ОБ ОПЕРАТОРЕ ТЕПЛИЦА НА ТОРЕ В НЕКОТОРЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

УДК 517.9

ОБ ОПЕРАТОРЕ ТЕПЛИЦА НА ТОРЕ В НЕКОТОРЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

А. Э. Пасенчук, В. В. Серегина, М. Н. Середина, Т. В. Жидченко

Аннотация. В счетно-нормированных пространствах функций на торе, гладких по одной или обеим переменным, изучаются операторы Теплица с символами, обеспечивающими ограниченность этих операторов в указанных пространствах. Для исследования операторов типа бисингулярных в пространствах суммируемых и гёль-деровских функций применялся метод частичной регуляризации. Этим методом в данной работе получена конструкция регуляризатора и условие нетеровости оператора Теплица в счетно-нормированном пространстве функций, гладких по одной из переменных. Несмотря на то, что в множестве нетеровых операторов в этом пространстве в отличие от случая банаховых пространств имеются операторы с обращающимися в нуль на торе символами, эти результаты вполне аналогичны случаю банаховых пространств. Иначе обстоит дело в пространстве функций, гладких по обеим переменным. Показано, что метод частичной регуляризации неприменим в том пространстве.

DOI: 10.25587/SVFU.2022.10.44.003

Ключевые слова: счетно-нормированное пространство, тор, оператор Теплица, символ, обратимость, критерий, нетеровость, конструкция, регуляризатор.

1. Введение

Нам понадобятся следующие обозначения: Z — множество целых чисел, Z+ = {k G Z : k > 0}, Z_ = Z\Z+, C — множество комплексных чисел,

Г = {z G C : |z| = 1}, Г2 = Г x Г,

D+ = {z G C : |z| < 1}, D- = {z G C : |z| > 1}.

Пусть X, Y — линейные топологические пространства, обозначим через End(X, Y) (K(X, Y)) множества линейных непрерывных (компактных) операторов, действующих из X в Y. Если X = Y, то будем вместо End(X, X), K(X, X) писать End X, K(X) соответственно. Пусть A — алгебра с единицей, через GA будем обозначать группу обратимых элементов этой алгебры.

Через L2(r), L2(r2) обозначим стандартные гильбертовы пространства измеримых суммируемых с квадратом функций на окружности Г и торе Г2 соответственно. Будем считать, что в пространстве гладких на Г функций CТО(Г)

© 2022 Пасенчук А. Э., Серегина В. В., Середина М. Н., Жидченко Т. В.

топология задается при помощи следующего набора монотонных попарно согласованных норм:

моит = £(Ы + 1)2тЪI2, т е ъ(С) = Е ъС3, С е г.

Через Ст(Г) обозначим пополнение пространства СТО(Г) по норме || • ||т, т е тогда

СТО(Г) = р| Ст(Г)

т£И+

и при этом

¿2(г) = С°(Г) Э Сх(г) э ■ ■ ■ э Ст(Г) Э Ст+Х(Г) Э ....

Рассмотрим банахово пространство Ст'"(Г2) = Ст(Г)(Сп(Г), являющееся пополнением по норме

2

£ еп = £ (1^1 + 1)2т(1^-| + 1)2>кз|2

т,п

линейной оболочки множества функций Ст(Г) ( СП(Г) = (ъ(С)^(п) : Ъ е Ст(Ге СП(Г)}. Отметим, что Ь2(Г2) = С°'°(Г2). Нас будут интересовать следующие счетно-нормированные пространства:

С~,°(г2) = р| Ст'°(Г2)

теи+

с порождающим набором норм || • 11, т е и

2) __Ст,П(Г 2)

с порождающим набором норм ||^||т,п, (т, п) е . Введем также сопряженные пространства

С-т(Г) = (Ст (Г ))*, С-ТО'-ТО(Г2) = (СТО'ТО(Г2))*, С—т,-п(г2) _ (Ст,п(г2))* С-^'°(Г2) _ (С^'°(Г2))* __т'°(Г2)

т£И+

Будем предполагать, что в пространствах, сопряженных к счетно-нормирован-ным, определена слабая топология. Хорошо известно, что в банаховых пространствах Ст(Г), т е и ограничены сингулярные проекторы

2 пг ^ т — С

порождающие подпространства £±(Г) = Р±(^(Г)), Ст(Г) = Р±(Ст(Г)), т е N и {<»}. Обозначим через Р ±± операторы проектирования Р= РР±, действующие в пространствах Ь2(Г2), Ст'"(Г2). Ясно, что операторы проектирования Р±± могут быть определены на обобщенных функциях из С—т,—П(Г2),

(то, п) е £+, формулами (Р= (/,Р/ е С-т'-п(Г2), ^ е ст'"(Г2), (то,п) е . Отметим, что во всех введенных пространствах операторы Р ±± действуют по правилу

/

(к,Леи± хг±

р:±( Е ] = Е е-п.

