Некоторые свойства классов BMOA и интегральные оценки конформно отображающей функции в областях с границей типа Лаврентьева

Махина Н.М.

УДК 517.53

DOI 10.18413/2075-4639-2019-51-4-487-495

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КЛАССОВ BMOA И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КОНФОРМНО ОТОБРАЖАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ С ГРАНИЦЕЙ ТИПА ЛАВРЕНТЬЕВА

SOME PROPERTIES OF BMOA CLASSES AND INTEGRAL ESTIMATES OF CONFORMAL MAPPING FUNCTIONS IN DOMAINS WITH LAVRENTIEV's TYPE BOUNDARY

Н.М. Махина N.M. Makhina

Брянский государственный университет им. акад. И.Г. Петровского, ул. Бежицкая, 14, Брянск, 241036, Россия

Bryansk State University named after acad. I.G. Petrovsky 14 Bezhitskaya St., Bryansk, 241036, Russia

Е-mail: [email protected]

Аннотация

Рассматривается задача оценки производной конформно отображающей функции в областях с границей типа Лаврентьева. Решение данной задачи тесно связано с хорошо известными свойствами функций типа ВМОА. Полученные результаты и используемый метод доказательства могут быть использованы при описании характеристик весовых пространств измеримых и аналитических функций на произведениях областей с указанными типами границ.

Abstract

We considere the problem of estimating the derivative of a conformal mapping function in domains with Lavrentiev type boundary. The solution of this problem is closely related to the well-known properties of BMOA type functions. The results obtained and the method of proof can used to describe the characteristics of the weight spaces of measurable and analytic functions on the products of domains with specified types of boundary.

Ключевые слова: пространство BMOA, кривая Лаврентьева, конформное отображение, проектор, произведение областей.

Key words: BMOA space, Lavrentiev curve, conformal mapping, projector, product of domains.

1. Введение

В теории функций комплексного переменного хорошо известна задача, связанная с рассмотрением свойств пространств аналитических в некоторой области функций в зависимости от характеристик на границу данной области.

Указанные свойства имеют непосредственное выражение, в том числе, и в виде различных оценок функции, конформно отображающей единичный круг 5 = {г € С : \г\ < 1} на изучаемую область.

Так, достаточно вспомнить хорошо известные и справедливые в произвольной области комплексной плоскости оценки Кебе, оценивающие модуль производной функции ф, конформно

отображающей единичный круг S на некоторую односвязную область G, через расстояние до границы области d [Голузин, 1966]:

1 d(v(z),3G) , , . 4d(v(z),3G)

-4^-WT- ф (z)l - Z~ •

Встает вопрос о возможности получения аналогов данных оценок, необходимость использования которых возникает в тех или иных классических задачах, например, в задачах построения ограниченных проекторов и базисов в пространствах аналитических функций в областях с границами того или иного типа.

Рассмотрим G - некоторую односвязную область на комплексной плоскости C. Обозначим H(G) - множество всех аналитических функций в области G• Напомним, что пространство Харди Hp, 0 < p — ж, [Duren, 1970] определяется как множество функций f € H(S), для которых

def

\НР = sup Mp(r, f) < ж,

0<г<1

где для 0 < r < 1

2п

1/p

1

2п

Mp(r,f) = If- I f(reie)

d0

(0 <p< ж); M^(r, f) = sup f (re™)

e&R

Пространство BMOA состоит из тех функций f € H1, граничные значения которых имеют ограниченную среднюю осцилляцию на единичной окружности T[John, Nirenberg, 1961]:

( z + a \

sup \\faW-i < ж, fa(z) = f TV^ " f |a|<1 V1^ aZJ

где ||-||1 определена как норма пространства Н1.

Пространство УМОЛ является замыканием многочленов по ВМОЛ-норме [Багавоп, 1975]. Напомним также определения некоторых классов кривых. Пусть класс (С) есть класс кривых Г на комплексной плоскости, состоящих из конечного числа гладких дуг (Г), в точках

__п 1 _

стыка Wj, ] = 1, те, образующих внутренние углы —, - < а^ < = 1, те, [Дзядык, 1977, с.

аз 2

386].

Класс (А) есть класс асимптотически конформных кривых Г на комплексной плоскости, если справедливо

fx(5) =

sup w1,w2 € dG \w1 — w2\ — S

sup

wer

\w1 — w\ + \w2 — w\ , \w2 — wi\

1 0, S 0,

где Г' - кратчайшая дуга на границе Г = дС, соединяющая точки w1, W2 (см. [Альфорс, 1969], для примера, и имеющуюся там литератруру).

