CC BY
13Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1
УДК 517.956
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ СИСТЕМ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА Е. М. Короткова, С. Г. Пятков
Аннотация. Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева задачи определения функции источников в системе тепломассопереноса. В качестве условия переопределения берется значение концентрации на выделенных поверхностях (или в отдельных точках). Доказана локальная теорема существования решения задачи и получены оценки устойчивости.
Ключевые слова: параболическая система, обратная задача, тепломассоперенос, система Навье — Стокса, краевая задача.
E. M. Korotkova and S. G. Pyatkov. Inverse Problem of Determining Source Functions in the Heat-and-mass Transfer System.
Abstract: In the article we examine the question of well-posedness in the Sobolev spaces of an inverse problem on determining source functions in the heat-and-mass transfer system. The overdetermination conditions are the values of concentrations of admixtures on separate surfaces or at points. We prove that the problem is solvable locally and obtain stability estimates.
Keywords: parabolic system, inverse problem, heat-and-mass transfer, Navier—Stokes system, boundary value problem.
Введение
Рассматривается система
ut - vAu + (u, V)u + Vp = f + всС + ввв, div u = 0, (1)
6t - АвАв + (u, V)e = fe, (2)
n n
Ct + (u, V)C - ^ ^ aij CXiXj + У^ a Cxi + ao C = fc, (3)
i,j= 1 i=l
где v = const > 0, (x, t) G Q = G x (0, T) (G С Rn, T < то), u, в, p, C - вектор скорости, температура жидкости, давление, вектор концентраций примесей (органических или неорганических) в жидкости и fc — объемная плотность источников примесей, соответственно. Здесь aij, ai, ao — матрицы размера h x h, где h — количество примесей, вс — матрица размера nxh, вв — вектор-функция длины n, А© > 0 — скалярная функция.
Работа поддержана грантом РФФИ № 15—41—00063 и правительством Ханты-Мансийского автономного округа — Югры (грант № 15—41—00063, р_урал_а).
© 2015 Короткова Е. М., Пятков С. Г.
Система (1)—(3) описывает распространение примесей в жидкости. В частности, в класс систем (1)—(3) входит классическая модель Обербека — Бусси-неска (см. [1-4]). Функции fe и f являются плотностями источников тепла и внешних сил соответственно, а коэффициент Ле есть коэффициент теплопроводности. В модели Обербека — Буссинеска ßc и ße суть коэффициенты переноса массы и тепла, умноженные на ускорение свободного падения. Здесь считаем, что ßc — произвольная матрица-функция размера n х h и ße — вектор-функция длины n.
Система (1)-(3) дополняется начальными и граничными условиями
u|t=o = uo, u|s = gi(t,x), Г = dG, S = Г х (0,T), (4)
©|t=o = во, ©|s = g2(t,x), C|t=o = Co, C |s = gs(i,x). (5)
Рассматривается обратная задача, заключающаяся в нахождении решения системы (1)-(3) и правой части fc в (3) по данным дополнительных измерений на сечениях G или в отдельных точках.
Положим x'' = (xs+1, xs+2,. .. , xn) (s = 0, 1,. .. , n — 1). Если s > 1, то положим x' = (x1, x2,... , xs). Предполагается, что правая часть в (3) известна в некоторой области Q' = G1 х (0, T) и неизвестна в области Q'' = Go х (0,T), где Gi и Go или непустые непересекающиеся области такие, что Go U G\ = G, или Gi = 0 и тем самым Q'' = Q. Правая часть в (3) имеет вид
m
fc = fo(x,t)+53fi(x,t)®(x',t), (x,t) G Q, (6)
i=i
где fi (i = 0,1,... , m) — известные функции обращающиеся в нуль на Q'. Числовые функции qi(x',t) в данном представлении неизвестны и находятся с использованием условий переопределения:
C |s = -0i(t,x') (Si = (0,T) х Ц, i = 1, 2, ...,r, m = rh), (7)
где {ri} — набор гладких s-мерных поверхностей, лежащих в G. При s = 0 поверхности ri суть просто точки, лежащие в Go = G.
Обратные задачи такого типа возникают в химии, биологии и других областях при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации. Описание некоторых численных методов решения краевых задач для системы (1)-(3) можно найти в [4]. Отметим работу [5], где рассмотрено большое количество обратных и экстремальных задач в стационарном случае для системы (1)-(3). Подобные модели в упрощенной постановке рассматривались в [6-10]. Отметим, что в реальных моделях, используемых в региональных системах поддержки принятия решений, даже в одномерном случае используется несколько уравнений относительно различных примесей в жидкости. В них учитываются такие параметры воды, как фитопланктон, эпи-фитон и различные химические составляющие. Большое количество обратных коэффициентных задач с условиями переопределения вида (6) и s = n — 1 для
параболических уравнений второго порядка рассмотрено в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и ряда других авторов (см. [11]). В случае п = 1 (в = 0, неизвестные функции ^ зависят только от 4 и поверхности Б^ суть точки) такие линейные и нелинейные задачи рассматривались, например, в [12] для параболических уравнений второго порядка. Среди последних работ выделим результаты [13-15], где аналоги задач вида (1)—(6) рассмотрены для параболических систем уравнений. Вопросы корректности обратных задач для параболических уравнений и систем с условиями переопределения вида (7) (включая численные методы) рассмотрены в [16—21]. Среди монографий, посвященных обратным задачам для параболических и эллиптических уравнений и систем можно отметить монографии [22—25], где можно найти постановки и ряд результатов.