Положим

С^П (Г 2)(Г2) = Р ±±(Ст-"(Г2)), Р±±(Г2) = Р ±± (¿2(Г2)). На тригонометрических полиномах определим также набор норм

|Е ^ п = Е(|к| + 1)тш I +1

I — т,п —

к,] к,]

и замыкание этого линейного пространства по норме | ■ |т,п обозначим через ^т'"(Г2). Счетно-нормированные пространства Wто,0(Г2), Wто,то(Г2) вводятся аналогично Сто'0(Г2), Сто,то(Г2). Нетрудно проверить, что Wто'0(Г2), Wто,то (г2) являются топологическими алгебрами относительно описанной топологии и поточечных операций. В топологических алгебрах Wт,п(Г2) выделим подалгебры функций, аналитически продолжимых по одной из переменных в области и будем обозначать через Wm.'n(Г2) в случае первой переменной и W:r(Г2) в случае второй. Положим

W:то¿0(Г2) = W.±'0(Г2) п Wто.0(Г2), W:то±то(г2) = W.±'то(Г2) п Wто.то(Г2).

Лемма 1.1. Если а(£,п) е Wт,п(Г2), то оператор а(£,п)! ограничен в пространстве Ст'"(Г2), (то,п) е .

В этой работе рассматривается двумерный оператор Теплица Та : X ^ X, где X е |Р++(Г2),Сто0(Г2),Стото(Г2)}, действующий по правилу

М^п) = Р++ а(С,п)<Ж,п)-

При этом функция а(£,п), определенная на Г2, порождает ограниченный оператор умножения и называется символом оператора Та. Основным пространством, в котором изучается оператор Та в этой работе, является счетно-норми-

рованное пространство С+°-+0(Г2). Результаты для пространств Р++(Г2), ,2

С++ (1 2) приводятся для сравнения с результатами в этом пространстве.

Отметим, что двумерный оператор Теплица и подобный ему оператор Винера — Хопфа изучался ранее в различных предположениях относительно символа в работах [1—12]. Наиболее общий результат получен И. Б. Симоненко [1]. Этот результат можно сформулировать следующим образом: оператор Теплица Та : Р++(Г2) ^ Р++(Г2) нетеров тогда и только тогда, когда его символ допускает факторизацию а(£,п) = а-*(£,п)а+*(£,п), где а±*(£,п) е W:°'°(Г2) и операторы Та±^ : Р++(Г2) ^ Р++(Г2) обратимы. В серии работ В. С. Пили-ди, Л. И. Сазонова [13-15] (см. также [16,19]) для исследования операторов типа бисингулярных (в том числе и оператора Теплица) был предложен метод частичной регуляризации. Мы, используя этот метод, показываем, что достаточность теоремы Симоненко имеет место и в случае пространства С++0(Г2). Кроме того, показано, что этот метод неприменим в пространстве С+°+то (Г2).

2. Вспомогательные сведения и результаты

2.1. Пусть {Xp, | • |p}, p Е Z+, — семейство банаховых пространств, удовлетворяющих условиям

Xo D Xi D ••• D Xp D Xp+i D .. ., Mo < Mi < ••• < Mp < Mp+i < ...

для любых ^ Е X, X = p| Xp. Хорошо известно, что X является полным

pez+

счетно-нормированным пространством с порождающим набором норм | • |p, p Е Z+, и, обратно, всякое полное счетно-нормированное пространство допускает приведенное описание. Ограниченную последовательность будем называть абсолютно некомпактной, если из нее нельзя выделить ни одной фундаментальной подпоследовательности. Ясно, что замкнутое ограниченное подмножество пространства X некомпактно тогда и только тогда, когда в нем найдется хотя бы одна абсолютно некомпактная последовательность.

Пусть A Е End X, где X — счетно-нормированное пространство. Этот оператор плотно определен в каждом из банаховых пространств Xm, m Е Z+. Если оператор A удовлетворяет оценке |Ax|m < cp|x|p, то он может быть продолжен до линейного ограниченного оператора A Е End(Xm,Xp), который условимся обозначать той же буквой.

Лемма 2.1. Если оператор T Е K(X), то найдется m Е Z+ так, что T Е End(Xm, Xp) для любых p Е Z+.

