CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м VI 197 5 №4
УДК 533.6.011.32.629.7.025.1
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ С ТАНГЕНЦИАЛЬНЫМИ РАЗРЫВАМИ
В. Ф. Молчанов
Проведено исследование схемы метода дискретных вихрей, применяемой при расчетах плоских течений с тангенциальными разрывами. Показано, что обычно наблюдаемое при расчетах разбрасывание вихрей является следствием некорректности задачи на множестве растущих возмущений и неустойчивости разностной схемы на множестве убывающих возмущений. На основе применения теории решения некорректно поставленных задач и теории разностных схем построена методика, дающая потенциальную возможность проведения расчета с заданной степенью точности. Результат проиллюстрирован на примере расчета нелинейных характеристик прямоугольного крыла малого удлинения.
Необходимость расчета плоских нестационарных течений с тангенциальными разрывами возникает в задачах нелинейной теории крыла [П. в задачах по обтеканию идеальной жидкостью колеблющегося профиля и других. При этом вопрос сводится к нахождению формы и интенсивности тангенциального разрыва. Прочие характеристики могут быть затем найдены путем решения линейной задачи по отысканию обтекания известного тела при наличии уже найденного тангенциального разрыва. Общеизвестен закон, согласно которому скорость движения каждой точки тангенциального разрыва, определяемой условием Г = const, совпадает со значением скорости частиц жидкости в ней (Г — циркуляция по контуру, который охватывает часть разрыва, имея с ним лишь одну, данную точку пересечения). Это позволяет свести рассматриваемый вопрос к задаче Коши. Однако в случае решения разностным методом возникает необходимость выбора такого малого шага At, на котором все функции меняются достаточно мало. В общем случае этого сделать нельзя, так как при уменьшении шага возрастает кривизна траекторий движения отдельных частей разрыва. Поскольку погрешность счета пропорциональна произведению этой кривизны на шаг, то она остается неизменной и при уменьшении шага. Безусловно, здесь важную роль играет неустойчивость тангенциального разрыва, однако при отсутствии коротко-периодических возмущений, обусловленных погрешностями округления и аппроксимации, решение, по-видимому, было бы гладким.
В настоящей статье дается методика построения такого решения. Основу ее составляет известная теория решения некорректно •поставленных задач.
Схема счета. Уравнение движения тангенциального разрыва, примыкающего к острой кромке тела, в комплексной плоскости г может быть записано в следующей форме
(£/+<*))• = (1)
\и -К^МО; (2)
здесь и — комплексная скорость, соответствующая обтеканию тела при наличии разрывов в потоке; (V) — главное значение комплексной скорости, индуцируемой вихрями разрыва. Верхняя звездочка
справа означает комплексно-сопряженную величину, —производная по времени от комплексной координаты точки тангенциального разрыва при условии Г^сопэ!:, где Г — величина, отличающаяся на некоторую постоянную от циркуляции по контуру, охватывающему часть разрыва. Такое определение Г позволяет обобщить форму (1) на случай движения тангенциальных разрывов,
когда их длина стремится к бесконечности и, следовательно,
к. бесконечности может стремиться циркуляция части разрыва, ограниченного точкой г.
В силу определения
' ‘ , Го«) ™
<*>-*4г / =#*:■
О
где Г*—переменная интегрирования, а 2* — переменная, от нее зависящая; Г0(^) — циркуляция по контуру, охватывающему весь разрыв.
Координаты точек разрыва г можно считать функциями циркуляции Г и времени Ь. Неравенство (2), которое следует из постулата Жуковского, в силу определенных свойств течений идеальной жидкости, эквивалентно некоторому равенству. Задача сводится к решению системы (1), (2) относительно неизвестных г (Г, Ь), Г0(0, определенных внутри области: 0<Г-.<Г0(£), 0<[£<Соо при начальных данных: Г0(0) = 0, 2(0, 0) = г', где г' — координата кромки тела. Однако на определенную группу вопросов можно получить ответы, проведя исследование движения изолированного тангенциального разрыва при (/н;0. В этом случае Г0(^)=соп8!, и задача сводится к решению одного уравнения
1 Г ЙГ йг*
й 3 ЧГ ‘
2 тЧ
при заданной форме и интенсивности тангенциального разрыва в момент t = 0.
