CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVI
19 85
М 6
УДК 532.527
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ВИХРЕПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ОКОЛО СТУПЕНЬКИ И КЛИНА
В. С. Садовский, М. А. Свириденко
Исследовано обтекание стационарным потенциальным потоком невязкой жидкости обратной ступеньки и клина при наличии за ними конечной области рециркуляционного течения с постоянной завихренностью. На разделяющей линии тока константа Бернулли испытывает скачок заданной величины. Краевая задача для функции тока с существенно нелинейным граничным условием на разделяющей линии тока и метод построения решения аналогичны рассмотренным в работе [1]. Отличительными моментами являются отсутствие симметрии течения относительно направления, перпендикулярного вектору скорости на бесконечности, и нефиксированное положение точки присоединения разделяющей линии тока. Приведены некоторые результаты численных расчетов и исследованы особенности решения в окрестности точки схода разделяющей линии тока с поверхности тела.
1. Схема исследуемого плоского вихрепотенциального течения невязкой жидкости в физической плоскости г около обратной ступеньки (уступа) и клина изображена на рис. 1 (для клина изображена лишь
У
А
-1/Г о
Є)
X
П
верхняя полуплоскость). Высота ступеньки и полуразмер донной части клина приняты равными 1, скорость невозмущенного потока — 1, а полу-угол раствора клина равен 30°. Линия тока L, отделяющая равномерно завихренное течение (область 2, вихрь и = const) от внешнего потенциального потока, сходит с острой кромки Сив точке Е присоединяется к оси х. Константа Бернулли на линии тока L скачкообразно изменяется на величину А/2, где Д = V\ — , a Ve и Vi — предельные
значения величины скорости на разделяющей линии тока L со стороны потенциального и завихренного течений соответственно.
Краевая задача для функции тока г|)(х, у) в физической плоскости аналогична исследованной в работе [2]. Здесь же, как и в работе [1], введем вспомогательную полуплоскость t и конформно отобразим на нее область течения в плоскости z. Соответствие точек и границ показано на рис. 1. Для уступа
z (t) — K\\f £ (£ -г 1) + In ( у t + }/1 + 1) ] ,
dz — it' /*+ 1 щ-к V
о)
где К= 2тс.
Для клина интеграл Кристоффеля—Шварца имеет вид:
г (t) = К J trw\t + I)2'3 (t - t*)~w dt,
= 1/2 (t +1)2/3 (t - y-1'6
dt
(2)
Константа К и координата образа точки В определяются численно из очевидных условий г(—1)=г, 2(^*)— — У'З. Расчеты показали, что К=2,650/я, ts^. =—4,000. Во всех радикалах в соотношениях (1) — (2) следует брать главные ветви.
Необходимо отметить, что разделяющая линия тока при Д>0 в физической плоскости сходит с острой кромки С по касательной к твердой поверхности. Поэтому ее образ в соответствии с видом особенности ёг/Ш(—) подходит к оси | в точке — 1 под углом а (см. рис. 1), который для уступа и клина равен соответственно а = 60° и 72°. В точке присоединения Е ее наклон к осям х, | равен нулю.
С использованием преобразования оператора Лапласа и свойств конформных отображений краевая задача для функции тока гр во вспомогательной плоскости имеет вид:
dz
dt
ф = 0 при y] = 0 и t^L ,
(3)
(4)
дф
дЫ,
дф у дМи :
йг
йЛ
(5)
(6)
Здесь \йг/сИ \ —модуль производной, N — внешняя нормаль к Ь, а индексами е и I обозначены предельные значения соответствующих величин на Ь со стороны потенциального и вихревого потоков. Видно, что с точностью до величины множителя К= \dzldt(оо) | и вида функции | | краевые задачи в плоскости I для течений около уступа и клина
совпадают. Аналитическое представление решения через логарифмические потенциалы соответствует идеям работ [2] и [1]:
ф(60» 71о) = Фо +<1>, + ф2:
йг
а
X
1п
(5 — £о)3 + — ^о)3
(6-?о)2+(^+1о)2
(К
Г1п
(5 — 6рУ + (^ — ^1»)» (5-6о)»+ (ч + чо)»
dl .
