CC BY
38
Том 1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
1970
№ 4
УДК 532.527
ОБЛАСТЬ ПОСТОЯННОЙ ЗАВИХРЕННОСТИ В ПЛОСКОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОТОКЕ
В. С. Садовский
В работе получено точное решение для плоского стационарного течения несжимаемой жидкости с постоянным вихрем, которое граничит на разделяющей линии тока с потенциальным потоком. Определена форма контура, ограничивающего область постоянной завихренности, а также линии тока внутреннего вихревого течения. Приведены результаты расчетов распределения скоростей по осям д; и у. Отношение скорости на контуре в точке его наибольшего утолщения к скорости на бесконечности оказалось равным —— = 1,67.
"со
В гидродинамике известны решения, описывающие стационарное течение несжимаемой жидкости с отличным от нуля вихрем в замкнутой области, на границе которой оно соприкасается с внешним потенциальным потоком. В пространственном случае — это известный сферический вихрь Хилла. В плоском случае, если жидким контуром, отделяющим внешнее потенциальное течение от внутреннего вихревого течения, является окружность, то условиям совместности обоих течений можно удовлетворить, задавая вихрь 2 в виде а = где А — константа, <]> — функция тока [1]. Представляет интерес найти такой контур, который удовлетворял бы всем условиям совместности на жидкой границе для случая внутреннего течения с постоянным значением вихря. Именно этот случай является важным в связи с интенсивно разрабатываемой в настоящее время проблемой построения предельных течений вязкой жидкости со стационарными срывными зонами, когда число Ие оо (см., например, [2]).
Рассмотрим некоторое стационарное течение несжимаемой жидкости со скоростью и оо в невозмущенном набегающем потоке. Пусть течение таково, что вне контура А1ВМ. (фиг. 1) оно является потенциальным, внутри — вихревым. На жидкой границе, разделяющей оба течения, выполняются условия их совместности, т. е. в каждой точке контура скорости направлены по касательной
к нему, а величины их с внешней и внутренней стороны контура равны: ]Уе = И^,.. Величину вихря Й зададим по закону
(1)
где — некоторая положительная константа. Вводя функцию тока ф соотношениями
дФ дФ
= «. (2)
X
" и.
Б
ду
дх
Фиг. 1
где и, V — составляющие вектора скорости по осям х и у, приходим, как известно (см. работу [1]), к уравнению
А>р ==-В, (3)
где А — оператор Лапласа.
Задача состоит в нахождении такого контура при заданных «оо и 20, на котором „склеивались" бы непрерывным образом как функция тока ф, удовлетворяющая уравнению Лапласа вне контура и уравнению Пуассона — внутри, так и ее первые производные (т. е. скорости).
Контур в дальнейшем ищется в классе замкнутых кривых, обладающих двойной симметрией (относительно направления скорости и» и направления, перпендикулярного к нему, которые и принимаются за оси хиу соответственно). Для удобства в дальнейшем считаем, что заданы значения вихря й0 и линейный размер области 2а0 по оси х, а скорость «оо подлежит определению.
Переход к безразмерным переменным осуществляется при помощи соотношений
{х, у} = [х. у) а0; {и, в} = {й, V} 90 а0; ф = ф90 а20. (4)
В этих переменных вихрь во внутренней точке области равен
у) = — (5)
а уравнение (3) записывается в виде
Дф ==
(черточки здесь и в дальнейшем везде опускаются).
