О некоторых классах обратных задач для псевдопараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.956

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С. Н. Шергин, С. Г. Пятков

Аннотация. Рассматривается обратная задача об определении правой части для псевдопараболических уравнений 3-го порядка. В качестве условия переопределения рассматриваются значения решения в отдельных точках. В пространствах Соболева доказывается теорема существования и единственности решений и приводится оценка устойчивости.

Ключевые слова: уравнение псевдопараболического типа, теорема существования и единственности решения, обратная задача, краевая задача.

1. Введение

Рассматриваем задачу об определении неизвестной правой части в уравнении

Шг + ми = /, (х, £) £ Ц = С х (0, Т), (1)

где Ь, М — дифференциальные операторы второго порядка по переменным х, С — ограниченная область в Мп (п > 1) с границей Г £ С2. Уравнение дополняется краевыми и начальными условиями:

и|я = ^ 5 = Г х (0, Т), (2)

и |г=о = ио(х). (3)

Правая часть в (1) имеет вид

т

/ = Е /оМ), (4)

где функции / даны, функции подлежат определению с использованием условий

и(хг,£) = (г = 1, 2,. .., т) (5)

и х^ — произвольные точки, лежащие в С.

Псевдопараболические уравнения и более общий класс уравнений — уравнения типа Соболева — возникают при описании процессов тепломассопере-носа, процессов фильтрации, волновых процессов и во многих других областях. Исследованию вопросов разрешимости краевых задач для псевдопараболических уравнений посвящено значительное количество работ (см., например,

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01—00260а).

© 2014 Шергин С. Н., Пятков С. Г.

[1,2]). В частности, рассматривались начальные, начально-краевые и периодические задачи, исследовались вопросы глобальной во времени разрешимости и разрушения решений. В случае глобальной во времени разрешимости исследовались вопросы асимптотического поведения решений рассматриваемых задач при больших временах, теория рассеяния и устойчивость решений типа уединенных волн как для одномерных, так и для многомерных уравнений, в частности, для уравнений типа Бенджамена — Бона — Махони — Бюргерса и Розенау — Бюргерса [3,4]. Применение полугруппового подхода к общей теории сингулярных уравнений соболевского типа получило глубокое и широкое развитие в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [2]. Исследованию краевых задач для псевдопараболических уравнений с незнакоопределенным или необратимым оператором при старшей производной по времени посвящен ряд результатов, содержащихся в книге [5]. В [6] рассматриваются вопросы локальной разрешимости для нелинейных уравнений псевдопараболического типа.

Псевдопараболические уравнения с монотонной нелинейностью исследовались в [7], где в развернутом виде применялся классический метод монотонности в приложении к разнообразным классам уравнений математической физики и, в частности, к нелинейным уравнениям соболевского типа с монотонными нелинейностями. Существование глобального во времени решения нелинейного уравнения Буссинеска с источником и его разрушения за конечное время исследовалось А. И. Кожановым [8]. В его работах доказательство разрушения решения первой краевой задачи приводится на основе принципа сравнения для данного уравнения. В частности, доказано разрушение положительного решения задачи и получены результаты типа теорем существования-несуществования.

В [9] исследован вопрос о единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения псевдопараболического типа

П = сДп + <р(п)

в классе растущих функций <^(п), где п принадлежит некоторому классу корректности. Доказательству принципа максимума для уравнений псевдопараболического типа посвящена работа [10].

Исследованию псевдопараболических уравнений методами функций комплексного переменного посвящена работа [11]. Метод доказательства несуществования решений некоторых классов краевых задач, основанный на использовании принципа максимума, развит в работах Ю. В. Егорова и В. А. Кондратьева.

Принципиально новый подход, называемый методом пробных функций, предложен в [12,13]. Вопросы существования и несуществования решений для различных математических моделей на основе уравнений типа Соболева приведены в известной монографии [14], где также может быть найдена необходимая библиография.

Обратные задачи для уравнений соболевского типа исследовались крайне мало. В [15,16] изучена обратная задача идентификации старшего коэффициента, зависящего от времени, в линейном псевдопараболическом уравнении при интегральном условии переопределения на границе области и доказана локальная теорема существования и единственности сильного решения, а также установлен ряд свойств решений обратных задач этого типа. В [17] рассматривался вопрос о восстановлении ядра интегрального оператора, входящего в уравнение типа Соболева, по заданному функционалу от решения. Близкие результаты получены в [18].

