Восстановление функции источника и параметров среды в системах тепломассопереноса с неполными данными переопределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

_2018 г. Выпуск 3 (50). С. 67-74_

DOI: 10.17816/byusu2018067-74 УДК 517.956

Е. М. Короткова

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА И ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ В СИСТЕМАХ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА С НЕПОЛНЫМИ ДАННЫМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ

В работе рассматривается вопрос о корректности задачи об определении функции источника и параметров среды в системах тепломассопереноса с неполными данными переопределения. Условия переопределения есть значения части вектора решений во внутренних точках области.

Ключевые слова: параболическая система, обратная задача, тепломассоперенос, краевая задача.

E. M. Korotkova

RESTORATION OF THE FUNCTION OF THE SOURCE AND ENVIRONMENTAL

PARAMETERS IN HEAT AND MASS TRANSFER SYSTEMS WITH INCOMPLETE

DATA OF OVERDETERMINATION

The question of well-posedness of the problem of recovering a source function and parameters of an environment in the heat-and-mass transfer systems with incomplete data of overdetermination is considered. The overdetermination conditions are values of a part of the vector of a solution in interior points of a domain.

Keywords: Parabolic system, inverse problem, heat-and-mass transfer, boundary value problem.

Введение

Рассмотрим параболическую систему уравнений, записанную в следующем виде:

г

щ + А(г.х.э^и = \(г,х)ц\(о + г,х) е (,( 1 ),

1=1

где (( = (0,Т)Х в, а в - ограниченная область в йп с границей Г класса С2. Здесь Ъ0, I = 1,2,...,г и / - заданные вектор-функции, причем компоненты Ъ\, начиная с некоторого номера г0 + 1 (г0 < К), равны нулю, а А - матричный эллиптический оператор второго порядка с матричными коэффициентами размерности :

А(г,х,Ох)= ^ ЫОА 1&,х,Ох)+ А5Го+1^,х,Ох) ,

1=г+1

п п

АI = — ^ а1,х)их.х. + ^ а1,х)их. + а 1,х)и, I = г + 1,...,зг0 + 1.

¿,У=1 ¿=1

В работе рассматривается коэффициентная обратная задача. В (1) неизвестными являются решение и и функции q\(*;), I = 1,2,...,зг0 (зг0 > г), входящие как в правую часть (1), так и в оператор как коэффициенты, а условия переопределения являются точечными.

Дополним систему (1) начальными и граничными условиями:

п

и I I=о = и о .В и | 5 = 1( 1,х)их. + (Г2(. I 5 = 9( Ь.х), ( 2 ).

1=1

где ох I (I = 1.2... ..п), (2 - матрицы размера к X к и Б = (О.Т) X Г. В случае задачи Дирихле, то есть а-11 = О при I = 1.2..... п будем считать, что (2(^ х) = Е, где Е - единичная матрица.

Обозначим через Ро а вектор длины го < к, координаты которого совпадают с первыми го координатами исходного вектора а длины к. Условия переопределения для нахождения функций qI записываются в следующем виде:

РоиIх=х} = Р](0.) = 1.2. ....Б.(3) , где {Х]}у _г - множество внутренних точек, лежащих в области С и р], } = 1. 2.. ...б - заданные вектор-функции.

Проблемы такого вида возникают во многих задачах: при описании диффузионных процессов, процессов тепломассопереноса, а также процессов фильтрации. Подобные модели возникают также при описании и ряда других областей (например, модель динамики популяции, модель фазового поля, для изучения фазовых переходов, модель смешивания пресной и морской грунтовых вод, модель диффузии и вязко-упругой релаксации в полимерах). Одной из моделей, возникающих при описании процессов тепломассопереноса, является система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями для температуры и концентраций переносимых веществ. По данным измерений на сечениях канала или некоторым другим характеристикам определяются те или иные параметры в задаче (коэффициенты уравнений) или плотности источников (правая часть).