(7)
Плотность Г логарифмического потенциала простого слоя связана С интенсивностью вихревого СЛОЯ \ = Уг — ]/е на линии тока Ь в физической плоскости простым соотношением T=y\dz|dl\.
Функция тока в виде (7) точно удовлетворяет уравнению (3), условию (5) и первому условию (4). Требование выполнения второго условия (4) и условия непрерывности давления (6) на линии тока Ь сводит краевую задачу (3) — (6) к двум интегральным уравнениям относительно двух функций одной переменной, разделяющей линии тока Ь и интенсивности распределенного вдоль нее вихревого слоя у. Метод получения этих уравнений описан в работах [2] и [1]. Величина завихренности « определяется из условия d^S[l/d'^] = 0 в заданной точке ветвления линии тока "ф — 0, t = — 1:
йг си
с1(. (£ + I)2 + ^
ГС С12 2 Т) <2? с1-Г1
(И (5+ 1)2 + тр
(8)
Точка присоединения Е разделяющей линии тока также является точкой ветвления. В физической плоскости Уг(Е)=0, а Уе{Е)=УД>0. Последнее условие с учетом перехода в плоскость ^ имеет вид (£■) =|*]:
к 7Г О)
2 к; й-1]
(|_г*)2 + Г1‘
+/
с1г
&
(Е—Е*)3+Ч:
(9)
Поскольку координата точки присоединения заранее не известна, то это нетривиальное соотношение следует рассматривать как уравнение для ее определения (в отличие от остальных точек линии Ь, определяемых из уравнения г|) == 0). Нефиксированная точка присоединения,
отсутствие симметрии задачи по отношению к оси у и наличие дополнительного условия (9) — отличительные особенности исследуемой задачи по сравнению с рассмотренными ранее [1, 2].
Алгоритм численного метода последовательных приближений, использованного для решения системы двух интегральных уравнений, при заданном значении параметра Д имеет следующий вид:
1) задается начальное приближение т] = ЫЕ) разделяющей линии тока и интенсивности уо(£) распределенного вдоль нее вихревого слоя, удовлетворяющее краевым условиям
/о(-1)=/оГ)=/о(П=0; f ( 1) == tg а; То (-П - То (П = - V* I
2) вычислением определенных интегралов в правой части уравнений (8) находится величина завихренности ю0;
3) подстановкой начального приближения и соо в интегральные
уравнения, которые представимы в виде г, = Fx (£, /(£), 7(5), ш), Т = 7(5), ш> д), гДе и ^2 выражаются через опреде-
ленные интегралы, находится следующее приближение fx (?) и 7, (I) в точках — 1
4) варьированием точки присоединения f и с использованием соо, /i(£) и yi(5) с помощью соотношения (9) находится новое значение I*, после чего указанная процедура повторяется.
Количество узловых точек gfc, в которых определялись /(£) И y(£K составляло от 21 до 51 в зависимости от протяженности зоны рециркуляционного течения. В промежуточных точках f(g) и у(£) аппроксимировались кубическим сплайном. Так как в процессе итераций длина интервала [—1, |*] изменялась, то после каждой итерации осуществлялось перераспределение узловых точек gfc. Все особенности в интегральных выражениях выделялись и раскрывались аналитически.
Сходимость итерационного процесса имеет некоторые особенности по сравнению с работами [1—3]. Для ступеньки в главе 1 книги [4] описано решение при Д = 0, т. е. в отсутствие разрыва постоянной Бернулли на разделяющей линии тока. Это решение использовалось в качестве начального приближения для Д = 0,1. Длина вихревой зоны в этом случае не велика, поэтому для получения решения потребовалось около 45 итераций, при этом на контрольных последующих 20 итерациях отклонение в обе стороны величины вихря со и значения по отношению к их «установившимся» значениям не превышало 0,1%. С возрастанием параметра Д протяженность вихревой зоны возрастает, и для получения решения с такой же точностью требуется все большее количество итераций. Так, переход от Д = 0,7 к Д=0,8 потребовал уже свыше 100 итераций.
