Исследование цепочки вихрей конечного поперечного сечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ 6

УДК 532,527

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕПОЧКИ ВИХРЕЙ КОНЕЧНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

, И. В. Дудоладов, В. С. Садовский

Исследовано в точной постановке однопараметрическое семейство плоских стационарных течений, индуцированных бесконечной цепочкой вихрей конечного поперечного сечения. Показано, что при стремлении площади поперечного сечения вихря к нулю решение описывает известное движение жидкости, возникающее от цепочки дискретных вихрей. В то же время существует стационарное решение, когда соседние вихри конечного поперечного сечения соприкасаются друг с другом.

Исследования вихревых движений и вихревых образований невязкой жидкости со времен классических работ Гельмгольца и Кельвина неизменно сохраняют свою актуальность, так как они находят приложения, порою весьма неожиданные, в различных вопросах механики реальной жидкости. Так, введенные в рассмотрение еще Кельвиным стационарные периодические (в пространстве) вихревые движения „Cat's Еуе“ используются не только в вопросах волнообразования на поверхности океана (см., например, [1,2]), но и при исследовании устойчивости течений, связанной с возникновением турбулентности [3].

Ниже рассматривается однопараметрический класс плоских стационарных течений, индуцируемых бесконечной периодической цепочкой вихревых областей конечной площади, в которых, в отличие от полых вихрей [4], имеется равномерно завихренное движение жидкости. В качестве вырожденных решений рассматриваемый класс содержит не только бесконечную цепочку дискретных вихрей, но и известный круговой вихрь Рэнкина, предельным состоянием которого является изолированный точечный вихрь.

1. Рассмотрим бесконечный ряд подобных областей расположенных вдоль оси х на одинаковом расстоянии друг от друга. Пусть в каждой из них имеет место вихревое движение жидкости с постоянной завихренностью со = const>0, в остальной же части течение остается незавихренным. Жидкость считаем несжимаемой и невязкой. Будем рассматривать только стационарные решения

уравнений Эйлера, удовлетворяющие дополнительному условию непрерывности поля скоростей во всем течении.

Введем функцию тока ф соотношениями

дх

= — V.

Здесь и, V — составляющие вектора скорости по осям х, у соответственно, обезразмеренные, как и все остальные переменные, с помощью интенсивности вихря № и линейного размера а (2 а — наибольший продольный размер произвольной вихревой области).

Система координат и обозначения представлены на фиг. 1.

Фиг. I

• При осуществленной нормировке задачи, которая оказалась наиболее целесообразной для создания эффективного численного метода расчета, интенсивность вихря равна единице, поэтому функция тока ф обязана удовлетворять уравнению

л- _/_1, (х' m

М О ,(Л,Ж2/ ()

где А — оператор Лапласа.

Помимо этого в силу стационарности течения на границе Lt произвольной области I,

*к. = Фо = const. (2)'

Таким образом, задача сводится к нахождению функции &(х,у), непрерывной вместе с первыми частными производными на границах Lh удовлетворяющей уравнению (1) и условию (2). При этом границы вихревых областей неизвестны и также подлежат определению.

В постановке задачи участвуют две постоянных:безразмерный период вихревой цепочки и значение функции тока Ф0 на границе областей 2,. Легко видеть, что только одна из них является свободной. В качестве свободного параметра, характеризующего течение, здесь принята величина I.

Поскольку все поле скоростей индуцируется вихрями, а жесткие границы в потоке отсутствуют, функцию тока, удовлетворяющую уравнению (1), можно представить в виде логарифмического потенциала площади с соответствующей уравнению (1) плотностью:

Ф (X, у) = - 4^-J j In [(* - 5)* + (у — 7))2] dl dr},

(3)

ю

в котором интегрирование производится по всей бесконечной цепочке вихревых областей £,. Вместо преобразований, необходимых для приведения интеграла к одной области £0 (см. фиг. 1), удобнее получить окончательное выражение для <]> следующим простым приемом.