В одномерном случае, когда , такие линейная и нелинейная задачи были изучены в пространствах Гельдера в [1]. Можно отметить работы [2], [3], где были рассмотрены задачи вида (1), (2) в общей постановке. В данной работе при выполнении условия параболичности приводятся оценки устойчивости решений задачи (1)-(3) в пространствах Соболева и получена также локальная по времени корректность, то есть доказано существование, единственность и непрерывная зависимость решений от данных задачи.

Основные результаты

Пусть Е - банахово пространство. Обозначим через Ьр(С;Е) пространство сильно измеримых функций, определенных на С со значениями в Е и конечной нормой. В работе будут использоваться пространства непрерывно дифференцируемых функций Ск( С), пространства Соболева ЪУр(С;Е), Бесова Врр(С;Е). Определение указанных выше пространств может быть найдено в [4]. Будем говорить, что и Е //р(С) (или и Е Ск(С)) для заданной вектор-функции и, когда каждая компонента щ принадлежит /¥р(С) (или Ск(С)). Норма в соответствующем пространстве - сумма норм координат. Аналогичное соглашение принимается и для матриц.

Для заданного интервала ( ), положим

/р'Г(() = Щ (/ ; Ьр(С)) ПЬр (/ ; //¿(С))

и

//¿'(Б) = Щ (/ ; Ьр(Г)) ПЬр (/ ; //¿(Г)).

Положим и § = В^(х]).]' = 1.2.....б. Для упрощения записей в дальнейшем будут использоваться следующие обозначения: ( ) ( ) , ( ) 5о = (О. Т) X д О, ( I = (О. т) X О, С5 = и г и 5 ь Г5 = Гпд С 5, Б 5 = (О. Т) X Г5, (& = (О.Т) X и 5ь (]8 = (О.Т) хС8 и ( } = (О.т) X С8.

Восстановление функции источника и параметров сред в системах тепломассопереноса с неполными данными переопределения Далее всюду будем считать, что параметр р > п + 2 и зафиксирован. Условия на коэффициенты оператора А и граничный оператор В стандартные (это те же условия, что возникают и при решении прямой задачи для параболических систем). Считаем, что выполнено:

а\(г,х) е ьоо( ( ),а0( г,х) е ьоо( ( ) , а\](г,х) е С(§),{,) = 1,2,...,п,1 = г + 1,. . .,5 Го + 1,(4) ах¿(г,х) е С 1 I2' 1(5)л = 1,2,. . .,п,а2(г,х) е С 1 1245). Ъ](г,х) еьо( ( ),дхЪ(г,х) еью( ((8)Л = 1,2,...,п,} = 1,2,...,г.(5) Также запишем дополнительные условия гладкости на коэффициенты:

д хх.а\ ]-,дх1а\,д хьа0 е Ью( ( 8)Л,} = 1,2,. . .,п,1 = г + 1,...,5г + 1,(6 ) дх^1 (г, х) е С112КЫ^х^г, х) е С1121(5!),ч = 1,2.....п.

Положим:

БГо

А 0( г,х,Ох)= ^ q 0 ( 0)А\( г, х, Ох) + А5го+1( г, х , Их) ,

1=г+1

БГ0

А0о(г,х,Ох)= ^ q0(O)А о\(г,х,Ох)+ А о5Го+1(г, х, Их),

1=г+1

где А0 ¡(г,х,%) = =1а\](г,х)%х.х., и предположим, что оператор д 1+А0 параболичен:

найдется постоянная такая, что любой корень многочлена ( ( ) )

(где - единичная матрица) удовлетворяет неравенству:

Яе р < — 81 | %| 2 V %емп^( г,х)е((.(7 ) Условие Лопатинского сформулируем в следующем виде. Для любой точки (г0,х0) е 5 запишем операторы и ( - главная часть оператора , в случае условий Ди-