1. Обозначения и вспомогательные утверждения
Пусть Е — банахово пространство. Обозначим через Ьр(С; Е) (С — область в М") пространство сильно измеримых функций, определенных на С со значениями в Е, снабженное конечной нормой ||||и(ж)||Е||ьр(с) (см., например, [26, § 1.18.4]). Также используются пространства Ск{С] Е), состоящие из функций, обладающих всеми производными до к включительно, непрерывных и ограниченных в С, имеющих непрерывное продолжение на С. Пространства Соболева Шр (С; Е), Шр(ф; Е) определены стандартным образом (см. [26]). Если Е = С или Е = С™, то используется обозначение ИГр{С) или Ск(С). Принадлежность и £ Шк(С) (или и £ Ск{С)) для заданной вектор-функции и = (и\,и2,... означает, что каждая компонента щ принадлежит Шк(С) (или Ск(С)). Норма в соответствующем пространстве — сумма норм координат, если не указано противное. Аналогичное соглашение примем для матриц: принадлежность а € Шр(С) (а = {а^ 1^=1) означает, что а^(ж) € Шр(С) для всех Для за-
данного интервала J = (0, Т) положим Шр^(ф) = ^; Ьр(С)) ПЬр( J; Шр(С)) и Шк'г(Б) = Ш^; Ьр(Г)) П Ьр^; Шк(Г)). Обозначим через Ьр^(С) замыкание
'р I"/ V"" 1,1=11 *" р '
' р\° > ^рК1- ))' 1 ^Р> ггр V-1- )) . Обозначим через Ьр
(
соленоидальных С^-вектор-функций по норме Ьр(С) и положим Шр^ (С) = Шрк(С) П Ьр,,(С) и Шр/к/2(д) = Шр'к/2(ф) П Ьр(0,Т; Ьр,,(С)) (к > 0). Сим-
о
волом Шк (С) обозначено замыкание С°(С) по норме пространства Ш^С) и ШШ7^1 (С) = {р € ЬЧ}1ОС(С) : Ур € Ьд(С)}. Мы отождествляем функции, отличающиеся на константу, и вводим в этом пространстве норму ||р|1 (с) = ||Ур||ь,(с). Это банахово пространство. Обозначение Ух"/(ж, 4) используется для записи вектор-функции (дХз+1 /, дХз+2/,... , дХп/), где символ дХк обозначает частную производную
Сначала опишем класс областей С. Будем говорить, что Г = дС принадлежит Св (в > 1), если существуют числа г > 0 такие, что для каждого жо € Г существует окрестность и точки жо со следующими свойствами: в локальной системе координат у, полученной из начальной вращением системы координат и переносом начала координат так, что ось уп направлена по внутренней нормали
к Г в жо,
ипс = {у ем™ : у' е Д:,ш(г/') < < ш(г/') + 4, у' = {Уъ... ,г/«—1), и п (м™ \ с) = {у е м™ : ш(г/') -¿<Уп< ш{у')}, тпй={уежп-.у'ев;, уп = и(у')},
ГДе Уп = — уравнение в Г, ш £ С^(ВГ) (Вг = {у' : \у'\ < г}) и нормы
для всех функций ш из С^(ВГ) ограничены константой, не зависящей от хд. Без потери общности можно предположить, что Мг < ¿/4, где М константа Липшица для ш в Вг. Запишем условия на область Со и поверхности Ц.
(А) (а) Случай в > 0. Имеется область О С с границей класса С2 такая, что Со С О х М"-8,
Гг = {х € М" : х" = ¿{х') = (<Й+1(Ж'), <Й+2(А ... , ^п(х')),х' € О}, 1рг(х') £ С2(0) и существует константа 6 > 0 такая, что
Цдг = {(ж',^(ж') + п) : ж' е О, п е М"-8, |п| < С Со, р(Цдг,С \ Со) > 0, для г =1, 2,. .. , г и Цк П Цу = 0 для г = г, =1, 2,. .. , г.
(б) Случай в = 0. В этом случае в качестве множеств {Ц}Г=1 берем внутренние точки {ж^}Г=1 области С. Положим Цн = Вд(ж^) и выберем число 5 > 0 такое, что Usi С С и [/¿^ П Usj = 0 для г ^ г,] = 1, 2,... , г.
Условие (А) используется во всех статьях, посвященных данным задачам. Как легко увидеть, оно гарантирует единственность решений. Условие (А) выполнено, если Со = С = О х М"-в, где О — ограниченная или неограниченная область класса С2. В дальнейшем мы используем следующие обозначения:
дт = (0, т) х с, до = (0,т) х о, дт = (0,т) х о, с = игЦдг, дТг = (0,т) х Цдг
и дД = (0, т) х Сд.
Лемма 1. Пусть и е ^г2'1(дт) (д е (1, те)) и и(ж, 0) = 0. Тогда существует константа с > 0, не зависящая от и, такая, что
1М|1,,(дт) < ст||иН^2'1 (дт), У^мдт) < ст 1/2УиУ^д2.!(дт). Утверждение является следствием формулы Ньютона — Лейбница и интерполяционного неравенства |^и||^9(С) < с|и|^/2(С)
Следующая лемма является следствием леммы 1 и леммы 3.3 из гл. 2 в [27], где 5 = а/т.
Лемма 2. Пустьи € Т^2'1^). Тогда и € Ьр{<Цт), где 2-- ±)(п + 2) > 0 ир >д,\7и£ где 1 —— ^)(п+2) >0ир>д. Более того, и € СА'А/2(07)
для д > (п + 2)/2 гУме СА'А/2(07) для д > п + 2, где А € [0, 2 - (п + 2)/д) в первом случае и А е [0,1 — (п + 2)/д) в последнем. Справедливы следующие оценки для соответствующих значений параметров:
||и||Мдт) < ств1 ||и||^.1(дт), |^и||Мдт) < ств1-1/2||и||^2.1(дт), ||и||сл,л/2(о^) < СТ13211^11^2,1(дт), ||Уи||сл,л/2(о^) < стР'-^ЦиЦ^,!^,
где /?1 = 1 — — /?2 = 1 — ~ 1 И константа с не зависит от т < Т
2,1/
и и е ^2'1(дт).