Пусть также класс (Ь) есть класс таких кривых Г (кривых Лаврентьева), для которых < c\w1 — w2\, где w1,w2 - произвольные точки на Г, I- длина кратчайшей дуги Г' на кривой Г, соединяющей точки w1,w2 ( [Альфорс, 1969; Гарнетт, 1984, с. 280]).

В ряде работ автора [Ткаченко, 2009 а,б; ТкаеИепко, 2009; Шамоян, 2013; БИашоуап, 2015; Махина, 2015; 2017; 2018] показано, что интегральные оценки модуля производной конформно отображающей функции тесно связаны с характеристиками границ рассматриваемых областей, которые, в свою очередь, определяются свойствами тех или иных классов аналитических функций.

Данные вопросы широко освещаются в работах как отечественных (см., например, [Пекарский, 2001, и литературу там], так и зарубежных ученых (см., например, [Galanopoulos в! al., 2011, и литературу там].

Так, например, в областях с кусочно-гладкими границами класса (С) [Дзядык, 1977] одним из свойств модуля производной конформно отображающей функции в окрестности угловой точки являются неравенства

— -1 I , I — -1

С1 \г - 1| а - |ф'(г)| - С2\г - 1|а , С1 > 0, С2 > 0;

в областях с асимптотически конформными границами класса (А) [Рошшвгвпкв, 1978] применяются свойства функций класса УЫОЛ, принимающие следующий вид:

(1 -\г\)

ф' '(г)

ф' (г)

^ 0, \г\^ 1 - 0.

Указанные свойства классов (С) и (А) использованы автором при рассмотрении вопросов, связанных с оценками производных конформно отображающих функций, например, в работах [2017; 2018].

В данной статье на основании характеристик кривых класса (Ь), а точнее, их связи со свойствами функций из классов ВМОЛ, получены новые интегральные оценки модуля производной конформно отображающей функции в областях с указанными границами.

2. Оценки модуля производной конформно отображающей функции

Напомним хорошо известные результаты.

Лемма 1 [Рошшвгвпкв, 1977]. Пусть С - некоторая односвязная область на комплексной плоскости, ограниченная кривой класса (Ь), ф(г) - функция, конформно отображающая круг Б на область С, Ь - произвольное положительное число. Тогда функция (г) = Ь 1п ф(г), где выбрана главная ветвь логарифма, принадлежит классу ВМОА.

Лемма 2 [Рошшвгвпкв, 1977]. Для функции f € ВМОА, \г\ < 1, и произвольного Ь € С\{0} существует такое М = М (Ь), что справедливо неравенство

1 Г ^ 2 (1 - \ г \2) 2

2п 7

Ы=1

|1 - г^|2

2

ь и

\ dq \ < М

е

На основании указанных свойств получим новые оценки для конформно отображающей функции в областях с границами класса (Ь).

Теорема 1. Пусть С - некоторая односвязная область на комплексной плоскости С, ограниченная кривой класса (Ь), ф(г) - функция Римана, отображающая Б на С, ф(0) = ш0, € С, ф(0) > 0. Тогда справедливы оценки

11 ^ ^

1) При 1 <р< - + - = 1, £ > -1, 1 <1<в + 1, П > в + 1 - - :

р q q q

I \ Ф (г) \в+2 (1 -\ г \ )в хР1 (г) т ()< с \ ф (() \ в+2 (1 - \ С \ )в Х^ (()

у |1 - -гп+2 2 () - (1 - \ с \ )п ,

где х^(() = (1 - \(\)-1/ря, с - некоторая положительная постоянная;

2) При в> -1, П > в + 1 :

[ \ф(г) \в+2 (1 - \ г \)в т С \ ф(С) \в+2 (1 - \ С \)в

у |1 - ^г|п+2 dm2(г) < (1 - \ С \)п ,

где с - некоторая положительная постоянная.

в + 2 | |

□ Докажем п. 1) Полагая f = —-— |ф'(%) |, % € Б, % = гега, учитывая утверждения лемм 1 и 2, имеем:

п 2

2П/|Ф(«")Г Г^Цда < м|ф(()|в+2, (1)

2п } |1 — Щега|2

—п 1 1

где 0 < Щ < 1.

