Линейные обратные задачи пространственного типа для квазипараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

УДК 517.54

ЛИНЕЙНЫЕ обратные задачи ПРОСТРАНСТВЕННОГО ТИПА ДЛЯ КВАЗИПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Е. В. Акимова, А. И. Кожанов

Аннотация. Исследована разрешимость обратных задач нахождения вместе с решением u(x,t) также коэффициента q(x) в уравнении

(-1)m+1

d2m+1u

dt2m+1

+ Au + pu

f (x, t) + q(x)h(x, t)

(x € £2, где £2 — ограниченная область пространства Rn переменных xi,... ,xn, t € (0,T), 0 < T < +ro, f(x,t) и h(x,t) — заданные функции, p — заданное действительное число, m — заданное натуральное число, A — оператор Лапласа, действующий по пространственным переменным). В качестве дополнительного условия (необходимость которого обусловлена наличием дополнительной неизвестной функции q(x)) в работе используется условие граничного (при t = 0 или t = т) переопределения. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение).

DOI: 10.25587/SVFU.2018.99.16947

Ключевые слова: линейные обратные задачи, квазипараболические уравнения, граничное условие переопределения, регулярные решения, существование, единственность.

Введение

В работе изучается разрешимость краевых задач для уравнений

(_ 1)m+1

d2rn+1u

9t2m+1

+ Au + ^u = F(x, t)

W

в ситуации, когда правая часть F(x, t) является неизвестной — более точно, функция F(x,t) имеет вид

F(x, t) = f (x, t) + q(x)h(x, t)

с известными функциями f (x, t), h(x,t) и неизвестным множителем q(x).

Уравнение (*) при m = 0 является обычным параболическим уравнением второго порядка; различные краевые задачи для него, в том числе и в случае

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(код проекта 18—51—41009).

© 2018 Акимова Е. В., Кожанов А. И.

неизвестной правой части указанного выше вида, достаточно хорошо изучены (см. [1-7]). Если m > 1, то для уравнений (*) (именно при m > 1 уравнения (*) авторы и называют «квазипараболическими») краевые задачи в случае известной функции F(x, t) также достаточно хорошо изучены (см. [8-12]); если же функция F(x,t) неизвестна и имеет указанный вид, то, наоборот, краевые задачи для уравнения (*) представляются неизвестными. Частично восполнить указанный пробел и предполагается в настоящей работе.

Итак, будем изучать разрешимость краевых задач для уравнений (*) в случае m > 1с неизвестной функцией F(x, t) указанного выше вида. Подобные задачи в литературе называют обратными [4-7].

В обратных задачах для дифференциальных уравнений с частными производными наличие того или иного неизвестного коэффициента влечет, как правило, необходимость задания некоторых дополнительных условий — условий переопределения. В настоящей работе используется условие граничного (при t = 0 или при t = T) переопределения.

Одним из методов исследования разрешимости обратных задач является метод, основанный на переходе от исходной обратной задачи к новой уже прямой задаче (т. е. задаче с известными коэффициентами), но для уравнения составного типа (см. [12,13]). Именно такой метод будет использоваться в настоящей работе.

Изучаемые в работе задачи имеют модельный вид. Возможные усиления и обобщения полученных ниже результатов описаны в конце статьи.

1. Постановка задач

Пусть О — ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, T — фиксированное положительное число, Q — цилиндр {(x, t) : x £ О, 0 < t < T}, S = Г x (0,T) — боковая граница Q. Далее, пусть f (x, t) и h(x, t) — заданные функции, определенные при (ж, t) £ Q, ц — заданное действительное число, А — оператор Лапласа, действующий по пространственным переменным.

Обратная задача I. Найти функции u(x, t) и q(x), связанные в цилиндре Q уравнением

uttt + Au + ци = f (x, t) + q(x)h(x, t), (1)

при выполнении для функции u(x,t) условий

u(x,t)|s = 0; (2)

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, x £ О; (3)

u(x,T) = ut(x,T) = 0, x £ О. (4)

Обратная задача II. Найти функции u(x, t) и q(x), связанные в цилиндре Q уравнением (1), при выполнении для функции u(x, t) условий (2) и (3), а также условий

Обратные задачи I и II соответствуют уравнениям (*) при m =1; случай m > 1 будет представлен в конце статьи.