Близкая к нашей постановка задачи рассмотрена в [18], где по функционалу от решения восстанавливалась зависящая от Ь скалярная функция, входящая в качестве множителя перед элементом данного банахова пространства в правую часть абстрактного уравнения типа Соболева. Аналогичная постановка рассмотрена в [19], где восстанавливался уже элемент банахова пространства по интегральному условию переопределения. Можно отметить монографию [20], где также рассмотрен ряд обратных задач для уравнений составного типа.

Отметим ряд работ и монографий, где сделаны существенные продвижения в теории обратных задач для параболических уравнений и систем [21-25]. В частности, обратная задача в той же постановке, но для параболических уравнений и систем рассмотрена в [26-28].

Основной результат работы — теорема 3, в которой доказаны существование и единственность решения задачи (1)-(3), (5) и приведена оценка устойчивости.

2. Обозначения и вспомогательные результаты

В работе используются пространства Соболева и Гёльдера С"(С).

Пространство сильно измеримых функций, определенных на [0,Т], со значениями в Н обозначим через Ьр(0,Т; Н) (Н — банахово пространство). Условие Г € С2т означает, что для любой точки хо € Г найдутся окрестность и (координатная окрестность) и система координат у (локальная система координат), полученная путем поворота и переноса начала координат из исходной, в которой

ис\С={у£Жп -.у' ев;, ш{у') <уп < и(у')+5},

и П (М™ \ С) = {у е М™ : ш(у>) — 8 <уп < ш{у')},

тпй={уежп-.у'ев;, уп = и(у')},

где у' = (у1,у2,... ,Уп— 1), Вг = {у' : |у'| < г}, 5 > 0 — некоторая постоянная и ш £ С2т(Вг ). Без ограничения общности считаем, что для локальной системы координат ось уп направлена по нормали к Г в точке хо. Пусть Ь и М — операторы второго порядка вида

т т

ьи = ^ ац(х,г)их,х^ аг(х,Ь)их, + ао(х,Ь)и,

»,3=1 1=1

тт

ми =^ Ъц(х,грхх + Х!&г(х,4)их, + Ъо(х,г)и.

1,3 = 1 ъ=1

Считаем, что Ь эллиптичен. Таким образом, существует постоянная 5 > 0 такая, что

п

»,3=1

Запишем условия на коэффициенты операторов Ь, М. Фиксируем параметр р > п и предположим, что

ац е с {С}), Ьу е Ьоо(<9),

а»,ао € С([0,Т]; Ьр(С)), ао(х,4) < 0 п. в. в Ц, (6)

Ъ», Ъо € Ьто(0,Т; Ьр(С)) (1,о = 1, 2,... ,п). При этих условиях на коэффициенты Ь справедлива

Теорема 1. Задача Дирихле

Ьи = /, и|г = 0, (7)

для всех / £ Ьр(Ц) имеет единственное решение и £ Ьр(0,Т; ЭД^С)), и справедлива оценка

Ни||ьр(0,т;^р2(О)) < с||/Уьр(д),

где постоянная с не зависит от /.

Доказательство. Разрешимость задач (7) (зависящих от параметра вытекает из единственности решений (см. принцип максимума в [29, гл. 9]) и фредгольмовости этих задач. Оценка для решений может быть получена с использованием того факта, что коэффициенты оператора непрерывны по значит, в некоторой окрестности любой точки ¿о £ [0,Т] можно получить оценку вида ||и||^2(о) < с||Ьи||£р(с) с постоянной с, не зависящей от Эти оценки гарантируют и наличие глобальной оценки из формулировки теоремы.

Запишем условия на данные задачи.

Условия согласования:

у>(х, 0) |г = ио(х)|г, ^(0) = ио(хг) (г = 1, 2,...,т). (8)

Условия корректности. Пусть В — матрица с элементами Ъ^- = Ь-1/Дх^-, ¿), и пусть существует ¿о > 0 такая, что

| ¿е! В| > ¿о, ^ £ [0,Т], (9)

где Ь-1/ — решение Ui задачи ЬUi = /¿, = 0.

Лемма 1. Найдется постоянная с > 0 такая, что для всех и £ ^(Ц7)(р> 1), Ц7 = С х (0,7), таких, что и(х, 0) = 0, выполняется неравенство

||и|ир(о,7,^(о)) < с7).