Доказательство. Пусть Um,e = {x Е X : |x|m < е} — окрестность нуля в X, образ T(Um,e) предкомпактен. В частности, множество T(Um,e) ограничено в X, поэтому для любых x Е Um,e найдутся константы cp > 0 такие, что |Tx|p < ср, р G Z+. Ясно, что если х £ X и х ^ 0, то G Urri}e, поэтому \Тх\р <

^\x\m,p£Z+. □

Введем следующие подмножества линейных операторов, действующих в X: Km(X) = {T Е EndX : T Е K(Xm,Xp),p Е Z+}, m Е Z+, где K(Xm,Xp) — пространство всех компактных операторов, действующих из Xm в Xp.

Теорема 2.2. Имеет место равенство K(X)= (J Km(X).

m£Z+

Доказательство. Предположим, что оператор T Е EndX компактен. В силу леммы 2.1 найдется m0 Е Z+ такое, что T Е End(Xm0 ,Xp) для любых p Е Z+. Предположим, что T Е U Km(X). Тогда T Е Km(X) для всех

m£Z+

m Е Z+ и, в частности, T Е Km0 (X). Это означает, что найдется p0 Е Z+, для которого T Е K (Xm0, Xp0). В таком случае согласно сделанным выше замечаниям в множестве T(Um0jE) содержится хотя бы одна абсолютно некомпактная относительно нормы | • |Р0 последовательность {Txk}, xk Е Um0jE. С другой стороны, из того, что T Е K(X), следует, что образ последовательности {xk}, xk Е Um0jE, предкомпактен и, следовательно, из последовательности

{Txk} можно извлечь подпоследовательность, фундаментальную относительно всех норм | • |p, p G Z+. Полученное противоречие доказывает вложение K(X) С U ).

mEZ+

Пусть T G U Km(X). Найдется m0 G Z+ такое, что T G K(Xm0,Xp),

m£Z+

p G Z+. Рассмотрим открытый шар Um0,e в пространстве Xm0. В силу его пред-компактности в пространстве Xm0 и компактности оператора T : Xm0 — X0 найдется последовательность {x0k}, x0k G Um0jE, такая, что последовательность {Tx0k} фундаментальна относительно нормы | • |0. Пользуясь компактностью оператора T : Xm0 — Xi, из последовательности {Tx0k} выделим подпоследовательность {Txik}, x1k G Um0,e, фундаментальную относительно нормы | • |1. Продолжая этот процесс, на шаге с номером p +1 построим подпоследовательность {Txpk}, xpk G Um0,e, фундаментальную относительно нормы | • |p. Нетрудно видеть, что «диагональная» последовательность {Txuu}, xkk G Um0jE, фундаментальна относительно каждой из норм | • |p, p G Z+. Это означает, что множество T(Um0jE) предкомпактно, что доказывает вложение K(X) D U Km(X). □

2.2. Пусть X — линейное топологическое пространство, X0 С X — его подпространство, A|X0 : X0 — X, (A|X0 )x = Ax — сужение оператора A G End X на подпространство X0.

Лемма 2.3. Если подпространство X0 инвариантно относительно оператора A, то нормальная разрешимость оператора A G End X влечет нормальную разрешимость сужения A|X0.

2.3. Ниже нам понадобятся понятия индекса ind а(£) и частичного индекса ind а(£,п) непрерывной функции вдоль замкнутого контура Г. Определения и свойства этих функционалов можно найти в монографиях [18,19].

3. Операторы Теплица с символами из

алгебр W±°.'°(r2)

Теорема 3.1. Оператор Ta : C++0(Г2) —> C++ (Г2) с символом a(£,n) G 2) нётеров тогда и только тогда, когда он обратим.

Доказательство. Доказательство теоремы для операторов Теплица с сим-| волами из алгебр W^'0(r2) аналогичны. Для определенности рассмотрим случай a(£,n) G W+^'0(r2). Достаточно проверить, что из нетеровости оператора Ta следует, что подпространства ker Ta, kerT* тривиальны.

Пусть ^ G kerTa. Рассмотрим элемент k G Z+. Так как Ta£k^ = = 0, k G Z+, условие ^ = 0 влечет dim ker Ta = ro.

Поскольку оператор Ti-i коммутирует с оператором T^, подпространство ker T* инвариантно относительно оператора Ti-i. Е>виду того, что подпространство kerT* конечномерно, оператор K = Ti-i |kerт, также конечноме-

рен. Хорошо известно, что тогда найдутся Л Е С, Е kerTa такие, что

TC-1 П) = K<^ П) = П). Пусть

jez+

Тогда

Е miwe = Л Е ^ (n)e.

jez+ jez+

Отсюда (n) = Л^^0(n), j Е Z+, и, поскольку Е (C++0(Г2))*, имеем

|Л| < 1. Таким образом, если kerT* = {0}, то найдется

= - AC)"1 G kerT*, А G 15+.