В системе координат, движущейся со скоростью и», скорость на бесконечности равна нулю, а скорость в любой конечной точке плоскости течения создается вихрями, которые распределены внутри контура согласно условию (5). Задача об определении скорости в жидкости по заданному распределению вихрей в конечной области 2, когда жидкость покоится на бесконечности, была решена еще в середине XIX века (Стоке* Гельмгольц). Решение ее дается логарифмическим потенциалом площади в виде
¿-у 818ПЧ1ПГ^, (7)
где (£, -у]) — скользящая точка, по которой производится интегрирование, а г = У{х — — -*])2 — расстояние между этой точкой и фиксированной точкой (х, у). Функция тока у) удовлетворяет уравнению Лапласа вне области 2, а внутри — уравнению
(6)
(-*> У) = 4г Я 7] 1п ГйЫ-Ц,
Пуассона (6). Если контур состоит из кусочно-гладких кривых, решение (7) непрерывно вместе со своими производными в любой точке плоскости [4]. Переход к неподвижной системе координат -состоит в добавлении к <]>Х(х, у) функции тока равномерного течения ф0 = Иоо_У.
Итак, функция тока '|> = ф0 + Ф1 удовлетворяет уравнению •Лапласа вне области 2 и уравнению (6) в точке внутри нее, а также непрерывна со своими производными на самом контуре. Легко видеть, что 0) = 0, т. е. ось х является линией тока.
Потребуем, чтобы искомый контур также являлся линией тока у) = 0- Это означает, что контур удовлетворяет интегральному уравнению
«ос^ + Ф1 (х, У) = 0, (8)
где у) дается выражением (7), а
«оо= —
dv
х= -1 ' у = О
-Г) Sign Ч\йЫт\ 2* J J (1 + ^ + 7)2
9тг //
(9)
Таким образом, граница области, удовлетворяющая всем перечисленным выше требованиям, является решением интегрального уравнения (8), в котором интегралы берутся от известных функций, но по неизвестной искомой области Е. Однако двойные интегралы сводятся к обычным, так как один повторный интеграл можно выполнить в квадратурах, после чего уравнение (8) приводится в декартовой системе координат к виду 1
1
4тс иа
J»
+ х) ( arctg
Ъ+У
arctg
£ 4- х
d% +
+ 2 J (5 - х) (arctg - arctg Л d\ +
0 ^ ^
+ J (lo +У) (In [(5 - x)' + К + -V)3] + 1" № + X? + (Ъ + .У)2]} dl -
1
0
где
/ (Ъ ~ У) {In [1$ - xf + К-у)*] + In [(E + x)* + (Tie-УУШ + /0 , (10)
/0 = 4y - 2y {(1 + x) In [(1 + xf + Я + (1 - x) In [(1 - xf +y*]}
\ + X , 1 — X ^ _
J
—2y2 ^arctg ■ у
arctg
У
У
-2(1+ xf arctg -r-f--2(1— xf arctg
1 T~ JC
I
•In
1 +
1
"По
■ л;
5+1
dl (11)
Здесь [x, у = f{x)\ — фиксированная точка контура, а [I, ц0 = = /($)] —скользящая точка контура, по которой производится интегрирование.
Выписанное интегральное уравнение — нелинейное. Подынтегральные выражения имеют особенность в точке %=х (все особенности в интегралах, заключенных в большие фигурные скобки, устранимые). Найти решение или же доказать его существование и единственность аналитическими методами не удается. Поэтому уравнение решалось численно на ЭВМ БЭСМ-ЗМ. Для решения использовался метод последовательных приближений, который состоит в том, что задается первоначальный контур у = /0 (х) (в данном случае в виде таблицы значений у в узловых точках):
О, Х^, Х2, . - . , Хп—1, 1
У о, Ул> У • • • » Уп-ъ уп '
Для каждой точки Уi=^f0{xi)\ вычисляются все интегралы, входящие в правую часть (10) при и по соотношению (10)
получается следующее приближение у =/1 (л;), определенное в тех же узловых точках. Значения у и ч\ в промежуточных (не совпадающих с узлами) точках определяются методом квадратичной
Фиг. 2
интерполяции (т. е. по параболе, проведенной через ближайшие три узла), а в окрестности точки х=\, где нужна повышенная точность в связи с малыми значениями у и большими наклонами кривой, используется интерполяция с заданной точностью (т. е. кривая приводится более чем через три узла).