В случае вихрепотенциального течения около клина аналогичного «опорного» решения в открытой литературе не имеется. Задание начального приближения при Д = 0 в плоскости t в виде [4], имея в виду схожесть задач для ступеньки и клина, оказалось в действительности совершенно неудачным. Как будет видно из дальнейшего, как протяженность вихревой зоны, так и ее поперечный размер при одинаковых значениях параметра Д для клина существенно больше, чем для ступеньки. Результатом этого является то, что относительная разность в последовательных итерациях мала и требуется их огромное количество, чтобы с определенностью выйти на решение. Усугубляющее обстоятельство состоит еще и в том, что контур т]=/(£) при и точка присоединения
находятся из разных соотношений, темп сходимости у которых различен (для ступеньки последнее обстоятельство, как оказалось, проявляется в меньшей мере). В связи с вышеуказанным потребное количество итераций для клина исчислялось сотнями, достигая 500—600 при Д~0,2 (одна итерация ~1 минута на БЭСМ-6).
2. Полученные в результате расчетов границы вихревых зон (разделяющие линии тока) при различных значениях свободного параметра Д для ступеньки и клина изображены на рис. 2 и 3. Там же приведено распределение вдоль границы скоростей потенциального Уе и вихревого Уг течений. Видно, что с возрастанием скачка постоянной Бернулли протяженность вихревых зон вдоль оси х увеличивается (результат при Д = 0 для ступеньки заимствован из [4]). Как и в [1], диапазон изменения
параметра Д для ступеньки принадлежит интервалу [0; 1]. При этом значению Д=1 соответствует вырожденное течение Кирхгоффа — полупо-лоса единичной ширины, занятая покоящейся жидкостью, находящейся в динамическом равновесии с однородным потоком единичной скорости. Расчетные данные подтверждают это. Так, с возрастанием Д завихренность по абсолютной величине убывает и для Д = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 ю = = —2,52; —2,28; —1,95 —1,42 соответственно. При А = 0,8 длина вихревой ЗОНЫ В физической ПЛОСКОСТИ Хщах = 8,8.
Размер вихревой зоны за клином, как это видно из сравнения рис. 2 и 3, существенно больше, чем за ступенькой (при одинаковых значениях параметра Д). Возрастание Д приводит к интенсивному возрастанию области циркуляционного течения в обоих направлениях, однако ее относительный поперечный размер при этом убывает. В отличие от ступеньки получить решение для клина при Д>0,25 не удалось. В случае Д = 0,25 итерационный процесс на контрольных итерациях (их количество примерно 150) еще не расходился, но отклонение расстояния от начала координат до контура в районе точки присоединения составляло ±0,5% от среднего при фиксированной угловой координате. На первых двух третях длины зоны это отличие почти на порядок меньше.
Обнаруженная расходимость итерационного процесса при Д>0,25, т. е. задолго до значения Д = 1, являющегося верхним пределом для уступа и в работе [1], может быть интерпретирована по-разному. С одной стороны, расходимость итерационного процесса еще не означает отсутствия решения при А>0,25, а может являться следствием его плохой организации и недостаточной точности численного счета. С другой стороны, имеются достаточно веские физические основания считать, что в исследуемом течении около клина значение параметра Д=1 не достижимо.
Известно, что обтекание тела по схеме Бэтчелора при конечной зоне с циркуляционным течением дает нулевое значение величины сопротивлении тела. Характерное распределение расчетного коэффициента давления ср по высоте ступеньки, определенного из интеграла Бернулли,
ср = 1-А-У(уУ, (10)
представлено на рис. 4 (перепад давлений отнесен к скоростному напору невозмущенного потока). Во всем исследованном диапазоне изменения параметра 0<Д<0,80 интеграл от ср по высоте ступеньки не превышал значения | с* | <0,002 (естественно, что теоретическое значение в результате численного решения получить практически невозможно).
Расчетные данные подтверждают, что с возрастанием параметра А предельным для ступеньки является вырожденное течение Кирхгоффа Л=1 (которое также дает нулевое сопротивление для ступеньки).
Совершенно иная ситуация в случае вихрепотенциального течения около клина. Значению Д=1 соответствует обычное течение Кирхгоффа с параболически расширяющейся на больших расстояниях от клина застойной зоной. Коэффициент сопротивления отличен от нуля и для данного клина сх = 0,49 [5], в то время как при Л<1 сх=0. Это означает, что с возрастанием скачка постоянной Бернулли и соответствующим увеличением зоны с циркуляционным течением в фиксированной области около клина поле скорости не может стремиться к кирхгоффовскому, поскольку оно всякий раз обязано обеспечивать равновесие интегралов давления по передней и тыльной частям клина. Указанное обстоятельство дает основания считать, что рассматриваемый класс течений около клина по параметру А ограничен некоторым верхним значениям Д*<1. Вопрос о том, каково Д* и соответствующее ему течение, остается открытым.
