Обратная задача о восстановлении старшего коэффициента в двумерном уравнении теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О ВОССТАНОВЛЕНИИ СТАРШЕГО КОЭФФИЦИЕНТА В ДВУМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Б. Н. Цыбиков

Аннотация. Рассматривается обратная задача восстановления старшего коэффициента, не зависящего от одной из пространственных переменных у, в двумерном уравнении теплопроводности. В качестве условий переопределения рассматриваются значения решения на сечении области плоскостью у = 0. Решение ищется в классе функций, Фурье-образ которых по переменной у имеет компактный носитель по двойственной переменной. Получены условия существования и единственности решений в данном классе.

Ключевые слова: обратная задача, условие переопределения, параболическое уравнение второго порядка, начально-краевая задача.

Введение

В области

д = м х пт = {(у, ж, г) | -то < у < то, 0 < ж < г, 0 < г < т}

рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности

Щ = ихх + &(ж,г)иуу, &(ж,г) > 0, (1)

с неизвестным коэффициентом Зададим начальное условие

Щ-к=о = ^(у, ж), —то < у < то, 0 < ж < I, (2)

краевые условия

щ|х=о = м(у,г), щ|ж=г = Ку,г), —то <у< то, 0 < г < т, (3)

и условие переопределения

щ|у=0 = щ0(ж,г), 0 < ж < г, 0 < г < т. (4)

Задачи подобного типа возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов и во многих других областях. Большое количество обратных коэффициентных задач с условиями переопределения вида (4) было

Работа поддержана РФФИ и правительством Ханты-Мансийского автономного округа (грант 15—41—00063, р_урал_а).

© 2017 Цыбиков Б. Н.

рассмотрено в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и ряда других авторов (см. библиографию в [1]). В случае, когда неизвестные коэффициенты зависят только от Ь, как линейные, так и нелинейные задачи рассматривались М. Иванчовым и др. (библиография может быть найдена в [2]). Среди монографий, посвященных обратным задачам для параболических и эллиптических уравнений и систем, отметим [3-5], а среди последних работ [6—11]. В частности, в работе [8] рассмотрен вопрос о разрешимости вышеприведенной обратной задачи для параболических уравнений в классах Гельдера, а в работе [9] — в классах Соболева. Цель настоящей работы рассмотреть вопросы корректности обратной задачи (1)—(4) в некоторых специальных функциональных пространствах со смешанной нормой. Преобразование Фурье от решения по переменной у имеет компактный носитель по двойственной переменной.

1. Разрешимость прямой задачи

Постановка прямой задачи. В области ( рассмотрим начально-краевую задачу (1)—(3).

Введем обозначения:

сю

;(Л,х,Ь) = й(А,ж,£)= У и(у,х,Ь)е-гХу ¿у

— преобразование Фурье по переменной у, Ко — радиус носителя функции „ по переменной Л,

II ' II = II ' Нс(Пт)' Ш ' Ш = II ' 11с([-Яо,Яо]хПт)'

1 (з=-гг + 2 п1)2 (х + £ + 2п1)2

Р(х,*,£,т)= ]Р (в -е )

Vп(Ь - т) п=-с

— функция Грина начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности и = ихх с краевыми условиями Дирихле (см. [12]),

I

"°<А-х-(> = / (х',; {'°> «

о

t t + У />(Л ,т(х,Ь;0, т) ¿т - I >>(Л,т(хI,т) ¿т. оо

Определение. Решением прямой задачи (1)—(3) назовем функцию и(у, х, Ь) из класса

иуу{у,х,г) € Ь2{(Э), и{у, х, I) е Ь2{-оо,оо^11{Пт)Г\С2+а>1+!*(§т))

ПЬ00(-оо,оо;Т^22'1(От)ПС2+а'1+^(дт)), 0 < а < 1; (5)

и(у, х, £), иу(у, х, £) € С((—оо;оо) х

й(А, ж, г) = 0, |Л| > До, 0 < X < I, 0 < г < т,

удовлетворяющую уравнению (1), начальному условию (2) и граничным условиям (3).