Первоначально за у = /0(лг) была взята окружность радиусом Я=\. Сходимость приближений оказалась очень быстрой при 0,8>х>0 и существенно более медленной при х>0,9. (Как оказалось впоследствии, окружность очень сильно отличается от полученного расчетного контура именно в окрестности точки аг = 1). Итерации прекращались, когда последующее приближение отличалось от предыдущего в окрестности точки х=\ в шестой значащей цифре. Количество узлов в интервале [0, 1] было взято равным я = 38, причем частота их в окрестности х = 1 была достаточно высокой (см. приведенную ниже таблицу). После этого в качестве начального контура у=/0(х) принимались различные кривые и прямые (причем ^ < 1 и у1 > 1). Однако итерации неизменно сходились к одной и той же кривой. Это дает некоторые основания полагать, что полученное решение уравнения (10) единственно (в классе контуров с двойной симметрией), хотя, конечно, это не может служить вполне строгим доказательством, и вопрос о единственности решения требует более детального рассмотрения.
Несомненно, остается открытым и такой вопрос: возможно ли решение поставленной задачи в классе контуров, не обладающих симметрией относительно оси у? Предложенный в работе метод позволяет за начальную границу области брать любой несимметричный относительно оси у контур и получать следующие приближения. Работа в этом направлении, связанная с большими затратами машинного времени, ведется.
В результате расчетов были получены следующие координаты контура (последняя цифра округлена).
X У X У Л: У X У X У
0,00 0,5991 0,40 0,5349 0,70 0,3848 0,91 0,1826 0,993 0,02842
0,05 0,5981 0,45 0,5171 0,73 0,3628 0,93 0,1541 0,996 0,01835
0,10 0,5952 0,50 0,4967 0,76 0,3391 0,95 0,1220 0,998 0,01056
0,15 0,5903 0,55 0,4736 0,79 0,3134 0,96 0,1042 0,999 0,006025
0,20 0,5834 . 0,58 0,4582 0,82 0,2854 0,97 0,08473 0,9995 0,003419
0,25 0,5745 0,61 0,4418 0,85 0,2547 0,98 0,06296 1,000 0
0,30 0,5635 0,64 0,4242 0,87 0,2325 0,985 0,05080 — —
0,35 0,5504 0,67 0,4052 0,89 0,2086 0,990 0,03738 — —
Значение «оо оказалось равным 0,14158. Заметим, что если скорость Иоо считать равной 1, то значение вихря 20 оказывается
равным 20 = 074158 = 7-063-
Имея в распоряжении контур, отделяющий потенциальный поток от вихревого, можно без особого труда рассчитать параметры внутреннего и внешнего течений. На фиг. 2 представлена картина линий тока <]> = const внутреннего (вихревого) течения и разделяющий контур ф = 0. Определение скоростей по осям л; и у сводится к простому вычислению интегралов:
и (х = 0)=
И оо
_1
2тг
¡гЯ
(У — sign f\d%di\
х=0
— Иа
2«
j (In [S2 + (щ-yf] + In [I2 + +уП dt-\-
+
In (1 + y2) - 2 + 2y arctg
У
1 r
й(^ = 0) = Иоо—¿-J {ln[G-*)2 + Tg] + In [(£ + xf + Yj2]} d\ +
+ ~ [(1 - X) In (1 - xf + (1 + X) In (1 + xf - 4] .