Лемма 3. Пусть Ь € Ьр(ф). Тогда для любого т € (0,Т] имеют место следующие неравенства: если д > (п + 2)/2 и р > д, то
-. п + 2
нни,(<г) < ст 2р Ми^1«?-)!
если д > п + 2 и р > д, то
, /„_ (п + 2)
< ст 2р Н^Ниф1^)-
Константа с > 0 не зависит от т < Т и и € ).
Доказательство данной леммы можно найти в доказательстве теоремы 9.1 гл. 4 в [27].
Теорема 1. Для каждой / € (ф), г € (1, то), существует единственная
вектор-функция и € М^'Лф) П (0, Т; ^(С)) и функция р € (0, т; такие, что
щ — ^Аи + Ур = /, div и = 0, и|# = 0, и|4=0 = 0 и справедливо неравенство
Н^и^Ю) + 11уРУ^г(д) < с||/
где постоянная с не зависит от /.
Следствие 1. Для каждой / € Ьг(фт), т € (0,Т], существует единственен
ная вектор-функция и € ^г2;сг1(фт )ПЬГ(0, т; W 1(С)) и функция р € Ьг(0, т; 1^(0) такие, что
щ — ^Аи + Ур = /, div и = 0, и|я = 0, и|4=о = 0, (8)
и выполнено неравенство
||иНиг2-1(дт) + ||урНМдт) < с|/НМдт),
где постоянная с не зависит от / и т.
Теорема 1 вытекает теоремы 1.1 в [28]. Также можно сослаться на теорему 1.2 в [29] и свойства проектора Гельмгольца.
Следующий результат — теорема о разрешимости параболических задач. Рассматривается задача
щ — Ьи = /, и|я = 0, и(х, 0) = 0, (9)
где
п п
Ьи = а^0М)иХ;Хз. аг(ж,4)иж, — ао(ж,£)и, 2,^=1 2=1 где а^, а2,ао — матрицы размера Ь х Ь и существует константа ¿1 > 0 такая,
что
]Г(ау (М)^') > ^ € Мл, (М) € ф, ^ = 1, 2,..., п. (10)
2,^=1 2=1 Считаем, что
0,4 £ Саг£Ьч{<3), а0£Ьч{<3), 1,1=1...п. (И)
Теорема 2. Пусть дС е С2, д > п + 2, 7 е (0,Т] и условия (10), (11) выполнены. Тогда для каждого / е (д7) существует единственное решение и е ) задачи (9), удовлетворяющее оценке
НиН^1^) < сУ/Уь,№),
где константа с не зависит от 7 е (0, Т).
Для фиксированного 7 = Т теорема является следствием теоремы 10.4 гл. 7 в [27] (см. также [30]). Независимость постоянной от 7 очевидна.
Теорема 3. Пусть дС е С2 и условия (А), (10), (11) выполнены. Потребуем также, чтобы для некоторого д > п + 2 и для всех г, = 1, 2,... , п выполнено, что
Ух-/ е , а^- е , Ух"а», е дТ), Ух''«о е дТ).
Тогда решение и е ЭД^'^д7) задачи (9) обладает свойствами: Ух»и е
^2,1(для любого 51 <5 и справедлива оценка
НУх''и||^,1(^1) < с(Н/Нь,№) + Нух''/Нь,^)).
Постоянная с зависит от <5 и не зависит от 7 < Т.
2. Основные результаты
Сначала наложим условия на данные, полагая, что условие (А) выполнено. Всюду ниже считаем, что д > п + 2.
Условие согласования и гладкости могут быть записаны в следующей форме: существуют вектор-функции Ф1, Ф3 и функция Ф2 такие, что
Фг(м) е ^2'1(д): Ф^=о = ио, Ф2|*=о = во, Фз|*=0 = Со, Ф^ = (12)
а1уФ1 = 0, Фз|^3 = ^, /о,/в,/е ь(д), / е ьто(д), (13)
Ух-Фз е ^2'1(дТ), Ух-/о е ь(дТ), Ух-/ е ьто(дТ), (14)
где ] = 1, 2,... , то, г =1, 2, 3 и 5 —постоянная из условия (А).
Определим матрицу В следующим образом: строки с номерами от (к — 1)^ + 1 до к^ (к = 1, 2,... , г) занимают векторы-столбцы
[/1(х', / (х'), ¿), /2(х', / (х'), ¿), . . . , /т(х ', / (х'), ¿)].
Полагаем, что существует постоянная 5о > 0 такая, что
| В| > 5о > 0, п. в. в дт. (15)
Также будем считать, что выполнено условие
(В) коэффициент Ае(ж,4) > ¿1 > 0 \/(ж,£) £ , £ С(С^) и V£
) для всех г, ] = 1, 2,... , п; вс, а», «о, вв е (д), Ух"аг, Ух''ао е (д^), г = 1,2,..., п.
