Расчет невя3кого отрывного обтекания тонкого кругового конуса на больших углах атаки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т о м VII 197 6

№ 6

УДК 532.527.533.6.013

РАСЧЕТ НЕВЯЗКОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТОНКОГО КРУГОВОГО КОНУСА НА БОЛЬШИХ УМАХ АТАКИ

С. Б. Захаров

Приведены результаты расчетов методом установления в рамках теории тонкого тела симметричного отрывного обтекания кругового конуса. Получены конфигурации вихревых слоев, коэффициенты нормальной силы в зависимости от угла отрыва и распределения давлений в плоскости поперечного сечения в диапазоне относительных углов атаки 2,1 я/вк 3,3.

Как показывают многочисленные эксперименты [1, 2], отрыв потока на круговом конусе под углом атаки приводит к образованию устойчивых вихрей, направленных но потоку и существенно изменяющих распределение давления в плоскости поперечного сечения. Когда течение установилось, а числа 1}е обтекания достаточно велики, вязкость исчезает из уравнений движения для основной массы жидкости за исключением тонких вихревых пелен и пристеночных слоев, и удовлетворительное описание реально наблюдаемой картины течения может быть получено в результате отбора (с учетом действия сил вязкости) одного из множества разрывных решений идеальной среды, являющегося предметом исследования в настоящей работе.

Первая модель отрывного обтекания кругового конуса идеальной жидкостью и газом в рамках теории тонкого тела была предложена в работе (3]. Спиральные вихревые слои заменялись в расчетах точечными вихрями и прямолинейными питающими разрезами, соединяющими вихри с точками отрыва. Положение последних бралось из экспериментальных данных. Более совершенная модель течения была предложена в работе [4], Вихревые спирали заменялись цепочками дискретных вихрей, задача решалась численно методом установления. При этом так же, как и в работе [3], считалось, что точка отрыва является критической точкой поперечного течения, скорость в которой обращается в нуль. Указанное условие равносильно отходу вихревой пелены под конечным углом к поверхности, что противоречит уравнениям движения. По указанным причинам полученные в работе [4] решения могут рассматриваться только в качестве модельных, а не как решения задачи отрывного обтекания тонкого конуса идеальной жидкостью и газом.

1. В рамках теории тонкого тела потенциал трехмерного стационарного течения может быть представлен в виде (см. [5])

Ф (х, у, г) = (р (у, г; х) + £ (х), где 9 — потенциал скорости течения в плоскости, перпендикулярной оси тела, удовлетворяющий уравнению Лапласа у + Чгг — 0 и зависящий от х как от параметра, а вид функции g (х) как в случае сверхзвукового, так и в случае дозвукового обтекания известен [5].

Введением переменной времени по формуле ( — х/У оо стационарная трехмерная задача обтекания тонкого кругового конуса сводится к нестационарной двумерной задаче отрывного обтекания равномерно (по времени () расширяющейся окружности Ко радиусом а (() (фиг. 1).

Введем комплексную плоскость а = у + 1г и рассмотрим течение в произвольный фиксированный момент времени. Пусть конфигурация и интенсивность вихревых пелен и Кз заданы в параметрическом виде:

= 0<|Г|<|Г;|; С ; = «Л:

* М*

^ = ^(Г,<); 0 < | Г [ < | Г; !; :2=ае 2,

где Г — действительный параметр (циркуляция отрезка вихревой пелены от свободного конца). Возникает следующая задача Римана— Гильберта: найти

комплексную скорость течения V(a, t), регулярную вне контура К — Ko+Kl + ■+ /<2, имеющую заданный скачок на вихревых пеленах К і и Къ

[ 1/+ (Ї. О - (С, Oil. 2 = 71. а (С. О = 1 / (~)( 2 .

удовлетворяющую условию затухания возмущений на бесконечности

УМ).. 00- О

и условию непротекания на контуре Ко

Re [°V4M)]|3j^(()-^f4ca.

Здесь — невозмущенная скорость течения; а — угол атаки; [5 = <х/0с — относительный угол атаки; 6С—полуугол раствора конуса; 7 — линейная плотность циркуляции.

Решение поставленной задачи в каждый момент времени дается выраже-

И(а.О =

V а

гоо

а?

сг2

ср

Кг+К,

(а-

4-Х

йГ.