В связи с этим рассмотрим следующее подпространство пространства (С++°(Г2))* :| Lx = MLV) G (С++0(Г2))* : <p{Z,ri) = <p0{ri){l - 4Y\<Po{ri) G Ь+(Г)}, A G D+. Очевидно, подпространство La изоморфно L+(r). Пусть

a&n) = E (n)^S Е W^(r2), Е С++0(Г2).

sez+

Тогда

sez+ kez+

= ((e t^0(v))P+(y: vi)

sez+ kez+

\ sGz+ k=s /

oo >

_ c„\ \ \ ^^k-sfk-s

as{v)

sez+

= ((i - xo-'T^^^MV), v)) = ((i - ЧГ'Т^Г^роММ^, v))-

Это означает, что подпространство La инвариантно относительно оператора T* и имеет место равенство

Т*а({ 1 - А£Г Vofa)) = (1 - ЧГ^Т-^^уоШ

где Та(х_1 ^ : Г) —Таким образом, для найденного ранее элемента = <^о(??)(1 - G kerТ* необходимо <р0(т]) G кегГа(Л_1;??). С другой

стороны, сужение оператора T* на подпространство La нормально разрешимо в силу леммы 2.2. Поскольку

т+((1 - АО-^+сг)) = (1 - ^-^^pr^CL+Cr)),

нормальная разрешимость оператора T+|La равносильна нормальной разреши-

= L+(T) L+

мости оператора Т-тт-п—г : Г) —Г). Согласно критерию нормальной

разрешимости это возможно тогда и только тогда, когда либо а(А-1,п) = 0, П € Г, либо а(А-1,п) = 0, п € Г (см. [4]). Реализация первой возможности влечет за собой вложение Ь\ С кег Т*, что противоречит нетеровости оператора Т*. Если же а(А-1,п) = 0, п € Г, то а(А-1,п) = к > 0, так как

пег

фо{т]) € кегТа^Л_! ^у Кроме того, а(£,т/) ^ 0, (£,?/) € £>+ х Г, ввиду произвольности А € -О- и а(£,п) = к> 0 = 0, £ € -0+, в силу гомотопиче-пег

ской инвариантности индекса. Хорошо известно, что в таком случае подпространство кег! ^ нетривиально для любого ц (Е Т)~. Но тогда элемент = (1 — € кегТ^^,! является элементом ядра опе-

ратора Т* для любого у € Это также противоречит нетеровости оператора Та. Таким образом, если оператор Та нетеров, то подпространство кег Т* тривиально. □

Следствие 1. Если оператор Та : С++°(Г2) — С++°(Г2) с символом а(£,п) € 2) нётеров, то он обратим и при этом его символ удовлетворяет усло-

виям а(£, г/) ^ 0, (£, г/) е £)+ х Г и тс! а(£, ту) < 0, £ € 1>+.

пег

Следствие 2. Если оператор Та : С++°(Г2) — С++°(Г2) с символом а(£, п) € 2) нётеров, то он обратим и при этом его символ удовлетворяет усло-

виям а(£, п) = 0, (£,п) € С- х Г и М а(£, п) > 0, £ € С-.

пег

Пусть а(£,п) € 2) порождает нетеров (обратимый) в пространстве

С++°(Г2) оператор Та. В силу следствия 1 символ а(£,п) допускает факторизацию а(£,п) = а+ (£,п)пка++ (£,п), где а+±(£,п) = ехр(Р+±(1пп-ка(£,п))) € 2). Согласно свойству частичной мультипликативности отсюда следует, что Та = Та+-ТпкТа++ (см., например, [6]). При этом операторы Та+-,Та++ обратимы и (Та+±)-1 = Т(а+±)-1. Но тогда к = 0 и, следовательно,

Т-1 = (Та++ )-1(Та +-)-1 = Ть++Ть+- , Ь+±(£,п) = (а+±(£,п))-1.

Теорема 3.2. Оператор Та : С+4°(Г2) —> С++ (Г2) с символом а(£, п) €

2) обратим тогда и только тогда, когда а(£, п) = 0, (£, п) € Г2, и

ind а(£, п) = а(£, п) = 0.

Се^ пег

При выполнении этих условий обратный оператор имеет вид

Т-1 = (Та++ )-1(Та +-)-1.

Замечание. Среди нетеровых в пространстве С^°(Г2) операторов Теплица с символами из 2) нет операторов с аннулирующимися на Г2 символами.

Пусть

а(£,п) = £ а,-(п)£- € Ж-°.°(Г2)

порождает нетеров (обратимый) в пространстве С+°+°(Г2) оператор Та. Нетрудно видеть, что выписанному представлению символа отвечает следующее представление оператора: Та = ^ Т^-з <8> Та. (п), понимаемое в сильном смысле.

