Об ограниченности и компактности многомерных интегральных операторов с периодическими ядрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И КОМПАКТНОСТИ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ЯДРАМИ

© 2014 г. О.Г. Авсянкин, Л.В. Ульянова

Авсянкин Олег Геннадиевич - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: avsyanki@math. sfedu. ru.

Ульянова Людмила Владимировна - студентка, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: lyu4477@gmail.com.

Avsyankin Oleg Gennadievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Head of the Department of Differential and Integral Equations, Faculty of Mathematic, Mechanic and Computer Science, Southern Federal University, Mil'chakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: avsyanki@math.sfedu.ru.

Ulyanova Ludmila Vladimirovna - Student, Faculty of Mathematic, Mechanic and Computer Science, Southern Federal University, Mil'chakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: lyu4477@gmail.com.

Рассматриваются многомерные интегральные операторы с периодическими ядрами в Ьр -пространствах. Для таких

операторов получены достаточные условия на ядро интегрального оператора, обеспечивающие ограниченность в указанных пространствах. Также исследован вопрос о компактности интегральных операторов с периодическими ядрами и переменными коэффициентами. Доказано, что если коэффициент является функцией, стремящейся к нулю на бесконечности, а ядро удовлетворяет некоторому дополнительному условию, то оператор является компактным. Кроме того, выделен широкий класс периодических ядер, для которых условия теоремы об ограниченности и теорем о компактности заведомо выполнены.

Ключевые слова: интегральный оператор, периодическое ядро, ограниченность, компактность.

We study the multidimensional integral operators with periodical kernels in Lp - spaces. We obtain the sufficient conditions on

the integral operator kernel, providing the boundedness in mentioned spaces. We also study the compactness of integral operators with periodical kernels and variable coefficients. Compactness of the operator proved when coefficient is a function that tends to zero on infinity and the kernel satisfies some additional condition. Besides we outline a wide class of periodical kernels which satisfies the conditions of boundedness and compactness theorems.

Keywords: integral operator, periodical kernel, boundedness, compactness.

Интегральные операторы с периодическими ядрами играют важную роль в математике и приложениях. Они являются естественным обобщением операторов, ядра которых зависят от разности аргументов. Кроме того, такие операторы тесно связаны с дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, поскольку функция Грина этих дифференциальных уравнений является периодическим ядром. Отметим также, что имеется ряд моделей в механике и биологии, которые непосредственно приводят к интегральным уравнениям с периодическими ядрами.

В настоящее время имеется довольно развитая теория интегральных операторов с периодическими ядрами в пространствах непрерывных функций ([1-3] и цитированные в них источники). Однако в пространствах суммируемых функций такие операторы практически не рассматривались. Данная работа посвящена изучению многомерных интегральных операторов с периодическими ядрами в Ьр -пространствах. Для таких

операторов ниже получены достаточные условия ограниченности. Кроме того, установлены некоторые дос-

таточные условия компактности таких операторов с переменными коэффициентами в предположении, что коэффициенты принадлежат весьма широкому классу функций.

Теорема об ограниченности

В пространстве Ьр (Яп), 1 < р , рассмотрим

оператор

(Хф)(х) = 1 k (x, y)q{y)dy, x e Rn

(1)

R n

предполагая, что функция к(х, у) измерима и является т -периодической, т.е. существует такой вектор т = (т1,...,ти) е Я« с положительными координатами, что для любого у = 1,2,...« справедливо равенство

к(х + Туву, у + туву ) = к(х, у) , Ух, у е Яп, (2) где {в1,...,ви} - стандартный базис в Яп.

Пусть Пх = { х е Rn : 0 < xj < Tj, j = 1,2,..и}. Имеет

место следующая

Теорема 1. Пусть т -периодическая функция к(х, у) удовлетворяет условиям

к1 := ess sup j | к(x,у) | dy < да, (3)

xenx R«

(4)

фе Lp (Rn) справедливо неравенство

in p

(5)

"Р 1 2 ......

