CC BY
4УДК 517.53
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ОБЛАСТЯХ С АСИМПТОТИЧЕСКИ КОНФОРМНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Н. М. Махина
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В данной работе строится ограниченный интегральный оператор, отображающий весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций, в случае, если данные пространства рассматриваются на произведениях областей с асимптотически конформными границами. Ключевые слова: асимптотически конформная кривая, конформное отображение, проектор, произведение областей
Пусть Ер (О) - класс Смирнова в области О ; Ьр (О) - класс измеримых по Лебегу в области О функций, для которых
Щр(С) = Я1 (*)!Р ат2(*) < < Р <
О
где йт2 (£) - плоская мера Лебега.
Как хорошо известно, интеграл типа Коши по границе дО отображает пространство
Ьр (О) на Ер (О) при всех 1< р (теорема М. Рисса). Исходя из результатов А.Н.
Колмогорова, такой интегральный оператор не отображает пространство 1^(О) на Е1(О) и в
том случае, если дО представляет собой единичную окружность. Как показал Дж. Ньюмен, такого интегрального оператора вообще нет.
Однако, в пространствах Бергмана существует ограниченный проектор из Е(О) на соответствующее пространство Бергмана. Для гладких контуров эти результаты были получены Ф.А. Шамояном при всех 0 < р < 1. А при 1< р < +<ю такие результаты можно вывести из указанных выше результатов М. Рисса.
Акутальной является проблема обобщения данного результата для областей с более общими границами (см., например, [1] и литературу там).
Напомним, что класс (А) есть класс асимптотически конформных кривых Г на комплексной плоскости, если справедливо
- +- ^ К - )
/л(8) = Бир Бир
щ,м2еГ м/еГ' № — №2
^ 0,3^ 0,
где Г' - кратчайшая дуга на Г, соединяющая точки м^, м (см. [2]).
Свойства областей с асимптотически конформными границами, применяемые при доказательстве полученных результатов, изучались, в частности, в работах автора [3], [4].
Пространства функций на произведениях областей рассматривались, например, в работе
[5].
Пусть Оу - некоторая односвязная область на комплексной плоскости, граница которой принадлежит классу (А) . Рассмотрим {Оу }™=\ - множество таких областей и О = х... х От.
Обозначим Ьр- (О) - множество измеримых в О функций таких, что
1ИЬ((5) = Л/0")Г ¿Р(м>,дО)с1т2т(м,) =
Р О
т о
= |... | ^т )\Р , д°] )<
где 0><р<^г'Х),Р = {1\,...,13т),13^>-\,] = \,т,йт1т=йт1..Лт1 - мера Лебега на С . Пусть
также А1 (О) = Н(О) сл ПI (О) .
В работе [6] доказан результат, касающийся существования ограниченного проектора из ЬР -весовых пространств в соответствующие пространства аналитических функций в областях со спрямляемой границей.
В качестве дальнейшего распространения данного результата нами доказана следующая теорема:
{ш
Gjj - некоторое множество односвязных областей на комплексной
плоскости с границами класса (А), О = х... х От. ( )т
Пусть также 1 ^ - множество функций, конформно отображающих единичный круг
£ на О}, р^ (0) = , е О 1, р) (0) > 0, у^ = р(1, у = 1, т. Тогда интегральный оператор вида
1=1 ^ О От ( I 2 , 2
т I 1_\\ ) I V] )
1=1 I1 \ \ (^ )) 1
непрерывно отображает Ьр-,(0) на Ар-(0), 1</><+оо, /? >-1, ] = \,т, при всех ?]> щ,
р Р
//0 = щ (/?), 7 = 1, /и; и существует такая положительная постоянная с = с(Д /;), что справедлива оценка
1ИЦ(<5) -С1ИЦ((5)-
Список литературы
1. Ткаченко Н.М. Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в одно-связных областях комплексной плоскости: дисс. ... канд. ф.-м. наук. Брянск, 2009. - 116 с.
2. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. Москва: Мир, 1969. - 133 с.
3. Махина Н.М. Оценки производных аналитических и гармонических функций в некоторых областях комплексной плоскости // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. - 2017.- № 2. - С. 16-22.
4. Махина Н.М. Некоторые оценки конформно отображающей функции в областях с ку-
сочно-гладкой и асимптотически конформной границей // Вестник Омского государственного университета. - 2018. - Т. 23 (3). - С.47-51.
5. Шамоян Р. Ф., Максаков С. П. On some new estimates for a gradient of a function in product domains and related results / Проблемы физики, математики и техники.- 2017. - Т.3 (32). - С. 69-74.
6. Tkachenko N. M., Shamoyan F. A. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary// Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2009. - Т. 5 (2). - С. 192-210.
Сведения об авторах
Махина Наталья Михайловна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
ON THE BOUNDEDNESS OF SOME INTEGRAL OPERATORS IN DOMAINS WITH ASYMPTOTICALLY CONFORMAL BOUNDARIES
N. M. Makhina
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
In this paper we construct a bounded integral operator, mapping the weight space of measurable functions on the corresponding space of analytic functions, if these spaces are considered on the products of domains with asymptotically conformal boundaries.
Keywords: asymptotically conformal curve, conformal mapping, projector, product of domains
References
1. Tkachenko N.M. Weighted Lp estimates analytic and harmonic functions in a simply domains of complex plane. Ph. D. Dissertation, Bryansk, 2009. - 116 (in Russian).
2. Alphors L. Lectures on Quasiconformal Mappings. Moscow: Mir, 1969. - 133 p.
3. Makhina N.M. Estimates of the derivatives of analytic and harmonic functions in some domains of the complex plane // Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Serija: Fizika-matematika. 2017. - V.2. - P. 16-22 (in Russian).
4. Makhina N.M. Some estimates of a conformally mapping function in domains with a piece-wise-smooth and asymptotically conformal boundary // Vestnik Omskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2018. - V. 23(3). - P. 47-51 (in Russian).
5. Shamoyan R.F., Maksakov S.P. On some new estimates for a gradient of a function in product domains and related results // Problems Problems of physics, mathematics and technology. - 2017. -Т.3(32). - P. 69-74.
6. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2009. - Т. 5(2). - P. 192-210.
About authors
Makhina N.M. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