Теорема 4. Пусть Г € С2, д > п + 2 и условия (А), (В), (10), (12)-(15) выполнены. Фиксируем До > 0. Тогда существует число то = то (До) € (0,Т ] такое, что для всех данных (Ф1, Ф2, Ф3, /, /в,/о) удовлетворяющих условию
3
£(||Ф ^^(д) + ||У*" Фз^-! (дТ) + Н/^Ю)
¿=1
+ ||/в||ь,Ю) + Н/оНь^) + НУх''/о||ь,(дТ)) < До, (16) существует единственное решение (и, р, В, С, д1,... , дт) задачи (1)-(7) из класса
и € W2'1(QT°), р € Ьд(0,то; ^1(С)), ^ € Ьч (ф^) = 1, 2,... ,т,
В, С € W2'1(QT°), Ух-С € W2'1(QT°) ^¿2 < 6
и при 61 <6 найдется постоянная с = с(До, ¿1) такая, что для любых двух решений и2, В2, С2, д2, д2 = (д21, д22,... , д2т), г = 1, 2, из этого класса, отвечающих данным (Ф1, Фг2, Ф3, /2, /(2, /(5), г = 1, 2, справедлива оценка
||и1 — щ2н и,2'1 ^) + |в1 — ^и,2-1^) + |С 1 — С 2| и,2'1 ^)
т
+ ||ух''(С 1 — С2)Ни2'1(д^;) + Е ^ — ^Нь,(д°°)
¿=1
3
< с £(||Ф) — ф2|и,2'1(дт°) + ||У*''Ф1 — ух''ф2Ии2'1 ) + Н/1 — /21к(дт°)
Ъ=1
+ ||/в (дт°) + ЦУо /о2|Ьд(дт°) + ||ух"/о1 Ух''/о2|Ьд(дТ°) ).
3. Доказательство главного результата
Доказательство теоремы 4. Сделаем замену и = V + Ф1, В = В1 + Ф2 и С = С1 + Ф3. Получим, что
Ьо1^,р) = V* — vАv + Ур = д + вс С1 + вв В1
— (Ф1, У)v — (V, У)v — (V, У)Ф1, div V = 0, (17)
Ьо2В1 = В« — АвАВ1 = дв — (V, У)В1 — (Фь У)В1 — (V, У)Ф2, (18)
пп
Ьо3С1 = С1* — а2^ + а3 + аоС1 = дс 2,^=1 ¿=1
т
— (V, У)С1 — (Ф1, У)С1 — (V, У)Ф3 + £ /д,-,
¿=1
где новая функция дв и вектор-функции д, дс имеют вид д = / — Ф1* + ^АФ1 — (Ф1, У)Ф1 + всФ3 + ввФ2, дв = /в — Ьо2Ф2 — (Ф1, У)Ф2,
дс = /о — Ьо3Ф3 — (Ф1, У)Ф3.
Обозначим координаты вектор-функции Ф1 через Ф1з-, 3 = 1, 2,... , п. Новые функции V, 01, и вектор-функция С удовлетворяют однородным краевым условиям (4), (5), (7). Далее определим функции дог из системы уравнений
т
^/г(ж V (ж' + дс (ж ' ),*) = 0, з = 1, 2,..., г. (20)
г=1
Равенство (20) можно записать в виде
В9о = —д
где матрица В определена в разд. 2. Координаты вектора д с Н(к — 1) + 1 до Нк совпадают с координатами вектор-функции дС(ж',^(ж '),£). В силу условия (15) матрица В обратима.
Отметим, что вектор-функция дс принадлежит и дс € (фу.).
Тогда определен след дс|г € (От). Определим функции дог из равенства (20) и положим дг = дог + д1г. Получили уравнение
п п
¿озС1 = СН — ^^ °гз" С1ж;ж3- + ^^ °з" С1*3 + аоС-1 = дос — У)С1
г,з = 1 3=1
т т
— (Ф1, У)С1 — (V, У)Фз + ^/зд1з, дос = дс + £ /здоз. (21)
3=1 3=1
Мы свели нашу задачу к эквивалентной задаче. Пусть 7 € (0, Т]. Из теорем 1, 2 можем записать уравнения (17), (18), (21) в следующем виде:
(и,Р) = (Ьо1)-1д + (Ьо1)-1(всС1 + ве©1 — (Ф1, V)« — (V, V)« — (V, (22)
в1 = (Ьо2)-1де — (¿о2)-1((«, V)вl + (Фь V)вl + («, V)Ф2), (23)
С = (Ьоз)-1дос + (¿оз)-^ —V)Cl — (Ф1, V)Cl — («, V)Фз + ^ /з91^ . (24)
Здесь оператор (¿о1)-1 отображает элемент д € (д7) в пару (г>,р), которая является решением уравнения ¿о1(«,р) = д и такую, что (^у V = 0, V € Ид2'1^7), р € ¿д(0, 7; ТИ^С)) и вектор-функция V удовлетворяет однородным начальным и краевым условиям. Операторы (¿ог)-1, г = 2, 3, определяются аналогично с использованием уже теоремы 2. Пусть (¿о1)-1д = ^о,ро). Определим пространство Н7, содержащее вектора (v,p, в, С), где V € И2'1^7) — соле-ноидальная вектор-функция длины п, удовлетворяющая однородным условиям (4), С, в € И,2'1(д7) — вектор длины Н и скалярная функция соответственно, удовлетворяющие однородным условиям (5), р — скалярная функция из 0,7; ТИ^С)). Введем в этом пространстве норму
||(^р,в,с = ) + 1|р|1ь , (о^чс)) + Н©!!^1^) + ||С ).
Положим К = 3|^о,ро, (¿о2)-1де, (¿оз)-1дос||ят. Будем искать решение системы (22)—(24), которая может быть переписана в виде
ш = А^д1), ш = (v,p,в, С), д1 = (911,912,... ,91т), (25)
где оператор А определен правой частью системы (22)-(24). Будем считать, что ш € = {ш € Н7 : ЦшЦят < Д}. В силу условия (13) и теоремы 2 имеем
(Ьо3 )-1 £ / 9ц Ъ=1 /
с
¿=1
< с1Нд1Нь,(д?). (26)
Предположим, что с1||д,1||ь,(дт') < Д/3, т. е. вектор-функция д1 принадлежит замкнутому шару В^.Д3С1) радиуса Д/(3с1) в пространстве ) с центром в
нуле. Оценим ||А(ш, . Из теорем 1, 2
||А(ш,д1)Ня^ < с[ НвсС1 + ввВ1 — (Ф1, — (V, У)v — (V, У^Ць^дт)
+
+ Н(v, У)В1 + (Ф1, У)В1 + (V, У)Ф2)Нь, №)
т
(V, У)С1 + (Ф1, У)С1 + (V, У)Ф3 — ^ /чи
¿=1
+ Д/3.