¿ег+

При этом оператор Теплица Так(п) : Ь+(Г) ^ ¿+(Г) имеет своим символом

функцию (п), к € £+. В частности, а°(п) = а(го,п) и согласно следствию 2 к

теореме 1 а°(п) = 0, п € Г, и ind а°(п) > 0. Тогда, как известно (см., например,

пег

[5]), оператор Тао(п) обратим слева. Пусть В° — какой-нибудь левый обратный к оператору Тао(п). Построим последовательность линейных ограниченных операторов В°, В^ В2,..., Вп,..., действующих в пространстве Ь+(Г) и являющихся формальными решениями следующей треугольной системы уравнений:

к

Е ВТа*-з (п) = к € , ¿=°

где ¿к° — символ Кронекера. Очевидно,

к-1

В° = (Тао(п))-1, Вк = -В°^ В,- Т0к_. (п), к =1, 2,....

¿=°

Рассмотрим оператор А = ^ Т;-з <8> В.,-, определенный, в частности, на всех

¿ег+

многочленах вида

<Ж,п)=Е ^к(п)Ск, ¥>к(п) € Ь+(Г).

Очевидно по построению, что этот оператор плотно определен и является левым обратным к оператору Та: (АТа^)(£, п) = п) = п). В силу един-

ственности обратного оператора это означает, что оператор А может быть продолжен до линейного ограниченного оператора на все пространство С++°(Г2).

Имея это в виду, будем в дальнейшем писать Т-1 = ^ Т;-3- <8> В.,-. Отметим,

¿ег+

что справедливо равенство (ТаА<^)(£,п) = ^(£,п), где

<Ж,п)=Е Ып)Ск, ¥>к(п) € Ь+(Г),

которое означает, что на самом деле оператор Тао обратим и имеют место соотношения

к

ЕТоз- (п)Вк—- = ¿к°1, к € £+. ¿=°

Ясно также, что из обратимости оператора Тао вытекает, что символ нетерова

оператора Та : С++°(Г2) ^ С++°(Г2) удовлетворяет условиям а(С,п) = 0, (С,п) €

В»- х Г и ind а(С, п) = 0, С € В>-. пег

Лемма 3.3. Оператор Т-1 = ^ Т^-з <8> В^- ограничен в пространстве

¿ег+

С++°(Г2) тогда и только тогда, когда найдутся с > 0, т € такие, что 1| < с(+ + 1)т, ^ € Я+.

Теорема 3.4. Оператор Та : С++0(Г2) ^ С++0 (Г2) с символом а(£,п) €

Ж+'0(Г2) обратим тогда и только тогда, когда символ удовлетворяет условиям

п) = 0, (С, п) € О- х Г и М а(£, п) = 0, С € О-, а решение системы

пег

к

(п)Вк = ¿ко1, к €2+,

¿=о

построенной по символу, удовлетворяет оценке ||В1| < + 1)в, j € с некоторыми с > 0, в € не зависящими от j.

Замечание. Среди нетеровых в пространстве С++0 (Г2) операторов Теплица с символами из Ж+'0(Г2) имеются операторы с обращающимися в нуль на некоторых подмножествах Г2 символами. Например, оператор Та, а(£,п)

а(

1 — С хп € ^+.'0(Г2), обратим в С++0(Г2), хотя а(п,п) = 0. Отметим, что

у,у)

(-V

4. Операторы Теплица с символами, допускающими факторизации

Основным результатом этого раздела является следующее утверждение.

Теорема 4.1. Если символ оператора Та : С++0(Г2) ^ С++0(Г2) допускает представление а(£,п) = п)а+»(С, п), где а±*(£,п) € Ж+'0(Г2) и операторы

Та±. : С++0(Г2) ^ С++0(Г2) обратимы, то оператор Та нётеров.

Доказательство. Поскольку в силу теоремы 3.2 и свойства частичной мультипликативности Та = Та-.а+-Та++, где оператор Та++ обратим, достаточно предполагать, что а+*(£,п) = а+ (£>п), причем а+ (£,п) € СЖ++10(Г2). Пусть в € — число, определенное функцией а-*(£,п) (см. лемму 3.3). Тогда

| Е (т«- ® ВV

¿ег+

Е

¿ег+

(Вк- ^к)(п)

Е +1)2

¿ег+

Е(В—- ^к )(п)

<

оо

E(j + 1)2т Е 1(Вк-5- Ы(п)Н

с2

с2

Е (j + 1)2^ Е(к — j + 1)1** (п)1|)

¿ег+ \к= /

+

E(j + 1)^Е (к — j + 1)21Ып)!