рихле и В0и = ХП= 1а11их{ в противном случае), вычисленные в данной точке в локальной системе координат . Предположим, что система

(ХЕ + А 0( ¿% ' ,дУп))р(Уп) = 0,В 0( ¿%' ,дУп)р I Уп=0 = Ке С \( 8)

где ( ), имеет единственное решение в (! !! ! ), убывающее на бес-

конечности для всех %' е Еп _ -1, | аг^| < п I2 и К е С Гг, таких, что | %'| + | Х| Ф 0. Запишем условия согласования и гладкости данных. Имеем:

гр,( 0 ) = Р0и 0(х]),В( 0 ,х)и 01 г = д( 0,х),( 9 )

2 2

щ(х) е ш]~(с),Чщ(х) е ]/\/*~(с5),гР](г) е СЧ [0,Т]),( 1 0) Г е ьр(0),ЧхГ е ьр((±5),Г(г,х]) е С([0,Т]),(11)

где } = 1,2,. . .,5, и 5 > 0 - некоторая постоянная. Функции q\ будем искать в классе непрерывных функций. Следовательно, потребуем, чтобы

а\](г, хк), а\(г, хк), а0 (г,хк) е С([0,Т]),(12)

при всех I = г + 1,...,5г0 + 1 , к = 1,2,. . .,5, ¿,} = 1,2,. . .,п и |а| < 2

Определим матрицу В размера 5 г0 Х 5г0 следующим образом: строчки которой с номерами ( ) до занимают вектор-столбцы

(—Р0Ъ1(0,х]),...,— Р 0Ъг(0,х]), Р0Аг+1щ(х]),...,Р0АЗГои0(х])).

Потребуем, чтобы

| с1 е гВ | > 0.(1 3 )

Рассмотрим систему уравнений:

Вчо=д,Чо = ( чI .....Ч°Го),( 1 4)

где д - вектор-столбец, координаты которого с номерами от 0 — 1 )го + 1 до ] го представляют собой вектор:

Ро ([(0,Х]) — А5Го+1 щ(х]) — 0 При выполнении условия (13) система (14) будет иметь единственное решение:

чо = ( ч 0 ,ч0.....чОго).

Запишем теорему существования решения в следующем виде, используя указанные выше. Теорема 1

Пусть условия (4)-(6), (9)-(13) выполнены. Пусть оператор д{ + А0 параболичен и для операторов А 0 и В0 выполнено условие Лопатинского. Тогда для некоторого хо <Т существует единственное решение (и, ч 1, ■ ■ ■ ,Чбг0 ) задачи (1)-(3) из класса

и Е Ш12( ( То): Чхи Е (<?£). ¿1 <0, чС( [О.Хо ] ),1 = 1.....зго.

Запишем следующую теорему, являющуюся теоремой об устойчивости решений. При получении оценок устойчивости будет предполагаться, что условия, приведенные выше, в каком-то смысле равномерны по классу данных, который будет рассматриваться. Теорема 2

Пусть условия (4)-(6), (9)-(13) выполнены. Положим (и, ц) - решение задачи (1)-(3), отвечающее данным F = ([,{ф]}]=1 ,и0, д), удовлетворяющее условиям (9)-(11) из класса, указанного в теореме 1 с некоторым х0 Е (0, Т]. Зафиксируем некоторую 82 < 51. Тогда найдется Е0 > 0 и х 1 < х0, такие, что для данных ([1 ,{гр1 } ]=1 ,щ, д-1), удовлетворяющих условиям (9)-(11) и таких, что

1

\\Г (ЬХ])—Г Ч ^.Х])\\ о Г0]) + I I ио—и 1 I I 2 _2 + | | Г —Г1 I | ^ го) + I | V Х(Г—Г Ч I I ( То)