Оценим по отдельности каждое из слагаемых:
Нвс^Ц^дт) < НвсНь,(дт)НС1|ьте(д^) < с^1 Н^Ц^дт). Аналогично можно оценить
НввВ^^дт) < С27в2 НВ1Ни,2'1(д^).
Оценим следующее слагаемое:
Н(Ф1, УИ|ь,№) < НФ1Нь,(дт)1^||ьте(дт) < С37вз 1М1и2'1№). Аналогично получим
Н(Ф1,У)В1Нь,(дт) < С47в4НВ1Ни2-1(д^), Н(ФъУ^Ць,(дт) < С57в5Н^Ц^дт). Имеем
Н(v,У)Ф1Нь,№) < НУФ1||ь,(дт) 1М|с(дт) < сб7вбМ^д-г).
Кроме того,
Н(v, У)Ф2||ь,(д.) < ст7в71М1ид2'1№), Н(v, У)Ф3Нь,№) < св7в8^Ц^дт). Наконец,
| Н ь,(дт) < ^^с^дт) ^^(дт) < с97в9^^^(дт).
Аналогично
(V, У)В1||ь ,(дт) < сю(Д)7в1° НВ1Ни2-1(д
(д^)
V, У)С1||ь ,(дт) < сц(Д)7в11 НС1Ни2'1
№).
и2-1 (дт)
ь, (д^)
и
Суммируя все слагаемые и учитывая (26), получим К
НЖ^Ня, < з +С1(Д)7А1М1И^№)
+ С2(К)7 ||в1||^,1№) + сз(К)7в3 ЦСхЦ^д^) + с^Нь, (д?). Так как 7 € (0,Т], выбрав в = тш(въ в2, вз), имеем
< К/3 + со(К)7в||ш| Я^ + С^д Нь ,(дт-), (27)
где постоянная сх не зависит от К и в. Выберем константу 7о < Т такую, что со(К)7в < К/3 ¥7 < 7о. Тогда неравенство (27) может быть переписано так:
|А(ш,д1)Ня. < К Уд1 € В7/^).
Это означает, что для каждого д1 € В^з^) оператор А(ш,9Х) переводит шар ВЯ'7 в себя. Рассуждая аналогично, можем получить оценку для |А(ш1,д1) — А(ш2,д1)|я^, где шг = ^г,рг, вг, Сг), г = 1, 2. Имеем
|А(ш1,д1) — А(ш2,д1)Ня^ < с(|вс(С1 — С2) + ве(в1 — в2)
— (Ф1, V)(v1 — V2) — (V1, V)v1 + (V2, V)v2 — (V1 — V2, ^Ф1||ь,№) + ||((V1, V)в1 — (V2, V)в2) + (Ф1, V)(в1 — в2) + (V1 — V2, ^Ф2||ь,д) + ||(V1, V)C1 — (V2, V)C2 + (Ф1, V)(C1 — С2) + (V1 — V2, ^Фз||ь,№)).
Оценим по отдельности каждое из слагаемых:
||вс(С1 — С2)Нь,№) < С17в1 Н(Сх — С2)||^,1№). Нве(в1 — в2)Нь ,(дт) < С27в2Н(©х — в2)||^,1№).
Кроме того,
||(ФЬ У)^1 --у2)||Ьд(д-г) < ЦФхЦь^дт)!^^1-«2)!^^ < с37/3з||г;1-г;2||и/2,1((Э^). Аналогично можно оценить
||(ФЬ V)(в1 — в2)Нь,(д^) < С47в4Нв1 — в2||^,1
(д^)
||(Ф1, V)(C1 — С2)Нь,(дт) < С57в5НС1 — С2||^,1 №). Оценим слагаемое:
Аналогично получим
V1- V2||TI,2,1,
(V1 — V2, V)Ф2||L ,(дч) < С77'
(V1 — V2, ^Фз||ь,(дт) < с87в8 Нv1 — v2Нwa2.l
1 №).
и
и
Учитывая, что
(V1, УУ — (V2, У^2 = (V1 — V2, УУ + (V2, У)^1 — V2), Н(V1 — V2, У^Ць ,(дт) < ЦУ^Нс^)^1 — V2Нс(дт) < с(Д)7вIV1 — v2||Wg2'l(дY),
II(V2, У)(v1 — V2)||ь,(д^) <И|с№)НУ(v1 — v2)Нс(дY) < с(Д)7вIV1 — v2||Wg2'l(дY),
имеем
II(V1, У)v1 — (V2, УИ|ь,(д^) < С9(Д)7в9 IV1 — v2||Wg2'l(дY). Аналогично
||(Л У)В1 — (v2,у)в2|ь,д) < сю(Д)7в1° ||В1 — В211и'1(д-)
и
II(V1, У)С1 — (V2, У)С2Нь,(дт) < си(Д)7в11 ||С1 — С). Выбрав соответствующее в, окончательно имеем
IIА(ш1, д1) — А(ш2, д1)^ < С2(Д)7вНш1 — ш2|я, т. е. оператор А сжимающий при с2(Д)7в = го < 1. В частности,
НА(ш1,д1) — А(0,д1)Ня^ < С2(Д)7вЦш1^.
