CC BY
67
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том Б. № 1 (2013). С. 3-10.
УДК 517.518
КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ ОПЕРАТОРА ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ПОРЯДКА
А.М. АБЫЛАЕВА, А.О. БАЙАРЫСТАНОВ
Аннотация. В работе получены необходимые и достаточные условия компактности оператора
X
Kf (x) = /ln x--sffiL d-
0
из Lp,v в Lq,u при 1 < p ^ q < то и v(x) = x-Y, Y > 0, где Lq,u — совокупность всех измеримых на (0, то) функции f, для которых конечна норма ||uf Wq.
Ключевые слова: компактность, оператор дробного интегрирования бесконечно малого порядка, оператор Римана-Лиувилля, сингулярный оператор, сопряженный оператор, неравенство Гельдера, весовые неравенства.
1. Введение
Пусть І < p ^ q < то, 1 + p = І, R+ = (0, то), u,v : R+ ^ R весовые функции, т.е. неотрицательные измеримые на R+ функции.
Начиная 70-х годов прошлого века, в мировой математической литературе интенсивно исследуется весовая оценка вида
WuKf Wq ^ C W vf Wp (І)
для различных классов операторов K, где || ■ ||p — обычная норма пространства Lp = Lp(R). Далее через Lp,v обозначим совокупность функции f : R+ ^ R с конечной нормы Wf Wp,v = Wvf Wp. Обзор исследований оценок вида (1) с І970 по І982 гг. можно найти в [1]. Некоторые направления исследований оценок вида (І), сделанных для интегральных операторов до 2003 года, даны в монографии [2]. В работе [3] указана последовательность классов неотрицательных функции K(■, ■) и дано полное описание весов u и v, при которых для интегрального оператора
X
Kf (x) = J K(x,s)f (s)ds (2)
0
справедлива оценка (1) при принадлежности его ядра к этим классам. Однако эти результаты не охватывают оператора вида (2) в случае, когда ядро K(■, ■) имеет сингулярность, например, оператор Римана-Лиувилля
X
Rf <X) = , <3>
0
А.М. AвYLAYEVA, А.О. Baiarystanov, Compactness criterion for fractional integration operator of infinitesimal order.
© Абылаева А.М., Байарыстанов А.О. 2013.
Поступила 23 декабря 2Q11 г.
з
при 0 < а < 1. Оценка вида (1) для оператора (3) в общем случае остается открытой. Но исследованы следующие случаи: и = V в [4], V = 1 в [5,6] и случай невозрастания одной из весовых функций в [7].
Оператор вида
X
к/ м=|іп * (4)
0
называется оператором дробного интегрирования бесконечно малого порядка (см. [8], стр. 34).
В [9] исследована оценка (1) для оператора (4) в случае, когда v(x) = ж-7, 7 > 0. Эта оценка равносильна оценке
ЦиТ7/1|, ^ С||/||р (5)
для оператора
Так как
Тт/(ж) = з7 11п /(в)Св
/ x в
х [ Сі
1п--------= ------ при X > 5 > 0,
X — 5 / X — І
то имеет место неравенство
в , X 5
------> 1п-------- > —, X > в > 0. (6)
/V» _ £ /V» _ £ /V»
>Ау <5 іду <5 «лу
Функция 1п убывает по X и возрастает по в при X > в > 0, а функции X 1п , 11п
J ^ X — в ^ — ‘ ^ X — в в Х — в
убывают по X и возрастают по в при X > в > 0. Действительно,
д / , X \ X в
— X 1п--------- = 1п--------------< 0,
д^\ X — в / X — в X — в
д /1 X \ 1 / в п X \
— - 1п------ = ^---------1п------ > 0
дв \ в X — в / в^\ X — в X — в/
при X > в > 0. Отметим, что для дифференцируемой функции / оценка (1) для оператора (4) эквивалентна неравенству
і . . і
4 \ д /ОС \ р
Сx I ^ С [у |/,(x)x1—7 |pСx I . (7)
0
В работе принимаются следующие соглашения. Неопределенности вида 0 •то, 0, ю полагаются равными нулю. Неравенство вида А ^ вВ, где положительная постоянная в, быть может, зависит от параметров р, д и 7, будем писать в виде А ^ В, а соотношение А « В будет означать А ^ В ^ А.
