Обратные задачи восстановления правой части специального вида в параболическом уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

УДК 517.946

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

ПРАВОЙ ЧАСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ

А. И. Кожанов

Аннотация. Изучается разрешимость новых обратных задач нахождения вместе с решением параболического уравнения также неизвестного внешнего воздействия (правой части) специального вида. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Рассматриваемые задачи можно трактовать как обобщения известных в теории параболических уравнений обратных задач с финальным или интегральным переопределением.

Ключевые слова: параболическое уравнение, линейная обратная задача, финальное или интегральное переопределение, неизвестный коэффициент специального вида, существование, единственность.

неизвестными являются решение и(ж,£), а также компонента д(ж, £) правой части (внешнего воздействия). Хорошо известно, что для однозначной разрешимости подобных задач требуются дополнительные условия. Можно выделить два случая. В первом из них функция д(ж, £) определяется неизвестным множителем до (ж) и имеет вид д(ж, £) = до(ж)Ло(ж, £) с известной функцией Ло(ж, £) (в более общей ситуации функция д(ж, £) определяется неизвестными множителями до (ж), ... , дт, (ж) и имеет вид

с известными функциями Ло(ж, £), ... , Л.т(ж, £)); в этом случае рассматриваемую задачу можно назвать обратной задачей пространственного типа. Помимо структурных условий о виде неизвестной функции д(ж,£) в обратных задачах пространственного типа задаются также некоторые дополнительные условия,

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 15-01—06582).

Введение

Пусть в параболическом уравнении

и — Ди + с(ж, = /(ж, £) + д(ж, £)

т

(0.1)

© 2016 Кожанов А. И.

называемые условиями переопределения. В обратных задачах пространственного типа искомые условия — это либо условия переопределения на временных слоях, а именно условия вида

и{х,и) = 0, ¿ = (0.2)

либо условия интегрального переопределения по временной переменной вида

т

| = 0, г = 0~то, (0.3)

о

либо условия, объединяющие условия указанных двух видов.

Во втором случае общей задачи нахождения вместе с решением и(ж, £) параболического уравнения также функции д(ж, £) искомая функция определяется неизвестным множителем до(£) и имеет вид д(ж, £) = до(^)^о(ж, £) (в более общей ситуации функция д(ж, £) определяется неизвестными множителями до(^), • • • , дт(£) и имеет вид

т

д(ж,г) = ^ дк(^к(ж, £)); к=о

в этом случае рассматриваемую задачу можно назвать обратной задачей временного типа. Для подобных обратных задач также требуется задавать некоторые условия переопределения — условия точечного, интегрального или граничного по пространственным переменным переопределения (уточнять вид этих условий не будем, поскольку основным объектом дальнейших исследований будут обратные задачи пространственного типа).

В настоящей работе будут исследованы обратные задачи пространственного типа с условиями переопределения (0.2) или (0.3) и с функцией д(ж, £), имеющей специальный, но в то же время более общий, чем (0.1), вид. Ранее подобные задачи не исследовались.

Заметим, что собственно обратные задачи пространственного типа для параболических уравнений с неизвестной функцией д(ж, £) вида (0.1) и с условиями переопределения (0.2) или (0.3) (или с условиями, являющимися их комбинацией) достаточно хорошо изучены (см. [1-5]).

Ниже в работе рассмотрены некоторые модельные ситуации (в частности, будет рассмотрен случай т = 0). Возможные обобщения описаны в конце статьи.

1. Постановка задач

Пусть О — ограниченная область в пространстве Кп с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ^ — цилиндр О х (0,Т), 0 < Т < Б = Г х (0,Т) — боковая граница Далее, пусть с(ж,£),

/(ж,£), Л.г(ж,£), г = 1,...,п, Ло(ж,£), N(£) — заданные функции, определенные

при х £ О, £ £ [О, Т], — дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции ад (ж) определяется равенством

п

¿(£)ад = ^^ Нг(ж, £)адх + Но(ж, £)ад.