' о Ж, р(в) 6

¡=1 \ "р

+ | | V х(ио — ^| | 2 _2 + \\ф] — Щсч] ) + — Щ\счд) < го,

Мр ( С 61) /

существует единственное решение задачи (1)-(3) на промежутке [0, х 1 ] и справедлива оценка устойчивости:

БГ0

11 и — и 1 | | <2№Т1) + | | Ч х ' '(и — и 1) 11 1,2((}Т;1)+1\\Ч] — Ч}\\с( [о ТЛ

2У у=1

^^| Щ—Щ11 2_2 +| | Ч^щ—и^11 2_2 +| | 1 — 1111г^г1 )

Мр р (с) р (С61)

Ч | чх(Г — Г Ч11 ЬрШ

Б

+ 1 (\\г (ЬХ]) — Г Ч ЬХ])\\с([ ^) + №] — \

У=1

\\ф ]t—*Pjt\\ с 1([ о, Т1 ] )) ).

с Ч[о,Т1])

У=1

+

Восстановление функции источника и параметров сред в системах тепломассопереноса с неполными данными переопределения Вспомогательные утверждения

При выполнении условий (4), (7), (8) справедлива следующая теорема (смотри теорему 10.4 главы 7 в [4]). Теорема 3

Л-7П/7Т/117 Ш1II1/4С1 Л/ПТОЛШ?. П О*"» П11 -1 /1 Ш•»*/ 1ГП ПП П П С ^ Тл^/У /7 ГЧТ1! ГЧ С. \

(

,р

щ +А0( г,х,Ох)и = [,и|с=0 = и0(х),Ви15 = д, удовлетворяющее оценке:

Пусть в - ограниченная область с границей класса С2. Тогда, если д е Ьр((Т) (т < Т), то существует единственное решение и е /Ур " 2 (( Т) задачи:

и 1 1 < , 2 (я)< с

2

Г 1 I ЬР((2)+ I I д I I у^(5) + 1 I и01 ■ 2 -.

вррр(с)

Лемма 1

Если и е У/1р'2 т(( Т) (т > 0), р > п + 2т, то производная вида Б£и при |а| < 2т — 1

быть может после изменения на множестве меры ноль, принадлежит ( ), и если ( ) , то для всех с справедлива оценка:

11 Оаи 11с(о?)< с 11 и 11уу^т^г) ТР ,

где (,с - некоторые положительные постоянные, не зависящие от и и т е (0, 1 ]. Доказательство этой леммы можно найти в [3]. Лемма 2

Пусть условия (4)-(8), (12) выполнены. Пусть также данные ([,{{! } ]= 1 ,и 0 ,д) условиям (4)-(6). Определим вектор-функцию ц0(г) как решение системы (14). Тогда найдется число , такое, что при задача

ис + А0( г,х ,И х)и = д е Ьр(( Т),Ви = 0,и|с=0 = 0, где А 0( г,х,Ох) = °( г) АI(г, х , Ох) + А5го+г,х,Ох) имеет единственное решение из

класса ( ) и справедлива оценка:

1 1 и 1 1 ^(я1) <с 1 1 д 1 1 Ч(&),

где постоянная не зависит от данных задачи.

Доказательство леммы несложно провести с использованием следствий теоремы 3. Доказательство теоремы 1

Пусть и - решение задачи (1)-(2). Установим некоторые оценки. Сделаем замену qг) = ¡1 г) + q0 (г) и и = V + Ф , где Ф - решение следующей задачи.

г

Фс + А 0Ф = Г + ^Ъ ( (г,х^0 (г), 1=1

ФI с=0 = и 0 (х),В Ф | г = д( г,х), где А0 = Ацо+1 + Ты^0(г) Аи } = 1,2,...,5.

