Об одной особенности вихрепотенциальных течений невязкой жидкости на плоскости с несимметричной впадиной Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXII-

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1991

№1

УДК 532.527

ОБ ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ВИХРЕПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКОСТИ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ ВПАДИНОЙ '

В.С. Садовский

На основании аналитико-расчетного исследования вихрепотенциального те4ения невязкой жидкости на плоскости с несимметричной впадиной треуГолЬной формы установлено, что при наличии одной вихревой зоны разделяющая линия тока не может опираться на обе угловые точки , впадины одновременно, поэтому условие Чаплыгина — Жуковского может быть выполнено в лучШем случае толЬко в одной из них. Показано, что введение двух вихревых областей, определяемых в процессе решения, позволяет добиться ограниченности величины, скорости во всем поле течения.

В работах [1—5] исследовались вихрепотенциальные течения при наличии границ, имеюших симметрию относительно направления, перпендикулярного набегаюшему потоку, и были построены соответствуюшие симметричные вихревые зоны. Возможность сушествования при этих условиях несимметричных решений практически не обсуждалась.Тем не менее в [3—5] было отмечено, что если все же допустить сушествование еше и решений с несимметричной вихревой зоной, то в этом случае при фиксированных точках схода и присоединения разделяюшей линии тока (РЛТ) формально вихрепотенциальная задача становится переопределенной, поскольку для определения завихренности в зоне рециркуляционного течения появляются два несовпадаюших условия. Это обстоятельство, по-видимому, может служить некоторым объяснением того, что для отмеченного класса задач строились только симметричные решения.

Однако Смит [6] при исследовании вихрепотенциальных течений с тонкими вихревыми зонами привел данные о том, что помимо симметричного одновременно сушествуют и несимметричные решения. Но последнее означает, что вихрепотенциальная задача с фиксированными опорными точками РЛТ, являясь переопределенной, тем не менее имеет решение. (Отметим, что результатам [6] для тонких вихревых зон предшествуют работы [7, 8], в которых, однако, получены только симметричные решения).

Целью настояшей работы является не столько получение обширного расчетного материала, сколько выяснение возможности построения решения заведомо несимметричной вихрепотенциальной задачи с фиксированными опорными точками РЛТ, а также разработка алгоритма расчета течения при наличии двух вихревых зон.

1. Вихрепотенциальные течения с одной вихревой зоной. LxeMa течения, система координат и основные обозначения изображены на рис. 1. Б области !>, ограниченной стенками впадины ВС и CD, а также жидкой линией тока BLD, имеет место вихревое течение,. в котором величина завихренности U) удовлетворяет условию Прандтля — Бетчелора: U) = const. Это течение на разделяющей линии тока склеивается с внешним потенциальным потоком, скорость которого на бесконечности, так же как и глубина ВС впадины, приняты равными единице. Помимо этого полагается, что константа Бернулли при переходе через РЛТ остается непрерывной. опирается на обе угловые точки, представляется естественным, поскольку только в этом случае выполняется условие Чаплыгина — Жуковского.

7 ©

L

0

А в с ал А

Как и в (5], отобразим конформно область течения в физической плоскости г на верхнюю полуплоскость вспомогательной переменной ' t с помощью' интеграла Кристофеля — Шварца:

z(t)

f '1/2('-'*У/6

2/3

dt; z = x + iy; t= S + ІЛ*

Соответствие границ и точек изображено на рис. І. Константы К и (t* — координата точки D в плоскости t) в результате расчетов (из соответствия угловых точек Ви C) оказались равными: К = 0,3268; t. = 4,0000. Область' вихревого течения в плоскости t ограничена разделяющей линией тока L и прямой BCD (см. рис. 1).

Краевая задача для функции тока ^ имеет вид

__

~W +"дПГ =

I

СО

dz

dt

О;

t 62; t

^ = О при \) = О и t Е L;

=О; Ц- =к при t •

(і) ' (2) (3)

Аналитическое представление решения краевой задачи (1) — (3) хорошо известно:

Ф(Ь>, т1о) = ^%-^г55

dz

dt

In

(Е-Ь) +(ті-У

(І — + (Я + Ло)2

dldr\.

(4)

Так как на жестких границах ^ = 0 функция тока обращается в ноль, то из (4) легко получается интегральное уравнение для разделяющей линии тока цо = ! (1о):

,2

О) ff

= Шк))

dz

dt

21n (E-fc)‘ + (ал-

(6-У.2 + (ал + 1\) Метод решения его подробно описан в [3, 5].

dSd\).