¿ег+

к

Е 1Ып)н2Е (j + 1)2т(к—j + 1)2

кег+ ¿=0

2

2

т

т

2

2

2

2

2

=с

<c2

kez+

Это означает, что оператор

т--1- = Е Т«-з ® В

¿ег+

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор Т--1- : С+++'+1'° (Г2) ^ С++° (Г2), т € Я+. Рассмотрим оператор

в = (Т0--)-1(Ть+-Та - Та--)(ТаТь+- - Та- )(Т„- )-1.

Пусть

(С, п) = Е Ь-(п)С^, а(С,п) = Е ак(п)Ск.

¿ег+ кег

Тогда имеет место равенство

то

ТЬ+-Та - Та-- = -Р+ + Ь+-Р-+аР ++ = - £ (Р + ^Р-СкР +) ® Ть-ак .

кег-¿=-к

Так как

Р+С^ Р-СкР + = Р+С^'+к Р+С-кР-СкР + = п-к,

где П — оператор проектирования, действующий по правилу

s

п*(Е (п)) =Е CVk (п),

kez+ k=o

то

то то —j

Tb+-Та - Ta- = - £ Е jП—k ® j = Е Е jП—k ® j .

keZ_j=—k j=1k=—1

Отметим, что

y(Ti3-+k П—k ® Tb-afc ML < У/® Tb-afc ILllC^* П—k ® I ML

< yTb-afc ||(j + k + 1)m(|k| + 1Г+1М10 < yTb-afc ||(j + l^+lMlo.

Аналогичным образом

TaTb+- - Ta- = -EE j ® P+aj(n)P—b—(n)P+. jezkez+

При этом операторы P+Oj (n)P— b— (n)P + : Р+(Г) ^ Р+(Г) вполне непрерывны и имеют место оценки

l|P +aj(n)P— b—(n)P + || < max К(п)| max |b— (п)|.

пег пег

2

Принимая во внимание сделанные замечания, получаем (Tb+-Ta - T„-)(ВД+- - T„- )

= Е E(Tij+kn-k ® Tb-afcX Е TC1+P ® P+o,(n)P-b-(n)P+

= £ jП-kTC1+P ® jP+o,(n)P-b-(n)P +.

Нетрудно видеть, что для любого ^ (Е С++0 (Г2) имеет место оценка

IljП-feTjti+p ® jP+o,(n)P-b-(n)P+HL

< (j + 1)2m+1 max |0i(n)| max |b-(n)| max |a,(n)P-b-(n)IH^Ho-пег ne^ пег

Таким образом, для любого m (Е Z+ оператор

jП-kTC1+P ® Tb-afcP+ai(n)P-b-(n)P + : С++0(Г2) ^ C++ (Г2) вполне непрерывен. Отсюда следует, что оператор

(Tb+-Ta - Ta- )(TaTb+- - Ta- ) : C++0(Г2) ^ C++ (Г2) также вполне непрерывен и для любого m (Е Z+ имеет место следующая оценка:

||(Tb+-Ta - Ta- • ) (TaTb+- - Ta— VIL < ^МЬ,

где

от = Cm У+ (j + 1)2m+1 max |ok(n)| max |b-(n)| max |oi(n)b-(n)|. z—* пег пег J пег

В силу теоремы 2.2 оператор (Tb+-Ta -Ta-^)(TaTb+- -Ta-^) вполне непрерывен в пространстве С++0 (Г2). Это означает, что и оператор

в : С++0(Г2) ^ С++0(Г2)

также вполне непрерывен.

Из очевидного равенства -в = -(RiTa - I)(R2Ta - I), где

Rl = (Ta- )-1(Tb+-Ta - Ta- ), R2 = (TaTb+- - Ta- )(Ta- )-1,

следует, что (R1 + R2 - R1TaR2)Ta = I - в. Это означает, что оператор R = R1 + R2 - R1TaR2 является левым регуляризатором оператора Ta. Аналогичным образом проверяется, что оператор R является и правым регуляризатором оператора Ta. □

Отметим, что в случае пространства С++ТО(Г2) утверждение, аналогичное теореме 4.1, не имеет места.

Пример. Рассмотрим оператор

T^^-i : С++ТО(Г2) ^ С++ТО(Г2).

