О некоторых свойствах потенциального и вихревого течений, граничащих на замкнутой жидкой линии тока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 19У1

№ I

УДК 532.527

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО И ВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЙ, ГРАНИЧАЩИХ НА ЗАМКНУТОЙ ЖИДКОЙ ЛИНИИ ТОКА

В. С. Садовский

Проведено аналитическое исследование стационарного плоского течения несжимаемой жидкости, потенциального вне некоторой области 2 и вихревого внутри нее, с непрерывным изменением константы Бернулли при переходе через граничную линию тока.

Выяснены особенности поведения производных от составляющих скорости в критической точке. Показано, что для рассматриваемого течения односторонняя кривизна граничной линии тока в критичес-ской точке равна бесконечности, а угол наклона этой линии к направлению скорости невозмущенного потока а0=_5_.

В работе [1] показано, что при обтекании тел несжимаемой жидкостью со стационарными срывными зонами, когда число Рейнольдса Ие -»оо, особое значение приобретает течение с постоянным вихрем, граничащее с внешним потенциальным потоком, в котором нет жестких границ. Полученное в [2] решение для этого течения анализируется в окрестности критических точек. Выписаны соотношения для скачков производных от составляющих скорости на гладкой части граничной линии тока.

1. Пусть {х, у] и {и, V} — безразмерные декартовы координаты и соответствующие компоненты вектора скорости течения, рассмотренного в работах [1]

и [21. Для функции тока введенной соотношениями = — 1/, = и, в точ-

ох ду

ках как внутри, так и вне области постоянной завихренности 5 согласно [1] имеем:

'Г (х, у) = ЧГ0 = их у -}- Л- 11п Ы Ы~ч — 'п гс1 №]. (1.1)

Здесь г = У ($ — -*)2 + И -- У)2. ««,= 0,14158- скорость в невозмущенном

набегающем потоке, ^ и — симметрично расположенные относительно оси х части области 2 (фиг. 1), ограниченные кривыми АМВА и АМВА (координаты контура 2 приведены в вышеуказанной работе).

8 — Ученые записки № 1

113

Учитывая, что '1^ и ^являются логарифмическими потенциалами площади с плотностью [л= — 1, для вторых производных от Ч1- имеем (см., например, [3]):

(1.3)

(1.2)

Здесь введено обозначение: [Р\АМВ = Р1 — индексы I и е указывают, что величина взята на внутренней и внешней по отношению к области сторонах границы АМВ, а и—внешняя нормаль к ней. Соотношения (1.2) и (1.3) дают величину скачка производных от составляющих вектора скорости на гладкой части границы ^ (т. е. вне пределов окрестности критических точек А и В).

2. Пусть т (г) = Ф (х, у) -(- г'Р (дг, у) — комплексный потенциал течения жидкости вне области 2. Попытаемся установить вид ш в окрестности критической точки А, которую для удобства примем за начало координат.

Предварительно рассмотрим производную от х — составляющей скорости

ди_ _ д2 У _ на отрицательной части действительной оси. После диффе-дх дхду их2

ренцирования (1.1) по х и у и обычного преобразования с помощью формулы

Здесь Я — величина радиус-вектора, исходящего из точки С(х, 0) в точку контура (£, т)). Обозначим через 8 некоторую достаточно малую, но фиксированную окрестность точки А на АМВ = і и перепишем интеграл в (2.1) следующим образом:

При стремлении точки С к А подынтегральное выражение в /2, как легко видеть, стремится к своей предельной функции равномерно по (£, г[), поэтому интеграл стремится к своему непрерывному предельному значению.

Рассмотрим подробнее интеград /¡. Используя принятые на фиг. 2 обозна-

М

У

Фиг. 1

Фиг. 2

(2.1)

114

чения и Очевидное геометрическое Соотношение /?2 = (£— х)*litgi (г, х), для достаточно малых \х\ получим следующий ряд оценок:

ds

In [2 V (1 + а2) [(1 + «2) 52 _ 2 л: 5 + лг^Л- 2 (1 -h £ — 2 дг]

У 1 4- а2

5=55 /<

Е=0

<yf^irIn:=^+0(lni): (2'2)

где а = min ] tg (г, х) ] > 0 в В.