Зафиксируем константу го < 1 и найдем постоянную 71 < 7о такую, что С2 (Д)7в < го для 7 < 71. Как прямое следствие теоремы о неподвижной точке получаем, что для любого д1 € В^.Д3С1) при 7 < 71 система (25) и система (22)-(24) соответственно имеет единственное решение ш в шаре . Решение удовлетворяет неравенству
||ш|Н < |А(0,д1)Ня^ + || А(ш, д1) — А(0,д1)Ня^ < Д/3 + с^Ць, (д.) + го||ш|я. Это неравенство означает, что
И^Щ^ + Т^Хед)- (28)
По теореме 3 решение С1 уравнения (24) обладает свойством Ух"С1 € Wp!'1 (ф^1) и выполнено соответствующее неравенство теоремы. В частности, из (28) получим оценку для С1 вида
|Ух"С1Ни2'1 (д*1) < с|д1Нь,(д-) + со(Д), (29)
Рассмотрим два вектора д1, д2 € В^/(3С1) и найдем два решения ш1, ш2 (ш2
где ¿1 <6 фиксирована и 7 < 71 .
! Л- С>7
/(3С1)
(v2,p2, В2, С2), г = 1, 2) системы (22)-(24). Их разность ш1 — ш2 удовлетворяет равенству
ш1 — ш2 = А(ш1, д1) — А(ш2, д1) + А(ш2, д1) — А(ш2, д2) из которого следует, что
|ш1 — ш2|я^ < гоНш 1 — ш2|я^ + с1|д1 — д2|ь,(д^)
(30)
Пусть 7 < 71. Уравнение (24) может быть записано в виде (21). Отметим, что правая часть в (21) удовлетворяет условиям теоремы 3. По теореме 3 решение Сг, г = 1, 2, уравнения (24) обладает свойством С1 € "р'^ф^1) и выполнено соответствующее неравенство теоремы. Если вычесть два уравнения (21), отвечающие д1 и д2, друг из друга, то, используя теорему 3 и оценки (30), получим оценку для разности С1 — С2 вида
11^» (с 1 — с2)н^1^1) < С!?1 — ед) - (31)
где <5 фиксировано.
Зафиксируем номер I = 1, 2,... ,г. Сделаем замену переменных у'' = х'' — ^г(х'), у' = х' в (21) в области Ц^г, где < 5. Опишем связь между производными в новых и старых переменных:
п
дх = — 53 ^ (у ')дУг О' < ^ дХ = ду3
Г = 5+1 п
дУ3 = дх3 + 53 (х ' )дХг и < ^ дУ3 = дХ (^'>5).
Г = 5+1
Имеем
V1 (у,4),Сг(у,4) € "'Ч^гЛ), УуСг € "'^а), г = 1, 2, где д7'й1 = О х х (0,7) и = (—51,51)п-в. Система (20) перепишется в
виде
С„ — ЬгС = дос — 53 а V- в]С1У3 +53 , г = 1, 2, (32)
¿=1 ]=1 ]=1
где а] — линейная комбинация координат векторов УуФ3, а в] — линейная комбинация координат векторов Ф1 и V,
пп
Ь'С1 =53 (у,^)С1у.У3 — 53 а' (у>^)С1у; — а0(у,^)С1
г,] =1 ¿=1
и оператор Ьг удовлетворяет условиям теорем 2 и 3. Обозначим через часть оператора Ьг, не содержащую производных по у5+1,... ,уп, и через ¿2 — разность Ьг — .
Так как все слагаемые в (32) и их производные по переменным у5+1,... , уп принадлежат Ьд(д7,г1) и д > п + 2, существует их след в точке у '' = 0. Возьмем у '' = 0. Как следствие получаем равенство
Яи (д1) = ( —Ь2С1 + 53 а]V] +53 в]С^.
]=1 3=«+1
у''=о I/
= 53 Ь(у V(у '(у '>*)> г = 1, 2, (33) ]=1
и
которое может быть переписано следующим образом:
q1 = B-1So(ç1)= S (q1), (34)
где координаты вектора So с номерами от (1 — 1)h + 1 до совпадают с координатами вектора Soi. Здесь правая часть может рассматриваться как оператор S, определенный корректно на вектор-функциях q1 G BR/3ci для 7 < 71. Функции C1, V1,... , vn, входящие в выражение S(q1), выражаются через вектор q1 посредством (22)-(24).
Покажем, что локально по времени система (34) имеет единственное решение. Пусть q1,q2 G BR/(3ci). В силу свойств матрицы B имеем
m
l|S(q1) — S(q2)yLg(QY) < c^ ||Soi(C1, v1 ) — Soi(C2, v2)^(35)
i=1
где Cl,vl (v1 = (v1, v2,... , «П ), i = 1, 2) — решение, соответствующее q1,q2 в (22)-(24). Запишем разность Soi(C1, v1) — Soi(C2, v2):
Soi(C1 ,v1) — Soi(C2,v2) = —L2(C1 — C2)+£aj (v 1 — v2) + £ — jCj.
j=1 j=s+1
Имеем
n n
.2(C1 — C2)= ^ ^aij(C^ — C^.) + £ ai(C1, — C*
j=s+1i=1 i>s+1
Оценим отдельно каждое из слагаемых. Положим = {y'' : |y''| < ¿1}.
nn
Е Eaj —Cy
ViVj ViVj/ ly"=o j=s+1i=1
(Q0 )
nn
nn
( 1 C2
ViVj CVj ly"=ollLq(Q0) j=s+1 i=1
< C1 E E^^ViVj —CVj ly"=oll l (QY
- С2 Е Е11^1 Уз 11^ (Д^ ;Ь, ОД))'
^=5+1¿=1
где а (Е (см. теорему вложения в [31, гл. 6, п. 6.1]). Применим далее
интерполяционное неравенство, лемму 1 и оценку (31):
п п
С2 Е Е11 - 11^а(Вг1 ;Ь,(д?))