1=1

Обратная задача I. Найти функции и(ж, £) и до (ж), связанные в цилиндре Q уравнением

иг — Ди + с(ж, £)и = /(ж, ¿) + ¿(г)до(ж) (1.1) при выполнении для функции и (ж, £) условий

и(ж, 0) = 0, ж € О; (1.2)

и(ж,*)|я = 0; (1.3)

и(ж, Т) = 0, ж € О. (1.4)

Обратная задача II. Найти функции и(ж, £) и до (ж), связанные в цилиндре Q уравнением (1.1) при выполнении для функции и(ж, £) условий (1.2) и (1.3), а также условия

т

(£)и(ж,£) ^ = 0. (1.5)

о

Обратные задачи I и II в случае кг(х,Ь) = 0 при (Е (5, г = 1,...,п,

совпадают с известными обратными задачами для параболических уравнений с финальным и соответственно с интегральным переопределением, в случае же не тождественно нулевых функций Н (ж, £) эти задачи представляются новыми.

Целью работы является доказательство теорем существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

2. Разрешимость обратной задачи I

Доказательство разрешимости обратной задачи I во многом основано на свойствах решений некоторого дифференциального уравнения первого порядка. Поскольку подобные же свойства будут использоваться и при исследовании разрешимости обратной задачи II, приведем эти свойства в общем случае.

Пусть ак(ж), к = 1,..., п, ао(ж) — заданные функции, определенные при х £ О, 1о — дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции ад (ж) определяется равенством

п

1оад = ^^ ак (ж)адх + ао (ж)ад.

к=1

Следующий результат хорошо известен [6, 7].

Будем обозначать через V = (VI,..., ^п) вектор внутренней нормали к Г в текущей точке ж.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

ак(х) £ С1 (О), к = 1,... ,п, аоМеС'Й;

(ж) — — ^^ (ж) > ао > 0 при х £ П;

ао\х> ~ 2

к

а

к=1

Е

1 п

Л*)

к=1

£ + Е < (х)&& >

к,г=1

а1 > 0, £ е йп, X £ О;

п

^^ ак (х)^к < 0 при х £ Г.

к=1

Тогда для любой функции д(х) из пространства ^21(О) уравнение

Ы = д

имеет единственное решение ад(х), принадлежащее пространству ЖК^), и для этого решения выполняются оценки

1И|ь2(0) < тоМЫ^п), (2.1)

УЧ^чп < т1(1о)|д||^21(о), (2.2)

постоянные то = тоо(1о) и т1 = т1(1о) в которых определяются лишь функциями ак(х), к = 1,..., п, ао(х).

Эта теорема и собственно числа то и т1 будут существенно использоваться ниже.

Проведем некоторые формальные построения. Именно, положим в уравнении (1) I = Т. Учитывая условие переопределения (1.4), получим равенство

г(ТЫх)= и*(х,Т) - / (х,Т). (2.3)

Пусть для оператора 1о = 1(Т) выполняются все условия теоремы 1, и пусть выполняется включение /(х,Т) £ Ж^О). Тогда из равенства (2.3) можно определить функцию ^о(х):

до(х) = /о(х)+ ФК(х,Т))

(через /о(х) обозначено решение уравнения 1(Т)д = —/(х, £), через Ф(и4(х, Т)) — решение уравнения 1(Т)д = и4(х,Т)).

Подставив полученную функцию до(х) в уравнение (1.1), получим «нагруженное» [8, 9] уравнение

и — Ли + с(х, = /1(х, ¿) + ¿(¿)Ф(и4(х, Т)) (2.4)

с функцией /1(х,4), равной /(х,£) + ¿(¿)/о(х). Так же, как в [3], перейдем от данного уравнения к продифференцированному по Получим новое уравнение

и« — Ли + с(х, г)щ + е*(х, = /14(х, ¿) + Г(г)Ф(и4(х, Т)), (2.5)

в котором через 1'(4) обозначен дифференциальный оператор первого порядка с коэффициентами, полученными дифференцированием коэффициентов оператора 1 по переменной

Именно с помощью уравнения (2.5) и будет построено искомое решение обратной задачи I.

Положим в уравнении (2.4) 4 = 0. Получим равенство

^(х, 0) = Д(х, 0)+ г(0)ФК(ж,Г)). (2.6)

Рассмотрим задачу: найти функцию и(х, 4) такую, что для нее в цилиндре Q выполняется уравнение (2.5), при х € О выполняются условия (1.2), (2.6), при (х, 4) € Б выполняется условие (1.3).

Приведем три неравенства, которые, как и неравенства (2.1) и (2.2), понадобятся ниже.