Доказательство. Утверждение вытекает из интерполяционного неравенства (см. [30])

||и||^(о) < с||и||^2(о)||и|С(о) и формулы Ньютона — Лейбница.

Лемма 2. Пусть р > п. Если Ъ £ Ьр(С), то найдется постоянная с > 0 такая, что для всех и £ ЭД^С) выполнено

||ЪУи||ьр(О) < с|и||%2(С), (10)

||Ъи||Ьр(о) < с|и(11)

Доказательство. Оба неравенства вытекают из теорем вложения [30, 31]. Имеем ^2 (С) С С1 (С) при р > п. Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Фиксируем г = 1,2,..., п. С помощью неравенства Гельдера получим

\\ьиХг\\ьАс) = /Р < \\и\\с1т\\ь\\ьАС)<с\\и\

О

Пусть далее Ц7 = С х (0,7).

Теорема 2 (о разрешимости прямой задачи). Пусть / £ Тр(^) (р > п), Цо(ж) £ ^^С) и р4 £ Тр(0,Т; и выполнены условия (6) на коэф-

фициенты. Тогда существует единственное решение задачи (1)—(3) такое, что

Ц,Ц £ Тр(0,Т; %2(С)), и(¿) £ С([0,Т]; %2(С)).

Если р = 0, Цо(ж) = 0, то найдется постоянная с > 0, не зависящая от 7 £ [0, Т], и / такие, что решение задачи (1)—(3) удовлетворяет оценке

||Ц+ У^сУьр(0,7;Ш(о)) < с||/||ьр(дт).

Доказательство. Рассмотрим промежуток [0,Т]. Построим функцию Ф такую, что

Ф. £ Т,..(0 Т; и например, следующим образом:

Ф. £ Тр(0, Т; ^2(С)), Ф|я = р, Ф|.=о = Цо(ж),

Ф = ф + Ц,, ф = ^ фо(ж,т) ¿г, Афо =0, фо|г = р. о

(существование такой функции фо вытекает из известных результатов, см., например, [29]). Сделаем замену неизвестного V = Ц — Ф. Тогда функция V удовлетворяет условиям

V = 0, V |.=о =0, ¿V. + «V = / — ТФ4 — МФ = д.

С помощью теоремы 1 можно переписать уравнение в виде

V + У L-1MV(т, ж) ¿т = Т-1д.

о

Используя теорему 1 и лемму 2, легко понять, что справедлива оценка

||Ьр (о,т ;^|(С)) < с| V (о,т т < Т, (12)

которая с использованием теоремы о неподвижной точке позволяет доказать

утверждение теоремы. Отметим, что / L-1MV(т, ж) ¿т — оператор типа Воль-

о

терра. Решение удовлетворяет оценке (12) с 7 = Т. Рассмотрим промежуток (0,7) (7 < Т) и докажем утверждение теоремы об оценке. Рассмотрим (1)—(3), (5), где Ц = 0, р = 0, и возьмем в качестве / функцию

/о = { 0 !< 7' £ тР(д). [0, 4 > 7,

Тогда существует единственное решение Ц задачи (1)—(3), удовлетворяющее оценке

|ио|ьте(о,Т;^р2(о)) + (о,Т;^2(о)) < с|/оУьр(д) = с||/Уьр(дт). (13)

В силу теоремы единственности Ц совпадает на [0,7] с решением и задачи (1)—(3), где Цо = 0, р = 0. Из оценки Ц получим

||Ц|ьте(о,7;^2(о)) + |Цс|Ьр(о,7;^2(о)) < с||/Уьр(дт).

3. Основные результаты

Рассматриваем задачу (1)-(3), (5). Основной результат состоит в следующем.

Теорема 3. Пусть коэффициенты операторов Ь, М удовлетворяют условиям (6), выполнены условия согласования (8) и условия корректности (9) и

/о € Ьр(Ц), /» € Ьто(0,Т; ЬР(С)), ио(х) € %2(С),

р4 € Ьр(0, Т; 1/р(С)), ф» € ^р1(0,Т), г = 1, 2,...,т, р > п. Тогда существует единственное решение задачи (1)-(5) такое, что

и,и4 € Ьр(0,Т; %2(С)), с» (4) € Ьр(0,Т) (г = 1, 2,...,т). Решение (и, с1;..., ст) удовлетворяет оценке

Ии||ьр(0,т+ Н^Нь^О.Т+ С 11С»(4)11Мо,Т)

»= 1

< ^Н/оУьР(д) + Н^*Ньр(о,тВ-1^)) + С ||ф«НЫо,т^ ,

где с —некоторая постоянная, не зависящая от функций /о, р, ф», г = 1, 2,..., т.