/|ф'(г)|в+2 (1 — Ы)вхр(г)

-=—+2—-— дт2(г). Здесь и далее сг,г > 0, - некоторые

|1 — С%\

в I ^ |

положительные постоянные, конкретные значения которых не играют никакой роли. Пусть £ = регв. Тогда

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 п | '(в) 12 I = /(1 — (ге*)Г2 |1 — Гре — }|__^_<

1 У(1 Г) У ф ( Л \1 — грег(^в)\2\1 — трег(°—в)\п <

0 —п 1^1' '

1 п

/■ (1 — г)в—^ Л га\ \в+2 дадг

< с0 I ——т::^ I \ф (ге )| --•

0

(1 — гр)п У 1 |1 — трег(а—в

Поскольку функция ф'(%) = 0, % € Б, то (ф'(%))в+2, (ф(0))в+2 > 0, голоморфна в Б. Функция Ф^(г) = (1—— )2 также является голоморфной в Б при фиксированном ( € Б. Следовательно, Ф^(г)(ф'(г))в+2 - голоморфная в Б функция. Поэтому

п

\в+2_да [\ф' (гега )1в+2

|1 — гр

монотонно растет на [0,1). Значит,

ф'(гега)Г+2-—-2 = \ф'(гега)Г+2 |ФС(гега)| да = 11 (г)

|1 — грег(а—в)\2 ■)

11 (г) — / |ф'(ге*)|в+2_а__ 1 \ф'(ге*)|в+2_(1 — р2)_да<

11(г)= 1 |ф ( П \1 — грег(*—в)\2 = (1 — Р2)] |ф (ге л \1 — грег(*—в)\2 <

-^ \ф' (ега )| ^-да.

" (1 — р2)У л |1 — рег(-°)12

1 1 \ф' I Ла Л\в+2 (1 — Р2)

— рег(а—в

с1 |ф'(ре ) |

И из оценки (1), положив Щ = С, получим: 11 (г) < ——.-^-.

(1 — р2)

Т0а;ть I < о И^Г / (1 — гЦ!! дг. - (1 — р2) У (1 — гр)п 0

г (1 — г)в—1/ч Сз ™ 7

Но —-г— дг < --г———;—- при 1 ^ — < в+1, п > в+1--. Откуда получается

У (1 — гр)п - (1 — р)П—в+1/Ч—1У у Н ,1-Н у ^

0

1 ,, гв\\в+2

с4 |ф'(регв)|

следующее неравенство 1 < ~(1-)П—1/д •

п

Итак,/ Ш 7^-йГ1 Х (г) < ^ 5 I ^

при соответствующих условиях. Пункт 2) доказывается аналогично.

Повторяя рассуждения теоремы 1, несложно получить следующий результат. Теорема 2. Пусть С - некоторая односвязная область на комплексной плоскости С, ограниченная кривой класса (Ь), ф(г) - функция Римана, отображающая Б на С, ф(0) = €

С, ф(0) > 0. Тогда при 1 < р < справедливо неравенство:

~ р

С |ф(г)|в+2 (1 - 1г1)вх?((г)йт2{х) < С 1ф(С)|в+2 (1 - К \)вх1(С)хЧ(О

|1 - с^Г211 - ЪТ (1 ЧС1)п+2-р (1 -|£1)

^ ч

1 11 ^ 3 ^ ^ ~

где х1 (С) = (1 - КI) рч ; - + - = 1, в > -1, 0 <^<рр + 1, п > в - 2 +---; м> 2 - ^, с -

р д д р рд д2

некоторая положительная постоянная.

3. Заключение

В работах автора, например, [ТкаеИепко, 2009] с помощью аналогов рассмотренных оценок построены, в том числе, ограниченные интегральные операторы в весовых пространствах аналитических функций.

Пусть ЕР(С) - хорошо известный класс Смирнова в области С. Обозначим через ЬР(С) -класс измеримых по Лебегу в области С функций, для которых

¿Р(С) = /I/(г)|Р(1т2(^) < +гс>, 0 <р< +гс>,

о

где (т2 (г) - плоская мера Лебега.

Из классической теоремы М. Рисса известно, что интеграл типа Коши на границе дС отображает пространство ЬР(С) на ЕР(С) при всех 1 < р < В то же время, исходя из

классических результатов А.Н. Колмогорова, такой интегральный оператор не отображает пространство Ь:(С) на Е^С) даже в том случае, когда дС представляет собой единичную окружность. Дж. Ньюмен показал, что такого интегрального оператора вообще не существует. Однако в пространствах Бергмана существует ограниченный проектор по плоской мере Лебега из Ь1(С) на соответствующее пространство Бергмана. Эти результаты были получены Ф.А. Шамояном в случае гладких контуров при всех 0 < р < 1. А при 1 < р < такие результаты можно вывести из результатов М. Рисса (см. [Ткаченко, 2009]).

