CC BY
5УДК 517.53
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИИ ВМОА,СВЯЗАННЫЕ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НА ГРАНИЦУ ОБЛАСТИ
Н. М. Махина
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В работе мы приводим некоторые интересные свойства пространств ВМОА, связанные с геометрическими характеристиками на границу области, а именно, мы получаем интегральные оценки конформно отображающей функции для областей с квазиконформной границей.
Ключевые слова: область с квазиконформной границей, пространство ВМОА, оценки конформно отображающей функции
Пусть $ = (г £ С : < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С, Т = ; О -некоторая односвязная область на комплексной плоскости С. Пусть также Н(О) - множество всех аналитических функций в области О .
Классическое пространство Харди (см. [1]) Нр ,0 < р <да, определяется как множество функций / £ H(S), для которых
f
Hp
def
= sup Mp (r, f) < да,
0<r<1
где для 0 < r < 1
Mp (r, f) =
.. 2к
¿ f f (re^)
V 2n 0
de
(0 < p < да); M^(r, f) = sup f (ree)
e&R
sup
\a\<1
Пространство BMOA состоит из тех функций f £ H1, граничные значения которых имеют ограниченную среднюю осцилляцию на единичной окружности T (см. [2]):
11 <», fa (z) = f f V f (a),
1 ^1+azJ
где ll'lj определена как норма пространства H1.
Напомним также, что кривая Г называется квазиконформной, если l(W1, wl) — с I W1 ~ wl\, где w>1, W2 - произвольные точки на Г, /(w W2) - длина кратчайшей дуги кривой Г, соединяющей точки w1, w2 (см., например, [3], [4, с. 280]). Обозначим (L) -множество таких кривых.
Свойства хорошо изученных классов функций BMOA можно использовать при рассмотрении геометрических свойств некоторых классов областей, в частности, поведения конформно отображающих функций в этих областях.
Лемма 1 (см. [5]). Пусть G - некоторая односвязная область на комплексной плоскости C?, ограниченная квазиконформной кривой, p(z) - функция, конформно отображающая круг S на область G , b - произвольное положительное число. Тогда функция f (z) = blnp'(z), где выбрана главная ветвь логарифма, принадлежит классу BMOA .
Лемма 2 (см. [5]). Для функции f £ BMOA , |í| <1 , и произвольного b £ C\{0}
существует такое M = M (b), что справедливо неравенство
2
-L f
2ж, J .
bf(s)
\q\=l
(l-l t|z)
- |2
l - 'tq\
|dq| < M
bf(t)
В + 2
Используя утверждения лемм 1 и 2 и рассматривая функцию / = —-— 1п | р'(г) |, 2 е 5, в
ходе несложных рассуждений (см., подробно, [6]) мы получаем утверждение следующих теорем: Теорема 1. Пусть О е (Ь), р(г) - функция Римана, отображающая 5 на О, р(0)= . Тогда справедливы оценки
11 V V
1) При 1< р < + - = 1, В > -1, 0<-< В + 1,Ч>Р +1 - -: р д д д
Ap' (z)\ß+2(l-| z| )ßXp (z)
J-—^T^-dm2(z) <
S
1 -Çz
r+2
C1 \p'(o\ß+2(Hd )ßx? (С)
(1-С1 )r :
у
pq
где Ху (С) = (1- j С j) pq, с - некоторая положительная постоянная; 2) При ß> -l,r > ß +1.
f|p ' ( z) ß+2(l-I z| C2 |p ' (Ç)| ß+2(l-d)ß
J-:-^-dm2(z) <-
S
1 -Çz
r+2
(1-Ç )r
где С2 - некоторая положительная постоянная.