Рассмотрим соответствующее ему разностное уравнение:
^у;. _АГ_ л» 1- (4)
2 да гя» I М ’ ' '
здесь Д£ и ДГ — шаги по времени и по циркуляции, т и « — номера шагов соответственно по времени и по циркуляции. Штрих над знаком суммы означает отсутствие члена при &=я.
Пусть Z — некоторое решение уравнения (3), а ш = Z + г и <оп=Еп~\-гп, где 2п = г(ДГ/ге, Мп) — близкие к нему решения (3) и (4) соответственно. Тогда, считая
г —г*
Z — Z*
уТП
■
7/Я
<С1,
<1,
можно произвести линеаризацию уравнения (3) и (4):
дг* 1 Г ,р _Q
+2w J (Z—Z*)3 * — U’
(г«+1_гт)* j ДГ (*£--*£)
2 Tti
l_y
tc; ^
/ 7/7I 7Я
m+1 __
ы
1 V'' ДГ nl Luzm_-
yTTl
k
(5)
(6)
(7) . (8)
Она основана на разложении в геометрическую прогрессию выражения
00
1
1
В качестве Z положим наиболее простое
Z — Г/т, т == eonst, ~ 00 < Г < -{-оо.
В этом случае правая часть уравнения (8) обращается в нуль. •Уравнения приобретают следующий вид:
дг*
~дГ
2 ш
-f ИГ —О
г J (Г —TJ2 — и,
и
(Г-Г*)*
+ л!_ Y'
^ 2 ni
~m m п — zk
= 0.
(9)
(10)
ДГ(Л — Й)2
Учитывая, что 2 = л:-}-{у, 2™ = л:™ + (у™, проведем замену переменных, положив;
Х + У=ь хп+Уп=К> хп-Уп=К-
В этих переменных уравнения разделяются
ж+£Л<г?йИг.=0’ <»)
■£!#=Ь*.-ь
, -г2 V' Vп ~ **
2 я ^ ДГ (п — £)2
С -♦*
cty dt
am + 1 —vm т Я_______тп
&t
ф^+1 _ фт
= 0,
(12)
(13)
JLV
2 тс ^-l '
0.
(14)
Д* 21C ^-1 ДГ (я — ky
Обозначая символами / и h интегральные операторы, стоящие
в уравнениях (И) и (13), заметим, что
/ ехр 1<хГ = т2 а ехр /аГ,
/д ехр/аГ =-i-f® ----«2 ехр гаГ, 0<<а<^
(15)
(16)
Свойства (15) и (16) позволяют получить фундаментальные
системы решений срр> <]>Р, ср™р, ф”, /7=1,2, 3,... для уравнений
(11) —(14) соответственно:
<pp = exp^jpr-------------(17)
Фр = ехр ^ г/? Г----------т2 . (18>
С “ [* ~ ~т [р U) т ехр ^геАГ> (19>
'КР = J1 + 4" Л^2 (Р — Р2 ^)] ехР ipn№. (20)
Как следует из (18), задача Коши для уравнения (12) некорректна. Поэтому на основании общей теории решения некорректно поставленных задач постановка задачи должна включать в себя кроме начального условия еще дополнительные сведения, позволяющие выделить такое подмножество приближенных решений, на котором задача корректна. Как следует из [2], для этого достаточно считать известной величину погрешности s в начальном условии. Применительно к случаю уравнения (12) рассмотрим процесс получения приближенного решения, стремящегося к точному при s —> 0, если е задано. Общий принцип построения таких процессов, известный как „принцип регуляризации11, изложен в упомянутой работе [2].
Введем необходимые для дальнейшего определения и обозначения:
1) | H|i —норма, определяемая следующим тождеством:
. 00 00
||2*,ехр/*Г|| =£|С,|,
p=i р 1
где ср могут зависеть от времени;
СО
2) ЧГЭ(Г, £) = ехр (ipT -j- -i- т2 pt\ ,
Р-1 . ■
ёо (г) = *0(Г, °) = £ аР ехр 1рТ
р= 1
есть предполагаемый вид точного решения уравнения (12) и точного начального условия;
00
3) gi (Г) — ^ (ар + Ьр) ехр ipT — приближенное начальное усло-
р=1
вие, причем
СО -
P=1
где s задано;
4) Ls — оператор, определенный* для положительных чисел s
ОО
и функций ^ срехр ipY согласно тождеству: р=1
ОО Г
Ls ^ ср exp ipY Ср exp ipY -|- С/-+1 (s г) exp i (r -j- 1) Г,
p=l p=l
где л* = [s] — целая часть числа s;
5) g2(s,- ^') = Lsg1(T), W2(s, Г, t)— регуляризированноё начальное условие и решение уравнения (12), удовлетворяющее этому условию Wt(s, Г, 0) = g2 (s, Г).