Прежде всего заметим, что если функции Л.г(х, 4), г = 1,..., п, Ло(х, 4) принадлежат пространству С1^), то для любой функции ги(х) из пространства ^^(0) будет выполняться неравенство

||г'(гМх)|||2(д) < Мо ¿У (х) Лх + I ад2(х) Лх (2.7)

1=1 о о

с постоянными Мо и М1, определяемыми коэффициентами оператора 1(4) и числом Т.

о

Далее, для функций ад(х), принадлежащих пространству ^2(О), имеет

о

2

место неравенство

J ад2(х) Лх < Л0 ^^ J ад2, (х) Лх, (2.8)

о '=1 о

постоянная ¿о в котором определяется лишь областью О.

Наконец, для функций <^(£), принадлежащих пространству ^2([0,Т]) и таких, что ^(0) = 0, имеет место неравенство

т т

У <И < Т2 у Л. (2.9)

оо

Определим еще числа, которые понадобятся ниже. Именно, положим /го = тах |/г-о(ж, 0)|, /11= тах (тах \}гоХ1(х, 0)|), с\ = тах |с4(ж,

О г=1,...,п 0 * д

Лемма 1. Пусть для функций с(х, 4), /1(х, 4), Л.г(х, 4), г = 1,..., п, Ло(х, 4) выполняются включения

с(1,<)еС2(ё), Л'^^С1©, г = 1,...,п, /г0(М) еС1^), Л(х,г)еь2(<Э), Л(ж,о) е

Далее, пусть для оператора 1о = 1(Т) выполняются все условия теоремы 1, и пусть также выполняются условия

с(ж,£)>с0> 0, Ас(х, £) < О при (х, г) £ <2, (2.Ю)

С1<1П1П(1'^)' (2Л1) 2(1 + ¿о)т2(г(Т))(^о + Мо) + ¿от2(г(Т))(пЛ? + М1) < 1, (2.12)

/гг(ж,0) = 0 прихеТг. (2.13)

Тогда для решений и(х,г) задачи (1.5), (1.2), (1.3), (2.6) таких, что и(х, г) £ ж2д(д), и(х,г) £ Ж^2'1^), и(х,Т) £ Ж^О), и4(х,Т) £ Ж^О), выполняется априорная оценка

|и|^22-1(д) + К^^я) + ||и(х,Т)у^2(п) + КО^)у^2(п) < До, (2.14)

постоянная До в которой определяется лишь функциями с(х, г), /1(х, г), Л.г(х, г), г = 1,..., п, ^о(х, £), областью О и числом Т.

Доказательство. Рассмотрим равенство

— J [и« — Ли + с(х, + е4(х, г) и] Ли ¿х^г Я

= ^ У [/к(х, г) + г'(г)Ф(и(х, Т ))]Ли ¿х^г. Я

С помощью интегрирования по частям это равенство нетрудно преобразовать к виду

1 2 2 2 2

J иХ.4(х,Т) ¿х + J (Ли)2 ¿х^г + ^^ J ¿х^г — у Леи2 ¿х^г

г=1 п я г=1 я я

= — ^^ У и2.¿(ж, 0) ¿ж + У ctuAutdxdt — J 1'{Ь)Ф(щ(х, Т))Ащ ¿хсИ г=1п я Я

— У /иЛи ¿х^. (2.15)

Я

Условие (2.13) означает, что выполняются равенства

д

0) = /^(ж, 0) +/г0(ж, 0)—Ф(и(ж, Т))+/г0;Е1(ж, 0)Ф(и(ж, Т)), 1 = 1,...,п. С помощью этих равенств, неравенства Юнга, неравенств (2.1), (2.2) и (2.8)

нетрудно получить оценку первого слагаемого правой части (2.15):

1 /> 1 ~ ]Г / <,(х, 0) Лх < (2 + $1)Л2£ /

д

—ФК(ж,т))

дх,-

Лх

+ (2 + $1)пЛ? у [Ф(«,(х, Т))]2 Лх + С(¿1)|/1 (х, 0)||^21(о) о

< (2 + ¿1)^ош2(1(Т)Ж(х,Т)||^ (о) + (2 + <*1)пЛ2то(1(Т)Ж(х, Т)||^(о)

+ С(¿1)|/1(х, 0)|^!(о) < (2 + ¿1)[(1 + Ло)^ош2(1(Т))

1

+ пЛо^?тоо(1(Т))]^ / (х,Т) Лх, (2.16)

где ¿1 — произвольное положительное число.