Теорема 2. Пусть О е (Ь), р(г) - функция Римана, отображающая 5 на О ,р(0) = Wо, С, wе 5 . Тогда при 1 < р < справедливо неравенство:
J
S
1 -íz
r+2
1 - wz
dm2( z) <-
p
('(z)|ß+2(l-Iz|)ßxPp (z) C3('(Ç)|ß+2(l-Ç)ßХу(С)Ху (w)
r+2— а—
(l-ç) p(l-Ç) q
где Х— (С) = (1-1СI) рд+ — 1, В > —1, о < — < Вр + 1,ч>Р- 2 + -- —; ^ >2 - —, г р д д р рд д2
С3 - некоторая положительная постоянная.
Полученные оценки конформно отображающей функции могут быть применены при решении различного рода задач в областях с квазиконформными границами: построении ограниченных проекторов, описании линейных функционалов, построении базисов (см. [7]-[9]).
Список литературы
1. Duren P.L. Theory of Hp Spaces. New York/London: Academic Press, 1970. Reprint: Mineola, New York: Dover, 2000. - 292 p.
2. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Commun. Pure Appl. Math. - 1961. - V.14. - P. 415-426.
3. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. Москва: Мир, 1969. - 133 с.
а
4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. Москва: Мир, 1984. - 469 с.
5. Pommerenke Ch. Schlichte Functionen und analytische Functionen von beschrankter mittlerer Oszillation// Comment. Math. Helvetici. - 1977. -V. 52. - P. 591-602.
6. Махина Н.М., Шамоян Ф.А. Базисы в весовых пространствах функций, аналитических в областях со спрямляемой границей // Вестник Брянского государственного университета. - 2013.
- № 4. - С. 27-30.
7. Махина Н.М. О сопряженных пространствах к некоторым весовым пространствам аналитических функций // Вестник Брянского государственного университета. - 2015. - № 2. - С. 420-423.
8. Shamoyan R.F., Makhina N.M. On continuous linear functionals in some weighted functional classes on product domains // Сибирские электронные математические известия. - 2015. - Т. 12. -С.651-678.
9. Махина Н.М. Оценки производных аналитических и гармонических функций в некоторых областях комплексной плоскости// Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. - 2017.- №2. - С. 16-22.
Сведения об авторе
Махина Наталья Михайловна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
SOME PROPERTIES OF BMOA FUNCTION SPACES,RELATED TO GEOMETRICAL CHARACTERISTICSOF THE BORDER OF THE DOMAIN
N. M. Makhina
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
In this paper we present some interesting properties of the BMOA spaces associated with the geometric characteristics on the boundary of a domain, namely, we obtain integral estimates of the conformally mapping function for domains with a quasiconformal boundary.
Keywords: domain with quasiconformal boundary, BMOA space, estimates of conformally mapping function
References
1. Duren P.L. Theory of Hp Spaces. Academic Press, New York/London, 1970. Reprint: Dover, Mineola, New York, 2000. - 292 p.
2. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Commun. Pure Appl. Math.
- 1961. - V.14. - P. 415-426.
3. Alphors L. Lectures on Quasiconformal Mappings. M: Mir, 1969. - 133 p.
4. Garnett J. Bounded analytic functions. M: Mir, 1984. - 469 p.
5. Pommerenke Ch. Schlichte Functionen und analytische Functionen von beschrankter mittlerer Oszillation // Comment. Math. Helvetici. - 1977. - V. 52. - P. 591-602.
6. Makhina N. M., Shamoyan F. A.Bases in weighted spaces of functions analytic in domains with a rectifiable boundary // Vestnik BGU. - 2013. - № 4. - P. 27-30.
7. Makhina N. M. On conjugate spaces to some weighted spaces of analytic functions // Vestnik BGU. - 2015. - № 2. - P. 420-423.
8. Shamoyan R. F., Makhina N. M. On continuous linear functionals in some weighted functional classes on product domains // SEMI. - 2015. - V. 12. - P. 651-678.
9. Makhina N. M. Estimates of the derivatives of analytic and harmonic functions in soMe domains of the complex plane // Vestnik MGOU. - 2017. - V.2. - P. 16-22.
About author
Makhina N. M. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