На рис. 5 представлено распределение величины скорости V и коэффициента давления ср вдоль поверхности клина ВСД при Л = 0; 0,1; 0,2 и 0,25. (Соответствующие значения завихренности <о = —1,30; —1,14; —0,76 и —0,43, длина дуги I отсчитывается от критической точки В). Максимум скорости не превосходит единицы и уменьшается с возрастанием А, коэффициент давления всюду положителен. При всех значениях параметра А интеграл коэффициента давления по лобовой части клина заметно превышает кирхгоффовское значение и возрастает при увеличении скачка постоянной Бернулли. Разница между максимальным и минимальным значениями ср на тыльной стороне клина уменьшается с возрастанием А и при наибольшем расчетном значении А = 0,25 составляет всего лишь около 10%. В окрестности угловой точки С наблюдаются большие градиенты давления.
3. Попытаемся выяснить локальные свойства рассматриваемых вихрепотенциальных течений в окрестности точек схода и присоединения разделяющей линии тока. Для этого используем метод, примененный в аналогичной ситуации в работе [6].
Пусть М(|о, 0)—точка, лежащая на действительной оси вспомогательной плоскости ^ слева от точки С (см. рис. 1). Тогда из соотношения (7) следует:
dl дц
(М) =
(М) +
T.f
& ^2 д? д-г]
dz
dt
s
(S — S0) •Q dl [(£-So)2 + -oT
dz
dt
(e — So) 1] di dr\
+
(ID
Для удобства перенесем систему координат в точку С и оценим поведение обоих интегралов в уравнении (11) при стремлении точки М к С, т. е. при —0. В малой окрестности точки С выражение для модуля производной йг/сИ для уступа и клина в соответствии с соотношениями с (1) и (2) имеет вид
dz
dt
dz
dt
= k,, p;
2/3
(12)
Записав
d2 Ф1 d-q
(Af) в полярной системе координат р, 0 и используя
соотношения (12), легко убедиться в ТОМ, ЧТО при |о->—0 первый интеграл в соотношении (11) остается ограниченным. (Косвенным подтверждением этому является то, что непосредственная подстановка £о=0 не дает особенности в подынтегральном выражении). Поэтому в малой окрестности точки С в главном приближении
д3 Ф1 дтг; д;
(М) х — Cj; Cj > 0, так как <и < 0.
(13)
Выделим теперь на контуре Ь достаточно малую, но фиксированную окрестность е точки С и запишем второй интеграл (И) в виде
(14)
При ^о-*—0 интеграл по (Ь — е) стремится к некоторой константе —С2<0 (поскольку 7<0 при А>0).
Так как е мало и фиксировано, а |£о|=бМ=0, то для первого интеграла в уравнении (14) справедливо равномерно пригодное по е и 5 приближение
2 Г dz р sin А (8 + р cos в) dl
~J 1 dt (Р2 + 82 -f 2р8 cos 6)2
е
е
Р (S + Р С)
(р2 4- 83 + 28р с)2
(15)
где с — некоторое среднее на е значение cos 0, отличное от нуля (так как 0 — 60° или 0«72° для уступа и клина соответственно); множитель d является осредненным значением произведения у sin 0 и отрицателен при Д>0.
Дальнейшие оценки интеграла (15) зависят от вида производной \йг/сИ\, поэтому остановимся сначала на течении около ступеньки. После замены | = р/б с учетом соотношения (12) интеграл I представим в виде
е/5
/
2К Л г 53/2 (1 + с1)<К
оо оо
-1-І'
і (1 + е» ■+ 2сЄ)2
О б «/В
где а>0; С8>0.
Окончательно в случае ступеньки имеем
д2 ф
а8-і/2 + с3;
(16)
д% дг,
•откуда следует
(М)
^-(лі)«2 аУ-ь-ьг.