Оценим второе слагаемое правой части (2.15). Используя неравенство Юнга и неравенства (2.8) и (2.9), получим

<

¿2С1

J(Ащ)2 ¿хсИ + J и2 Лх<И

Я

<

2

У (Д^)2 ¿сЛ + У и2^ ¿хдЛ, (2.17)

Я Я

¿2 здесь вновь произвольное положительное число.

Для третьего слагаемого правой части (2.15) выполняется

¿2

Я

< У У (Ди4)2 йжсй Я

+

2 ¿2 |г'(4)Ф(и4(ж,Т))|2 < у / {Ащ)2йх<И

2 ¿2

, Мо у-

3 г= 1 , ¿2'

дх

■ФК(х,Т))

+ ^ 1\Ф(щ(х,Т))}2 ¿х

^ (,Л ,2,, ,и , М0т2(1(Т)) 2

+

2

Я

М!ш§(г(г))

25! '

(о)

¿2

< ^ {Ащ)2<1х<И

+

^М0т2(1(Т))(1 + с!0) , М1Гп2{1{Т))г10\

2 ¿2

+

2 ¿2

! (2-18)

¿3 здесь произвольное положительное число; при получении (2.18) использовались неравенства (2.1), (2.2), (2.7) и (2.8).

2

2

1

2

д

Наконец, последнее слагаемое правой части (2.15) оценим с помощью неравенства Юнга:

< ^ I(Ли)2 ¿хсИ + У /?* г1хг^- (2.19)

J /1t Aut dxdt Q Q

Зафиксируем числа ¿2 и ¿3: ¿2 = ¿3 = 1- Далее, применяя оценки (2.16)-(2.19), используя условия (2.10)-(2.12) и подбирая числа ¿1 и ¿4 малыми, нетрудно получить, что следствием равенства (2.15) будет оценка

/,A„t)2 + ±j <t(x,T)dx < Ko P-»)

Q 1-1 П

с постоянной Ко, определяемой лишь функциями c(x, t), /1(x, t), hl(x, t), г = 1,..., n, ho(x, t), числом T и областью О.

Из оценки (2.20), второго основного неравенства для эллиптических операторов [10, гл. III, § 8] и неравенств (2.8), (2.9) вытекает требуемая оценка (2.14). Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются включения

c(x,t) GC2(Q), hl(x,t) gC\Q), i = l,...,n, h0(x,t)£C1(Q), f(x,t) e l2(Q), ft(x,t) e l2(Q),

о -1 0 1

/(x, 0) e w2(0), /(x,T) e w2(0).

Далее, пусть выполняются условия (2.10)-(2.13), все условия теоремы 1 для оператора lo = l(T) и одно из условий

(а) hl(x, Т) = 0 при х £ О, г = 1,..., щ

(б) h0(x, 0) = 0 при x e Г.

Тогда обратная задача I имеет решение {u(x, t), qo(x)} такое, что u(x,t) e w2!'1(Q), ut(x,t) e W22,1(Q), qo(x) e w^o).

Доказательство. Воспользуемся методом продолжения по параметру. Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

utt - Aut + c(x, t)ut = /1t(x, t) + A[l'(t)^(ut(x, T)) - ct(x, t)u] (2.5A)

и такую, что для нее выполняются условия (1.2), (1.3), а также условие

ut(x, 0) = /1 (x, 0)+ AZ(0^(ut(x,T)), x e О. (2.6a)

При А = 0 данная задача является обычной первой начально-краевой задачей для параболического относительно ut(x, t) уравнения; найдя функцию ut(x,t), нетрудно далее построить собственно функцию u(x, t), при этом функции u(x, t) и ut(x, t) будут принадлежать пространству W2'1(Q).

Поскольку из условий теоремы 2 следует, что выполняются все условия леммы 1, для решений и(ж,4) краевой задачи (2.5а), (1-2), (1.3), (2.6а) будет выполняться априорная оценка (2.14). Заметим также, что при выполнении условий а) или б) теоремы для задачи (2.5а), (1-2), (1-3), (2.6а) при всех Л выполняется необходимое условие согласования и при этом функция /.(ж, 0)+Л1(0)Ф(и4(ж, Т)) равномерно по Л ограничена в пространстве Ж^О)- Следовательно, к семейству задач (2.5а), (1-2), (1-3), (2.6а) применима теорема о методе продолжения по параметру [11, гл- III, § 14]- Согласно этой теореме краевая задача (2-5), (1-2), (1-3), (2-6) имеет решение и(ж, 4) такое, что и(ж, 4) € и4(ж,£) € Ж^'1^)-

Итак, пусть и(ж, 4) — решение краевой задачи (2-5), (1-2), (1-3), (2-6) из указанного выше класса- Определим функцию до (ж) как решение уравнения (2-3)-Очевидно, что эта функция принадлежит Ж^О)- Далее, имеет место равенство

д

— (щ - Аи + с{х,1)и - /(ж,£) - = 0.