Имеем, что

+ А 0(г,х,о)v = (А0 — А)(V + Ф) + ^Ъi (г,х)^(г),(г,х) е ((.(1 5 )

1=1

V | с=0 = 0, В V15 = 0,( 16)

V (х ] ,г) = ф ] = гр ](г) — Ф(х ] ,г) е С\[0,Т]),гР](0) = Ррп(0) = 0.(17)

Таким образом, свели задачу (1)-(3) к эквивалентной и более простой задаче (15)-(17), которую и будем исследовать. Фиксируя функции ( ) и находя решение задачи

(15)-(16) на интервале ( О,т), получим отображение v = v(T) (T = (^,... ,isro)). Далее изучим его свойства.

Положим I I T I I с([о,т]) = Y^i I I li I I C( [о,т] ). Найдем параметр т1, указанный в лемме 2. Далее считаем, что т < т 1. Используя вспомогательную лемму 2, из (15) получим равенство:

v = ( д t+ ¿sr°+l)~sr°+1 -А )( v + Ф ) +

1 V" ( 1 Q)

+(дt + Аsr°+1)~1 ¿ bi (t, x)ii(t).

i=1

Обозначим через Нт пространство функций из Wp'2 (Qт), удовлетворяющих условиям

(16) (граничное условие выполняется на соответствующем интервале (0,т)). Имеем:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

< С С i 11 v 11 wi, 2 ( Q T) 11 р. 11 C( [ о, т])'

где постоянная с 1 зависит от норм коэффициентов операторов А i в L m( Q) и не зависит от т. Выберем шар, в котором мы будем искать решение Д. Далее считаем, что

IITII с( [о,т] ) <JCi=ri.(19~)

При выполнении этого условия оператор Sv = (дt + Asro+^ 1(Аsro+1 — А)v, S : Нт — Нт, в правой части уравнения (18) является сжимающим, и уравнение имеет единственное решение v Е Wp'2(Qт), удовлетворяющего начально-краевым условиям и оценке

I IvI I w¿2Q Т)<С2(Г1)=Я.( 2 О )

Здесь и далее через сi(R) обозначаем постоянные, не зависящие от конкретных данных задачи , .

Полученное решение обладает большей гладкостью в областях . Зафиксируем 81. Повторив рассуждения аналогично с [5] и используя лемму 4.6 главы 2 в [6], получим, что обобщенная производная dx.v принадлежит Wp'2 (Q¿¡ j) и удовлетворяет оценке

' ' v-t ' W-2[Qk¡)< ^R)-Ь Ч

В силу произвольности , и заключаем, что решение обладает свойством

vx. Е Wp'2( Q¿¡2 j) для любого 82 < 81 , i = 1, ...,п и j = 1,2,...,s. Таким образом, имеем оценку:

I IVxv 11 Wpl,2(Qrj< С3( R ).( 2 2 )

Теперь рассмотрим два решения v 1, v2 задачи (15)-(16), отвечающие двум различным наборам Ti = (i{,12,.■ -,llsro) ( i = 1,2) в правой части уравнения (15). Считаем, что для каждого из этих наборов выполнено условие (19). Вычитая второе уравнение из первого, получим, что разность ( T ) ( T ) удовлетворяет уравнению

sr0

шt + Аой)= ^ (if — р1)А^(t ,x,D)( v2 + Ф) sr° ^ r (23)

— ^ i1 АДt, x, D)ш + ^ bj (t, x)(i1(t) — ij(t)).

j=r+l j=l

Можно получить оценку

I I ш I I c4(R ) 11 T1 —T2 11 с( [ о, т]). ( 2 $)

Дифференцируя равенство (22) по переменным , получим также оценку вида:

Восстановление функции источника и параметров сред в системах тепломассопереноса с неполными данными переопределения

s

^ I I Рх'>(Ч \\w^\Ql3)< с$(R) 1 1 1 1—12 I 1 с([о,т]),(2 5 ) У=1

где S3 < S1 - произвольное фиксированное число.