(5)

о

2

Для дальнейшего существенное значение имеет вопрос об определении неизвестной завихренности 00, входящей в уравнение (5). Как известно, 00 определяется из условия, что точки схода и присоединения РЛТ являются критическими, поэтому

Видно, что для получения величины завихренности имеются два несовпадающих выражения, поэтому математическая задача, строго говоря, переопределена.

Ранее в [1-5] переопределенность устранялась тем, что зоны вихревого течения имели симметрию относительно направления, перпендикулярного набегающему потоку, в силу чего условия (6), (7) совпадали. В , несимметричных задачах [9, 10] условия, аналогичные (6), (7), не совпадали, но появлялась еще одна неизвестная константа — свободная точка присоединения РЛТ, поэтому задача не была переопределенной. В данном случае симметрия исключена, а опорные точки РЛТ фиксированы. И все же, имея в виду результаты работы [6], была сделана попытка построить решение уравнения (5) такое, чтобы завихренность 00 удовлетворяла двум условиям (6), (7).

Для получения решения уравнения (5) использовался метод последовательных приближений [5]. На каждой итерации вычислялась константа

00 по соотношениям (6) и (7). Естественно, что ее значения (006 и 007 соответственно) не совпадали. Оказалось, что если при получении последующих приближений использовать только 006, то итерационный процесс имел тенденцию к стабилизации в окрестности точки В схода РЛТ, но вычисляемые одновременно значения 007 все больше и больше отличались от 006. Другими словами, используя только 006, итерационный процесс расходился в окрестности точки Б присоединения РЛТ. И наоборот, использование для получения последующих итераций только 007 приводило к стабилизации в окрестности точки Б, но к расходимости — в точке В. Необходимо отметить, что использование в (5) при вычислении последующих приближений значений 006 и 007 попеременно не приводило даже к локальной сходимости!

При получении последующих приближений в качестве константы 00 были использованы также различные сочетания из 006 и 007 (в том числе и простейшее 00 = (006 + 007) /2). Но в лучшем случае итерационный процесс имел тенденцию к стабилизации- в какой-то части РЛТ, однако с увеличением числа итераций константы 006 и 007 все больше и. больше отличались друг от друга.

Из многочисленных вариантов построения сходящегося итерационного процесса удачным оказался следующий: примем, что 00, входящая в уравнение (5), не есть константа, а является линейной функцией от £ на интервале [О; /.], причем слева и справа (на каждой итерации) принимает значения (6) и (7) соответственно. Полагалось, что использование различной «завихренности» в (5) для различных точек может привести в процессе итераций к сходимости 006 и 007. Оказалось, что так построенный процесс для РЛТ действительно сходился, и достаточно быстро. Однако, вопреки ожиданиям, получено: 006 = — 3,556; 007 = — 5,511 =1= 006. Более того, при варьировании начального приближения РЛТ самыми различными способами этот

После дифференцирования (4) получаем

(6)

итерационный процесс сходился к одной и той же функции ^ = 1(£) с приведенными выше значениями 006 и 007. Естественно, что полученное таким способом «решение» уравнения (5) не имеет гидродинамического смысла, так как завихренность точках области 2 должна быть одинаковой.

Итак, никакими ухищрениями получить решение несимметричной вихрепотенциальной задачи, в которой разделяющая линия тока опиралась бы на наперед заданные точки В и й впадины, не удалось. В такой ситуации было сделано предположение, что для разрешимости задачи одна из опорных точек РЛТ дожна быть свободной и ее местоположение на жесткой границе обязано определяться в процессе решения.

Примем, что точка схода разделяющей линии тока фиксирована угловой точкой В, а точка присоединения Р (рис. 2) не совпадает с угловой точкой й и имеет координату / =1о во вспомогательной плоскости.

Выражение (4) для функции тока, уравнение (5) для РЛТ и условие (6) остаются неизменными, а в условии (7) вместо I. появляется так как теперь задней критической точкой является точка Р, а не й:

Рис. 2

00 = — Кя,

Л

(5 —<о) +л2

(8)

Поскольку (о неизвестно, то система (5), (6), (8) не переопределена.

Для решения использовался следующий алгоритм метода последовательных приближений.

1) Задается некоторое значение 1о точки присоединения Р, а на интервале [О; — начальное приближение ^о = 1 (£о) для РЛТ.