Из этого равенства очевидным образом следует, что функции и(ж,4) и до(ж) связаны в цилиндре ^ уравнением (1)-

Положим в уравнении (1) 4 = Т - Получим

- Ди(ж, Т) + с(ж, Т)и(ж, Т) = 0.

Краевое условие (1-3) и положительность функции с(ж,Т) означают, что следствием (2-21) будет равенство

и(ж,Т) = 0.

которое выполняется при ж € О- Другими словами, для решения и(ж, 4) краевой задачи (2-5), (1-2), (1-3), (2-6) выполняется условие переопределения (1-4)-

Все сказанное выше означает, что функции и(ж,4) и до(ж) определяют искомое решение обратной задачи I-Теорема доказана-

3. Разрешимость обратной задачи II

Ввиду повторяемости некоторых выкладок проведем все рассуждения и вычисления в сокращенном виде-

Определим функции Л (ж), Ло(ж):

т т

Лг(ж) = У N (£)Лг(ж,-£) г = 1,...,п, Л0(ж) = У N (4)Л0(ж,4) оо

Далее через I будем обозначать оператор, действие которого на заданной функции ш(ж) определяется равенством

Гш ^^ Л(ж)шх, + Ло(ж)ш.

«г,

г=1

Выполним некоторые формальные преобразования. Именно, умножим уравнение (1) на функцию N(4) и проинтегрируем по отрезку [0,Т]. Получим равенство

т т т

N(Т)и(ж,Т) ^У N'(£)и(ж,-£) ^ N(4)с(ж,-£)щ(ж, £) ^ = J N(4)/(ж,£) + ¿д0. 0 0 0 Введем обозначения:

т

с(ж, 4) = N(г)с(ж, 4) - N'(4), /(ж) = ^ N(4)/(ж, 4)

0

Для заданной функции ад(ж, 4) обозначим через г(ж; ад) функцию

т

.(ж; ад)= N(Т)ад(ж, Т) + ! сОММ^ <й.

0

Пусть для оператора 10 = I выполняются все условия теоремы 1. Рассмотрим уравнение

¿90 = ^(ж; и) - /(ж).

Имеет место равенство

90(ж) = Ф(г(ж; и)) + /0(ж) с функцией Ф(г(ж; и)), представляющей собой решение уравнения

I д = г (ж; и),

и с функцией /з(ж), представляющей собой решение уравнения уравнения

¿9 = -/(ж).

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(ж, 4), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

щ - Ли + с(ж, = /.(ж, 4) + 1(4)Ф(г(ж; и)) (3.1)

(/(ж, 4) = /(ж, 4) + 1 (4)/0(ж)) и такую, что для нее выполняются условия (1.2) и (1.3).

Пусть функции Л.г(ж,£), г = 1,...,п, ^(ж, 4) принадлежат пространству С(<5). Тогда для любой функции ад(ж) из пространства И/21(0) будет выполняться неравенство

/[««)»(х)]2** < * + м.... ,3,,

/ г=х о о

постоянные М0 и М. в котором определяются коэффициентами оператора 1(4), числом Т и областью О.

Пусть

с(х, t) G C(Q), N(t) G C^QO.T]).

О

Тогда для любой функции v(x,t) такой, что v(x,t) £ £2(0, T; W 1(О)), v(x, T) £

О

W 1(О), справедливы оценки

iz 2(x; v) dx -kl ^ /v-dxdt +k2 v-(x'T) dx' (3-3) О 1-1Q 1-1 О

j z"xi (x; v) dx — ¿3 ^^ j v2i dxdt + ¿4 ^^ j (x, T) dx, (3-4) 1=1 о 1=1q 1=10

постоянные k1 —¿4 в которых определяются функциями c(x,t) и N(t), а также областью О.

Лемма 2. Пусть для функций c(x, t), hl(x,t), i = 1,---,n, ho(x, t), N (t), f1(x, t) выполняются включения

c(x,t) gC2(Q), hl(x,t) gC(Q), i = l,...,n,

h0(x,t) GC(Q), N(t)GC\[0,T]), h(x,t) GL2(Q).

