О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

То м V 197 4 №2

УДК 533.6.011.32:629.7.025.1

О РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ КРЫЛА

В. Ф. Молчанов

На основе теории решения некорректно поставленных задач получена расчетная схема для реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла, пригодная как для автомодельных, так и неавтомодельных течений. Определены формы тангенциальных разрывов, примыкающих к передним кромкам, и проведены расчеты нелинейных характеристик подъемной силы треугольных крыльев.

В рамках теории течений идеальной несжимаемой жидкости нелинейные характеристики крыла обусловлены наличием в потоке поверхностей разрыва тангенциальных компонентов вектора скорости. Один из эффективных подходов к проблеме расчета таких течений дан А. А. Никольским. Согласно разработанной им теории, течение около тела малого удлинения (при X -> 0) сводится к нестационарному течению идеальной несжимаемой жидкости около некоторого деформирующегося со временем тела, к которому могут примыкать тангенциальные разрывы [1—4]. Это является обобщением метода плоских сечений или теории тонкого тела.

При практическом расчете течение с тангенциальными разрывами обычно моделируется с дискретными вихрями, для которого затем строится разностная схема счета. Эта процедура не имеет достаточно строгого обоснования и не всегда дает стабильные результаты. Нестабильность возникает из-за неустойчивости тангенциальных разрывов и наличия при расчете постоянных возмущений, зависящих от способа округления чисел, способа аппроксимации тангенциального разрыва дискретными вихрями, размера шага и т. д.

Для корректно поставленных задач в теории разностных схем даны формальные критерии пригодности схемы для расчета. Необходимо, чтобы схема удовлетворяла условиям устойчивости и аппроксимации. В этом случае по теореме В. С. Рябенького приближенное решение сходится к точному, когда шаг стремится к нулю. Построение схемы, дающей сходимость, составляет цель настоящей статьи.

Исследование обычной схемы счета. Так как течение, содержащее точечные вихри, является также течением идеальной жидкости и подчиняется ее законам, то схему счета можно написать без предварительного рассмотрения интегральных уравнений, что обычно и делается. Смысл членов схемы ясен из формы их записи

хт + 1_хт^ ] -(у?-#)!»

М 2 *^(хГ-х2У> + (у?_Уу+ ’

уш+^.уТ _ , ^ (*?-*?) Г* (

А( 2^{хш_хш)2 + {уТ_уш)2+ •

где хТ, у?, Г. —сеточные функции, определяющие координаты и циркуляцию г'-го вихря в момент времени t = Mm; U, V—потенциальные скорости, обусловленные наличием тел в потоке; М — шаг по времени.

Не стремясь пока к общности, проведем проверку устойчивости схемы (1) на множестве решений, близких к тривиальному

хТ = ih + If, у? = Tjf, Г. = ТЛ = const.

(Тривиальным назовем решение х? = ih, у? = О, Г, = const при U=V— 0, соответствующее прямолинейному тангенциальному разрыву). Здесь всюду h — шаг.

При определенных предположениях относительно малых сеточных функций f\T можно провести линеаризацию уравнений (1):

еяг+1 (Я /„т , /•em f-m\

ч —*i = J_ V . гч ~~ Т|г L V ~ 1 ~ * m

х it (г — k)2 h ’ т ъ (г — k)2 h 1 * '

где т = -|- yAt — новый шаг по времени, имеющий размерность длины.

Полная фундаментальная система решений этих уравнений в классе четных функций состоит из следующих двух однопараметрических семейств:

= X"? cos <хг; -tya = + Xя* cos ai; X = 1 -j- j^-|-

a \2 1 ¥

(3)

где Xm — степень, a — параметр, 0<]a<;ir.

Положив x = r1h; Tj = const и устремив шаг h к нулю, получим предельные значения X. Поскольку некоторые из них больше единицы, то на основании теории [5] схема (2), а следовательно, и схема (1), при данном соотношении шагов, неустойчивы. При соотношении шагов типа Нтт/Л = 0, например, х = г2Ь2, получаем НтХ=1. Это нейтральный случай, требующий дополнительного

Л-*0 ;

исследования. Его мы проведем на следующем примере.

Пусть имеется некоторое точное решение системы (2), и при численном счете в результате округления в начальных данных допущена ошибка

Д $ = е cos Д т)? = — s cos «. (4)

Если в дальнейшем расчет проводился точно, то мы получим новое решение системы (2). Разность между этим решением и точным в силу линейности системы (2) также будет решением системы (2) при граничных условиях (4). Согласно (3) запишем ее так:

Д|Г/т = А (Т, t) cosTzi] Лт]7^ = — А (Т, т) cosiri, т

где Т — время, Л = £ ^1 + х т) ' -

Получаем А -*■ оо при 1г ->■ 0, $^0, т. е. схема неустойчива и при данном соотношении шагов.