Существование и единственность решения прямой задачи.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) £(А,ж),Д(А,г),г>(А,г) = 0 при |А| > До,

ЛбЖло](||^1+*[0,«] + "^"^(О,Т)) К0НеЧНЫ-

3) е ^(-то,то;с2+а[0,г] п ^21(0,г)), е ^(-то,то;

[0,Т]ПИ^(0,Т)).

Тогда для любой вещественной функции &(ж, г) > 0 такой, что

тх,т<- 1

Д02

//^ (ж, г; £,т) ^т оо

задача (1)—(3) однозначно разрешима в классе

иуу(у,х,Ь) € ¿2(<Э), и{у,х,г) € Ь2(-то,то;Т^22'1(От)ПС2+а'1+^(От))

П Ьоо(-сх5, то; Т^22Д(От) П С2+а'1+§ (От)), 0 < а < 1; х, £), ж, £) (Е С((—то; то) х От), причем й(А, ж, г) = 0 при |А| > До, 0 < ж < I, 0 < г < Т. Доказательство. В области рассмотрим задачу

V« = «хх - А2&(ж,г)„, (6)

V |*=о = £(А,ж), (7)

«|х=о = />(А, г), „|х=г = >>(А,г). (8)

Прямая задача (1)—(3) эквивалентна задаче (6)—(8) в классе функций (5), а последняя, в свою очередь, эквивалентна следующему интегральному уравнению (см. [10]):

I г

„(^.0 = / о,« +/ , *

оо

г г I

2

>(А,т)^е (ж, г; г,т) ¿т - А2 J У&(£,т)„(А,£,т).Р(ж,г; £,т) ^т. (9) о о о

Докажем разрешимость интегрального уравнения (9) методом последовательных приближений

г I

„(п) (А,ж,г)= „о(А,ж,г) - А2 J ! Л(£,т)„(п-1)(А,^,т(ж, г; £,т) ^т, (10)

оо

где

г

г г

+ У />(Л,т(х,Ь;0,т) ¿т ^У >(Л, т(х, Ь; I, т) ¿т.

В качестве нулевого приближения примем „(о) (Л, х, Ь) = „о(Л, х, Ь).

Из условия 1 теоремы 1 следует, что „(о) (Л, х,Ь) = 0 при |Л| > Ко. Тогда из определения п-го приближения вытекает, что „(п)(Л, х, Ь) = 0 при |Л| > Ко для любого п и

,(о)|

С,

||„(1)||| < с + ск2

г г

У У^(х,Ь; £,т) ^¿т оо

и т. д. Тогда для п-го приближения справедлива оценка

„(п)111 <

С

при условии

1 - к02

<

г г

//^ (х,Ь; £,т) ^¿т оо

1

КО

//^ (х,Ь; £,т) ^¿т оо

(11)

Для разности „(п) — „(п 1) из (10) можно получить оценку

,(п) - „(п-1)|| < ко

г г

У У^(х,Ь; £,т) ^¿т оо

„(п-1) _ „(п—О) |

Таким образом, условие (11) достаточно для того, чтобы последовательные приближения сходились.

Единственность решения прямой задачи докажем от противного. Пусть „1(Л,х,Ь) и „О(Л, х, Ь) — два различных решения задачи (6)—(8). Тогда для раз-

ности „1 - „О справедливо неравенство

г г

| | | „1 - „о | | | ( 1 - К

^(х,Ь; £,т) ^¿т

оо

0,

из которого в силу (11) следует, что „1 = „О.

Функция „(Л, х, Ь) является решением интегрального уравнения (9), и тогда из стандартных оценок в пространствах Гельдера для решений параболических

уравнений (см. [13]) имеем у(А, £ Ьоо(—оо, оо; С2+а'1+ % (^т)) • Таким образом, функция „(Л, х, Ь) есть единственное решение задачи (6)—(8) из класса ^{-00,00-,С2+а^ (Пт)).