д-ц
(17)
В плоскости £ при £ £ 2 функция тока г|з является мнимой частью комплексного потенциала № внешнего потенциального течения. Так как
дф
*Г
(Ж
іи
то на основании известных свойств аналитических функций комплексного переменного для малой окрестности точки С из уравнения (17) следует,, (точка С является критической точкой):
: — 2аі \П — Ы\ (Л яв - — іт - — і2 .
' ' 3 2
В физической плоскости введем систему координат с началом в точке С и пусть г=Х + 1У=ге‘<? (верхней части ступеньки соответствует У=0, Х<0). Из соотношения (1) следует, что
Поэтому комплексно-сопряженная скорость определяется выраже-
нием
1^(2):
2л а
^)4/3 (*04/а
(18)
Тогда Ф (г> Ф)
’'["■і'*-т (тГйг'"мп ^ (т + т
2 2 /
— на-----
з з \
<№
йг
л \ 4/3 2
и(*<0; Г=0)~-=-тга-
и
йг (гг)1'3;
2 /” М4/3
гіг;
/3 .
(19)
«(*>0; Г,«-|-яа + А(-^-)4/3^.
Видно, что линией тока Чг = 0 являются как верхняя граница ступеньки ф = я, так и разделяющая линия тока, геометрия которой при г-уО определяется соотношениями
\1/з 6 .. _3/3ГМ1/3А ^4/3. (20)
8 \ 2 / л
Из соотношений (20) следует, что разделяющая линия тока £ сходит в угловой точке по касательной к поверхности, имеет там бесконечную кривизну, а выпуклость — вогнутость определяются знаком коэффициента Ь в соотношении (17).
В соответствии с уравнением (19) градиент давления в окрестности точки схода имеет вид
дЛ
дХ
■ аЬ Х~213 при X < 0;
др
дХ
аЬХ-2!3 при X > 0 .
Приведенное выше рассмотрение дает возможность сделать строгое заключение, что при Д>0 коэффициент а>0. Для получения же аналогичного строгого заключения о втором коэффициенте Ь, определяющем асимптотику (18)—(20), локального рассмотрения недостаточно (формально это проявляется в том, что из трех слагаемых, составляющих коэффициент Ь, одно отрицательно, а два других положительны). Анализ расчетных данных как для ступеньки (см. также рис. 2), так и для полукруглой впадины [1] показывает, что Ь>0. Однако утверждать, что это же справедливо для всех вихрепотенциальйых течений при угле излома поверхности а = я/2 в точке схода разделяющей линии тока, оснований нет.
В случае течения около клина в окрестности точки С и из соотношений (13) и (16) следует: д2 ф
<1г
’ Р
,2/3
дї дг{
(М) а £~1/3 — Ь ; (а>0 при Д > о),
откуда
йі
а (г7)2/3 — Ы
После интегрирования и перехода в физическую плоскость полу-
чим
Щг)^— ас513 2-4 ’ ю
с е
4 .
Г*
г615 ,
ЧГ(г, ср):
(№
йг
9
10
~ — ас5'3 ■ ю
ас513 віп -
1/5
— Ьсге^1 г 5
(21)
2
і^с(е3 г)315(1+$г), с>0.
Здесь, как и в случае уступа, прцнята локальная система координат с началом в точке С, при этом лобовой части клина ВС соответствует ХсО, У=0.
В соответствии с уравнениями (21) величина скорости в окрестности угловой точки при Х<0 равна
У(Х, 0): а градиент давления
А ас5/з _ А Ьс1 X!/5 , 10 5
др
Тх
Уравнение разделяющей линии тока при г-*-0 имеет вид
ср = -L С2'3 — sin — И/5 ; Y ~ — *6/5 . (23)
9 а 5 а
Ситуация с коэффициентами а и Ь в (21) — (23) полностью аналогична той, что и в случае ступеньки. Если а>О уже из локального рассмотрения, то для определения коэффициента b необходима информация о характере глобального течения. Как и в случае ступеньки, результаты расчетов дают для клина Ь>0, т. е. имеет место неблагоприятный градииент давления при подходе к угловой точке вдоль жесткой поверхности и, как это следует из (22), отход разделяющей линии тока вверх от лобовой поверхности клина.