^=5+1¿=1
пп
<с V1 VII С -Г2 |Г IIС1 - с2 111-а
- A^\\CУiУj ^УiУз\\^(Д^ ;Ьд ОД ))Н ЫУ СУ*У,НЬ я (^¿1 ;Ьд (д^))
j=s+1i=1
1 — a
Оценим второе слагаемое в (36):
E aUCi — C2J | y„=o
i=s+1
< C2 E llaUC1i СЮ llw,1(Bil ;L q (QY )).
i=s+1
L q (QY )
Принимая во внимание, что
д
имеем
С2 53 11аКСу,Л ^(Д^ ;Ь , (д?))
г=в+1
< С £ |КУу(С, — су2,) цл,(В41 д) + £ Ца^ (С1 — С
\г=з+1 ¿=5+1
Применяя неравенства леммы 3, имеем оценку
у.) 11ь,(в^ д ) ) .
Сз( Е |КУу(С1 — С?) ||ь,(В,1 д)
+ Е К (С, — С
Чг=«+1
?(Дб1 ;д0) ^—' 11 у 'ь,(Дб1 д)
г=в+1 ,
< С47в5 !уу''(С1 — С2)^-^ д) < с57вб Уд1 — д2||ь,(д?).
Окончательно имеем
Ь2(С1 — С2)|у''=о||ь,) < С17Уд1 — д2||ь ,
для некоторых в7 > 0, с1 > 0. Далее оценим
5>](V) — V2) |у„=о
]=1
С
V] — V?)
]=1
^(В^ ;Ь , (д?))
<
]=1
+
ЕаН V1— ^
2)
] 7ук
]=1
Т1II, ,1 ,,2|
< С47 111V — V
^^(в^ хд^)
+ С57Т2 IV1 — V2! ^2-1
Ж,2'1^ хд^).
Переходя к переменным х, окончательно имеем оценку
5><(V! — V2) |у=о ]=1
< С7в2IV1 — v2||w,.l(дY) < С27в2Уд1 — д2||ь,(д?),
где в2 = тш(т1; т2). Оценим последнее слагаемое
Е» С3 — в2гс23) |у,=о
] = 5+1
Имеем
в"С3 — ^Ч2 = (А" — С3 + в!г(С13 — .
Следовательно,
1 — в21) С13 + в2Ч С13 — с*
<11У ^
1' _ Д2Л С1 ||
ул1 ь, (д?)
+
< с1||/3]г -/32гЦс^НС^Н^ед) +с2||/32г||с(оТ)||Сг;з -С2з||Ь(г((Эг)
< С17Т1 ||в1г — в21 ||^2'1(д^) + С2(Й)7Т2ЦС1 — ^Н^ №)
у,ук
ж)
ь, (д?)
Ь , №1 хд?)
ь , №1 хдо)
ь, (д?)
Ь, (д?)
< С17Т1 Ц91 - ^Иад) + С2(Д)7Т2 II?1 - ^Иад) < сз(Д)7вз II?1 - ^Иад),
где вз = т1п(т1 ,т2). Суммируя все слагаемые, имеем
||5(91) - ^(92)|ь,) < С17в11?1 - 92||ь,)
+ С27в21?1 - ?21) + сз(Д)7вз- ?21|)•
Принимая во = тш(въ в2, вз), окончательно имеем
||5(д1) - *(д2) || ) < с(Д)7во|?1 - 92||ь,ед)• (37)
Получим дополнительную оценку для ). Повторяя рассуждения,
используемые при получении (37), с учетом оценок (28), (29), получим оценку
||5(0)||мд?) < 7воС1(Д), 7 < 71. (38)
Перепишем уравнение (34) в следующем виде:
д1 = 5(0)+ (5(д1) - 5(0)),
Ввиду (37) имеем
||5(д1) - 5(0)|идед) < с(Д)7воЦдЦ^ед), 7 < 71. Из (38) следует существование 72 < 71 такого, что
7воС1(Д) < Д/(6с1), 7вос(Д) < 1/2 У7 < 72. Тогда для любой 7 € (0, 72] и д1 € В^узс1 выполнено
||5(^И^ед) = ||5(0) + (5(д1) - 5(0))||мд?)
< ИЗДм^) + ||№) - 5(0))||мд?)
Д 1.. 1 м Д Д Д
~ 6с1 ^ 2 ^^б^ + б^З^'
т. е. оператор 5 переводит шар В^дз^) в себя и является в нем сжимающим. По теореме о неподвижной точке заключаем, что уравнение (34) имеет единственное решение д1 в данном шаре. Возьмем то = 72. Определим вектор-функцию ш, являющуюся решением системы (22)—(24). Решение удовлетворяет однородным условиям (4) и (5). Покажем, что условие (7) выполнено. Зафиксируем I = 1, 2, • • • , г. После замены переменных х ^ у в (21) имеем
п п т
61 - ¿'С = до с - £ 4 V- - Е в! С1 у3 + £ / ^, (39)
Взяв след у'' = 0, перепишем (39) в виде
61 - ¿'61 а!+ ^ в!С1„3.
!=1 !=1
= £ / (у'У (у'),^ (у',4), (40)
у''=0 !'=1
Ввиду (33)
С - Ь1С вс^. =0, С = ад, 0,4). (41)
¿=1
Более того, С(у', 0, 0) = 0 и С|дох(о,7) = 0. Ввиду единственности решения заключаем, что С (у', 0, 4) = 0.
Перейдем к доказательству оценок устойчивости. Фиксируем величину До. Очевидно, что величина Д, введенная в доказательстве, удовлетворяет условию Д < сДо (с — некоторая постоянная). Выбрав в качестве параметра Д величину сДо и повторяя рассуждения, получим , что параметр 71, выбранный в процессе доказательства, один и тот же для всех данных из нашего класса, и таким образом справедливы оценки (28), (29), где постоянные не зависят от данных из нашего класса. Повторяя рассуждения доказательства теоремы существования, получим, что интервал разрешимости для всех данных один и тот же, он зависит только от величины Д. Решение д1 содержится в шаре радиуса Д/3с1, а нормы решений, как вытекает из оценок (28), (29), оцениваются некоторой постоянной, зависящей от Д, т. е.