Доказательство. Как при доказательстве теоремы 2, построим функцию Ф(х,4) такую, что Ф,Ф4 € Ьр(0,Т; %2(С)):

Ф^ = р, Ф|4=о = ио(х).

Сделаем замену неизвестного: и = V + Ф (V = и — Ф). Уравнение приходит к виду

тт

ЬVt + MV = /о — ЬФ — МФ + ^ с»/» = до + /,

»= 1 »= 1

где функция V удовлетворяет условиям

V(х»,4) = и(х»,4) — Ф(х»,4) = ф» — Ф(х»,4) = р»(4) (г = 1,... ,т), V |,5 = 0, V |*=о = 0.

Обращая Ь, получим

(14)

V + Ь—1МУ = Ь—1до + 53 с»Ь—1/», (15)

с»

»= 1

где оператор Ь—1 сопоставляет правой части д решение задачи:

LV = д, V |я = 0, V |4=о = 0.

Поскольку Ф(х,4) € ЭД^С; Жр-(0, Т)) и р > п, после, может быть, изменения на множестве меры нуль можем считать, что функция Ф(х, 4) непрерывна по ж при п. в. 4 и Ф(ж,£) € С(£7; И^(0,Т)). Следовательно, Ф(жг,£) € И^(0,Т), тем самым р» € ЭД^ (0, Т). Полагая х = х», получим

т

рй + Ь—1МУ(х»,4) = Ь—1до(х»,4) 1/з)(х»,*)с,-(4).

3=1

По условию (9) имеем

| ае* в| > ¿о > о, г е [0,т], в = {Ь-1/г(х.г)}^.

Таким образом,

в-

( фи + (Х1 ,г) - Ь-1до(х1 ,г)

\Prnt + Ь 1МУ (жт ,г) - Ь 1до(хт ,г),

/С1

\<

Получили уравнение для нахождения вектор-функции с = (с1, с2,..., ст), где V = V(с) — оператор, сопоставляющий вектору с решение задачи

АоУ = ¿V + «V = до + ^ / V= 0, V|*=о = 0. (16)

¿=1

Функцию V представим в виде

/ т \ / т \

V = А-1 до + А-1 ]Т / = ^о + А-1 ]Т / .

, ¿=1

, ¿=1

Таким образом, систему для нахождения вектор-функции с можно записать в виде:

с = со + Д(с), (17)

со = В-

/ + ь-1ми>(жьг) - ь-1до(х1,г)

\prnt + Ь 1МУо(жт,г) - Ь 1до(жт, г),

/ т

' Ь^МА-1^ сг/¿(Х1,г)

й(с) = В-

¿=1

Ь^МА-1 £ с,/,(Хт ,г)

¿=1 /

Отметим, что функции Ь /¿(х, г) принадлежат Ьто(0,Т). Действительно, /¿(ж, г) е Ьто(0,т; Ьр(С)) и Ь-1/г е Ьто(0,Т; %2(С)). Таким образом, при Ь-1/ е ^(С) п. в. г. В силу теорем вложения (см., например, [31]) и условия р > п функция Ь-1/г(ж,г) непрерывна после, может быть, изменения на множестве меры 0 при п. в. г и определен след , г). Имеем

||Ь-1/г(Х" ,г)||ьте(о,Т) < с||Ь-1/г(х,г)|ите(о,Т;^(0)) < с11| /г || (о,Т;Ьр (О)).