Х(а,ь) (•) — характеристическая функция интервала (а, Ь), Z — множества целых чисел. В работе [9] получены критерии ограниченности оператора Т7 и сопряженного к нему оператора
СЮ
Т*д(в) = в7— 1 [ д^) 1п —X—Сx, (8)
г J X — в
в
из в ^ч,п.
В частности доказаны следующие теоремы.
X
в
Теорема A. Пусть 1 < p ^ q < то, 7 > p. Оператор TY ограничен из Lp в Lq,u тогда и только тогда, когда
у \ 1 = sup (ж) < то, где D7(ж) = ж7+p' | / t-qu(t)dt
ж>0
При этом ||T71|
Теорема В. Пусть І < p ^ q < то, 7 > І — 1. Тогда оператор T* ограничен из Lp
в Lq тогда и только тогда, когда
О \ p'
D* = sup D*(x) = sup x7+ [ I t p v1 p (t)dt | < то.
x>0 x>0
x
При этом IT* I « D*
711 ^7-
В настоящей работе мы исследуем вопросы компактности оператора Т7 из Ьр в Ьч,и.
2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Теорема 1. Пусть 1 < р ^ д < то, 7 > р. Оператор Т7 компактен из Ьр в Ьч,и тогда и только тогда, когда Д7 < то и
1іт Д7(X) = 1іт Д7(X) = 0. (9)
х—0 х——<ю
Доказательство. Необходимость. Пусть Т7 есть компактный оператор из Ьр в Ьч,и. На основании теоремы А, Д7 < то.
Теперь докажем выполнение условий (9). Для 0 < в < то рассмотрим семейство функций
/«(X) = ХСо^Ив—р, X > 0, (10)
с нормой
111 p / s \p / s \p
|/5(ж)|р^ж^ = в ^I = в р йх | =1. (11)
Покажем, что семейство функции (10) слабо сходится к нулю в £р. В силу теоремы [10] об общем виде линейных непрерывных функционалов в лебеговом пространстве, линейный непрерывный функционал в Ьр имеет вид:
СЮ
J /(х)д(х)йх, где д € .
о
Используя неравенство Гельдера, выводим:
СЮ 5
/Л(х)д(х)* = /в -1 д(х)* <
оо
/л \1/г \р7 /г А'’7
^ в -р I / йх | I / |д(х)|р7йх | = I / |д(х)|р7йх 1 . (12)
Для любого д € Ьр/ последний интеграл в (12) стремится к нулю при в ^ 0, что означает слабую сходимость /г ^ 0 в Ьр при в ^ 0. Тогда по свойству компактных операторов в банаховом пространстве
1іт Ііт7ліід,« = 0.
в0
Поскольку, 1п XX* > Хх при 0 < І < X, то
(13)
ЦТ/5
Ю
в||д,и | ^ u(x) 0
X
І7 1п--------- /в(і)Сі
X — І
dx І >
СЮ
> ( / u(x)
в
X
І7 в р 1п--------------Сі
X — і
dx І >
> в р ( і7Сі І ( / X ч«(X)
7 + 1
Д7 (в).
(14)
Из (13) и (14) следует, что 1іт Д7(в) = 0, т.е. выполнено первое соотношение (9). Пока-
в0
жем второе соотношение (9). Из компактности оператора Т7 следует компактность сопряженного оператора Т* (8) из иі_д, в Ьр,. Для 0 < в < то введем семейство функций
двМ = Х(в,ю) (X) ( / І чи(І)СІ I
(15)
Из условия Д7 < то следует сходимость интеграла в (15). Покажем, что для любого в > 0 функция дг € Ьд/,ад1-д/.
Действительно,
ч/,«1_д I / |дв
0
д / сю
і ч«(і)Сі І ( / (u(x)x1 и1 ч (x)dx I = 1
(16)
Для всех / Є Ьч,и, в силу (16)
д«(X)/= I д^)/^ ( / и1 ч'I х
Предельный переход в последнем неравенстве при в ^ то показывает, что дг ^ 0, слабо в ^д/ад1-д/ при в ^ то. Тогда Т^дг (в силу компактности Т^) сходится к нулю при в ^ то по норме Ьр/, т.е.
1іт ||Т*д,||р, = 0.