В силу формулы Парсеваля — Планшереля справедливы оценки

сю сю До

J ! \иуу\2 ЛхЛЫу = — J ! \йуу\2 с!,хс1Му = — J ! |А|4|г||2 <1х<И<1\

— с От

— с От

— До От

1 2 Ко......о

т. е. иуу € £°((). Аналогично можно получить остальные оценки, позволяющие утверждать, что и(у,х,Ь) принадлежит классу (5).

2. Разрешимость обратной задачи

Введем обозначения:

Ах = тш

От

До До

/А2г>о(А,ж,£)с?А, = тт / А2г>(А, ж, £) ¿А, От 7

-До

-До

е = 2пК°||иохх - иог|

г г

I (х,Ь; £,т) ^¿т

оо

К

А + е

2Ко||„о|||||иохх - иог|

г г

//^ (х,Ь; £,т) ^¿т оо

2 ' 2К(К - е)

Определение. Решением обратной задачи (1)—(4) назовем пару функций (&(х, Ь), и(у, х, Ь)), где &(х,Ь) — положительная функция, принадлежащая пространству Са,2 {(¿т), а

иуу{у,х,г) £ £2(<Э), и{у,х,г) £ Ь2(-оо,оо^2'\Пт) ПС2+а'1+^

ПЬ00(-оо,оо;Т^2'1(От)ПС2+а'1+^(дт)), 0 < а < 1;

и(у, х, £), иу(у, х, £) (Е С((—оо; оо) х От), причем й(А, ж,£) = О при |А| > До^

0 < х < I, 0 < Ь < Т, и удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2)—(4).

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) ио(х, Ь), ^(у, х), ^(у, Ь), ^(у, Ь) —вещественные функции,

2) £(Л,х),/>(Л,Ь),г>(Л,Ь) = 0 при |Л| > Ко,

3) тах

Ае[-До ,До]

с2+а[о,г]

||£||

^21(о,г))

тах Ае[-До,До]

с1+^ [о,г]

+

тах (11^11^1+4? т л + 1Н1 4, ) конечны.

Ае[-До,До]

с1+~ [о,г]

ИС,4 (0,Т)

)

а

^24 (о,Т)

4) <^(у,ж) е ¿2(-то, то; с2+а[0,г] п ж!(0,0), м(у,г),^(у,г) е ь^-то, то;

5) щ(х,г) е с2+а'1+9(пт),

6) ИОхх - 1404 >0,_

7) +

8) 0 < V <

Тогда существует единственное решение обратной задачи (1)-(4):

сю

к{х,г) = —20хх ~ -- и{у,х,г) = — [ х, ьуху<1\

— с

где „(А, ж, г) — решение интегрального уравнения

г I

(йот - ио^(ж, г; £,т)

«(А, ж, Ь) = «0(А, ж, £) + А / / ' ' ' Уг;(А, т) с^т.

^ ^ ^ / Х2у(Х, х, 1)с!,Х

—с

Доказательство. Докажем разрешимость обратной задачи. Положим у = 0 в уравнении (1). Используя условие (4), можем выразить функцию &(ж, г) через известные величины и функцию иуу (0, ж, г), которая находится из формулы обратного преобразования Фурье

,, ч иог - иожж /10ч к{х,Ь) =---. (12)

со

2тт

— оо

/ А2и(А, ж, г) ¿А

Подставляя найденную функцию &(ж,г) в уравнение (1), выполнив в полученном уравнении, а также в начальном условии (2) и граничных условиях (3) преобразование Фурье по у и обозначая и(А, ж, г) через „(А, ж, г), имеем

2 иог - иожж ,, ч Щ = ухх + X -—-у(Х, ж, Ь),

2тг

— оо

/ А2 „(А, ж, г) ¿А

„|г=о = <?(А, ж),

„|х=о = А(А, г), „|х= = >(А,г).