Возможности распространения данных результатов на области с более общими границами рассматривались в работах отечественных и зарубежных авторов [Шихватов, 1976; Соловьев, 1985; Иеёепша1ш, 2002] и указанных выше работах автора.

Пусть Ер (С) - класс измеримых по Лебегу в С функций /, для которых

Р

Ьрв (О)

о

= У 1/(^1Р (1в^,д)С)(1т2М < , в> -1, 0 <р< ,

ЛРр(С) - подпространство пространства Ь^(С), состоящее из аналитических функций.

Теорема 3 ([ТкаеИепко, 2009]). Пусть С - односвязная область на комплексной плоскости, ограниченная кривой класса (Ь), ф(г) - функция, конформно отображающая Б на С, ф(0) = ш0, € С, ф(0) > 0, ф - обратная функция для ф. Тогда интегральный оператор

РИ = Рп(/)Н = ^ / (1 -^^ -/(м) |фИ2(т2(м) п I (1 - ф(м)ф(-ш))п+2 о

непрерывно отображает Ьр^(С) на А^(С), 1 < р < в > —1, п > 2(в + 1), причем

Ц(с) < с(в,р) УЦ(С),

с(в,р) =еоп81> 0.

Данная теорема устанавливается с применением аналога ядер М.М. Джрбашяна для области О и интегральных оценок модуля производной конформно отображающей функции (аналогов оценок теоремы 1).

Пусть С^ - некоторая односвязная область на комплексной плоскости, граница которой принадлежит классу Лаврентьева (Ь) . Рассмотрим {С^ }т=1 - множество таких областей и

С = С1 х ... х Ст.

Обозначим Ьв.(С) - множество измеримых в С функций таких, что

щс) = \У(™)\Р Лв^,сдС)(1т2т(ы) =

с

/,. т

... \у ,...^т)\РП (™3 ,дСз )dm2(wj) <

С Ст ^

где 0 < р < +<х>,@ = (в1,..., вт), вj > —1,] = 1,т; йт2т = dm2...dm2 - мера Лебега на С. Пусть также Ав(С) = Н(С) П Ьв(С).

Р Р

Автор предполагает возможность получения аналога теоремы 3 и использования оценок теоремы 1 и 2 при изучении в пространствах Ьд(С) операторов типа Бергмана следующего вида:

2 2

т т + 1 Г Г т (1 — (Н)\ РЩ(Н)

(РУ Х^^П- - ! -==———-— dm2(Нl)...dm2(Нm),

?=1 п / ?=1 (1 — ))Ф(wj)п+2

С^ Ст ■>

где {фj}т=1 - функции Римана, выполняющие отображение Б на Сj, фj(0) = , € Сj, ^ = ] =

Автор выражает благодарность профессору Шамояну Ф.А. за внимание к работе и Шамо-яну Р.Ф. за идеи возможного применения результатов работы.

Список литературы

1. Альфорс Л. 1969. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 133.

2. Гарнетт Дж. 1984. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 469.

3. Голузин Г.М. 1966. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 628.

4. Дзядык В.К. 1977. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 512.

5. Махина Н.М. 2015. О сопряженных пространствах к некоторым весовым пространствам аналитических функций. Вестник Брянского государственного университета, 2: 420-423.

6. Махина Н.М. 2017. Оценки производных аналитических и гармонических функций в некоторых областях комплексной плоскости. Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика, 2: 16-22.

7. Махина Н.М. 2018. Некоторые оценки конформно отображающей функции в областях с кусочно-гладкой и асимптотически конформной границей. Вестник Омского государственного университета, 23(3): 47-51.

8. Махина Н.М., Шамоян Ф.А. 2013. Базисы в весовых пространствах функций, аналитических в областях со спрямляемой границей. Вестник Брянского государственного университета, 4: 27-30.

9. Пекарский А.А. 2001. Рациональные приближения функций с производными из пространства В.И. Смирнова. Алгебра и анализ, 13(2): 165-190.

10. Соловьев А.А. 1985. Оценки в Lp интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гармонических функций. Сибирский математический журнал, 26(3): 168-191.

11. Ткаченко Н.М. 2009. Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости: дисс. .. .канд. ф.-м. наук. Брянск, 116.

12. Ткаченко Н.М. 2009. Линейные непрерывные функционалы в Lp-пространствах аналитических функций. Вестник Брянского государственного университета, 4: 100-105.

13. Шихватов А.М. 1976. Об Lp-пространствах функций, аналитических в области с кусочно-аналитической границей. Математические заметки, 20(4): 537-548.