Проверка аппроксимации показывает, что при неравномерном шаге не всегда имеет место сходимость сумм в уравнениях (1) к соответствующим сингулярным интегралам.

Для ликвидации этого неудобства можно предварительно заменить приближенно сингулярные интегралы обычными, а затем последние — интегральными суммами

Л JL

4 h

Xi Yhi

X Л X2 в2 ~ ^ х2 + 02 \

Таким образом, первая сумма в уравнении (1) приняла бы вид у -(уТ-уЦ) г.

Соответственно в уравнениях (2)

V

- к)Ъ Л2 + в2 • ^

Следует, однако, учесть, что в предельном переходе необходимо вначале устремить к -*• 0, затем в 0; либо объединить эти два процесса в один, но так, чтобы

/г/0 -* 0 при А -> 0. (6а)

Интегральные уравнения, описывающие движение тангенциального разрыва. Тангенциальный разрыв представим в парамет-

рическом виде

X (А *). У (А *)> Т (Р1 *), где 7= —Уг+ — скачок скорости.

Условия отсутствия разрывов давления и нормального компонента скорости на тангенциальном разрыве дадут два уравнения:

ь ...........

AS dq

~ xtУр Л-уtxp\

1 С 7(9. *){ур[у — У (Я, 0] + хр[х — x{q, 0]} dS , T1 , Т7

fd ----------------^----------------ЗГа9~иУр+ =

1 ? Т (Я, 0 [-- хр(у — у (q, t)) f ур(х —х (q, ¿)] ¿s ^

U J Г2 дд йЯ

д (*'.. Л dS

(7)

+ ихр + Уур - X, Хр -У'Ур\ -I—^ Ж| 7 (Я. 0 ^ йЧ,

> у хр "т У р р

д д о

где <7 —переменная интегрирования ур = -^у, хр = -^х\ 5 — длина дуги; г* = [х-х{д)\* + [у~у{д)\2.

А. А. Никольским найдено условие сопряжения тангенциального разрыва с острой кромкой бесконечно тонкого крыла:

а у0 + у0,

Жт = 1о-'- а Т+- (8>

ь

¿) -щ-йц — суммарная циркуляция свободных

вихреи; т — плотность присоединенных вихреи на кромке; -------^— ~~

главное значение тангенциального компонента скорости на кромке.

Для конкретизации параметра р достаточно задать соотношение вида

Ф (х, у, г, т, р) — 0. (9)

Таким образом, уравнение (7), условие (8) и соотношение (9)

описывают движение тангенциального разрыва, примыкающего-к кромкам бесконечно тонкого крыла.

Некорректность задачи Коши, описывающей течения с тангенциальными разрывами. Рассмотрим движение изолированного тангенциального разрыва, приняв

ф(*, У, т, р) = х—р = 0;

— оо .V <^ + со; ¿7 = 0, 1/=0.

Пусть т = 2^о + т; £/0 = сопз1; и 2>Ъ ¿¡УСЬ =

7/21/о = Т. °

Произведя некоторые преобразования уравнений (7) и их линеаризацию, придем к такой системе

■4 т 1-1 А Г У (я, <)-У ¿0 = 0я дх 3 (д — ху Ч 5

—СО

а - +со-

дt

*+-Н

(10)

Продифференцировав второе уравнение по t, исключим ?

+ 00 - +00

_1_ А г у(^> *) — у(я, о ,,

Л2 , . * дч ) Г!-?)»

-----I -----------"--------------------- ¿д=0

/0 " ^ Я — х н

—00

Пусть функция у(х, Ц представлена интегралом Фурье

/^0|-г7 ------------=т=5----------Ч

— 00 —00

1 +°° Л2

= —77^1 Л7!. £)-п2е1*и1ц==-■%рУ(х, О. —00

В результате получим

д2 . д2 п /11ч

■ЖУ + шУ = 0- (11)

Это хорошо известное уравнение Лапласа. Пусть в начальный момент времени заданы у(х, 0), -¡(х, 0). Тогда из (10) найдем производную -щ-у{х, 0). Следовательно, проблема отыскания движения тангенциального разрыва сводится к решению задачи Коши

для уравнения Лапласа. Как известно, эта задача некорректна.

На некорректность задачи Коши, описывающей течение с тангенциальными разрывами, указал Биркгоф [10].