Далее, пусть для оператора lo = l выполняются все условия теоремы 1, и пусть также выполняются условия

с(х, t) > с0 > 0, Дс(ж, i) < О при (ж, i) G Q;

2co - { [Mom1(Z) + M1m0(0]k1 + Мош2(Г)кз} > 0,

1 - [Мото1(Г) + M1m0(O]k2 - Mom1(i)k4 > 0-

Тогда для решений u(x,t) задачи (3-1), (1-2), (1-3) таких, что u(x, t) £ W^'1(Q), u(x,T) £ W2(0), выполняется априорная оценка

llu^w22,1(Q) + ||u(x,T )^W21(0) — R1, (3-5)

постоянная R1 в которой определяется лишь функциями c(x, t), h (x, t), i = 1, - - -, n, ho(x, t), N(t), f1(x, t), областью О и числом T. Доказательство. Рассмотрим равенство

- J[ut - Ди + cu] Ди dxdt = - J[f1 + l(t)Ф] Ди dxdt-

QQ Интегрируя по частям, получим

— ^^ J и2. (ж, Т) d,x + J (Au)2 dxdt + ^^ J cu2. dxdt — — J Acu2 1

1-10 q 1-1Q Q

- J f Ди dxdt - у Ди1(^Ф dxdt- (3.6)

QQ

Используя неравенство Юнга, неравенства (3.2)—(3.4) и (2.8), оценим второе слагаемое правой части (3.6):

Ди1(£)Ф ¿ж^

5?

< У У (Ли)2 ¿хсИ +Щ J \1(ф}2 ¿хМ

< — I (Аи)2 йх<И +

25?

Мо Ф^. ¿ж + М^ Ф? ¿ж

<

5?

(Аи)2сгж^ + ^[Мош2(0||г||^21(0) + М1Ш2(01Н|Ь2(о)]

5? Г 1 п л

д 1 1=1 д

1 ~ ~ ~ п г

+ Щ { [М0ш2(Г) + МхТОд(Г)] ¿2 - М0ш2(г>4} I и2х% ЛхЛЬ. (3.7)

г=1

д

Первое слагаемое правой части (3.6) оценим с помощью неравенства Юнга:

/ Ди

< у /(Аи)2 + / /1 г1хг11'

(3.8)

д д д

Зафиксируем 51 = 1. Используя условия леммы и подбирая число 5? малым, получим, что следствием равенства (3.6), неравенств (3.7) и (3.8) будет оценка

J(Ди)? + ^^ J + ^^ J (ж, Т) ¿ж < К

д г=1д г=1о

(3.9)

постоянная К1 в которой определяется лишь функциями с(ж,£), /1, Л.г(ж,£), г = 1,..., п, ^о(ж, £), N(£), числом Т и областью О.

Оценки (3.9) и второе основное неравенство для эллиптических операторов и дают теперь требуемую оценку (3.5).

Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть выполняются включения

с(1,()еС2Й), /гг(ж ,4)еС(0), г = 1,...,п,

/г0(жад е ^([о.т]), /(ж£ ь2(о,т-,\¥Цп)).

Далее, пусть выполняются все условия условия леммы 2 и для оператора 1о = I выполняются все условия теоремы 1. Тогда обратная задача II имеет решение {и(ж,г),до(ж)} такое, что и(ж,£) € Ж?'1^), и(ж, Т) € Ж21(О), до (ж) € Ж21(О).

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу (3.1), (1.2), (1.3). Заметим, что в этой задаче функция /1(ж,4) принадлежит £?(ф). Поскольку выполняются все остальные условия леммы 2, из оценки (3.5) и теоремы о методе

1

2

продолжения по параметру следует, что данная задача имеет решение и(х,г) такое, что и(х,г) £ Ж^'1^), и(х, Т) £ Ж21(0). Определим функцию до(ж):

?о(х) = Ф(г(х; и)) + /о(х).

Очевидно, что до(х) принадлежит пространству Ж21(0) и что и(х,г) и до(х) связаны в цилиндре ^ уравнением (11). Далее, выполнение для и(х,г) условия переопределения (1.5) доказывается аналогично [4, 5]. Следовательно, функции и(х, г) и ^о(х) дадут требуемое решение обратной задачи II.

Теорема доказана.