В изучаемых обратных задачах условия (2), (3), одно из условий (4) и первое условие (5) можно трактовать как условия прямой задачи (т. е. задачи с известной правой частью), соответственно оставшееся условие (4) и второе условие (5) будут представлять собой условия переопределения.

2. Разрешимость обратной задачи I

Пусть выполняется условие

h(x,t) £ C3(Q), h(x,t) > 0 при (x,t)£Q. (6)

Положим

hi(x, t)

ht{x,t) . . ft{x, t)h(x, t) - /(x, t)ht(x, t)

h(x, t) ’ 1 ’ h(x, t)

Рассмотрим задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

д_

dt

+ hi (x, t)

(иш + Au + pu) = f i(x, t)

(7)

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4). В этой задаче уравнение (7) представляет собой уравнение составного [12,14] типа. Покажем, что данная задача разрешима в пространстве функций, имеющих все обобщенные производные, входящие в уравнение.

Определим искомое пространство:

Vo

v(x, t)

dkv(x, t) dtk

£ l2(q), k

Зададим в V0 норму:

0,4, v(x, t) £ L2{ 0, T; Wf(ft) П W 1(0)), Vt(x,t) £ L2(0,T; W|(0) n W 2(0))}.

IMk

4

E

,k=0

dkv

dtk

2

L2(Q)

+ l|v|

2

L2(0,T ;Wf(0)nW 2(°))

+ INI

2

L2 (0,T ;W|(0) nw 2(П))

1

2

Очевидно, что Vo с этой нормой будет банаховым пространством.

Покажем, используя метод регуляризации и метод продолжения по параметру, что краевая задача (7), (2)—(4) разрешима в пространстве V0.

Пусть е — положительное число. Рассмотрим задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

еА2Щш +

д_

m

+ hi (x, t)

(uttt + A u + pu)

fi(x,t)

(7e)

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4), а также условие

Определим пространство

Vi

v(x, t) : v(x, t) G Vo,

<9t4

Av(x, t) G L2(Q)

Определим норму в V1:

HvHvx

I Vo

+

2

v

d4Av(x, t)

dt4

2

L2(Q)

1

2

Пространство V1 с этой нормой также банахово.

Покажем, используя метод продолжения по параметру, что при фиксированном е краевая задача (7е), (2)—(4), (8) имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V1.

Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

eAutttt + utttt + Л[Аи^ + Mut + h1(x, t)(uttt + Au + Mu)] — f1(x t) (7e,A)

и такую, что для нее выполняются условия (2)—(4) и (8). Согласно теореме о методе продолжения по параметру [15, гл. III, § 14], краевая задача (7е,л), (2)— (4), (8) при фиксированном е и при всех Л из отрезка [0,1] будет иметь решение u(x,t), принадлежащее пространству V1, если выполняются условия

1) краевая задача (7e,o), (2)—(4), (8) при принадлежности функции /1(x,t) пространству L2(Q) имеет решение, принадлежащее пространству V1;

2) для всевозможных решений u(x, t) краевой задачи (7е,л), (2)—(4), (8) из V1 имеет место априорная оценка

IMIv. < N0|/1|L2(Q) (9)

с постоянной No, определяющейся лишь функцией h1(x,t), числами ц, T и е, а также областью О.

Выполнение условия 1 очевидно. Покажем, что при выполнении некоторых ограничений на функцию h(x, t) и на число ц условие 2 также будет выполняться.

Утверждение 1. Пусть функция h(x,t) и число ц таковы, что выполняются условие (6) и условия

h1(x,t) < 0, h1t(x,t) > 0, Ah1(x,t) > 0, h\t(x,t) <K0\hi(x,t)\ при (ж, t) G Q; ^ ^

Ц < 0, 2|ц| — Ko > 0. (11)

Тогда для решения u(x, t) краевой задачи (7е,л), (2)—(4), (8) выполняются оценки

u2t dxdt + Л

i=1;

|h1|u^. dxdt + е / (Autt)2 dxdt < C1 / / dxdt,

(12)

> V л IV л л

53 / uXitt dxdt + ^^3 / (AuXitt)2 dxdt < C2 f2 dxdt,

i=1 Q ' i=1 Q Q

j(Autt)2 dxdt + e j(A2utt)2 dxdt < C3 j f2 dxdt,

(13)

(14)

I (Autttt)2 dxdt + e (A2utttt)2 dxdt < C4 f dxdt

Q

Q

Q

(15)

при этом постоянная C1 определяется лишь числом T, постоянные C2, C3 и C4 определяются областью функцией h(x, t) и числами T и е.

