). (2.10)
Из этой оценки вытекает, что оператор К сжимающий, если выберем 7 < 70 = 1/(а11)1/в. Возьмем, например, 71 = 70/2. По теореме о неподвижной точке уравнение (2.6) имеет единственное решение 1 € (0,71). Чтобы доказать глобальную разрешимость, повторяем рассуждения на промежутках [70, 270], [270, З70] и т. д., заметив при этом, что интервал разрешимости не увеличивается в силу линейности задачи, поскольку на каждом из этапов используем постоянные, которые не зависят от параметра 7. Тем самым устанавливаем разрешимость уравнения (2.6) на всем промежутке [0,Т0]. Используя на каждом из этапов оценки, вытекающие из теоремы о неподвижной точке, получим глобальную оценку
Шк(0,То) < с||д||ьр(0,То). (2.11)
Построим решение обратной задачи. Найдем функцию V = Ь—1д, где функция д выражается через вектор 1 € (0,10) и, как уже показывали, в этом случае д € (0,10). Тогда функция V обладает свойствами, указанными в теоремах 1.1, 1.2. Полагая в (2.1) ж = х^, придем к равенству
+ и (жг,£)Ух (жг ,г) — ,£) + (еТ—1 + А)^
г п
/ = = (2-12) 0 5"=1
где ^0г = V(х^,4). Вычитая равенства (2.5) и (2.12), получим
V« + (еТ-1 + АМСО - ^ у ¿г = 0, = ~
0
„ (2.13)
По построению и в силу условий согласования «¿(0) = ^0г(0) — ^¿(0) = 0. Интегрируя (2.13), придем к интегральному уравнению г г т
+ (еТ-1 + А) | т*(т) ^ " ^ / / ^ = 0. (2.14)
0 0 0
г
Единственное решение этого уравнения есть тождественный нуль. Действительно, используя только неравенство Гельдера, легко получить оценку
1Ы1ьр(0,7) < cyINImO,7), (2.15)
где c — некоторая постоянная, не зависящая от 7. Отсюда вытекает, что vi = 0 на промежутке t < 1/c. Повторяя рассуждения на последующих промежутках, придем к тому, что vi = 0. Таким образом, V(xi, t) = ipi для всех i = 1, 2,..., n, т. е. функция V удовлетворяет условиям переопределения. Используя оценки из теоремы 1.2 и (2.11), получим оценку для функции V, которая в сочетании с определением этой функции гарантирует оценку из утверждения теоремы 1.3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bencala K. E., Walters R. A. Simulation of solute transport in a mountain pool-and-riffle stream: A transient storage model // Water Resour. Res. 1983. V. 19, N 3. P. 718-724.
2. Czernuszenko W., Rowinski P. M. Properties of the dead-zone model of longitudinal dispersion in rivers // J. Hydraul. Res. 1997. V. 35, N 4. P. 491-504.
3. Schmid B. H. Persistence of skewness in longitudinal dispersion data: Can the dead zone model explain after all // J. Hydraul. Eng. 2002. V. 128, N 9. P. 848-854.
4. Jonsson K., Johansson H., Worman A. Hyporheic exchange of reactive and conservative solutes in streams-tracer methodology and model interpretation //J. Hydrol. 2003. V. 278, N 1-4. P. 151-169.
5. Elliott A. H., Brooks N. H. Transfer of nonsorbing solutes to a streambed with bed forms: Theory // Water Resour. Res. 1997. V. 33, N 1. P. 123-136.
6. Worman A. Comparison of models for transient storage of solutes in small streams // Water Resour. Res. 2000. V. 36, N 2. P. 455-468.
7. Worman A., Packman A. I., Johansson H., Jonsson K. Effect of flow-induced exchange in hyporheic zones on longitudinal transport of solutes in streams and rivers // Water Resour. Res. 2002. V. 38, N 1. P. 2-1-2-15.
8. Michalak A. M., Kitanidis P. K. Estimation of historical groundwater contaminant distribution using the adjoint state method applied to geostatistical inverse modeling // Water Resour. Res. 2004. V. 40. P. W08302.
9. Boano F., Revelli R., RidolG L. Source identification in river pollution problems: A geostatistical approach // Water Resour. Res. 2005. V. 41. P. W07023.
10. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).
11. Пятков С. Г., Самков М. Л. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений // Мат. тр. 2012. Т. 15, №1. С. 155-177.
12. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
13. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verl., 2006. (Appl. Math. Sci.; V. 127).
14. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc., 1999.
15. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
16. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
17. Korotkova E. M., Pyatkov S. G. On some inverse problems for a linearized system of heat
and mass transfer // Sib. Adv. Math. 2015. V. 25, N 2. P. 110-123.
Статья поступила 20 сентября 2016 г.
Пятков Сергей Григорьевич
Югорский гос. университет,
ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012;
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
s-pyatkov@ugrasu.ru, pyatkov@math.nsc.ru
Ротко Валерий Витальевич Югорский гос. университет, ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012 alyona.petrova393@gmail.com
Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4
UDC 517.95
RECOVERING A SOURCE FUNCTION IN A ONE-DIMENSIONAL PARABOLIC EQUATION WITH DEAD ZONES TAKING INTO ACCOUNT S. G. Pyatkov and V. V. Rotko
Abstract. We examine the question of well-posedness in the Sobolev spaces of an inverse problem of determining a source function in a system comprising a parabolic equation and an ordinary differential equation. The overdetermination conditions are the values of concentration of an admixture at separate points. We prove existence and uniqueness of solutions to the problem.
Keywords: parabolic equation, inverse problem, heat-and-mass transfer, boundary value problem, source function.
REFERENCES
1. Bencala K. E. and Walters R. A. "Simulation of solute transport in a mountain pool-and-riffle stream: A transient storage model," Water Resour. Res., 19, No. 3, 718—724 (1983).
2. Czernuszenko W. and Rowinski P. M. "Properties of the dead-zone model of longitudinal dispersion in rivers," J. Hydraul. Res., 35, No. 4, 491-504 (1997).
3. Schmid B. H. "Persistence of skewness in longitudinal dispersion data: Can the dead zone model explain after all" J. Hydraul. Eng., 128, No. 9, 848-854 (2002).
4. Jonsson K., Johansson H., and Worman A. "Hyporheic exchange of reactive and conservative solutes in streams — tracer methodology and model interpretation," J. Hydrol., 278, No. 1-4, 153-171 (2003).
5. Elliott A. H. and Brooks N. H. "Transfer of nonsorbing solutes to a streambed with bed forms: Theory," Water Resour. Res., 33, No. 1, 123-136 (1997).
6. Worman A. "Comparison of models for transient storage of solutes in small streams," Water Resour. Res., 36, No. 2, 455-468 (2000).
7. Worman A., Packman A. I., Johansson H., and Jonsson K. "Effect of flow-induced exchange in hyporheic zones on longitudinal transport of solutes in streams and rivers," Water Resour. Res., 38, No. 1, 2-1-2-15 (2002).
8. Michalak A. M. and Kitanidis P. K. "Estimation of historical groundwater contaminant distribution using the adjoint state method applied to geostatistical inverse modeling," Water Resour. Res., 40, W08302 (2004).
9. Boano F., Revelli R., and RidolG L. "Source identification in river pollution problems: A geostatistical approach," Water Resour. Res., 41, W07023 (2005).
10. Ivanchov M., Inverse Problems for Equations of Parabolic Type, VNTL Publ., Lviv (2003). (Math. Studies. Monogr. Ser.; V. 10).
11. Pyatkov S. G. and Samkov M. L. "On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations," Sib. Adv. Math., 22, No. 4, 287-302 (2012).
12. Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).
13. Isakov V., Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verl., Berlin (2006). (Appl. Math. Sci.; V. 127)
14. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, Inc., New York (1999).
© 2016 S. G. Pyatkov and V. V. Rotko
15. Triebel H., Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam; New York; Oxford (1978).
16. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Ural'tseva N. N., Linear and Quasi-linear Equations of Parabolic Type, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (1967). (Transl. Math. Monogr.; V. 23).
17. Korotkova E. M. and Pyatkov S. G. "On some inverse problems for a linearized system of heat and mass transfer," Sib. Adv. Math., 25, No. 2, 110-123 (2015).
Submitted September 16, 2016
Sergey Grigorievich Pyatkov Yugra State University,
16 Chekhov Street, Khanty-Mansyisk 628012, Russia; Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia s-pyatkov@ugrasu.ru, pyatkov@math.nsc.ru
Valery Vitalievich Rotko Yugra State University,
16 Chekhov Street, Khanty-Mansyisk 628012, Russia v_rotko@ugrasu.ru