Доказательство. Рассмотрим два случая. 1) 1 < р < ». Тогда, применяя неравенство Гель-дера, получим

( Л17Р

|(Кф)( х) |<

j\k (x, y)\ | ф( y) | pdy

R n

Nl/p'

j\ k(x,y) \ dy

v R n (

esssup j\k(x,y)\ dy

V xeRn Rn

\1/p'

Nl/p

J\k (x, y)\ \ ф( y)\ pdy

Rn

Из условия (2) вытекает, что функция h(x) = jRn | к(х, у) | dy удовлетворяет условию

h(x + Tjej) = h(x), Vх е Rn. Следовательно,

esssup j | к(х,у) |dy = ess sup j | к(x,у) |dy = к1.

xeRи Rn xenT Rn

Таким образом,

/ o/p

\(Кф)( x)\<Kl/p'

J\k (x, y) \\ ф( y)\pdy

. Тогда

||Кф||p < Kp/p' j dx j \ k(x, y) \ \ ф(y) \ pdy =

Rn R

= Kf/p' |\ф(y) \pdy j \k(x, y)\ dx <

R n

R n

< кp/p ess sup j | к(x, у) | dx j | ф(у) | рф =

yeRи Rи Rn

= кр/р'к2|фp .

Отсюда следует оценка (5); 2) р = да. Так как

|(Кф)( x)| < Л к (x, у) ||ф( у)|^у <||ф||да Л к (x, у)^,

то

R n

R n

11кф||» < е555ир 11 к (х' у) Иф1» = к1 М1» •

хеПх ки

Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что если ядро к(х, у) удовлетворяет только условию (3), то оператор К ограничен в Ь»(Яп), причем Цкф^ < кЦф|. Если же ядро

к (х, у) удовлетворяет только условию (4), то оператор К ограничен в Ь1(Яп), причем ||К<ф| < к2||ф^ •

Приведем пример функции, удовлетворяющей условиям (2)-(4). Легко проверить, что функция

(

k (x, y) = b( x - y) exp

x

Л

к2 := ess sup j | к(x, у) |dx < да . уеПт Rи

Тогда оператор K ограничен в пространстве Lp (Rn), где 1 < р <да, причем для любой функции

2л/ 2 т j

V j =1 т j J

(6)

где b е Lj(Rn), mj e Z, удовлетворяет вышеуказанным условиям, причем Kj = = ||b|| .

Теоремы о компактности

Рассмотрим вопрос о компактности операторов

вида (1) в пространстве Lp (Rn). Из условия (2) легко

следует, что оператор K коммутирует с операторами сдвига Ux вида (Ux ф)(x) = ф(x + х ,-в,-), где

j j J J

j = 1,2,..., n . Тогда из [4, теорема 1] оператор K не является компактным. Поэтому естественно возникает вопрос о компактности операторов с периодическими ядрами и переменными коэффициентами.

Пусть вначале коэффициенты принадлежат классу

C0(Rn), состоящему из всех непрерывных на Rn функций a(x), таких что lim a(x) = 0. Оператор умножения на функцию a(x) будем обозначать через

Ma .

Ниже нам понадобится критерий компактности М. Рисса [5, с. 324].

Предложение 1 (М. Рисс). Множество

^ = {у} с Lp (Rn), где 1 < p < да, является предком-

пактным тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

i) множество Q ограничено;

f

ii) lim sup

N

Nl/p

j \ v(x)\p dx =0 ;

vM>N j

iii) lim sup ||v(x + 8) - y(x)|| = 0.

8^0 ^еО

Теорема 2. Пусть 1 < р < ж, а е С0(ЯИ) и функция к (х, у) удовлетворяет условиям (2)-(4), а также условию

lim ess sup j\ k(x + 8, y) - k(x, y) \ dx = 0.

yenx Rn

(7)

Тогда оператор МаК компактен в Ьр (Яп). Доказательство. Пусть Ф = {ф} с Ьр (Я_п) - произвольное ограниченное множество, т.е. ||ф|| < С для

любого ф е Ф. Пользуясь критерием М. Рисса, покажем, что множество {МаКф}, где ф е Ф, предком-пактно в пространстве Ьр (Яп). Проверим все три условия.

n

X

<

J

vR n

Справедливость условия ^ непосредственно вытекает из ограниченности оператора К. Проверим условие и). Учитывая неравенство (5), для любой функ-

/ о/р

ции

(

ф e Ф имеем

11 (MаКф)(x) \pdx

\x\>N

Nl/p

+

||a(x)[(Кф)(x + 8) - (Кф)(x)]|| p <

то

< sup \ a(x + 8) - a(x) \ ||Кф| +

xeRn P

+ |ail j|(Кф)(x + 8) - (Кф)(x)||P. Поскольку ЦКф < Ск^к^ и a(x) e C0(Rn)

для того, чтобы доказать равенство lim sup J(8, ф) = 0, достаточно показать, что

8^0 феФ

lim sup ||(Кф)(x + 8) - (Кф)(x)|| р = 0. (8)