С)

Здесь первое слагаемое в правой части представляет собой комплексную скорость безотрывного бесциркуляционного обтекания расширяющейся окружности, а второе — комплексную скорость, индуцируемую вихревыми пеленами Ку и Кч, и с ними сопряженными.

Коль скоро выражение для V(?Л) известно, развитие вихревых пелен по времени Ь найдется из решения задачи Коши для нелинейных сингулярных интегрально-дифференциальных уравнений [6]

*1,:

ді

У(С, О,

(2)

являющихся следствием условий непрерывности давления и нормальной составляющей скорости течения при переходе через пелену, а также для уранений [7], описывающих изменение плотности циркуляции в точках отрыва и перемещение последних по контуру Ко,

1, 2

ду

у.

1, 2

■4,2

= К-)

1, 2

(3)

Здесь -/. — радиус кривизны пелены; у„, и5+ и — нормальная и касательные составляющие скорости с двух сторон пелены соответственно; V* — скорость перемещения точки отрыва по контуру Ко, звездочками обозначены предельные значения величин в точках отрыва (предел берется по пелене).

2. Задача решалась численно методом установления. Интегралы из выражения (1) вычислялись по формуле прямоугольников (метод дискретных вихрей). Уравнения (2) интегрировались по регуляризирующей схеме первого порядка точности, разработанной в [8] и обеспечивающей устойчивость вихревой пелены к коротковолновым возмущениям.

Для представления внутренних витков вихревой спирали в окрестности свободного конца использовалась простая модель ядра пелены [9], состоящая из точечного вихря и питающего разреза. Условие равенства нулю силы, действующей на систему вихрь — разрез, приводит к уравнению движения ядра пелены вида

— = К Ся, 0 — (Гя — Сп) — — ,

сК к Гя сН

где Гя — циркуляция вихря, а и Сп — комплексные координаты вихря и конца внешней пелены соответственно.

При необходимости вычисления скорости, индуцируемой вихревой пеленой на расстояниях от пелены, меньших шага дискретизации I (вычисление скоростей вихрей и давлений вблизи точки отрыва), вместо обычного выражения для скорости от потенциального вихря

I Уп\- I Г, 1/(2* I 0,-^1), 1=1, 2,... использовалось комбинированное выражение

' - \<Ч~ */| , /|ву-С*|\3

3 г 45 \ /г

°/ -І I ^1)

(4)

1 ; 1/(2" | Су -I ;), | -і | і / ■—■ 7і Ь,

дающее точную аппроксимацию касательной скорости от бесконечного прямолинейного тангенциального разрыва на расстояниях по нормали к разрыву в точках расположения вихрей, меныпих /.

Расчеты проводились как в случае равенства кривизн пелены и тела в точках отрыва, так и в случаях бесконечной кривизны (именно эти случаи соответствуют экспериментально измеренным положениям линий отрыва как турбулентного, так и ламинарного пограничного слоя).

Численное интегрирование уравнений (3) связано с большими вычислительными трудностями, заключающимися в необходимости вычисления предельных значений непрерывных величин и их производных по пелене, представленной в расчетах цепочкой дискретных вихрей.

8—Ученые записки № 6

из

В случае отрыва с кривизной пелены, равной кривизне тела, указанны* трудностей удается избежать, воспользовавшись непрерывностью в точке отрыь* производной касательной составляющей скорости по длине дуги (дг^/дя). дразнения (3) в этом случае могут быть записаны в виде

где X = А0 = 6С, а предел вычисляется по контуру К» вверх по потоку от

точек отрыва.

Отметим следующее важное для дальнейшего обстоятельство: законы

изменения во времени плотности циркуляции и координат точки отрыва, вытекающие из уравнений (3) или (5), не являются существенными для данной автомодельной задачи, так же как и начальная конфигурация вихревых пелен. Возможно использование и других законов изменения указанных величин в процессе установления решения, лишь бы только после установления выполнялись соотношения

Отмеченное обстоятельство в полной мере использовалось при расчет отрывного обтекания конуса с бесконечной кривизной пелен в точках отрыв» тем более, что в этом случае трудности интегрирования уравнений (3) усугуб ляются неопределенностью, связанной с одновременным обращением в бесконечность обоих слагаемых, стоящих в круглых скобках первого из них. Конкретная реализация вышесказанного заключалась в интегрировании уравнений с некоторой постоянной X > Х0. Заметим, что предельное аналитическое, но ес численное при фиксированном шаге значение по контуру Ко величины ск\ дi в точке отрыва в данном случае равно бесконечности. Поэтому постоянная вообще говоря, зависит от шага интегрирования (шага дискретизации).