Решение полученной начально-краевой задачи для нелинейного параболического уравнения позволит найти решение обратной задачи.

Используя фундаментальное решение .Р(ж, г; £,т), сведем задачу (1)—(4) к эквивалентному интегральному уравнению

г I

у(Х, ж, £) = г;0(А, ж, £) + А2 [ [ ~ ^¿г,

оо ^ / Х2у(Х, ж, £) ¿А

— ОО

где

I г

„<,(^4 = / «*«>*■ « + / КЫ « )

оо

г

>(А, т(ж, г; г,т) ¿т. (13)

Рассмотрим замкнутое множество

В = у{\х,1) € Ь2(-оо,оо;С2+а'1+^(От)), у{\х,1) = О при|А| > До

НИ < "' "' , А2> Д>0, Д>е^. Д - е

Определим в нем отображение г> = А„:

г I

у(\,х,г) = у0{\,х,г)+\2 / / Кг ^^т)^ (14)

О о ^ I Х2у(А, х, £) г1\

—с

Покажем, что оператор А отображает В в себя.

1. Пусть „(А, ж, г) е В. Тогда из (14) следует неравенство

г I

||иот - ио££ || / ^(ж, г; е,т) ¿е^т оо

|||«||| < ||Ы11 + Д2--А

из которого сразу следует, что

1П-1Н <- Ш^оШД 11М1 <

2. Из (14) также следует, что

2Д3е Ао > А, - 0

5 Д - е

Выберем Д таким, чтобы выполнялось неравенство

Л_2ДММ

5 Д-е " '

5Д2 - 5Д(А1 + е) + 5А1е + 2Д3|||„о||е < 0. При выполнении неравенства

А! >е + У|дЙы

2

в качестве К можно взять величину

К

Ах +£ 2 '

Очевидно, К > е. Таким образом, оператор А отображает множество В в себя. Покажем, что А — сжимающее отображение. Имеем г г

у2 / / (и0т -Щ

|||„1 - „°||| =

Л°

-VI (Л, т) (¿£(¿7

оо ^ / А2У1(А,х,^С1А

Л

-с

г г

° I I (иот - ио^)^(х, Ь; £,т)

г>°(Л, т) ¿^¿т

о

"о £ / \*У2(\,£,Т)<1\

2п

г г

(иот - ио^(х, Ь; £,т)

о о / Л°„1(Л, т)А\ / Л°„°(Л,С,т)А\

со со

„1(Л,^,т) I Л°„°(Л, т)А\ - й°(Л,£,т) I Л°„1(Л,^,т)ЙЛ

= 2п

г г

(м0т -

о о / Л°„1(Л, т)^Л / Л°„°(Л,С,т)А\

2пК°

До

(„1 - „о) / Л°„°(Л,С,т)ЙЛ

+ „°(Л,£,т) J Л°(„° - „1)^Л

<

К°

||иот - иосс ||

-До

/ 2К§

+

2 Ко

V 3 К - е г г

- „о ||

3 К е

„°||) / / ^(х,Ь; ) ¿^¿т

оо

Обозначив

2еКо

получим

||К - «°||| <

3К(К - е)

V

1 - V

„О |||.

Для того чтобы отображение было сжимающим, достаточно взять 0 < V <

Из принципа сжимающих отображений заключаем, что при 0 < V < ^ уравнение (13) имеет единственное решение из множества В.

Последовательные приближения к этому решению „(о), „(1), „(О),..., „(п),... имеют вид

г г

„(п)(Л, х

(Л, х, Ь) = „о(Л,х,Ь) + Л°

(и0т

О О 27Г

ОО

1. | Л2-у(™-1»(А,ж,4)ЙЛ

„(п-1) (Л,£,т) ^¿т.