(17)
X
д
д
в
1
д
Из оценки
( со со Г гг* р'
Г>||р- = / І1 -1 / ^о(х)1п ^х ] х - І №
0 І )
>
(
>
г_1) / О и(х) 1п _х_
р' \ р'
£Р'(7 1) | I 1П_Г---------^х |
Т9_1 х — І
кКу кКу О
0 \«
х 9и(х)^х | >
1
р'7 + 1
(5).
(опять используем неравенство 1п хХ* > -)
/? \1 / ?
> I / ж-9и(ж)^ж I I / ^р,(7-1)*р^
Откуда и из (17) получаем справедливость второго соотношения в (9). Утверждение теоремы в необходимую сторону доказано полностью.
Достаточность. Пусть 0 < а < Ь < то и
Ра / Х(0,«)/, РаЬ / Х[«,ь)/, / Х[Ь,те)/.
Тогда для оператора Т7
Т7/ = РаЬТ7РаЬ + РаТ7Ра/ + РаЬТ7Ра/ + Т7/. (18)
Покажем, что оператор РаьТ7Раь компактен из Ьр в Ь9,и. Так как
РаЬТ7РаЬ/(ж) = РаЬТ7Х[аЬ)(ж)/(ж) = 0, при ж </ [а, Ь), то достаточно показать, что оператор РаьТ7Раь компактен из Ьр(а, Ь) в Ь9,и(а,Ь), а это, в свою очередь, эквивалент-
Ь
но компактности из Ьр(а,Ь) в (а, Ь) оператора Т/(ж) = /К(ж, в)/(з)^з с ядром
а
К (ж, в) = и«(ж)х(а,ь)(ж — з)з7-11п ---, который, в силу локальной суммируемости функции и, удовлетворяет условию
6/6 \ р' 6
|Р'
|К (х, в) |р ^5 1 дьх = I и(х) 1 I (в7 1 1п------------------------------- ) ^3 1 ^
р'
а
(используем неравенство > 1п при х > 3 > 0)
' «7 ж_ О -- ж_ О Г- У
6 /ж ' \р' /6
^ I м(х) 1 / 3Р'7 ( —^ 1 ^3 | ^ И 5р'7^
я_
р' 6
и(х)х 9^х < то.
Следовательно, по признаку Кантаровича [10], оператор Т7 компактен из Ьр(а,Ь) в (а,Ь), что равносильно компактности из Ьр в Ь9,и оператора Ра6Т7Ра6. Из (18) имеем
||Т7 — Ра6Т7Ра6|| ^ |РаТ7Ра| + ||Ра6Т7Ра|| + ||^6Т71|. (19)
Покажем, что правая часть (19) стремится к нулю при а ^ 0 и Ь ^ то, тогда оператор Т7 как равномерный предел компактных операторов ([11], УІ.12) будет компактным из Ьр
в ^д,«.
Пусть иа = Раи, тогда на основании Теоремы А имеем:
О
Иа(х)
|РаТ7Ра/||д,«а < |РаТ7/ІІ9,«а
О
ж
р
^ вир г7+ р' | / иа(ж)ж 9дж
,г>0
р
Следовательно,
||РаТ7Ра|| ^ вир г р' I иа(ж)ж 9дж I = вир г7 р' | / и(ж)ж 9дж | ^
z>0 \ J I 0<^<а
\* / \*
^ вир г7+р' | I и(ж)ж 9дж | = вир Д7(г).
0<£<а
0<£<а
Откуда
Оценка У РаЬТ7 Ра У *
НРабТуРа/1|9,„
Иш ||РаТ7РаН ^ ИшД7(г) = Иш Д7(г) = 0.
а^0 г—> 0 ,г^0
и(ж)
57 1 1п^^ (Ра/)(в)дв
ж — в
(20)
^ 1 I и(ж) 1 / в7 11п—ж— |/(в)|дв 1 дьж 1 ^
жв
(используем неравенство Гельдера и свойство функции ж 1п -—-
(
и(ж)
1 1п
ж
жв
\
дв 1 дж
/
и(ж) ж
9
в 1ж 1п
ж
\
дв 1 дж
^ 1 / и(ж)ж 9дж
жв
в7 1а 1п
/
а — в
дв
^ (вр)р' а7 +р' 1 / и(ж)ж 9дж 1 Н/ Нр ^ (вр)р' ^7(а
р
где вр = / |в7-11п 1-- |р дв ^ 1пр' 2 / вр'(7 - 1)дв + ша^{ 1, 2 -р'(7 - / £р'е -*д*.