Докажем разрешимость задачи. Пусть v, i - решение задачи (15)-(17) и, таким образом, v = v(i). В силу построения функции Ф (15) можно переписать в виде:

г sr0

v t + Av = ^bt,x),pi(t) — ^ pi(t)Ai(t,x,Dx№.

i=1 i=r+1

Применим и полагая получим:

sr0 r

ф j t - Ро A v( t, Xj) = Ро^р i ( t) A i( t, Xj, Dx) Ф( t, Xj)— Р^ b i( t, xj) p i( t) . ( 2 6)

i=r+1 i=1

Таким образом, построим систему уравнений для величин pi :

i( t) = Вф - -H(i)( t) = R(i),( 2 7) где Вф - матрица размера s го X sr0, строчки которой с номерами (j — 1 )го + 1 до jr0 занимают вектор-столбцы:

(—Р оЬ -( t, xj),..., — Р оЬ r( t, xj), Ро A r+-ф( t, xj),..., РоА5ГоФ( t, xj)).

Имеем, что В ф( 0 ) = В , и, значит, без ограничения общности можем считать, что функция det Вф( t) отделена от нуля на промежутке [0, т 1 ] , иначе уменьшим параметр т 1. H (i) -вектор-столбец, координаты которого с номерами от (j — 1)h + 1 до j h (j = 1,2,.. .,s ) есть векторы ф jt — Ро A v(t , xj).

Покажем, что можно найти такое , что оператор

R(i)=Вф-1 H (1)(t),R:C([0,T2]) — ( [0,T2]), (28) определен, переводит шар ВГ1(т2 ) = {1eC( [0,т2 ] ): I \i\ I С( [ог2])< ^ } в пространстве C ( [0, т2]) в себя и является в нем сжимающим. Фиксируем S2 < S1. Используя (23), (25), получим неравенство:

I I Rffi — R (2) 11et[о,г])< с7(R)т2 11 p1 — p2 11с([о,г]). (29 )

~ R 1

Выберем т2 такое, что %si=1 IIxj jt 11С([ог2]) с6 < r-^l2 и с7(R)т2 <-, где постоянная с6 -

норма оператора Вф-1 : C([0,т-J ) — C([0,т 1 ]). Тогда из (28), (29) вытекает, что оператор R определен, переводит шар ( ) в себя и является в нем сжимающим. Применяя теорему о неподвижной точке, получим, что в шаре ВГ1(т2 ) существует единственное решение системы (24).

Положим v = v(i). Покажем, что построенная функция удовлетворяет условиям (17). По построению v - решение задачи (15)-(16). Применим Ро и, полагая x = xj, вместо (15), (16) получим равенства:

r sr0

Ф t — Ро A v = ^Pоb i( t,xj)pi( t) — ^ Pi( ЪРо^ i<i>( t,xj))

i=1 i=r+1

Учитывая (26), получим:

j ( )

Значит, гр] = v(t,xj) и, следовательно, v удовлетворяет условиям переопределения (17). Доказательство теоремы 2. Утверждение теоремы 2 легко получается с использованием оценок приведенных в доказательстве теоремы 1, мы его опустим.

Литература

1. Ivanchov, M. Inverse problems for equations of parabolic type [Text] / M. Ivanchov. -Lviv : WNTL Publishers, 2003. - 346 p.

2. Pyatkov, S. G. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations type [Text] / S. G. Pyatkov, B. N. Tsybikov // J. Evol. Equat. - 2011. - Vol. 11. - P. 155-186.

3. Пятков, С. Г. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений [Текст] / С. Г. Пятков, М. Л. Самков // Математические труды. -2012. - № 15. - С. 155-177.

4. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа [Текст] / А. О. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. - Москва : Наука, 1967. - 736 с.

5. Пятков, С. Г. Об одной линейной обратной задаче для параболической системы уравнений [Текст] / С. Г. Пятков, Е. М. Короткова // Математические заметки СВФУ. - 2014. -Т. 21, № 3. - С. 36-86.

6. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа [Текст] / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. - Москва : Наука, 1973. - 576 с.