Доказательство. Рассмотрим равенство

J {eAutttt + utttt + A[Aut + цщ + h1(uttt + Au + ^u)]}udxdt = J f1udxdt. (16)

QQ

Выполнив интегрирование по частям, нетрудно данное равенство преобразовать к виду

J u2td,xdt + e J(Autt)2 dxdt + — J h\tu2 dxdt — A 53 J hiu2.d,xdt Q Q Q i=1 Q

+ — J Ah\u2 dxdt + A/i J h\u2 dxdt = A J hiuttudxdt + J fiudxdt.

i2 dxdt + Ац J h1u2

Q Q Q Q

Правую часть полученного равенства нетрудно оценить сверху:

1

Aj h1tuttu dxdt + J f1udxdt

QQ

AKo

< — dxdt

2

Q

+

■ j \hi Iu2 dxdt + — j u2 dxdt + j f2 dxdt; Q Q Q

2

здесь S — произвольное положительное число. Учитывая условия (10) и (11), используя неравенства

/ u2 dxdt < T2 j u2 dxdt < T4 u^t dxdt

Q

Q

Q

(18)

и подбирая число S малым, нетрудно получить первую требуемую оценку — оценку (12).

Рассмотрим равенство

/ {e A2utttt+utttt+A [Aut + цut+h1(uttt+Au+цп)]} Au dxdt

f1Audxdt. (19)

Q

Q

С помощью интегрирования по частям его нетрудно преобразовать к виду

П Л П Л Л

У^ I u2x.tt dxdt + I (Auxitt)2 dxdt + А I |hi|(Au)2 dxdt

i=1 Q i=1 Q Q

А n ^ П

+ — УУ hitu2Xit dxdt = —А УУ h\u2. dxdt

+ — Ahiu2 dxdt = — A hitUu Au dxdt

+ А У h1tuttAu dxdt + А h1xi UttUXit dxdt

Q i=1 Q

+ Ад У h1uAudxdt — j f1udxdt. (20)

QQ

Оценивая каждое слагаемое правой части равенства (20) с помощью неравенства Юнга, применяя условия (10) и (11), используя неравенство

/ (Au)2 dxdt < с0^ / (Auxi )2 dxdt ■L i=1 ■L

(число со определяется лишь областью О), а также неравенства (18), нетрудно получить вторую требуемую оценку — оценку (13).

На следующем шаге рассмотрим равенство

У {£A2utttt + utttt + A[Aut + дщ + h1(uttt + Au + дu)]}A2udxdt = j f1A2udxdt.

QQ

(21)

Оно преобразуется к виду

У (Autt)2 dxdt + £ J (A2utt)2 dxdt + А^^ j |h1|(AuXi)2 dxdt

i= 1 '

+ ^ У Ahi(Au)2 dxdt + ^ У hit(Aut)2 dxdt + Хд j hi(Au)2 dxdt

Q Q Q

= 2A УУ У h1xiuXittAut dxdt + ^У Ah1uttAut dxdt i=1 Q Q

+ ^У h1tAuttAu dxdt + А УУ j h1xituXittAudxdt

Q i=1 Q

+ ^y Ah1tuttAu dxdt — 2Ад^^ j h1xi uxi Au dxdt

AhiuAu dxdt +

fiA2u dxdt.