0 0 1п 2
Откуда ||РаЬТ7РаН ^ Д7(а). Следовательно,
Иш Иш ||РаЬТ7Ра|| ^ Иш Д7(а) = 0.
Ь—^оо а^-0 а^-0
9
-
у
9
у
у
у
р
р
у
у
р
р
р
р
а
р
Пусть иь = Оьи, тогда на основании Теоремы А получим
ИОДУ II
7^ Иу,и
иь(ж)
в1 1 1п—Х—/(вЫз
ж — 5
^ вир г7+ г^' | I и6(ж)ж удьХ
г>0
р-
Откуда
||дьТ7 И ^ вир г7+ г3' | / и6 (ж)ж У ^Х I =
г>0
вирг7+ г^' | I и(ж)ж у^ж I = вир Д7(г).
,г>ь
,г>ь
Следовательно,
1іт ИОьТ7И ^ 1іт Д7(г) = 1іт Д7(г) = 0.
(22)
Из (19), (20), (21) и (22) следует, что правая часть (19) стремится к нулю при а ^ 0 и Ь ^ то. Теорема 1 доказана.
Переходя к сопряженному оператору и применяя теорему 1, имеем Теорема 2. Пусть 1 < р ^ д < то, 7 > 1 — 1. Тогда оператор (8) компактен из Ьр,^ в тогда и только тогда, когда
Д* < то, и 1іт Д*(ж) = 1іт Д*(ж) = 0.
' ж^0 ' '
Из теоремы 1 непосредственно следует
Теорема 3. Пусть 1 < р ^ д < то, и г>(ж) = ж-7. Оператор дробного интегрирования бесконечно малого порядка (4) компактен из Ьр,^ в Ьу,ад тогда и только тогда, когда Д7 < то и выполнено (9).
В случае д < р имеет место
Теорема 4. Пусть 1 < д < р < то, ^(ж) = ж-7, 7 > -. Оператор дробного интегрирования бесконечно малого порядка (4) компактен из Ьр,^ в Ьд,и тогда и только тогда, когда
0
и(£)
Iу-
7+4
ж г'
рд
р-д
р-я
рд
<.
/
Справедливость утверждения Теоремы 2 непосредственно следует из Теоремы 2 работы [9], так как по теореме Андо ([12], § 5), при 1 < д < р < то всякий ограниченный интегральный оператор из Ьр в Ьд,и является компактным.
у
ж
я
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дынькин Е.М., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения // Математический анализ. Т. 21 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М. 1983, С. 42-129.
2. A. Kufner, L-E. Persson Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific, New Jersey, 2003.
3. Ойнаров Р. Ограниченность и компактность интегральных операторов вольтеровского типа // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, №5. C. 1100-1115.
4. K.F. Andersen, E.T. Sawyer Weighted norm inegualities for the Riemann - Liouville and Weyl fractional integral operators// Trans.Amer.Math.Soc.1988, V. 308, № 2. Р. 547-557.
5. D.V. Prokhorov On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J.London Math. Soc. 2000. V. 61, № 2. Р. 617-628.
6. A. Meskhi Solution of some weight problems for the Riemann - Liouville and Weil operators // Georgian Math.J. 1998. № 5. P. 565-574.
7. Прохоров Д.В., Степанов В.Д. Операторы Риммана-Лиувилля // Доклады РАН. 2002, Т. 382, № 4. C. 452-455.
8. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.
9. Абылаева А.М., Омирбек М.Ж. Весовая оценка для интегрального оператора с логарифмической особенностью // Известия, серия физико-математическая. Алматы: НАН РК, 2005. № 1. С. 38-47.
10. Кантарович Л.В., Акилов Г.Р. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977.
11. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. М.: Мир. 1977.
12. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функции. М.: Наука. 1966.
Абылаева Акбота Мухамедияровна,
Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилева, ул. Мунайтпасова 5,
473021, г. Астана, Казахстан E-mail: abylayeva_b@mail.ru
Байарыстанов Аскар Ойнарович,
Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилева, ул. Мунайтпасова 5,
473021, г. Астана, Казахстан E-mail: oskar_62@mail.ru