Расчеты проводились с постоянным относительным шагом по времени -= а/а = 0,05. Новые дискретные вихри помещались в центре тяжести сон:е1-шего с тела отрезка вихревой пелены на относительном расстоянии от новер! ности /г = к/а = 0,005. Проведенные контрольные расчеты с к = 0,002 показал)! чувствительность получаемых картин течения к параметру к для данных сг: значений.

Расчеты проводились для диапазона относительных углов атаки <;3,33. На фиг. 2 показаны экспериментальные линии постоянного полного лг*-ления [2] и расчетная конфигурация вихревой пелены при относительном уп? атаки Э = 2,5 (турбулентный пограничный слой).

Нормальная сила вычислялась по формуле теории тонкого тела [3]

Здесь первое слагаемое — вклад от безотрывного обтекания, второе — умноженнь* на Кэд компонент (по оси_у) количества движения в плоской задаче, создаваемо** вихревыми пеленами К\, Кч и с ними сопряженными. На фиг. 3 показаны зависими-

(5)

а

0,¥-

р=1,5

0,2

О \-

120

м{

0,95

05-

іио

160

180 °-в

Фиг. 2

стп коэффициента нормальной силы сп = 2 Л7(рЦ^ тш2) от угла отрыва потока, отсчитываемого от подветренной образующей, для значений относительного угла атаки р = 2,5 и 3,33. Различным точкам кривых соответствуют различные значения постоянной X. При малых значениях угла отрыва коэффициент нормальной силы стремится к своему значению, получаемому по безотрывной теории тонкого тела. Максимальное значение коэффициента нормальной силы (кривая для (3 = 3,33) достигается в случае отрыва с кривизной пелены, равной кривизне тела. Результат аналогичен известному результату [10] в теории струйного обтекания кругового контура. Имеющееся расхождение между расчетом и экспериментом объясняется, главным образом, несоответствием условий эксперимента предположениям теории тонкого тела.

сп ск

3

г

1

О 20° 40° 60° 60° 100° в*

Фиг. 3

/3 = 3,33

У і

х 0^ = 3°; Моо = 1,8]

р = 2,5-;Лехоа=2,9-;07[2]

— расчет автора

Последнее подтверждается и картиной распределения коэффициента давления Ср—2(р—Я00)/(Р У^) в поперечном сечении конуса (фиг. 4) для относительного угла атаки 3 = 2,12. Давление вычислялось по формуле теории тонкого тела [5]

Р-Рос-

V Ф 4- (

0° Л' 2 К

Чу

Там же приведены экспериментальные значения [2] и значения, полученные по безотрывной теории тонкого тела. Имеющееся занижение давления в отрывной области (отрицательный пик давления) по сравнению с экспериментальными значениями объясняется значительной толщиной турбулентного вихревого слоя и наличием в эксперименте слабого вторичного отрыва, не учитываемого в расчетах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Авдуевский В. С., Медведев К. И. Исследование отрыва ламинарного пограничного слоя на конусе под углом атаки. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 3.

2. Rain bird W. J. The external flow field about yawed circular cones. AQARD CP, 1968, N 30.

3. Bryson A. E. Symmetric vortex separation on circular cylinders and cones. J. of Applied Mechanics, vol. 26, N 4, 1959.

4. Angelucci S. B. A multivortex method for axisymmetric bodies at angle of attack. J. Aircraft, vol. 8, N 12, 1971.

5. A d a m s М. C., Sears W. R. Slender-body lheory-review and extension. J. of the Aeron. Sciences, vol. 20, N 2, 1953.

6. Никольский А. А. О „второй” форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

7. Ильичев К. П., П о с т о л о в с к и й С. Н. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, .№ 2.

8. Молчанов В. Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 2, 1974.

9. Mangier К. W., Smith Н. В. A theory of the flow past a slender delta wing with leading-edge separation. Proc. of the Roy. Soc.. ser. A, vol. 251, 1959.

10. Лаврентьев М. А. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй. Математический сборник, новая серия, т. 4 (46), № 3, 1938.

Рукопись поступила 31\ХП 197