Неравенство Юнга, условия (10) и (11), оценки (12) и (13), неравенства (18), а также вытекающая из равенства (20) оценка

A J |hi|(Au)2 dxdt < C J fl dxdt Q Q

позволяют вывести из равенства (22) третью требуемую оценку — оценку (14). Последняя требуемая оценка (15) легко выводится с помощью равенства

J {eA2utttt + utttt + A[Aut + цщ + hi (uttt + Au + yw)]}A2utttt dxdt Q

J' fiA utttt dxdt,

Q

с использованием интегрирования по частям, неравенства Юнга, оценок (12)— (14), а также неравенства

J vttt dxdt < So J v‘2ttt dxdt + C(S0) J v^t dxdt, (22)

Q Q Q

в котором So — произвольное положительное число, число C(So) определяется также числом T (см. [16]).

Утверждение полностью доказано.

Утверждение 2. При выполнении условий (6), (10) и (11) для решений u(x,t) краевой задачи (7е,л), (2)—(4), (8), принадлежащих пространству Vi, выполняется оценка (9).

Доказательство очевидно.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (6), (10) и (11). Тогда при фиксированном е и при принадлежности функции fi(x, t) пространству L2(Q) краевая задача (7е,\), (2)-(4), (8) разрешима в пространстве Vi для любого A из отрезка [0,1].

Доказательство. При выполнении условий (6), (10), (11) для краевой задачи (7е,л), (2)—(4), (8) будут выполняться условия 1 и 2. Как отмечено выше, из теоремы о методе продолжения по параметру [15, гл. III, § 14] следует разрешимость краевой задачи (7е,л), (2)—(4), (8) при фиксированном е и при принадлежности функции fi(x,t) пространству L2(Q). Теорема доказана.

Для осуществления предельного перехода по параметру е и тем самым для доказательства разрешимости краевой задачи (7), (2)—(4) в пространстве V0 необходимо показать, что для решений краевой задачи (7е,л), (2)—(4), (8) имеют место априорные оценки, равномерные по е.

Утверждение 3. Пусть выполняются условия (6), (10) и (11), и пусть функция f1(x,t) принадлежит пространству L2(0,T; W^O) П W ^О)). Тогда для решений u(x, t) краевой задачи (7ед), (2)—(4), (8) имеет место оценка

dxdt

Q L

utt + uXitt + (Autt) + utttt

i= 1

+ £ j(Autttt)2 dxdt + e2 j(A2utttt)2 dxdt

Q

< C5

Q

fi +£ fixi + (Afi)

i= 1

dxdt (23)

с постоянной C5, определяющейся лишь функцией h1(x,t), областью О и числами ц и T.

Доказательство. В равенствах (16), (19) и (21) положим А =1. Повторяя доказательство оценок (12), (13) и (14), но дополнительно интегрируя по частям в интегралах с функцией f1(x,t) и лишь затем применяя неравенство Юнга, получим, что для решений u(x,t) краевой задачи (7ед), (2)-(4), (8) выполняется оценка

j u) dxdt + j uXitt dxdt + j(Autt)2 dxdt + e J(Autttt)2 dxdt

+ J(A2utttt)2 dxdt < M1 J

n

.ft + £ fix, + (Af1)2

i= 1

dxdt (24)

QQ с постоянной M1, определяющейся лишь функцией h1(x, t), областью О и числами T и ц.

Рассмотрим равенство

+ Щш + Ьщ + + h1 (u« + Au + ^>(utttt dxdt = j f1utttt dxdt.

QQ Интегрируя по частям, нетрудно данное равенство преобразовать к виду

j u^ttt dxdt + e J (Autttt)2 dxdt = j f1utttt dxdt Q Q Q

- J(Aut + цut + h1 Au + цhlu)utttt dxdt - J h1utttutttt dxdt. (25)

QQ Применяя неравенство Юнга и дополнительно для оценки последнего слагаемого правой части (25) неравенство (22), используя оценку (24), придем к следующей оценке:

J u‘2ttt dxdt + e J (Autttt)2 dxdt < M2 J

f1 + £ йх, + (Af1)

i= 1

dxdt (26)

2

2

постоянная М2 в которой определяется функцией h1(x, t), областью О и числами T и ц.

Равенство

£

{eA2utttt + utttt + Ant + цщ + hi(uttt + Au + ^u)}A2utttt dxdt

Q

£ I fiA utttt dxdt

Q

вместе с оценками (24) и (26) дает еще одну оценку

£

2

(A2utttt)2 dxdt < M3 I

Q

Q

fi + fix + (Afi)2

i=i

dxdt,

(27)

постоянная M3 в которой определяется функцией h1(x, t), областью О и числами T и ц.