Решение w2 при s>0 существует всегда.
Докажем, что, если s определяется из условия
IU,£i—Silli*=e,.. (22)
то во всех внутренних точках области существования точного решения ЧГ2 ЧГ0 при е —» 0.
Предварительно докажем, что
ll^llxCII'Follf (23)
Из (1) —(5) и (18) следует
I I ^2 ! Il — ^ [ ар + ^р I ехр -у- т2 /^ + I аг+1 +
1
-f-&,+i|(s —г)exp 4 т2(г1)/. (24)
Условие (22) приводится к следующему виду:
1 ар | + I %>+1 + bp+i |(1 — s г) = е. (25)
г+2
Очевидно, при заданных абсолютных величинах ар, Ьр норма 1|4T,Hi при условии (25) приобретает свое наибольшее значение, когда знак каждого ар совпадает со знаком Ьр. Поэтому, не нарушая общности, можно считать ар^0, bp^Q.
I I ^2 111 < 2 ар ехР ~Т Рь + а'+1 ~ г) ехР т2 (/■ + 1)^ +
1
+ [2Л + &'-+1(* —г)]ехР 4"-Т2(г + 1)^ (26)
1 : С другой стороны, исключив е из (25) и (21), приходим к неравенству:
£ ар + ar+1 (1 — s + г) > £ Ьр -f br+1 (s - г). (27)
r+2 1
Подставляя правую часть (27) в (26), получаем искомое неравенство:
ll4r2|li<2apexPT‘T2/,/+ ar+l (s — г) ехр Т2 (г + 1)* +
1
00 1 00 I
+ [ X аР + Ur+1 (1—5 + /*)] ехр -g- т2 (г + 1) * < £ аР ехр Т pt = 11^® 1
г+2 1
мз которого следует | |W2 — ЧГ0 | |i < 211 ЧГ0 | |t.
Если t) существует при t—T, то, очевидно, в интервале
11*2 (Г. *)-*о(г. 0111^211^0 (Г, Г)||„ 0<f<7\ (28)
Точная оценка выражения аналогичного левой части неравенства (28) была проведена JI. А. Чудовым [3].
Она основана иа свойствах логарифмически выпуклых функций:
00
если ^-ln/„(*)>(), О«=1,2,..., /(*)=£/л(0,
П=1
ТО
' §lnf(t)>0, (29>
Применяя (29) к норме 11 W2 — \Р0 I li с учетом (21), (22), (28), получаем:
\\W2{s, Г, *)-ЧГ0(Г, О | |i С(2 в)1- "^ | -| 2 (Г, T)\\f, (30)
что и доказывает утверждение (23).
Таким образом, существо процесса отыскания приближеннога решения заключается в отбрасывании старших членов ряда Фурье. Этот процесс можно рассматривать как элементарный шаг при расчете разностным методом. Действительно, если расчет проводится по некоторой разностной схеме, то на каждом шаге имеет место погрешность, величина которой может быть оценена. Следовательно, на каждом шаге можно проводить описанную выше процедуру. Покажем, что и в этом случае имеет место сходимость приближенного решения к точному, когда суммарная погрешность стремится к нулю. В силу линейности задачи доказательство может быть проведено следующим образом.
Пусть в каяушй момент времени Atm в результате погрешности аппроксимации, округления, а также погрешности за счет описанного процесса регуляризации решение изменяется на функцию:
СО
£ е™ exp ipT,
р=i
тЬгда в силу (18) в момент времени t приближенное решение будет отличаться от точного на функцию
00 ЦМ
X X 6Р ехр[ 1РТ + ~2~ГР(*- А*да)1, (31 >
р— 1 m = 1 ^
норму которой
ое tjM
X |£ exp-g-T2/?^ — Д*т)| (32>
р=1 m-1
необходимо оценить.