Пусть (I, 7j) — некоторая точка, принадлежащая области Е0. Рассмотрим бесконечную цепочку элементарных вихрей с интенсивностью dT = d%dri, расположенных в точках \k — \ + kl, t\k = = 7](& = 0, + 1, + 2 и т. д.). Индуцируемое этой цепочкой вихрей течение описывается, как известно [5], комплексным потенциалом

dr , г • Х / -А

sin — (Z—t)

dw = ---г In

(( = I + щ г = х + (у), мнимая часть которого является функцией тока

d<i) = - - \п зт2-^-(л:— I) + эИ2 —(_у ■—ч\) .

После интегрирования dty по области Е0 получаем выражение

Ф(*. У)= - JJ In I sin2 -J- (х - ?) + sh2-^(jy — tj)

d\ d-q, (4)

которое учитывает вклад всей бесконечной цепочки областей £,• в решение [естественно, что выражение (4) можно получить непосредственно из уравнения (3), заметив, что 1п [(л: — %)2 + (у — т))2] = = Ие1п(2 — ^)2, и произведя суммирование под знаком интеграла уравнения (3)].

Очевидно, что вне областей Е, функция тока (4) удовлетворяет, в соответствии с (1), уравнению Лапласа, так как подынтегральное выражение является действительной частью аналитической функции комплексного переменного

тю =■ 1п эШ (г — I),

а внесение оператора Лапласа под знак интеграла законно. Однако то, что функция (4) удовлетворяет уравнению Пуассона (1) для точек (л;, у)^Еь хотя и достаточно очевидно, но, строго говоря, требует доказательства..

В силу периодичности ф(х, у) достаточно проверить это утверждение лишь для области Е0. Пусть (х, у) — внутренняя точка области Е0. По аналогии с тем, как это делается в теории обычных логарифмических потенциалов, представим -ь в виде

'Их> У)^'Н°) + 'М^о — °),

где первое слагаемое представляет интеграл по кругу а достаточно малого радиуса г с центром в точке (х, .у), а второе — интеграл по остальной части области Е0.

Так как в точке (х, у)

Д,М20 — °) = 0.

то необходимо доказать справедливость равенства

Аф (з) ---1.

Обозначим для краткости

ф 71, х,у) = -^ 1п |^П2 (х - ;) + ЭЬ2 ~(у — Г1)

Используя очевидные соотношения

ду _ <?<р , ду _ <?<р

~д£ дх ’ Ж ~ду

и формулу Грина для плоскости, имеем

<з да

где да-—граница области а.

Полученные представления первых производных позволяют

произвести еще одно дифференцирование под знаком интеграла,

после чего получаем

да * да

Видно, что вторые производные от ф непрерывны в точке (X, у) и

<5>

да

где п — внешняя нормаль окружности дз.

Перейдем в выражении (5) к полярным координатам по формулам:

£ = Х + £СО50; 7)=_у + евШб.

После простых преобразований выражение (5) принимает вид:

Интеграл в правой части можно существенно упростить, используя малость г. Опуская очевидные математические выкладки, приведем окончательное выражение:

“(») — | |'-.ро°!?гт ~ ~ 1 + о<8’>- <6>

Взяв теперь два круга малых радиусов е1>£2, имеем:

А1> (^) — Дф (о2) = Дф (®1 — °г) = о,

т. е. значение лапласиана функции <|>(а) в точке (х, у) не зависит от е. Поэтому из (6) следует, что

Дф (о) = — 1.

Тем самым доказано, что функция (4) удовлетворяет уравнению (1) [отметим, что выражение (4) можно рассматривать как обобщение фундаментального решения уравнений Лапласа и Пуассона на случай периодических решений].

Воспользуемся граничным условием (2). Так как точка (1, 0) заведомо принадлежит границе области £0, то значение константы ф0 определяется выражением

Фо = - jj In [sin2 — l) + sh2-f 7)

So L '

а условие (2) переходит в соотношение

dldri, (7)

Я

j ln

i!

sin

d%df\ = — 4 ~ф0. (8)

Входящие в это соотношение- точки (х, у) принадлежат границе L0 вихревой зоны Е0> поэтому выражение (8) следует рассматривать как интегральное уравнение для определения функции у =/(л) — линии тока, отделяющей потенциальное внешнее течение от вихревого. Решение этого уравнения при заданном периоде I цепочки вихрей дает решение поставленной выше задачи.