4. Комментарии и дополнения

1. Краевое условие (1.3) (условие Дирихле) в обратных задачах I и II можно заменить иным условием — например, условием третьей краевой задачи.

2. Аналогичные вышеприведенным результаты можно получить и для параболических уравнений вида

и + (—1)тдти + с(ж, г)и = / (х, г) + 9(х, г)

с неизвестной функцией д(х,г) вида д(х, г) = ¿(г)до(х), целым положительным числом т, естественными для оператора Дт краевыми условиями на 5, начальным условием (1.2) и условиями переопределения (1.4) или (1.5). Более того, всюду оператор Д или Дт можно заменить эллиптическим оператором второго порядка или же порядка 2т. Соответствующее условие разрешимости (иногда весьма громоздкие) нетрудно получить, исходя из методов исследования разрешимости обратных задач I или II.

3. Условия теоремы 1 выполняются, если при х £ О имеет место неравенство ао(х) > а > 0 с достаточно большим положительным числом а. Числовые неравенства лемм 1 и 2 представляют собой некоторые условия малости. Очевидно, что множество исходных данных обратных задач I и II, для которых эти условия выполняются, непусто.

4. Числовые неравенства лемм 1 и 2 можно «пошевелить» — например, за счет иного, нежели вышеприведенный, выбора параметров в неравенстве Юнга, за счет применения к последнему слагаемому неравенства (2.17) оценки

j w2Xi (x) dx — d1 J (Дад)2 dx,

справедливой для функций w(x) из пространства Wf(O) П W 1(О), и т. п.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 2000.

2. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verl., 2009.

3. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694—716.

4. Кожанов А. И. Об одном нелинейном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 6. С. 840-853.

5. Kozhanov A. I., Safiullova R. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2010. V. 18, N 1. P. 1-18.

6. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. М.: МГУ, 2010.

7. Кожанов А. И. Краевая задача с интегродифференциальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, № 2. С. 42-50.

8. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012.

9. Дженалиев Н. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теорет. и прикл. математики, 1995.

10. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

11. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

Статья поступила 15 июня 2016 г. Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 [email protected]

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

UDC 517.946

INVERSE PROBLEMS OF RECOVERING THE RIGHT-HAND SIDE OF A SPECIAL TYPE OF PARABOLIC EQUATIONS A. I. Kozhanov

Abstract. We study the solvability of new inverse problems of finding a solution of some parabolic equation along with the unknown external source (the right-hand side) of a special type. The existence and uniqueness theorems for regular solutions are proved. The considered problems can be treated as generalizations known in the theory of parabolic equations inverse problems with final and integral overdetermination. Keywords: parabolic equation, linear inverse problem, final or integral overdetermination, unknown coefficient of a special type, existence, uniqueness.

REFERENCES

1. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, New York, Marcel Dekker (2000).

2. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations, Berlin, Springer-Verl. (2009).

3. Kozhanov A. I. "Nonlinear loaded equations and inverse problems," Comput. Math. Math. Phys., 44, No.4, 657-678 (2004).

4. Kozhanov A. I. "A nonlinear loaded parabolic equation and a related inverse problem," Math. Notes, 76, No. 6, 784-795 (2004).

5. Kozhanov A. I. and Sa&ullova R. R. "Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations," J. Inverse Ill-Posed Probl., 18, No. 1, 1-18 (2010).

6. Oleynik O. A. and Radkevich E. V., Equations with Nonnegative Characteristic Form [in Russian], MGU, Moscow (2010).

7. Kozhanov A. I. "Boundary value problem with the integrodifferential boundary value condition for linear parabolic equations," Mat. Zamet. YAGU, 16, No. 2, 42-50 (2009).

8. Nakhushev A. M., Loaded Equations and their Applications [in Russian], Nauka, Moscow (2012).

9. Dzhenaliev N. T., On the Theory of Linear Boundary Value Problems for Loaded Differential Equations [in Russian], Inst. Teor. Prikl. Mat., Almaty (1995).

10. Ladyzhenskaya O. A. and Ural'tseva N. N., Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type [in Russian], Nauka, Moscow (1973).

11. Trenogin V. A., Functional Analysis [in Russian], Nauka, Moscow (1980).

Submitted June 15, 2016

Akeksandr Ivanovich Kozhanov Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia; Novosibirsk State University, 2 Pirogov Street, 2, Novosibirsk 630090, Russia [email protected]

© 2016 A. I. Kozhanov