Легко видеть, что справедлива оценка

|В-1д(г)|Ьр(о,7) < с|д(г)|Ьр(о,7)

для любого вектора д е Ьр(0, 7) и 7 е [0,Т], причем постоянная с не зависит от 7. Таким образом,

||Д(с*)|ир(ол) < сЕ

¿=1

Ь-1МА0-1 ]Т / (х ,г)

Ьр (о,7)

1

т

1

В силу теорем вложения правая часть оценивается так:

с2

Ь—1 ]Т с»/»

< сз

Мол

МА—1 ]Т с»/»

Ьр(о,7;ЬР(С))

< сз7

1/р

МА—^ ]Т /

< с471/р

(т

Е/

»=1

Воспользуемся оценкой из теоремы 2. Тогда последнее выражение оценим через

с571/^ 1|с»/»|

»= 1

(18)

Имеем

1/р

/»Ньр(д^) = П | |с»|р|/»|р(х,4) Аг^

V о о У

7 \ 1/р

I |с»|/»|р(х,4) ¿х^ I < ||/г||^(о,т;Ьр(с)) ( / Ыр(;) Л

1/р

Г фу |/ |р

. о о

Таким образом, (18) оценивается через

т

свТ1/рЕ 1|с»Пмо,т).

»=1

Окончательная оценка имеет вид

НД(с)Пьр(о,7) < с771/р||сЪр(о,т),

(19)

где с7 не зависит от 7. Таким образом, если с771/р = до < 1, то уравнение (17) имеет единственное решение с на [0,7]. Рассмотрим уравнение

с — Д(с) = со.

(20)

Без ограничения общности можем считать, что все постоянные, возникающие в процессе доказательства оценки (19), не зависят от 7. Пусть с — решение, определенное на промежутке [0,7]. Построим вектор

с1 =

^ 4 < 7, 0, 4 > 7.

Сделаем в (20) замену /г1 = с — с1. Если с — решение на промежутке [0, 27], то /г1 = 0 при 4 < 7 и /г1 — Д(/г1) = со — с1 + Д(с1). Здесь правая часть обращается в нуль на [0, 7], тем самым Д(/г1) = 0 при 4 < 7. Решаем систему

¿1 — Д^) = со — с*1 + Д(с1)

(21)

7

уже на [7, 27]. Таким образом, если ^ € Ьр(0, 27), то

||Я(к1)Нм7,27) < с^

3=1

< С2^

3 = 1

< сз

МА-1 Е к/

\г=1 < С471/р

Е / И

(Ш

Е^

г=1

< сз71/р

ьр(7,27;мс))

Ш

А-1 Е к/

М7,27 ) Ьр(7,27;^?(0))

Ш

МА-1 ]Т к»/»

, »=1

. »=1

< С571/р

г=1

Ь^(7,27 ;ЬР(0))

)

< св71/^ ||кг||Мо,т), ¿1 = (к1, к2,..., кШ).

Окончательная оценка имеет вид

1|Я(к1)!ьр(7,27) < С771/Р|к1|ьр(с,т),

где без ограничения общности можно считать, что С7 — та же постоянная, что и в (19). Таким образом, уравнение (21) имеет единственное решение /г1 € Ьр(0, 27) такое, что /г1 = 0 при 4 € (0, 7). Следовательно, функция с = с1 + /г1 — решение (17) из Ьр(0, 27).

Повторяя рассуждения, построим решение с уравнения (17) на всем промежутке [0,Т]. Построим функцию V как решение задачи (16). Покажем, что функция V удовлетворяет условиям (14). Обращая Ь, получим, что V удовлетворяет уравнению (15). Берем в (15) х = х» (г = 1, 2,..., то) и получаем

Ш

^(хг, 4) + (жг, 4) = Ьо1дс(хг, 4) + Ь-1^(/(жг, 4). (22)

3=1

Вектор-функция с такова, что

Ш

¥>«(*) + Lо1MV(хг,4) = Ь-1до(хг,4) ^^з(¿)/з(ж»,4). (23)

3=1

Вычитая (23) из (22), имеем — = 0, или ^^(х»,4) — = 0.

Интегрируя от 0 до получим V(х»,4) — = V(х», 0) — р»(0) = 0, поскольку «(х», 0) = 0 и Р»(0) = ^г(0) — ф(х», 0) = ^г(0) — и0(х») = 0 в силу условий согласования. Таким образом, V(х», 4) = (г = 1, 2,..., то).