2. Аналитическое исследование нелинейного интегрального уравнения (8) при произвольном значении параметра I наталкивается на серьезные математические затруднения, преодолеть которые не удалось. Поэтому решение указанного уравнения находилось численно на ЭЦВМ БЭСМ-6 методом последовательных приближений.

Устойчивым и быстро сходящимся оказался итерационный процесс, организованный по следующему алгоритму. В полярной системе координат (с центром в точке х = 0, у = 0) задается начальное приближение R0(V), удовлетворяющее условиям

/?0(0) = 1; Яо(")=1-

На произвольном луче 9 = const находится такая точка (jc, у), в которой левая и правая части соотношения (8), вычисленные по начальному приближению, совпадают с заданной точностью. Изменением луча 0 = const получается функция Rx(0), которая и принимается за следующее приближение, и т. д. Не вдаваясь в детали численного счета, отметим лишь, что вычисление двумерных интегралов производилось в полярной системе координат, а преодоление слабой интегрируемой логарифмической особенности в соотношении (8) осуществлялось выделением ее и последующим аналитическим интегрированием.

В процессе решения использовалось предположение о том, что вихревая область Е0 обладает двойной симметрией относительно осей х и у. В связи с этим вопрос о возможности существования несимметричных решений, построенных хотя бы численно, остается открытым.

Указанный итерационный процесс при всех рассмотренных значениях параметра I оказался быстро сходящимся и устойчивым. Так, уже после 10—12 итераций в последующих приближениях значение константы ф0 и координат контура отличались лишь в четвертой или пятой значащей цифре и, что существенно, дальнейшее продолжение итерационного процесса не приводило к потере устойчивости решения. Расчет всех характеристик течения для одного значения I требует примерно одного часа машинного времени.

После построения решения уравнения (8) выяснение картины течения, его характерных параметров и линий тока сводится

к простому вычислению определенных интегралов. Так, поле скоростей определяется соотношениями

и(х, у) —

* Т. 1Z ' sin2 — (S + Х) + Sh2 у (г, + у) sin2 _ (S—x) + sh2-j- (tj + y)

sin2 JL (t + х) + Sh2 -1 (Ij-y) sin2 — (; - x)+sh2 — (r, — y)

т.

V (X, у) :

sin2 _ (i + х) +sh2—

п2 _ 1Ё -

■ х) + sh2 _ (TJ -f у)

sin2 _(; -f- дг) 4- sh2 -j- (f; — y)

sin2 T— (S — x) + sh3 -1 (-q—y)

dr\,

0)

которые получаются после дифференцирования соотношения (4) по координатам и последующего применения формулы Грина. Из выражения (9) при л; = const и 3'-^ + °° получаем, что v -> О, U -f- £/«>, где ~

£/о» = 5/2/, (Ю)

а 5 — площадь вихревой зоны £0.

Как и следовало ожидать, вихри конечного поперечного сечения индуцируют на бесконечности такое же поле скоростей, как и бесконечная цепочка точечных вихрей. (Вместе с тем нетрудно убедиться, что соотношение (8) содержит в себе как частный случай при I-»со круговой вихрь Рэнкина с распределением величины скорости V по закону

V-

•у г, 1 > г > 0,

1

2 г ’

г> 1.

вырожденным состоянием которого является точечный изолированный вихрь). Более того, на основании расчетов установлено, что, аналогично цепочке точечных вихрей, каждая вихревая зона конечной площади 5 имеет „атмосферу вихря“, характеризующуюся циркуляционным движением жидкости, отделенную от внешнего бесциркуляционного течения замкнутой линией тока.

Некоторые результаты расчетов приведены на фиг, 2, Для большей наглядности свойств однопараметрического семейства цепочки вихрей конечного поперечного сечения произведена перенормировка всех величин: линейные размеры отнесены к полу-периоду цепочки, а компоненты скорости--к величине скорости на бесконечности. Связь между новыми безразмерными величинами (отмеченными черточкой сверху) и введенными ранее дается соотношениями:

— — 2 — — 2/ — (х, у) = — (х, у); (и, ©) = -£-(«, v); ф

а интенсивность вихря Q оказывается равной

в - P,'S.