Построение схемы счета. Установленный в предыдущем параграфе факт указывает на то, что для построения схемы счета необходимо использовать достижения теории решения некорректно поставленных задач. (Можно показать, что, несмотря на некорректность постановки, задача не теряет физического смысла). Для построения решения мы воспользуемся принципом регуляризации, сформулированным А. Н. Тихоновым в работе [6]. М. М. Лаврентьев регуляризировал уравнение Лапласа следующим уравнением [7]:

~д2тУ - д2у __д^ (12)

т дх2 дР ’

где при наличии некоторых дополнительных сведений о решении оказывается возможным так определить параметр е, что искомое решение уравнения Лапласа является устойчивым решением уравнения (12). Можно доказать, что система (10) регуляризируется следующей системой:

д . 1 1’°° у (?, () , д2 п

—со

— 7 4- — — Г°° у(<?’ *)~у йа — Ц, —■т = О

(М ^ - я дх 3 (<7 — х)2 У ^ дх2 ^ '

(13)

Причем [х оказывается возможным определить только по условиям допустимой погрешности искомых характеристик (вследствие того, что эти погрешности пропорциональны коэффициенту |х).

Следовательно, конечноразностная схема должна аппроксимировать не уравнения (10), а уравнения (13) в линеаризованном случае. Соответственно нелинейная конечноразностная схема должна аппроксимировать не уравнения (7), а некоторые новые уравнения,

содержащие коэффициент [а. [Эти новые уравнения можно построить, придерживаясь двух принципов: при ¡х -> 0 они должны совпадать с (7); линеаризация их должна давать уравнения (13). Вопрос о единственности этой операции мы рассматривать пока не будем]. Следовательно, аппроксимируя вторые производные в уравнениях (13) конечноразностными отношениями, принимая во внимание при этом различную параметризацию в уравнениях (13) и (2), учитывая (5) и (6), получим окончательно такую линеаризированную схему

£m+l ___gт.

.. i v ~(тГ

IC Zu (i — é)2 Л2 + 0* k

ir+i-2S*+e*

h?

Vi

m+1

-ч Г

-(«“ -б*)*

(i — ky> № + 02

^Г+1-2 чГ + ч" №

(14)

и соответственно нелинейную

rm+\ _ т N _ / т__Лг гт 9 rm . ут

xi xi J_ V___________ I- 1 ~ 1 I иМ 2к 2*_+ 02_' ^ Л2 ' ’

У?+1-У? 1 V- , УГ+1-2УГ + УГ

i ~; - я___________ , st +1 ■ 'i г т г

М ~ 2к + (yf - y£*)2-j-02 rfJ" h2 “I- '

Покажем, что для схемы (14) выполнимо условие затухания возмущений с длиной волны порядка шага. Фундаментальную систему решений в этом случае запишем

£™ = Xmcosa¿, ir¡™ = + Xm cos а; (16)

здесь Xm — степень;

X=l±-¿-[sh-f-a-dh-|-* ^ch4-a-l)]—4!*-^rsin2-f .

T

Положим x = г h\ r = const; ¡* = h ; Г = const, что обеспечивает ¡д. 0 при h -*■ 0. Получаем с учетом (6а), что lim X = 1 — 2 Тsin2 4- .

ft-* о ¿

При0<7’<1 предельные собственные значения не превосходят единицы. Условие выполнено.

Об обобщении результатов аналитического исследования.

В настоящей статье при линеаризациях за основное решение принималось только тривиальное. Однако для того, чтобы результаты исследования линеаризированной системы могли быть обобщены на нелинейную, необходимо при линеаризации за основное решение брать не некоторое конкретное, а общее решение, записанное условно в виде неизвестных функций. Этой требующей значительных выкладок работы можно не производить, если заметить, что полученные выводы зависят только от асимптотики поведения синусоидальных возмущений, когда их длины волн стремятся к нулю.

At = 0,01 it = В,005

4-

1ÂJ

Щ5 iS 1ß

\ + '.

j

0,5 ...... 1,0

\ t

J

0,5 ..•—•. 1,0

( \ і

0,5 1,0

/ .. t

\ : + ч

t

—і/

і + : \

-......- )

_________________J

1,0

°’s

t- 7 ( +

a,s

ґ-..........•>

/ : 4-

КО

OJ

і • -г- : 4 t-13 « : 4_

' ) v.:.

1,0 j*--------------

^•)\ -r-"Y **••__1 • «•

J

OS 1.0 OS 1,0

0.5

Фиг- I

N

*4 ш л

f-. t I ■

t>M

t=17

результаты ра5аты\8\

•* f * « « • I *.