8^0 феФ P

В самом деле, применяя неравенство Гёльдера и используя условие (3), получаем |(Кф)( x + 8) - (Кф)( x)| <

(

\l/p

1 \ k (x + 8, y) - k (x, y)\\ф( y)\pdy

R n

\l/p'

1 \ k(x + 8, y) - k(x, y)\dy

R n

= (2 Ki)

Тогда

i/p

Nl/p

1 \ k(x + 8, y) - k(x, y) \\ ф(y) \p dy

R n

||(Кф)(x + 8) - (Кф)(x)||p <

\l/p

1 \ ф(y)\Pdv 1 \ k(x + 8, y) - k(x, y) \dx

< a

R n

ess

R n

Nl/p

sup 1 \ k(x + 8, y) - k(x, y)\dx||ф|| pp

yeRn Rn

<aC

Nl/p

ess sup 1 \ k(x + 8, y) - k(x, y) \dx

yen Kn

s X R

где a = (2Kl)l/p . Из (7) вытекает (8). Теорема доказана.

Заметим, что функция k(x, y) вида (6) всегда удовлетворяет условию (7). Действительно, в этом случае lim ess sup 1 \ k(x + 8, y) - k(x, y)\dx =

yenx Rn

(

j| a(x) |p |( Кф)( x)| pdx

Jx|>N

< sup | a(x) | ||кф < Ск1/р'к12/р sup | a(x) |.

|x|>N p |x|>N

Так как sup | a(x) 0 при N ^ да, то второе ус-

|x|>N

ловие выполнено.

Перейдем к проверке условия iii). Имеем

J(8,ф) := ||(Ma*<PXx + 8) - (МКфХx)|р <

< ||[a( x + 8) - a(x)]( Кф)( x + 8)|| р +

= lim

8^0

exp

1 \ b(t + 8) - b(t )\dt +

R n

2%i 2 mj 8 j /x j

j=l

Л Л

-1 b l = 0

V

в силу непрерывности функции b e Ll(Rn) по Li -норме.

Расширим класс коэффициентов. Следуя [6, с. 37], будем говорить, что функция a(x) e LJ (Rn) принадлежит классу ß^up(Rn), если lim ess sup \ a(x) \ = 0.

N^J \x\>N

Теорема 3. Пусть l < p < j , a(x) e ß^"p(Rn) и

k(x, y) удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда

оператор МаК компактен в Lp (Rn).

Доказательство. Положим fa(x), апёе | x | < N,

aN (x) =

0, апёе | x| >N.

Покажем, что оператор Ма^К компактен. Действительно, пусть функция ^x) е С0(Яп ) такова, что Ь(х) = 1 при | x |< N. Тогда М^К = Ма^МъК. По

теореме 2 оператор МьК компактен, а значит, Ыа К - также компактный оператор. Поскольку

aN

М„К -Ma К

a aN

< I|К||ess sup \ a(x) 0 при N ^ j ,

\x\>N

то оператор МаК компактен в Lp (Rn). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть l< p <j , a(x) e ß^"p(Rn) и функция k(x, y) удовлетворяет условиям (2)-(4), а также условию

lim ess sup 1 \ k(x, y + 8) - k(x, y) \dy = 0. (9)

8^0 xenx Rn

Тогда оператор KMa компактен в Lp (Rn).

Доказательство. Оператор КМ12 компактен в

Ьр (Я ) тогда и только тогда, когда компактен в

Ьр< (Яп) оператор ЫаК * , где К * - оператор вида (1), ядром которого является функция

к (х, у) = к (у, х). Из условия (9) легко следует, что

эта функция удовлетворяет условию (7), а значит, по

*

теореме 3 оператор МаК компактен.

п

+

<

X

V

<

X

V

V

<

= a

<

Литература

1. Пуляев В.Ф. Развитие теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. СПб., 2001. 315 с.

2. Пуляев В.Ф., Савчиц Е.Ю. Об интегральных операторах с периодическими ядрами // Вопросы функц. анализа и мат. физики: материалы науч. конф. Баку, 1999. С. 402-406.

3. Пуляев В. Ф., Сокол Г. Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими

Поступила в редакцию_

ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. Спец. выпуск. С. 131-132.

4. Карапетянц Н.К. Об одном аналоге теоремы Херманде-

ра для областей, отличных от Р n // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, № 6. С. 1294-1297.

5. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962. 895 с.

6. Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with Involutive Operators. Boston; Basel; Berlin, 2001. 427 p.

26 ноября 2013 г.