(Заметим, что наклон граничной линии тока АМВ к оси х в точке А не может равняться нулю или я, так как в противном случае эта точка будет критической лишь для вихревого или же потенциального течений соответственно. Однако это невозможно в силу непрерывности постоянной Бернулли).

Приведенные оценки показывают, что ^а

-> оо при |лс[-> О, а одно-

временное сопоставление (2.1) и (2.2) дает главный член функции на отри-

цательной части действительной оси:

^-5 = const In (— х). (2.3)

дх2

Из (2.3) легко получается главный член потенциала Ф, описывающий его поведение на достаточно малых расстояниях от критической точки по оси:

Ф (*, о) = *2 [in (_ *)--§-]• (2.4)

(Здесь несущественная для дальнейшего константа принята равной единице).

/ 3

Рассмотрим теперь функцию комплексного переменного ze>j=z2 Пп г—и/——

где выбрана та ветвь In г, на которой 1п(— 1) = да\ Легко видеть, что на отрицательной части действительной оси wx (г) = w (z) [так как Ф (х, 0) = 0]. Поэтому на основании теоремы единственности в достаточно малой окрестности точки z = 0 комплексный потенциал рассматриваемого течения имеет вид

w (г) — г2 An z — т — . (2.5)

Для исследования течения в окрестности критической точки выделим действительную и мнимую части w(z):

Ф (р, <р) = р2 *п р) cos 2 <р — (? — тс) sin 2 , (2.6)

^ (Р> ?) = Р* — я) cos 2 ср + ^ — — + In р^ sin 2 tpj . (2.7)

Здесь р и 9 — соответственно модуль и аргумент комплексной точки. Из (2.7) сразу следует, что линией тока W (*, .у) = 0 является отрицательная часть оси х(у = п), а также кривая, определяемая выражением

р = exp I + -1- + (я — у) ctg 2 <р|,

(2.8)

которая и представляет собой граничную линию тока в окрестности критической точки, отделяющую потенциальное течение от вихревого. Легко видеть,

что р -> 0 при <р -> ~ —О и ї-^у + 0, причем линия тока подходит к точке

115

г — 0 со стороны правой полуплоскости. Обозначим через р угол между касательной и радиус-вектором в некоторой точке кривой, определяемой выражением (2.8). В таком случае

1Вв= _________________________________<0;

йр 2 (л — ф) -)- вш 2 ср ■ сое 2

а!<р

Р -> 0 при ср -> — 0. Это означает, что граничная линия тока в критической

точке подходит к оси х под углом а0=_^_, и, кроме того, эта линия выпуклая

при у>0 (так как р < 0). Отметим, что при ср 0 зависимость (2.8) мо-

жет быть представлена в виде

р = ехр -А- ( + 3 + .

2 \ 2 ср — тс

Интересно то обстоятельство, что для кривизны линии тока АМВ при —0 получается бесконечно большое значение (это легко проверить, расписывая выражение для кривизны в полярной системе координат). Следствием

этого является бесконечность производной в критической точке.

дх

Наконец, непосредственное дифференцирование (2.7) по координатам дает следующие выражения для вторых производных:

—2 аг^ = - 2 аг^ Л ; ]

дх2 х ду3 х I

да

° 1 п (х- -}-_у2).

дхду

Как видно из (2 9), производные от составляющих скорости в окрестности критической точки не являются даже односторонне непрерывными. В заключение отметим, что рассуждения о кривизне и вторых производных от Ф и Ч'1 в данном случае вполне правомерны, так как комплексный потенциал восстанавливался по второй производной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Т а г а н о в Г. И. О предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Ие ->оо. .Ученые записки ЦАГИ*, т. I, № 3, 1970.

2. Садовский В. С. Область постоянной завихренности в плоском потенциальном потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 4, 1970.

3. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М., Гостехтеопиздат, 1953.

Рукопись поступила ¡¡VI 1970 г.