____/

1,0

.J

1ß

__lf

1.0

_J 1.0

—if

1.B

n-23A ; t>20 ( см. фиг. 3 )

результаты pa ff в ты \s]

п=1'/ч І + \ п -2%\ І 4-

; ' \ \ г :

0.5

0,5 ..................... 1,0

п=2'/г V--. + J )

0.5

1.0

0,5

1.0

0,5

СраЙиение

------п=1 '/ь

------ 23/ь

Сравнение

W

------At = 1

OJIO5

Фиг. 2

Фиг. 3

Указанная же асимптотика не зависит от основного решения, если последнее таково, что тангенциальный разрыв имеет ограниченную кривизну. Следовательно, несмотря на весьма частный характер проведенных исследований, выводы распространяются на все решения, при которых кривизна тангенциального разрыва ограничена.

Некоторые результаты расчетов и выводы. В качестве примера были рассчитаны течения около плоских треугольных крыльев различной стреловидности. Метод плоских сечений позволяет свести эту задачу к построению плоскопараллельного течения с тангенциальными разрывами около пластинки, которая движется с постоянной скоростью вдоль своей нормали и линейно со временем увеличивается в размере, начиная с нуля. Такая задача автомодельна, т. е. форма тангенциальных разрывов во все время движения сохраняет геометрическое подобие, увеличиваясь лишь в размере. Тангенциальные разрывы, беря свое начало на острых кромках, оканчиваются спиралями с бесконечным числом витков. Поскольку равномерная аппроксимация таких разрывов конечным числом дискретных вихрей невозможна, учитывалась асимптотика спиралей. Этот вопрос детально описан в работах [8], [9]. Практически оказывается удобным начинать расчет в момент времени, отличный от нулевого, когда в потоке уже заданы тангенциальные разрывы такие, что выполняется условие А. А. Никольского (8).

Автомодельное течение устанавливается через определенный промежуток времени. Для сокращения этого промежутка начальные тангенциальные разрывы следует задавать в форме спиралей.

При расчете было положено = 0 = 0. Последнее оказалось

возможным сделать в результате того, что шаг локально был близок к равномерному в любой части тангенциального разрыва.

На фиг. 1—4 представлены результаты расчетов для случая, когда а = и/2 —х- Для удобства сравнения конфигурации вихрей представлены всюду в таком масштабе, где местный полуразмах совпадает с единицей длины. О величине полуразмаха можно судить по времени которое ему пропорционально. На фиг. 1—3 представлены сравнения расчетов при различных шагах, выход течения

на автомодельное, сравнения с результатами работ [8], [9]. (В этих работах построены методы расчета только автомодельных задач).

На фиг. 4, а показан распад полученного гладкого решения после формального продолжения счета по обычной схеме с учетом асимптотики, а на фиг. 4, б представлен расчет по обычной схеме ■без учета асимптотики, при различных шагах.

10

0,5-

Фиг. 5 go0 70° у

^/7. /С

На фиг. 5 представлены сравнения экспериментальных и расчетных интегральных характеристик крыльев различной стреловидности. Сравнение показывает, что область применимости метода плоских сечений ограничена углами стреловидности />70°.

В результате проведенных исследований получена схема расчета, которая дает результаты, практически не зависящие от шага, если последний достаточно мал.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 1, 1970.

2. Никольский А. А. О силовом воздействии „второй“ формы гидродинамического движения на плоские тела (динамика плоских отрывных потоков). ДАН СССР, т. 116, N° 3, 1957.

3. Никольский А. А. О второй форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.

4. Никольский А. А. Нелинейный закон подобия для отрывного обтекания идеальным газом прямоугольного крыла со сверхзвуковой скоростью. „Ученые записки ЦАГИ“,, т. III, № 6, 1972.

5. Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М., Физматгиз, 1962.

6. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с частными производными.

Изд. Сиб. АН СССР, 1963.

7. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. ДАН СССР, т. 102, № 2, 1955.

8. Smith J. Н. В. Improved calculations of leading-edge separation from slender delta wings. R roc. Roy Soc A 306, 1968.

9. Bars by J. E. Calculations of the effect of blowing from the leading edges of a slender delta wing. Reports and Memoranda, No 3692,1971.

10. Б и p к г о ф Г. Неустойчивость течений Гельмгольца и Тэйлора. В сб. Гидродинамическая неустойчивость. М., „Мир“, 1964.

о знсперимент • расчет

сс = 15°

Рукопись поступила 13jVII 1973 г.