Рассмотрим выражение 1
оо fjAt
2 |Х вр ехР-2"ТХ^ — Д/от)| = 8(**); (33>
/3=1 т=1
оно является логарифмически выпуклой функцией ОТ Кроме того, по построению
8(Г)<2||¥0(Г, Г)II,
и
. 00 </Д< 00 77Д<
8(°)=2112 ерехр(-д*т) 1ер|==ео’
р=1 т=1 р=1/п=1
где е0 — суммарная погрешность.
Следовательно, применяя (29), получаем неравенство:
8(**)<«Г^ (21|Т0(Г, Т)\\^, (34)
которое имеет место и при tзe = t, что и доказывает сходимость приближенного решения к точному. Результаты обобщаются на случай нормы ||-||2, ||'ИГ, *)114 = (| <|>г йту>2.
В рассмотренных построениях основным моментом является ограниченность получаемого приближенного решения. В некоторых случаях специальный характер погрешности обусловливает ограниченность приближенного решения без применения принципа регуляризации. Согласно (18) и (20), имеем
Ф«Р<'МгаАГ’ тЦ)- (35)
Таким образом, при точном начальном условии и отсутствии погрешности округления приближенное решение, полученное по схеме (14), не превосходит точного по норме ||-||и обобщенной на случай функций, определенных на сетке. Следовательно, в процессе регуляризации необходимо учитывать только погрешность округления. Условие (35) является частным случаем условия устойчивости, найденного для разностных схем расчета некорректных задач в работе [3]. Следовательно, доопределяя оператор Ь5 на случай функций, заданных на сетке, получаем схему
Ф«+1 _ л/"
д, - Щ? = О» ФГ1 = ^ Ф«.+1 . 11К+1 - К+11 ь = е*+:1 > (36>
где ет+1 — погрешность округления.
Обращаясь к схеме (13), заметим, что на основании (17) она соответствует корректной задаче. Поэтому для правомерности ее применения необходимо потребовать условия устойчивости. Последнее накладывает ограничение на величину модуля перехода для всех р
м/П+1
пр
Чпр
< 1-
Так как
т+1
1
1А и2(р-р2^),
<?Яр - 2 —' ^ ^ 2* то при 72Д^/ДГ < 1. Схема (13) устойчива.
(37)
Практически удобно иметь возможность модифицировать схему таким образом, чтобы она была устойчива при произвольно заданном соотношении шагов М и ДГ. При -|~к2Д£/ДГ > 1 модуль перехода не превосходит единицы в том случае, когда:
1 — (1 — 8 ДГ/ПД^т2)1/2].
(38)
Следовательно, если в схему ввести процесс отбрасывания членов ряда Фурье с номером р^>д, то в результате будет получена схема, устойчивая при произвольном соотношении шагов. Для ее построения можно воспользоваться свойствами оператора Дирихле, определенного на сетке,
D <рт— — У sin?А?-(и~k) к дг (n — k)
Dg exp ІрпЬГ : Получаем схему
ДГ(п — 00
ехр ірпЬГ,
-у- ехр /ряДГ, О,
если p<Cq, если р = q, если p^>q.
,.т+\
т/1*
Рт
П
Г) (лт+1
Я ГЛ*
Д, i^<p» =
V = 2F[1-(1
О,
8 ДГ/ПД/2)1/2].
(39)
Отбрасывание старших членов ряда Фурье, происходящее в схемах (36) и (39), может быть объединено и включено непосред’ ственно в с^ему (8). При этом отбрасывать необходимо члены с номером р, большим наименьшего из чисел и з.
Однако отбрасывание старших членов ряда Фурье не является необходимым. Достаточно лишь в должной степени их уменьшать. Поэтому вместо операторов Бч могут применяться более про. стые. В схемах первого порядка
. . ! точности удобен следующий опе-
£) ратор:
1 „ 1
т-;
. + *?+!.>■
S = 0,000357
9. • *••• •
0,003 0,002 0,001 • • • • • • • • • • • • •
• • • •• • It* • • • • • ► • • • • •
• • • •
0,397
0,998 0,999 Фиг. 1
1,001
~п» ' 2 «• \ 4 .