О

Л

— ОО

— ОО

X

— ОО

— ОО

О

Л

V

В качестве начального приближения v(0) (A,x,t) возьмем функцию i

v°<A-« = / «A'i)F (xt; ^ «

0

t t + У />(A ,т)F (x , t; 0, т) dr - J >(A ,т)F (x , t; l,r) dr , 00

принадлежащую множеству B. Действительно,

1. v(0) (A, x, t) = 0 при |A| > Ro, так как £(A,£) = 0,£(A,£) = 0, >(A,£) = 0 при |A| > R0.

2. Поскольку A1 > e, то Ai > R, и в силу того, что

Ro

A2 = min [ X2v(0)(X,x,t)dX = Au nT J

получаем A2 > e. 3. Неравенство

-Ro

v(0)|||<

\\\v{0)\\\R R-e

справедливо, так как К > К — е.

Покажем, что если ио(ж, £), ^(у, ж), ^(у, V(у,£) — вещественные функции и ио4 — иохх > 0, то функция &(ж,£) также вещественна и положительна.

Ro

Убедимся, что для любого натурального п выражение / Л2"г>(0) (Л, ж, £) dA вещественно. В самом деле,

У A2V0)(A,x,t) dA = У A2n У £(A,£)F(x, t; 0) d£

Ro -Ro L0

t t

+ J £(A,r)F (x, t; 0, r) dr - J >(A,r)F (x,t; l,r) dr

dA

Ro

i2n

Ro

l / 00

dy)F(x, t; 0) d^

.0 \-7

+

t / 7 \

У( У M(y,r)е-гЛу dy|F (x, t; 0, r) dr ? \

/I / v(y,r)e-i^ dy|Fc (x, t; l,r) dr

0 -7

0 -7

dA.

Рассмотрим первое слагаемое справа от знака равенства. Изменив в нем в силу теоремы Фубини порядок интегрирования и используя формулу Эйлера, получим

Яо

-Яо

\2n

l / оо

К J <^(y,C)e-iAy dyU(x,t; С, 0) dC Lo \-o J

l Г сю /ño

= j F(x,t; C, 0) I ^(y,C)l У A2ne-iAy dA) dy

0 L-o \-ño )

1 Г oo /ño

Jf (x,t; C, 0) J ¥>(y,o( / A2n(cos Ay - i sin Ay) dA ) dy

dC

Я о

Внутренний интеграл J A2n(cos Ay — i sin Ay) dA в силу четности первого и

-Яо

Я о

нечетности второго слагаемого равен 2 j A2n cos Ay dA.

o

В силу того, что функции ^(y, С) и F(x, t; С, т) вещественны, получим, что и сам интеграл веществен. Аналогично доказывается вещественность оставшихся интегралов.

Покажем, что k(x,t) > 0. Обозначим

со

Pn(x,t)=y AVn-1)(A,x,t) dA.

Тогда Pn(x, t) > 0 для любого n =1, 2,.... В самом деле,

Яо

Pi(x,t)= У A2v(0)(A,x,t) dA > Ai > 0,

-Яо

— ОО

со

P2(x,t) = У A2

,(0)

(A,x,t)

+ A:

t i

2 I I (mqt (0)

OO ^

oo ¿ / X2v(X,x,t)dX

v(0) (A, С, т) dCdT

dA > A2 > R > 0,

и т. д. Следовательно,

, , .4 u0t — и0жж „

/г(х, Í) = --- > 0.

2п

/ A2v(A,x,t) dA

— ОО

— ОО

1

Осталось показать справедливость оценки (11). Поскольку

сю Яо

/ Л2г>(Л, х, t) dX > min / X2v(X,x,t) dX = А2 > R > е > О,

J От J

-Яо

2n||uot - UQx,

II ^ 2n|uot - uoxx

/ A2v(A,x,t) dA

R0

t г

¡¡F (x,t; ) d^dr о о

ЛИТЕРАТУРА

1. Belov Ya. Ya. Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.

2. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. Lviv: WNTL Publishers, 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

3. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

4. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer Science+Business Media, Inc., 2006. (Appl. Math. Sci.; V. 127).

5. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc. 1999.