14. Duren P.L. 2000. Theory of Hp Spaces. New York/London: Academic Press, 1970. Reprint: Mineola, New York, Dover, 292.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

15. Galanopoulos P., Girela D., Hernandez R. 2011. Univalent Functions, VMOA and related spaces. Journal of Geometric Analysis, 21: 665-682.

16. Hedenmalm H. 2002. The dual of Bergman space on simply connected domains. Journal d' Analyse Mathematique, 88: 311-335.

17. John F., Nirenberg L. 1961. On functions of bounded mean oscillation. Communications on Pure and Applied Mathematics, 14: 415-426.

18. Sarason D. 1975. Functions of vanishing mean oscillation. Transactions of the American Mathematical Society, 297: 391-405.

19. Pommerenke Ch. 1977. Schlichte Functionen und analytische Functionen von beschrankter mittlerer Oszillation. Commentarii Mathematici Helvetici, 52: 591-602.

20. Pommerenke Ch. 1978. On univalent Functions, Bloch Functions and VMOA. Mathematische Annalen, 236 (3): 199-208.

21. Shamoyan R.F., Makhina N.M. 2015. On continuous linear functionals in some weighted functional classes on product domains. Siberian electronic mathematical reports, 12: 651678.

22. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. 2009. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary. Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry, 5(2): 192-210.

References

1. Al'fors L. 1969. Lekcii po kvazikonformnym otobrazhenijam [Lectures on quasiconformal mappings]. Moscow, Mir, 133.

2. Garnett J. 1984. Ogranichennye analiticheskie funkcii [Bounded analytic functions]. Moscow, Mir, 469.

3. Golusin G.M. 1966. Geometricheskaja teorija funkcij kompleksnogo peremennogo [The geometrical theory of functions complex variable]. Moscow, Nauka, 628.

4. Dzjadyk V.K. 1977. Vvedenie v teoriju ravnomernogo priblizhenija funkcij polinomami [Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials]. Moskow, Nauka, 512.

5. Makhina N.M. 2015. O soprjazhennyh prostranstvah k nekotorym vesovym prostranstvam analiticheskih funkcij [On conjugate spaces to some weighted spaces of analytic functions]. Vestnik Brjanskogo gosudarstvennogo universiteta, 2: 420-423.

6. Makhina N.M. 2017. Ocenki proizvodnyh analiticheskih i garmonicheskih funkcij v nekotoryh oblastjah kompleksnoj ploskosti [Estimates of the derivatives of analytic and harmonic functions in some domains of the complex plane]. Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblast-nogo universiteta. Serija: Fizika-matematika, 2: 16-22.

7. Makhina N.M. 2018. Nekotorye ocenki konformno otobrazhajushhej funkcii v oblastjah s kusochno-gladkoj i asimptoticheski konformnoj granicej [Some estimates of a conformally mapping function in domains with a piecewise-smooth and asymptotically conformal boundary]. Vestnik Omskogo gosudarstvennogo universiteta, 23(3): 47-51.

8. Makhina N.M., Shamoyan F.A. 2013. Bazisy v vesovyh prostranstvah funkcij, analiticheskih v oblastjah so sprjamljaemoj granicej [Bases in weighted spaces of functions analytic in domains with rectifiable boundary]. Vestnik Brjanskogo gosudarstvennogo universiteta, 4: 27-30.

9. Pekarskij A.A. 2001. Racional'nye priblizhenija funkcij s proizvodnymi iz prostranstva V.I. Smirnova [Rational approximations of functions with derivative in a V.I. Smirnov space]. Algebra i analiz [St. Petersburg Mathematical Journal], 13(2): 165-190 [2002, 13(2), 281300].

10. Solov'yov A.A. 1985. Estimates in Lp for integral operators associated with the space of analytic and harmonic functions. Siberian Mathematical Journal, 26(3): 168-191.

11. Tkachenko N.M. 2009. Vesovye Lp-ocenki analiticheskih i garmonicheskih funkcij v odno-svjaznyh oblastjah kompleksnoj ploskosti [Weighted Lp estimates analytic and harmonic functions in a simply domains of complex plane]. Ph. D. Dissertation, Bryansk, 116.

12. Tkachenko N.M. 2009. Linejnye nepreryvnye funkcionaly v Lp-prostranstvah analiticheskih funkcij [Linear continuous functionals in Lp-spaces of analytic function]. Vestnik Brjanskogo gosudarstvennogo universiteta, 4: 100-105.

13. Shihvatov A.M. 1976. Ob Lp-prostranstvah funkcij, analiticheskih v oblasti s kusochno-anali-ticheskoj granicej [On Lp-spaces of functions analytic in a domain with piecewise analytic boundary]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 20(4): 537-548.