При необходимости он может применяться на каждом шаге дважды и т. д. Роль чисел s, q играет кратность применения этого оператора, в большинстве задач теории крыла достаточно однократного его применения. Оператор Е вносит на каждом шаге погрешность порядка (ДГ2). Следующее равенство определяет величину изменения ряда Фурье при применении оператора Е
Е ехр ia/гДГ == cos2 (аД Г/2) ехр гаяДГ, О-^а^я/ДГ. .
Оценка эффекта от использования этого оператора может быть проведена аналогично.
При переменном шаге правая часть (8) не равна нулю и, следовательно, также вносит аппроксимационную погрешность. Однако можно показать, что при изменении шага по аналитическому закону в процессе регуляризации учет такой погрешности не является необходимым. Все построения можно провести и для случая, когда Z не конкретизировано. Если результаты данного исследования формально перенести на систему (1), (2), то получим схему, которая будет содержать следующие элементы:
£С +
дг
т + 1
м
?т+1
7'п
(40)
здесь у — наименьшее из чисел я и q для всего разрыва.
Далее необходимо провести разностную аппроксимацию неравенства (2), которое, по существу, является краевым условием задачи. Эта процедура была проведена, например, в работах [4, 5], где были представлены расчеты треугольных крыльев. Расчеты не дали оснований считать схему неустойчивой относительно упомянутого краевого условия.
Здесь в качестве примера предлагается расчет прямоугольного крыла, который сводится, согласно [1], к расчету течения около плоской пластинки, мгновенно приведенной в движение вдоль своей нормали. Расчет проводился с целью определения константы с в нелинейной части коэффициента подъемной силы и численного подтверждения качественных результатов теории [1]. Предварительно отыскивалось автомодельное течение, существующее при малых значениях времени.
В результате такого расчета была получена первоначальная форма тангенциального разрыва (фиг. 1) и константа с = 3,61. На фиг. 2 представлено дальнейшее развитие разрыва. Резко выражено уклонение закона развития тангенциального разрыва от автомодельного после прохождения пластиной расстояния, равного трем полуразмахам пластины.
В момент, когда путь 5, пройденный пластиной и измеренный в полуразмахах, равнялся 0,000357, шаг ДЯ = 0,00000858. В дальнейшем шаг непрерывно возрастал до величин порядка 0,05.
На фиг. 3 и 4 дано сравнение результатов расчета прямоугольного крыла Х = 0,25 с экспериментальными данными.
Здесь 1 — результаты расчета по нелинейной теории, 2 — экспериментальные результаты работы [6], 3—экспериментальные результаты, заимствованные из работы [7], 4 — результаты расчета по линейной теории. В работе [6] не учитывалось влияние стенок рабочей части трубы на аэродинамические характеристики, что, возможно, привело к завышению значений коэффициента подъемной силы и момента.
График зависимости ст(а) в начале координат имеет горизонтальную касательную. Это объясняется тем, что линейная часть сил, определяемых теорией тонкого тела, не дает момента относительно передней кромки прямоугольного крыла.
Фиг. 4
В целом можно констатировать, что метод плоских сечений ■» основном правильно отражает характер силовых воздействий лотока на крыло.
Согласно результатам расчета, область применимости линейной теории чрезвычайно мала. Даже при а = 2° нелинейная часть аэродинамических сил составляет более 40% их общей величины.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом. .Ученые записки ЦАГИ*, т. I, № 1, 1970.
2. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с частными производными. Изд. Сиб. АН СССР, 1963.
3. Чудов Л. А. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа. ДАН СССР, т. 143, № 4, 1962.
4. Молчанов В. Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла. .Ученые записки ЦАГИ‘, т. V, № 2, 1974.
5. Судаков Г. Г. Расчет'йтрывного течения около треугольного крыла малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 2, 1974.
6. W i с k е n s R. Н. The vortex wake and aerodynamic load gistribu-
tion of slender rectangular wings Canad. Aeronaut, and Space J., vol. 3,
N 6, 1967.
7. Cheng H. K. Remarks on nonlinear lift and vortex Separation.
Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 21, N 3, 1954.
Рукопись поступила 26\XII 1974 г.