Легко видеть, что при осуществленной нормировке скорость невозмущенного потока и (у + оо) = «со = + 1. период цепочки 7 = 2, и, независимо от величины площади 5 вихревой зоны, циркуляция Г вектора скорости по границе вихревого ядра равна Г = 2 5 = 4. В качестве параметра, выделяющего единственное решение из всего семейства, принята безразмерная величина

<х = V 5/тг а2 =

характеризующая деформацию границы вихревой области по отношению к окружности, так как а представляет собой отношение

радиуса круга, равновеликого площади 5, к половине наибольшего продольного размера вихревой зоны 2а.

На фиг. 2 для ряда значений а изображены границы вихревых областей (сплошные линии) и соответствующие им замкнутые линии тока (пунктирные линии), отделяющие циркуляционное движение жидкости от бесциркуляционного. Вырожденному состоянию, т. е. цепочке точечных вихрей, соответствует значение параметра а = 1. Видно, что с уменьшением а размер вихревых ядер возрастает, их форма все больше отклоняется от круговой, а область циркуляционного, но безвихревого течения, заключенная между линиями тока <|>0 и ф*, убывает.

При наименьшем значении параметра а = 0,538 линии тока % и ф* сливаются, и соседние вихревые зоны приходят в соприкосновение в точках, лежащих на оси л. Соответствующая этому случаю картина течения (фиг. 3) приобретает вид известных

течений Кельвина „Cat’s Еуе“ (см., например, [1, 2, 6]), однако, в отличие от последних, движение жидкости за пределами вихревых ядер является потенциальным.

Типичные профили скорости в сечениях л; = О и х=1 представлены на фиг. 4 и 5, распределение скорости вдоль оси .у — на фиг. 6.

Ниже в таблице приведены расчетные значения интенсивности вихря Q и площади s вихревых ядер в зависимости от параметра а:

а 1 0,9922 0,9628 0,9234 0,8494 0,7624 0,6807 0,6024 0,5383

О оо 129,3 27,812 13,44 7,060 4,928 4,293 4,246 4,394

Я 0 0,0309 0,1438 0,5976 0,5666 0,8117 0,9318 0,9421 0,9102

1 оо 20 9 6 4 3 2,5 2,2 2

В нижней строке помещены значения /, при которых были получены решения уравнения (8), соответствующие приведенным значениям а.

Таким образом, функция тока (4) при наличии соответствующего решения уравнения (8)описывает однопараметрический класс стационарных движений жидкости, индуцируемых периодической цепочкой вихрей конечного поперечного сечения. При этом рассмотренное семейство в качестве вырожденных решений содержит в себе не только бесконечную цепочку точечных вихрей, но и круговой вихрь Рэнкина (переходящий в изолированный точечный вихрь), которые получаются из соотношений (4) и (8) соответствующей нормировкой и предельными переходами а-*■ 1 (з-* 0) или I -»■ оо. При фиксированных величинах г/со = 1 и периода цепочки 1 = 2 параметр а изменяется в пределах [0,538; 1). Уменьшение параметра от а = 0,538 до а = 0 может быть достигнуто введением тангенциального разрыва величины скорости на границе вихревых областей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lightill М. Т. Physical interpretation of the mathematical theory of wave generation by wind. ,J. Fluid Mech.“, vol. 14, p. 3, 1962.

2. Stewart R. W. Mechanics of the Air-Sea Interface. „The Physics of Fluids*, vol. 10, p. 2, N 9, 1967.

3. Жигулев В. H., Сидоренко Н. В., Ту мин А. М. О проблеме возникновения турбулентности. .Численные методы механики сплошной среды", т. 6, № 1, 1975.

4. Baker Q. R., Saffman P. G., Sheffield T. S. Structure of a liner array of hollow vortices, of finite cross-section. ,J. Fluid Mech.% vol. 74, p. 3, 1976.

5. К о чин H. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика, Ч. 1, М., 1963.

6. Bergeron R. F. Some inviscid .Cat’s Eye" flows. .Studies in applied mathematics*, vol. XLIX, N 2, 1970.

2—Ученые записки № 6.

Рукопись поступила 251111 1977 г.