Из приведенного метода исследования видно, что характер особенности градиента давления и поведение разделяющей линии тока в окрестности угловой точки в вихрепотенциальных течениях при наличии скачка постоянной Бернулли Л>0 определяются величиной угла излома жесткой поверхности. Увеличение этого угла (отсчитываемого со стороны жидкости) приводит к усилению особенности в градиенте давления.
Рассмотрим теперь особенность в точке присоединения Е, разделяющей линии тока к гладкой поверхности. Поскольку в этом случае нарушения конформности отображения в этой точке не происходит, то исследование удобнее провести на примере вихрепотенциального течения [2] в отсутствие тела.
При условиях [2] выражение (11) может быть несколько упрощена и принимает вид:
д2 ф / /|/г\ “Г 712 di 2 р •») (£ — х) dl
(Af) = — Г-----------------^-----------------1- — Г
дЬд-ц ' 71 3 (^_л:)[ (5-^)2 + ^] [(£ — зг)® + ^*]2
Здесь, как и ранее, точка М (х, 0) лежит на оси X вблизи точки схода Х=У=0, разделяющей линии тока Ь, которая в данном случае равносильна точке присоединения. Выделяя в обоих интегралах малую е — окрестность Ь, легко убедиться, что при Х-*—0 интегралы по (Ь — е) стремятся к отрицательным константам (при Д<0, со<0 и у<0). Оценку же оставшихся интегралов без детализации поведения границы Ь получить не удается.
Допустим, что разделяющая линия тока при Х->-+0 описывается соотношением У « ИХ312 (£ > 0). В таком случае
02 0/! А (О (** l*dl
k <0 С £3 dl г\ I \
(М\ ж — \ -------------------------'—' О (е),
К ’ я J (£+S)[(6+5)2+^2]
дХ dY
Г т) (£ + 8) dl
дХ dY
0
(а>0; |д:| = 8).
Это означает, что при Х-*—0 и Д>0
— ^ — а (—x)-w + b,
дХ \ / I »
и (М) ^и0 + 2а-/—X + ЬХ\ ^— а0 а (—Х)-1>2
Восстанавливая по U(M) комплексно-сопряженную скорость, комплексный потенциал и функцию тока, получим:
^ % и0 — 2ai Уz-\-bz , w (z)^u0z--------^-aiz3i2 + ~z2,
ф (г, <р) ж г ( и0 sin ? —— a j/r cos — <р + — г sin 2?
\ 3 2 2
Отсюда следует, что ■ф = 0 при <р = я и что при г-*-0 поведение разделяющей линии тока в главном члене описывается выражением
— (*>0). (25)
3 и0 3 и0
Тем самым подтвердилось сделанное выше предположение о геометрии разделяющей линии тока в окрестности точки схода (присоединения исследованного ранее течения [2]). Очевидно, что соотношения (24) — (25) описывают одновременно особенности течения за клином и уступом в окрестности точки присоединения. Любопытно, что константа Ь, имеющая решающее значение при описании локальных особенностей при сходе разделяющей линии тока с острой кромки (18) — (23), в данном случае в главном приближении (25) не существенна.
В заключение необходимо отметить, что особенность (24) — (25) вихрепотенциального течения при наличии скачка постоянной Бернулли в случае присоединения (схода) разделяющей линии тока к гладкой поверхности совпадает с аналогичной при сходе свободной линии тока с поверхности тела. В то же время при наличии точки излома особенности в вихрепотенциальном течении имеют другой характер и усиливаются с возрастанием угла излома в точке схода разделяющей линии тока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Садовский В. С., Синицына Н. П. О вихрепотенциальном течении идеальной жидкости на плоскости с углублением. — Изв. АН СССР,
МЖГ, 1983, № 2.
2. Садовский В. С. О вихревых зонах в потенциальном потоке со скачком постоянной Бернулли на границе. — ПММ, вып. 5, 1971.
3. Садовский В. С. Исследование решений уравнений Эйлера, содержащих области с постоянной завихренностью.-—Труды ЦАГИ, 1973, вып. 1474.
4. Гольдштик М. А. Вихревые потоки. — Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1981.
5. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. — М.: Физ-матгиз, 1961.
6. Садовский В. С; О некоторых свойствах потенциального и вихревого течений, граничащих на замкнутой жидкой линии тока. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. II, № 1.
Рукопись поступила 6/VI 1984 г.