Из оценок (24), (26) и (27) следует требуемая оценка (23).

Утверждение доказано.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (6), (10) и (11). Тогда для любой функции fi(x,t) из пространства L2(0,T; W2(O) П W 2(О)) краевая задача (7), (2)—(4) имеет решение, принадлежащее пространству Vq.

Доказательство. Пусть {£m}m=1 — последовательность положительных чисел такая, что £m ^ 0 при m ^ ж. Обозначим через um(x, t) решение краевой задачи (7Em), (2)—(4), (8). Для семейства функций {um(x,t)}“=1 имеет место оценка (23). Эта оценка, свойство рефлексивности гильбертова пространства, а также свойство плотности в пространстве L2(Q) множества финитных бесконечно дифференцируемых в Q функций [17, гл. I, § 1] означают, что существуют последовательности {mj}((=1 натуральных чисел и функций u(x,t), принадлежащая пространству VQ, такие, что при k ^ ж имеют место сходимости

umk (x, t) ^ u(x,t) слабо в Vq,

£mk A umktttt(x, t) ^ 0 слабо в L2(Q).

Очевидно, что u(x,t) и будет искомым решением краевой задачи (7), (2)—(4). Теорема доказана.

Покажем, что из разрешимости краевой задачи (7), (2)—(4) следует разрешимость обратной задачи I.

Теорема 3. Пусть функция h(x,t) такова, что для нее и для функции h1(x, t) выполняются условия (6), (10) и (11). Тогда для любой функции f (x, t) такой, что f (x, t) G L2 (0, T; W22(O) П W 2(O)), ft(x,t) G L2(0,T; W22(O) П W 2(O))

обратная задача I имеет решение {u(x, t), q(x)} такое, что u(x,t) G Vo, q(x) G Ь2(П).

Доказательство. Из условий теоремы следует, что для функций hi(x, t) и fi(x,t) выполняются все условия теоремы 2. Следовательно, краевая задача (7), (2)—(4) имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V0. Положим

Ч{х) = Q^luttt(x, 0) - /(ж, 0)].

Уравнение (7) можно записать в виде

д_

dt

1

h

(uttt + Au + ца - f)

0.

Отсюда

\{иш + A u + /ш) = {[X,t} + q{x). h h(x,t)

Последнее равенство означает, что функции u(x,t) и q(x) связаны в цилиндре Q уравнением (1).

Принадлежность функций u(x, t) и q(x) требуемым классам очевидна. Следовательно, они определяют искомое решение обратной задачи I.

Теорема доказана.

3. Разрешимость обратной задачи II

Техника исследования разрешимости обратной задачи II вполне соответствует технике исследования разрешимости обратной задачи I.

Пусть для функции h(x,t) выполняется условие (6). Рассмотрим уравнение (7) и соответствующую краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (7) и такую, что для нее выполняются условия (2), (3) и (5).

Краевая задача (7), (2), (3), (5) с точностью до младших членов соответствует одной из задач, рассмотренных в [18], и потому в настоящей работе приведем теорему о ее разрешимости в упрощенной ситуации — именно в ситуации h = h(t).

Теорема 4. Пусть функция h зависит только от переменной t, и пусть для нее выполняется условие (6). Далее, пусть выполняются условия

Ц < 0; (28)

hi(t) > 0 при t G [0,T], hi(T) = 0; (29)

существует число To такое, что To > T, | + (То — t)hi(t) > 0,

((To - t)hi(t))' < 0, 2|ц| ((To - t) - (To - t)hi(t))" > 0 при t G [0,T]. (30)

Тогда для любой функции fi(x,t) из пространства L2(Q) краевая задача (7), (2), (3), (5) имеет решение, принадлежащее пространству V0.

Доказательство. Покажем прежде всего, что при выполнении условий теоремы для произвольного решения u(x,t) краевой задачи (7), (2), (3), (5) выполняется априорная оценка

llullvo < R0IIf i1|L2(Q) (31)

с постоянной Ro, определяющейся лишь функцией h(t), областью О и числами ц и T.