2) С использованием 1(£) вычисляются константы 006 и 0)8 по соотношениям (6) и (8) соответственно. Как правило, их значения оказывались существенно различными.

3) Для приведения этих констант в соответствие 006 =0)8 осуществляется следующий цикл подытераций:

а) вычисляется отношение 00б/008 = а и производится афинное растяжение области 2 в направлении оси £ в а раз;

б) по растянутой области 2 . вычисляются новые значения 006 и 008, после чего опять осуществляется процедура а) и т. д. Этот цикл подытераций продолжается до тех пор, пока а не станет равной единице с заданной точностью. В процессе расчетов оказалось, что с изменением 1о величина 006 ведет себя достаточно консервативно, в то время как 0)8 изменяется в значительно большей степени. Поэтому достижение принятой точности

I (006 — (08) /006 I ^ 0,0001 (9)

не вызывало никаких затруднений.

4) При выходе из описанного в 3) цикла подытераций найденному значению О и видоизмененному (растянутому в направлении оси £) начальному приближению соответствуют одинаковые значения величины 00, подсчитанной по (6) и (8). Подставляя, теперь растянутое начальное приближение ^ = = К£) и 00 в правую часть уравнения (5), получаем первое приближение РЛТ, определенное на том же интервале. Вычисление последующих приближений осуществляется в соответствии с пунктами 2)—4).

Предложенный алгоритм решения вихрепотенциальной задачи со свободной точкой присоединения РЛТ оказался существенно эффективнее алгоритма, описанного в работе [10]. Достижение указанной выше точности (9) дЛя РЛТ на всем интервале (О; ?о) и величины ш потребовало вычисления 25-ти приближений (15 мин. на ЭВМ УАХ).

На рис. 2 полученная в результате расчетов разделяющая линия тока изображена под цифрой /, завихренность ш = — 4,580. Как видно, точка присоединения Р расположена в углублении, ниже угловой точки й. Естественно, что в этой точке величина скорости оказывается равной бесконечности.

Принятый алгоритм метода последовательных приближений позволяет столь же просто построить решение для вихрепотенциального течения, в котором РЛТ опирается на заднюю угловую точку й впадины,' а точка схода является свободной. Эта разделяющая линия тока изображена на рис. 2 под цифрой 2. В отличие от предыдущего решения вихревая зона в этом случае занимает область большую, чем впадина. На этом же рисунке под цифрами 3, 4 изображены вихревые зоны, граница которых вовсе не опирается на угловые точки. Кривым 2—4 на рис. 2 соответствуют значения ю = — 4,236; ш = — 4,377; ш = — 4,328. Приведенные данные свидетельствуют о том, что положение точки схода РЛТ на жесткой поверхности является единственным параметром рассматриваемого семейства течений.

Итак, на основании аналитико-расчетного исследования установлено, что, зафиксировав только одну опорную точку РЛТ на жесткой границе и оставив свободной другую, можно получить решение несимметричной вихрепотенциальной задачи. Если же зафиксировать обе точки РЛТ одновременно, то решения соответствующей задачи, которая в этом случае является переопределенной, построить не удалось. Приведенные выше результаты можно интерпретировать так, что такого решения не' существует.

2. Вихрепотенциальное течение с двумя вихревыми зонами. Отличительным моментом рассмотренного выше семейства течений является то, что удовлетворить условию конечности скорости одновременно на двух углах несимметричной впадины невозможно. Поэтому с точки зрения моделирования отрывных течений их использование весьма проблематично.

С целью ликвидации неограниченности величины скорости в угловых точках рассмотрим для той же впадины течение с двумя вихревыми областями 2і и £2, разделяющие линии тока которых выходят из точек Ви й соответственно (рис. 3). Геометрия обеих РЛТ, их точки присоединения, а также величины завихренности ш и й в £ іи£2 подлежат определе-Рис. 3 нию.

Очевидно, что в плоскоси переменной I функция тока имеет вид

При этом автоматически обеспечивается потенциальность потока вне зон £1 и £2, а в них — завихренность 00 и й соответственно.

Обе разделяющие линии тока L\ и L2 являются решениями уравнения 'Ф = 0. Из условия того, что точки схода и присоединения РЛТ являются критическими, получаем 4 соотношения:

“ Л*.-Л,В, ' й Кк д,е,-л,в, '■ (10)

» = Кл А1г-и>г" в = *“л^1Г• (")

в которых обозначено (г = 1—4)

л _ Г Г I 2 т\4Ыт\ . „ Г (■ I йг

А‘-Ш В‘=))Ы

(6-6,)’ +л2

а |=0; |2 = ^1; £з=^; £4^2 (см. рис. 3). Четыре соотношения (10), (11) служат для определения завихренностей 00, о и точек присоединения ^ и t2• В целом задача не является переопределенной.