Легко проверить, что каждый из операторов Теплица

Т1-£-1п : (Г2) ^ С+°+~(Г2), Т1+£п-1 : С++(Г2) ^ С++(Г2)

обратим и при этом соответствующие обратные операторы имеют вид

С - п

сл( С

((Т1+(п-1)-1<р)(£,г,) = <р(£,г,)+£

1 „\___и- ^ , + ^(п,п)

С + п

При условии справедливости аналога теоремы 4.1 оператор Т£п-1_£-1п : С++то(Г2) ^ СТО+то(Г2)

должен быть нетеровым, так как С—1п — Сп—1 = —(1 — С—1п)(1 + Сп—1). Покажем, что это не так. В самом деле, рассмотрим подпространство Hn пространства С+°+(Г2), состоящее из всех однородных многочленов степени n. Нетрудно видеть, что подпространство Hn инвариантно относительно оператора Tt-in—^n-i при любом n G N и, следовательно, сужение этого оператора на подпространство Hn есть конечномерный оператор. Выбирая в Hn базис, например, {С",С"—1п, Сп—2п2, • • •,п"1, легко убедиться, что матрица оператора (T^-in—^n-i)|Hn вырожденная при всех нечетных n. Это означает, что для любого n = 2k +1 найдется однородный многочлен р^+^^п) степени n = 2k +1 такой, что (Tj-in—sn-1 P2k+1)(C, п) = 0, но тогда dimkerTj-in—^-i =

ЛИТЕРАТУРА

1. Симоненко И. Б. Операторы типа свертки в конусах // Мат. сб. 1967. Т. 74, № 2. С. 108—122.J

2. Симоненко И. Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2007.

3. Douglas R. G. On the C* -algebras of Toeplitz operators on the quarter-plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 158, N 1. P. 203-217.

4. Douglas R. G., Howe R. On the invertibility of a class Toeplitz operators on the quarter-plane // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 11, N 1. P. 1031-1035.

5. Douglas R. G. Banach algebra techniques in operator theory. New York; London: Acad. Press, 1972.

6. Strang G. Toeplitz operators in a quarter plane // Bell. Amer. Math. Soc. 1970. V. 76, N 6. P. 1303-1307.

7. Osher S. J. On certain Toeplitz operators in two variables // Pac. J. Math. 1970. V. 34, N 1. P. 123-129.

8. Osher S. J. System of difference equations with general homogeneous boundary conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 137, N 1. P. 177-201.

9. Малышев В. А. О решении уравнений Винера — Хопфа в четверти плоскости // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, № 6. С. 1243-1246.

10. Малышев В. А. Факторизация функций со значениями в алгебрах многомерных тепли-цевых операторов // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, № 2. С. 237-238.

11. Pasenchuk A. E. On certain classes of invertible two-dimensional convolution operators // Sel. Math. Sov. 1982. V. 2. P. 1-7.

12. Беттхер А. Двумерные свертки в углах с ядрами, имеющими носитель в полуплоскости // Мат. заметки. 1983. Т. 34, № 2. С. 207-218.

13. Пилиди В. С. О многомерных бисингулярных операторах // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 2. С. 787-789.

14. Пилиди В. С., Сазонов Л. И. О бисингулярных операторах в пространстве гельдеровских функций // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 2. С. 278-282.

15. Сазонов Л. И. О решении задачи линейного сопряжения функций двух комплексных переменных // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209, № 4. С. 1288-1291.

16. Дудучава Р. В. О решении уравнения свертки на квадранте // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 3. С. 415-427.

17. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. М.: Наука, 1973.

18. Солдатов А. П. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. М.: Высш. школа, 1991.

19. Пасенчук А. Э. Дискретный оператор Винера — Хопфа и оператор Теплица. Нетеровость и обратимость в некоторых счетно-нормированных пространствах. Saarbrucken: Palma-rium Acad. Publ., 2013.

Поступила в редакцию 11 октября 2021 г. После доработки 06 января 2022 г. Принята к публикации 28 февраля 2022 г.

Пасенчук Александр Эдуардович

Южно-Российский государственный политехнический университет,

кафедра прикладной математики,

ул. Просвещения, 132, Новочеркасск 346428

[email protected]

Серегина Виктория Викторовна

Азово-Черноморский инженерный институт ФГБОУ ВО Донской ГАУ,

кафедра математики и биоинформатики,

ул. Ленина, 21, Зерноград 347740

[email protected]

Середина Марина Николаевна

Азово-Черноморский инженерный институт ФГБОУ ВО Донской ГАУ,

кафедра математики и биоинформатики,

ул. Ленина, 21, Зерноград 347740

Smn1472@j andex.ru

Жидченко Татьяна Викторовна

Азово-Черноморский инженерный институт ФГБОУ ВО Донской ГАУ, кафедра математики и биоинформатики, ул. Ленина, 21, Зерноград 347740 [email protected]

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

UDC 517.9

ON THE TOEPLITZ OPERATOR ON A TORUS IN SOME TOPOLOGICAL SPACES

A. E. Pasenchuk, V. V. Seregina, M. N. Seredina, and T. V. Zhidchenko

Abstract: In countably-normed spaces of functions on a torus that are smooth in one or both variables, we study Toeplitz operators with symbols that ensure that the operators are bounded in these spaces. To study operators of bisingular type in the spaces of summable and Holder functions, the method of partial regularization was used. Using this method, we obtain the construction of a regularizer and the condition for the Toeplitz operator to be Noetherian in a countably-normed space of functions that are smooth in one of the variables. Despite the fact that the set of Noetherian operators in this space, unlike in the case of Banach spaces, contains operators with symbols vanishing on the torus, these results are quite analogous to the case of Banach spaces. The situation is different in the space of functions that are smooth in both variables. It is shown that the partial regularization method is inapplicable in this space.