6. Gol'dman N. L. Properties of solutions of parabolic equations with unknown righs-hand side and adjoint problems // Dokl. Math. 2008. V. 77, N 3. P. 350-355.

7. Ефременкова О. Б. О разрешимости одной обратной параболической задачи определения коэффициента абсорбции специального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1. C. 72-79.

8. Pyatkov S. G. Tsybikov B. N. On evolutionary inverse problems for parabolic equations // Dokl. Math. 2006. V. 77, N 1. P. 111-113.

9. Pyatkov S. G., Samkov M. L. On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations // Sib. Adv. Math. 2012. V. 22, N 4. P. 287-302.

10. Pyatkov S. G. On some classes of inverse problems with overdetermination data on spacial manifolds // Sib. Math. J. 2016. V. 57, N 5. P. 870-880.

11. Pyatkov S. G., Samkov M. L. Solvability of some inverse problems for the nonstationary heat-and-mass-transfer system // J. Math. Anal. Appl. 2017. V. 446, N 2. P. 1449-1465.

12. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физ-матлит, 2001.

13. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural'tseva N. N. Linear and quasi-linear equations of parabolic type. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1968. (Ttansl. Math. Monogr.; V. 23).

1

— OO

Статья поступила 28 января 2017 г.

Цыбиков Баир Номоевич Югорский гос. университет, ул. Чехова 16, Ханты-Мансийск 628012 Ъ_суЪ1ко¥@1^га5и. ги

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

UDC 517.95

THE INVERSE PROBLEM OF RECOVERING A LEADING COEFFICIENT IN THE TWO-DIMENSIONAL HEAT EQUATION B. N. Tsybikov

Abstract. We consider the inverse problem of recovering a leading coefficient independent of one of the spatial variable y in the two-dimensional heat equation. The overdetermination data is the values of the solution on the cross-section of the domain by the hyperplane y = 0. The solution is sought in the class of functions whose Fourier image in the variable y is compactly supported in the dual variable. Existence and uniqueness conditions of the solution to this problem in this class are established. Keywords: inverse problem, overdetermination condition, second order parabolic equation, initial-boundary value problem.

REFERENCES

1. Belov Ya. Ya. Inverse Problems for Parabolic Equations, VSP, Utrecht (2002).

2. Ivanchov M. Inverse Problems for Equation of Parabolic Type, VNTL Publ., Lviv (2003). (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

3. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).

4. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, Berlin (2006). (Appl. Math. Sci.; V. 127).

5. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, Inc., New York (1999).

6. Gol'dman N. L. "Properties of solutions of parabolic equations with unknown right-hand side and adjoint problems," Dokl. Math., 77, No. 3, 350-355 (2008).

7. Efremenkova O. B. "On solvability of one parabolic problem of determining the absorption coefficient of a special type," Mat. Zamet. YaGU, 13, No. 1, 72-79 (2006).

8. Pyatkov S. G. and Tsybikov B. N. "On evolutionary inverse problems for parabolic equations," Dokl. Math., 77, No. 1, 111-113 (2006).

9. Pyatkov S. G. and Samkov M. L. "On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations," Sib. Adv. Math., 22, No. 4, 287-302 (2012).

10. Pyatkov S. G. "On some classes of inverse problems with overdetermination data on spacial manifolds," Sib. Math. J., 57, No. 5, 870-880 (2016).

11. Pyatkov S. G. and Samkov M. L. "Solvability of some inverse problems for the nonstationary heat-and-mass-transfer system," J. Math. Anal. Appl., 446, No. 2, 1449-1465 (2017).

12. Polyanin A. D. Handbook of Linear Equations of Mathematical Physics, Fizmatlit, Moscow (2001).

13. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Ural'tseva N. N. Linear and Quasi-linear Equations

© 2017 B. N. Tsybikov

of Parabolic Type, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1968). (Transl. Math. Monogr.; V. 23).

Submitted January 28, 2017

Boir M. Tsybikov Ugra State University,

16 Chehova St., Khanty-Mansyisk 628012, Russia [email protected]