Рассмотрим равенство

/ [utttt + Aut + цщ + hi(uttt + Au + ци)] (To - t)(Aut - ut) dxdt

Q

= fi(To - t)(Aut - ut) dxdt.

Q

Интегрируя по частям, используя условия (28)—(30), а также применяя неравенство Юнга, получим, что следствием данного равенства будет оценка

utt + (Autt)2 +

Q

dxdt < R1 f1 dxdt,

2

Xitt

(32)

в которой число R1 определяется лишь функцией h(t) и числом T. На следующем шаге рассмотрим равенство

/ [utttt + Aut + цut + hi(uttt + Au + ^u)] utttt dxdt

f1 utttt dxdt.

Q

Q

Из этого равенства с помощью неравенства Юнга и неравенств (22), (32) нетрудно вывести оценку

/u2ttt dxdt < R2Jf2 dxdt (33)

QQ

с постоянной R2, определяющейся лишь функцией h(t) и числами ц, T.

Из оценок (32) и (33) очевидным образом вытекает требуемая оценка (31). Оценка (31) и теорема о методе продолжения по параметру, примененная к семейству краевых задач с условиями (2), (3) и (5) для уравнения

utttt + Aut + цut + Ahi[uttt + Au + цu] = fi(x,t), (7д)

и дают искомую разрешимость краевой задачи (7), (2), (3), (5) в пространстве V0 (уточним лишь, что разрешимость задачи (70), (2), (3), (5) в пространстве V0 доказана в работе [18] и что для решений краевой задачи (7д), (2), (3), (5) имеют место оценки (32) и (33)).

Теорема доказана.

Теорема 4 дает разрешимость обратной задачи II.

Теорема 5. Пусть функция h зависит только от переменной t, и пусть выполняются условия (6), (28)—(30). Тогда для любой функции f (x,t) такой, что f (x,t) £ L2(Q), ft(x,t) £ L2(Q), обратная задача II имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t) £ Vo, q(x) £ L2(A).

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 3.

4. Замечания и дополнения

1. В настоящей работе изучены обратные задачи I и II для уравнений (*) в случае m = 1. Если же выполняется m > 1, то аналогичные задачам I и II обратные задачи легко изучаются представленными выше методами.

2. В уравнениях (*) ив уравнении (1) оператор Лапласа вполне можно заменить более общим оператором — например, эллиптическим оператором

n д

Au=Yj

i,j=1 Ъ

Далее, число ц вполне можно заменить функцией p(x, t); соответствующие условия разрешимости обратных задач I и II легко находятся.

3. Зависимость функции h от переменных x1,... ,xn в обратной задаче II также не приводит к каким-либо проблемам; соответствующие условия (именно условия на производные h1xi (x, t), i = 1,... ,n) легко найти.

4. Теоремы о разрешимости краевых задач (7е), (2)-(4), (8); (7), (2)-(4); (7), (2), (3), (5) (т. е. краевых задач для соответствующих уравнений составного типа) имеют, на взгляд авторов, и самостоятельное значение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fridman A. Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Holl: INC. 1964.

2. Bers L., John F., Schechter M. Partial differential equations. New York; London; Sydney: Interscience Publ. 1964.

3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

4. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сб. 1992. Т. 183. С. 473—490.

5. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York; Basel: Marcel Dekker Inc. 2000.

6. Isakov V. Inverse priblems for equations of parabolic type. Berlin: Springer-Verl., 2006.

7. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское книжное издательство. 2009.

8. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для эллиптико-параболических уравнений // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1969. Т. 4, № 3. С. 192—214.

9. Дубинский Ю. А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Мат. сб. 1973. Т. 90, № 1. С. 3—22.

10. Пятков С. Г. О разрешимости некоторых классов уравнений смешанно—составного типа третьего порядка. Препринт / Академия наук СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. Новосибирск, 1980.

11. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

12. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht, the Netherlands: VSP. 1999.

13. Kozhanov A. I. Questions of posing and solvability of linear inverse problems for elliptic equations // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 1997. V. 5, N 4. P. 337-352.

14. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1979.

15. Треногим В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

16. Бесов О. А., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

17. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1974.

18. Кожанов А. И., Пинигина Н. Р. Краевые задачи для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. Мат. заметки. 2017. Т. 101, № 3. С. 403-412.

Статья поступила 14 мая 2018 г.

Акимова Екатерина Викторовна Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 ek.v.akimova@gmail•com Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 kozhanov@math.nsc.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

UDC 517.54

LINEAR INVERSE PROBLEMS OF SPATIAL TYPE FOR QUASIPARABOLIC EQUATIONS E. V. Akimova and A. I. Kozhanov

Abstract: We study solvability of the inverse problems for finding both the solution u(x,t) and the coefficient q(x) in the equation

d2m+iu

(~l)m+1 dt2m+l +Ац + МЦ = f{x,t)+q{x)h{x,t),

where x = (xi,...,xn) € fi, fi is a bounded domain in t € (0,T), 0 < T < +ro, f (x,t) and h(x,t) are given functions, p is a given real, m is a given natural, and A is the Laplace operator acting in spatial variables. As an additional condition (which is necessary due to presence of the additional unknown function q(x)), the boundary overdetermination condition is used in the article (with t = 0 or t = T).

For the problems under study, the existence and uniqueness theorems for regular solutions are proved (all derivatives are the Sobolev generalized derivatives).

DOI: 10.25587/SVFU.2018.99.16947

Keywords: linear inverse problem, quasiparabolic equations, boundary overdetermination condition, regular solutions, existence, uniqueness.

REFERENCES

1. Fridman A., Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice Hall, (1964).

2. Bers L., John F., and Schechter M., Partial Differential Equations, Interscience Publ., New

York, London, Sydney (1964).

3. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1968).

4. Kostin A. B. and Prilepko A. I., “On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation,” Russ. Acad. Sci., Sb. Math., 75, No. 2, 473—490 (1993).

5. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker Inc., New York, Basel (2000).

6. Isakov V., Inverse Problems for Equations of Parabolic Type, Springer, Berlin (2006).

7. Kabanikhin S. I., Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications, Walter de Gruy-ter, Berlin, Boston (2012).

8. Dubinskii Yu. A., “Boundary problems for ellyptic-parabolic equations [in Russian],” Izv. AN Armyan. SSR. Mat., 4, No. 3, 192-214 (1969).

9. Dubinskii Yu. A., “On some differential-operator equations of arbitrary order,” Math. USSR, Sb., 19, No. 1, 1-21 (1973).

10. Pyatkov S. G., “Solvability of some classes third order equations of mixed-composite type [in Russian],” Preprint, Akad. Nauk SSSR, Sib. Otd., Inst. Mat., Novosibirsk (1980).

11. Egorov I. E. and Fedorov V. E., Nonclassical Higher Order Equations of Mathematical Physics, Vychisl. Tsentr SO RAN, Novosibirsk (1995).

12. Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).

13. Kozhanov A. I., “Questions of posing and solvability of linear inverse problems for elliptic

equations,” J. Inverse Ill-Posed Probl., 5, No. 4, 337-352 (1997).

© 2018 E. V. Akimova and A. I. Kozhanov

14. Dzhuraev T. D., Boundary Problems for Equations of Mixed and Mixed-Composite Type, Fan, Tashkent (1979).

15. Trenogin V. A., Functional Analysis, Nauka, Moscow (1980).

16. Besov O. V., Il’in V. P., and Nikolskii S. M., Integral Representations of Functions and Embedding Theorems, John Wiley and Sons, New York (1978).

17. Vladimirov V. S., Equations of Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York (1971).

18. Kozhanov A. I. and Pinigina N. R., “Boundary value problems for some higher-order nonclassical differential equations,” Math. Notes, 101, No. 3-4, 467-474 (2017).

Submitted May 14, 2018

Ekaterina V. Akimova Novosibirsk State University,

Pirogova Street, 1, Novosibirsk 630090, Russia ek.v. akimova@gmail • com

Aleksandr I. Kozhanov Sobolev Institute of Mathematics,

4 Akad. Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia kozhanov@math.nsc.ru