DOI: 10.25587/SVFU.2022.10.44.003

Keywords: countably-normed space, torus, Toeplitz operator, symbol, invertibility, criterion, Noetherian operator, construction, regularizer.

REFERENCES

1. Simonenko I. B., "Convolution-type operators in cones [in Russian]," Mat. Sb., 74, No. 2, 108-122 (1967).

2. Simonenko I. B., Local Method in the Theory of Shift Invariant Operators and Their Envelopes [in Russian], Izdat. YuFU, Rostov-on-Don (2007).

3. Douglas R. G. and Howe R., "On the C*-algebras of Toeplitz operators on the quarter-plane," Trans. Amer. Math. Soc., 158, No. 1, 203-217 (1971).

4. Douglas R. G., "On the invertibility of a class Toeplitz operators on the quarter-plane," Indiana Univ. Math. J., 11, No. 1, 1031-1035 (1971).

5. Douglas R. G., Banach Algebra Techniques in Operator Theory, Acad. Press, New York; London (1972).

6. Strang G., "Toeplitz operators in a quarter plane," Bull. Amer. Math. Soc., 76, No. 6, 13031307 (1970).

7. Osher S. J., "On certain Toeplitz operators in two variables," Pac. J. Math., 34, No. 1, 123-129 (1970).

8. Osher S. J., "System of difference equations with general homogeneous boundary conditions," Trans. Amer. Math. Soc., 137, No. 1, 177-201 (1969).

9. Malyshev V. A., "On solutions of Wiener-Hopf equations in a quarter plane," Sov. Math., Dokl., 10, 1032-1036 (1969).

10. Malyshev V. A., "Factorisation of functions with values in algebras of multidimensional Toeplitz operators [in Russian]," Usp. Mat. Nauk, 28, No. 2, 237-238 (1973).

11. Pasenchuk A. E., "On certain classes of invertible two-dimensional convolution operators," Sel. Math. Sov., 2, 1-7 (1982).

© 2022 A. E. Pasenchuk, V. V. Seregina, M. N. Seredina, T. V. Zhidchenko

12. Bettkher A., "Two-dimensional convolutions in angular sectors with kernels having their supports in a half plane [in Russian]," Math. Notes, 34, No. 2, 207-218 (1983).

13. Pilidi V. S., "On multidimensional bisingular operators," Sov. Math., Dokl., 12, 1723-1726 (1971).

14. Pilidi V. S. and Sazonov L. I., "On bisingular operators in spaces of Holder functions," Sov. Math., Dokl., 20, 467-471 (1979).

15. Sazonov L. I., "On a solution of the problem of linear conjugation for analytic functions of two complex variables," Sov. Math., Dokl., 14, 637-641 (1973).

16. Duduchava R. V., "On a solution of convolution equation on a quadrant [in Russian]," Math. Notes, 27, No. 3, 415-427 (1980).

17. Gohberg I. Ts. and Krupnik N. Y., Introduction to the Theory of One-Dimensional Singular Integral Operators [in Russian], Shtiintsa, Kishinev (1973).

18. Soldatov A. P., One-Dimensional Singular Operators and Boundary Value Problems in Function Theory [in Russian], Vysshaya Shkola, Moscow (1991).

19. Pasenchuk A. E., Wiener-Hopf Discrete Operator and Toeplitz Operator, Noethericity and Invertibility in Some Countably-Normed Spaces [in Russian], Palmarium Acad. Publ., Saarbrücken (2013).

Submitted October 11, 2021 Revised January 6, 2022 Accepted February 28, 2022

Alexander E. Pasenchuk,

Platov South-Russian State Polytechnic University, 132 Prosveshcheniya Avenue, Novocherkassk 346428, Russia [email protected] Victoria V. Seregina,

Azov-Black Sea Engineering Institute of the Don State Agrarian University, 21 Sovetskaya Street, Zernograd 347740, Russia [email protected]

Marina N. Seredina,

Azov-Black Sea Engineering Institute of the Don State Agrarian University, 21 Sovetskaya Street, Zernograd 347740, Russia [email protected] Tatiana V. Zhidchenko,

Azov-Black Sea Engineering Institute of the Don State Agrarian University,

21 Sovetskaya Street, Zernograd 347740, Russia

[email protected]