Получим оценки для решения. Оценим ||с||, где с — решение уравнения (17). Имеем

1с^|Ьр(0,7) <

с1

1

|соУьр(о,7)

1 — 9о

< -—— I Е 11^*11ьР(0,7) + 11/о||ьР((Эт) + ПФ^Пх.рСо^^^сс)) + ||Ф||ьр(о,7;И^(с)))-

1 — 9о

Далее

— Д(^1) = со — с 1 + Д(с1)

на промежутке [7, 27], значит, 1

1 - qo

IIMLp(7,27) ^ 1-II СО - Ci +i?(ci)||Lp(7j27)

<

С2

1 - q0 \j=i Тогда IIcIImo^y)

53 ||^it|Lp(0,27) + Н/оУьр^т) + УУLp(0,27; Wp(G)) + |Ф|ЬР(0,27)

<

С3

||^it|Lp(0,27) + ||/0|Lp(Q2Y) + |$t|Lp(0,27;Wp2(G)) + |Ф|Ьр(0,27) •

1 - q0 v=i /

Повторяя рассуждения, получим неравенство

||lc||Lp(0,T)

- У Pit У Lp(0,T) + ||/0|Lp(Q) + yLp(0,T ;Wp2(G)) + H^Lp^T ;Wp(G)) ^ •

Как вытекает из свойств построенной функции Ф, правая часть в этом неравенстве оценивается через

c ||/0|Lp(Q) + 1Ы| Lp(0,T;Wp2-1/p(G)) +53 ||^it|bp(0,T) ] ,

откуда и вытекает утверждение теоремы об оценке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bebernes J., Lacey A. A. Global existence and finite time blow-up for a class of nonlocal parabolic problems // Adv. Differ. Equations. 1997. V. 2. P. 927-954.

2. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht: VSP, 2003.

3. Chung S. K., Pani A. K. Numerical methods for the Rosenau equation // J. Appl. Anal. 2001. V. 77, N 3-4. P. 100-116.

4. Chen Yu. Remark on the global existence for the generalized Benjamin-Bona-Mahony equations in arbitrary dimension // Appl. Anal. 1988. V. 30, N 1-3. P. 1-15.

5. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

6. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

7. Showalter R. E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997. (Math. Surveys Monogr.; V. 49).

8. Кожанов А. И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником // Мат. заметки. 1999. Т. 65, № 1. С. 70-75.

9. Гладков А. Л. Единственность решения задачи Коши для некоторых квазилинейных псевдопараболических уравнений // Мат. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 356-362.

10. Di Benedetto E., Pierre M. On the maximum principle for pseudoparabolic equations // Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30, N 6. P. 821-854.

11. Begehr H., Dai D. Q. Initial boundary value problem for nonlinear pseudoparabolic equations // Complex Variables, Theory Appl. 1992. V. 18, N 1-2. P. 33-47.

12. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений дифференциальных неравенств в частных производных // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 234. С. 3-234.

13. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 223-235.

14. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

15. Любанова А. Ш. Идентификация коэффициента в старшем члене псевдопараболического уравнения типа фильтрации. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012.

16. Lyubanova A. Sh., Tani A. On inverse problems for pseudoparabolic and parabolic equations of filtration // Inverse Probl. Sci. Eng. 2011. V. 19, N 7. P. 1023-1042.

17. Асанов A., Атаманов Э. Р. Обратная задача для операторного псевдопараболического интегродифференциального уравнения // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 38, № 4. С. 752-762.

18 . Favini A., Lorenzi A. Differential equations. Inverse and direct problems. Tylor & Francis Group, LLC, 2006.

19. Urazaeva A. V., Fedorov V. E. On the well-posedness of the prediction-control problem for certain systems of equations // Math. Notes. 2009. V. 85, N 3. P. 426-436.

20. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems.. Utrecht: VSP, 1999. (Inverse Ill-posed Probl. Ser.).

21. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.

22. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.

23. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003. (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

24. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer-Verl., 2006. (Appl. Math. Sci.; V. 127).

25. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, Inc., 1999.

26. Pyatkov S. G. On some classes of inverse problems for parabolic equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 18, N 8. P. 917-934.

27. Pyatkov S. G., Samkov M. L. On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations // Sib. Adv. Math. 2012. V. 22, N 4. P. 287-302.

28. Pyatkov S. G., Tsybikov B. N. On some classes of inverse problems for parabolic and elliptic equations // J. Evol. Equations. 2011. V. 11, N 1. P. 155-186.

29. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

30. Трибель Х. Теория интерполяции.Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

31. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

Статья поступила 28 мая 2014 г.

Шергин Сергей Николаевич, Пятков Сергей Григорьевич Югорский гос. университет, ул. Чехова 16, Ханты-Мансийск 628012 [email protected], [email protected]