Решение уравнения ф = 0 при наличии условий (10), (11) производилось по описанному выше алгоритму. Самым существенным при этом являлось то, что перед вычислением каждого последующего приближения для обеих РЛТ области £1 и £2 растягивались афинно в направлении оси £ до тех пор, пока константы 00ю и 00п, так же как и Йю, Йп, вычисленные по (10) и (11) соответственно, одновременно не совпадали с заданной точностью. На каждой подытерации коэффициентами афинного растяжения принимались а1 = 0010/0011 —для левой вихревой зоны и а2= йю/йц — для правой. Как и ранее, значения 00ю и йю в процессе подытераций вели себя более консервативно, чем 00ц и йп, вычисленные в свободных точках /| и /2. Поэтому выполнение условий а| = 1; а2= 1 перед выходом на следующее приближение не требовало большого количества подытераций, и сходимость последовательных приближений оказалась такой же уверенной, как и в случае одной вихревой зоны.

С точностью до 0,01 % получено, что 00 = — 4,313, й = — 16,33, а геометрия РЛТ представлена на рис. 3. Видно, что площадь вихревой зоны £2 заметно меньше, чем зоны £1, однако величина завихренности й в ней существенно превышает 00 в области £|. Отметим, что передняя вихревая зона £1 лишь незначительно отличается от области £, определенной в предыдущем параграфе.

3. Выше отмечалось, что одной из целей данной работы является выяснение возможности построения несимметричного решения вихрепотенциальной задачи с двумя закрепленными опорными точками РЛТ. Приведенные данные со всей очевидностью показывают, что достаточно просто можно получить несимметричное решение вихрепотенциальной задачи, если одна из опорных точек РЛТ закреплена, а другая является свободной и определяется в процессе решения. Однако получить несимметричное решение с двумя фиксированными опорными точками РЛТ не удалось, что, по мнению автора, является проявлением переопределенности математической задачи. В то же время в [6] получены несимметричные решения именно с двумя фиксированными точками. В чем же причины такого рассогласования?

Одна из них может состоять в том, что, строго говоря, вихрепотенциальная задача [6] несколько отличается от рассмотренной в данной статье. Дело в том, что в [6] РЛТ является линией тангенциального разрыва скорости, поэтому краевая задача для функции тока сводится к системе двух интегральных уравнений относительно двух одномерных функций: РЛТ и плотности распределенного вдоль нее вихревого слоя [4]. Их согласо-

ванная асимметрия, возможно, и позволяет получить одно и то же значение завихренности 00 из двух условий типа (6), (7), полученных в фиксированных точках. Однако этот вопрос, по мнению автора, требует дополнительного исследования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г о л ь д ш т и к М. А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости.— ДАН СССР, т. 147, № 6, 1962.

2. Ш а б а т А. Б. О двух задачах на склеивание.— ДАН СССР, т. 150, № 6, 1963.

3. С а д о в с к и й В. С. Область постоянной завихренности в плоском потенциальном потоке.— Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 4.

4. С а д о в с к и й В. С. О вихревых зонах в потенциальном потоке со скачком постоянной Бернулли на границе.— ПММ, т. 35, вып. 5, 1971.

5. С а д о в с к и й В. С., С и н и ц ы н а Н. П. О вихрепотенциальном течении идеальиой жидкости на плоскости с углублением.— Изв. АН СССР, МЖГ, № 2, 1983.

6. S m i t h F. Т. Concerning inviscid solution for large-scale separated flows.— J. of Eng. Mathematics, 20, 1986.

7. W h е а 11 е у М. J. Inviscid Flow Past а sharp-nosed body with а closed finite wake.— AIAA Journal vol. 13,' N 11, 1975.

8. С а д о в р к и й В. С., К о ж у ро Л. А. О двух однопараметрических семействах вихревых течений невязкой жидкости.— Численные методы механики сплошной среды, т. 8, № 7, Новосибирск, 1977.

9. Г о л ь д ш т и к М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск, Наука, 1981.

10. С а д о в с к и й В. С., С в и р и д е н к о М. А. Некоторые особенности вихрепотеициальных течений около ступеньки и клина.— Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 6.

Рукопись поступила 11// 1990 г.