(12)
Расчетные данные по распределению скоростей представлены на фиг. 3 и 4. ~
-/,6 -tj -ÛJ -0,4 0 ûfi ÛJ и/а, Фиг. 3
Рассмотрим некоторые особенности течения в окрестности критической точки. Пусть точка О является точкой разветвления линии тока ф = 0 (фиг. 5). Плоские течения в / и II областях стационарны и являются соответственно потенциальным и вихревым, а угол между касательной к разделяющей линии тока ОЬ в точке
Фиг. 5
О и осью х а0 ф 0. Очевидно, что в этом случае точка О является критической, т. е. скорость Ш в ней равна нулю. Пусть, кроме того, скорости в каждой из областей обладают равномерно непрерывными производными. В таком случае легко установить непосредственную связь между производными в точке О и углом а0. В самом деле, очевидно, что для II области
дю
дх
о и
следовательно,
ди
ду
= 0,
0 II
В точке А на линии
* ю
тока --
а и
(13)
Устремляя точку А
п
к критическои точке вдоль линии тока и раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем:
дv дх
дх
Ж
+
дъ ду ~ду" д1
ди дх
дх
~дГ
+
ди ду
(14)
ду с11
Все производные необходимо взять в точке О со стороны II области. С учетом (13) и уравнения неразрывности формулу (14) преобразуем к виду
* ди
дх
««О
ди дх
+
ди
~дУ
tg «о
или, окончательно, к виду
ди
дх
о II
Повторяя аналогичные выкладки для потенциального течения
^и — 0 в отличие от (13), легко
в / области и замечая, что
01
прийти к выводу, что при а ф соотношение (14) может быть удовлетворено только при условии
ди
дх
0,
(16)
01
т. е. в случае достаточно „гладкого" потенциального течения все
первые производные от составляющих скорости в критической
точке при а0 ф равны нулю.
Так как 0£ является линией тока, отделяющей потенциальное течение от вихревого с одной и той же константой Бернулли
(ао Ф то в любой точке этой линии ле и
д1
01
д\Х/ д1
(11
он
дЧР
д/
в том чис-
(17)
Наконец, легко показать, что для I и II областей в точке О имеют место равенства
ди д№
дх 01 д1 ч 01
ди
дх он д1 9 ОН
(18)
где / — элемент длины линии тока [Формулы (18) являются
уравнениями неразрывности, записанными в косоугольной системе координат ху', где у' — касательная к линии тока ОЬ в точке О]. Сравнение формул (17) и (18) дает соотношение
ди дх
о I
ди дх
(19)
О II
однако кинематические соотношения (15) и (16), как легко видеть, противоречат динамическому условию совместимости (19). Это означает, что при а0^0 плоские стационарные вихревое и потенциальное течения с равномерно непрерывными производными не могут быть совместимы на разделяющей их линии тока
1С
в окрестности критической точки
в случае = соотношение,
аналогичное (14), для вихревого течения выполняется только при ди
= оо, что противоречит равномерной непрерывности произ-
0 II
дх
водных], т. е. потенциальное и вихревое течения, граничащие на 8
жидкой линии тока, не могут быть достаточно гладкими в окрестности критической точки при а0фО.
Это обстоятельство находится в соответствии с результатами, описанными выше. Действительно, формулу (12) для определения скорости легко с помощью формулы Грина преобразовать к логарифмическому потенциалу простого слоя, для которого в критической точке О нарушаются условия существования равномерно-непрерывных производных (например, плотность логарифмического потенциала не удовлетворяет условию Гельдера (см. работы [3] и [4]).
Необходимо отметить, что при решении интегрального уравнения (10) особое внимание было уделено окрестности критической точки, потребовалось значительное увеличение точности счета и количества узловых точек в этой области. Исследование аналитических свойств функции тока ф в окрестности критической
точки показывает, что а0 = ~. Доказательство этого утверждения
будет дано в следующей статье.
Автор признателен Г. И. Таганову за предложенную тему и консультации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ламб Г. Гидродинамика. М., Гостехтеориздат, 1947.
2. Batchelor Q. К. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number. „J- of Fluid Mech", v. 1, p. 2, 1956.
3. Гюнтер H. M. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М., Гостехтеориздат, 1953.
4. Положий Г. Н. Уравнения математической физики. М., „Высшая школа", 1964.
5. К о чин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М., Физматгиз, 1963.
Рукопись поступила 151VHI 1969 г.