1МН + IIV*'') < со(Д), (42)
где <5 фиксировано. Возьмем два решения, отвечающие двум различным наборам данных (Сг ,Вг,«г,дг) (гг = (-1,-2,... , -П), г = 1, 2). Каждое из них удовлетворяет системе (22)—(24), где справа вместо функций д, дд, дос стоят соответствующие функции д1,д1в, дос. Вычитая эти две системы друг из друга, можем оценить норму разности решений и вместо оценок (30), (31) получим оценку вида
Ни1 - ^ +1| V*'' (С1 - с2)^,!^)
< с1(|д1 - ) + |д1 - д0|к№) + Цдв1 - д°°\\г №) + \\д<°с- а°с\\ь,дп))-
(43)
Далее повторяем рассуждения, использованные при получении оценок (37), (38). Рассмотрим равенства (33), записанные для этих двух решений. Вычитая их друг из друга и повторяя вышеупомянутые рассуждения, придем к оценкам
Нд1 - чЧь^) < с(Д)7в(Ни1 - и2|^ + IV*''(С1 - С2)^,!^)),
где в > 0, с(Д) — положительные постоянные. Заменяя нормы в правой части последнего неравенства с использованием (43) и выбирая 73 < 72 достаточно малым, придем к неравенству
-90||ь,(д?) < со(||д1 -д2||ь,(д^) + \\дв-де2\\Ьд№) + \д01с-д°с\\Ьд№)), т < тз-
Используя это неравенство в правой части (43), получим
|и1 - и2||ят + *''(С1 - С2) || ^-2,1(д^,1)
< со(||д1 - д2||ь ,(д^) + \\д° - д°\ь ?д) + \\д(°с - д1с\\ьчд))• (44)
Последние две оценки и гарантируют выполнение оценки устойчивости из формулировки теоремы. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bejan A. Convection heat transfer. New York, etc.: J. Wiley & Sons, Inc., 2004.
2. Joseph D. D. Stability of fluid motions. I.. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1976. (Springer Tracts in Natural Philosophy; V. 27).
3. Joseph D. D. Stability of fluid motions. II.. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1976. (Springer Tracts in Natural Philosophy; V. 27).
4. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье — Стокса / В. И. Полежаев, А. В. Бунэ, Н. А. Верезуб и др. М.: Наука, 1987.
5. Алексеев Г. В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики. М.: Научный мир, 2010.
6. Capatina A., Stavre R. A control problem in biconvective flow //J. Math. Kyoto Univ. 1997. V. 37, N 4. P. 585-595.
7. Levandowsky M., Childress W. S., Hunter S. H., Spiegel E. A. A mathematical model of pattern formation by swimming microorganisms //J. Protozoology. 1975. V. 22. P. 296-306.
8. Babeshko O. M., Evdokimova O. V., Evdokimov S. M. On taking into account the types of sources and settling zones of pollutants // Dokl. Math. 2000. V. 61, N 2. P. 283-285.
9. Криксин Ю. А., Плющев С. Н., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции-диффузии // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, № 11. С. 95-108.
10. Калинина Е. А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальневосточный мат. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 89-99.
11. Belov Ya. Ya. Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.
12. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: WNTL Publishers, 2003. (Math. Studies. Monograph Series; V. 10).
13. Pyatkov S. G., Tsybikov B. N. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations // J. Evol. Equat. 2011. V. 11. P. 155-186.
14. Pyatkov S. G. On some classes of inverse problems for parabolic equations // J. Inv. Ill-Posed problems. 2011. V. 18. P. 917-934.
15. Пятков С. Г., Самков М. Л. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений // Мат. тр. 2012. Т. 15. С. 155-177.
16. Alifanov O. M. Inverse heat transfer problems. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 1994.
17. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Ненарокомов А. В. Обратные задачи в исследование сложного теплообмена. М.: Янус-К, 2009.
18. Badia A. El. , Ha-Duong T., Hamdi A. Identification of a point source in a linear advection-dispersion-reaction equation: application to a pollution source problem // Inverse Problems. 2005. V. 21. P. 1-17.
19. Dantas L. B., Orlande H. R. B., Cotta R. M. An inverse problem of parameter estimation for heat and mass transfer in capillary porous media // Intern. J. Heat Mass Transfer. 2003. V. 46. P. 1587-1598.
20. Ozisik M. N., Orlando H. A. B. Inverse heat transfer. New-York: Taylor & Francis, 2000.
21. Su J., Neto N. G. S. Two-dimensional inverse heat-conduction problem of source strength estimation in cylindrical rods // Applied mathematical modelling. 2001. V. 25. P. 861-872.
22. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verl., 2006. (Appl. Math. Sci.; V. 127).
23. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems. Berlin; Boston: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 2012.
24. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
25. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc., 1999.
26. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. Berlin: VEB Deutscher Verl. Wiss., 1978.
27. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
28. Solonnikov V. A. Estimates of solutions of the Stokes equations in Sobolev spaces with a mixed norm // J. Math. Sci. 2004. V. 123, N 6. P. 4637-4653.
29. Frolich A. The Stokes operator in weighted Lq-spaces II: weighted resolvent estimates and maximal Lp-regularity // Math. Ann. 2007. V. 339. P. 287-316.
30. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-163.
31. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.
Статья поступила 10 февраля 2015 г.
Короткова Екатерина Михайловна Югорский гос. университет, ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012 кеш@иг1гЬ .ги
Пятков Сергей Григорьевич
Югорский гос. университет,
ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012;
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
s-pyatkov@ugrasu.ru, pyatkov@math.nsc.ги
