Определение нестационарного теплового потока по измеренной температуре Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

То м IV 197 3

№ 6

УДК 536.6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ПО ИЗМЕРЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ

На основе метода регуляризации в линейной постановке рассматривается приближенный способ решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для полуограниченного пространства и пластины конечной толщины при переменных граничных условиях второго рода с произвольным начальным распределением температуры. Способ позволяет определять тепловые потоки по температурам, измененным в любой внутренней точке пластины. Точность метода демонстрируется численными примерами. Рекомендуется пользоваться двумя критериями выбора наилучших приближений: принципом невязки и квазинаилучшим параметром регуляризации. Метод предлагается для обработки экспериментальной информации.

Решение обратной задачи теплопроводности заключается в отыскании теплового потока на границе области по известному (измеренному) закону изменения температуры во времени в какой-либо внутренней точке тела.

Температурное поле Цх, т) в бесконечной теплоизолированной с одной стороны пластине толщиной Я, создаваемое переменным тепловым потоком <7(т), входящим через границу х = /? с учетом начального распределения температуры, может быть представлено в виде следующего интегрального уравнения [1]:

А. Я. Колп

я

г

х

/йС*. 6, 0) і(5, 0)^ + Іе{х, V, Я, *4)0Сїі)*і —*(■*. ■')» (1)

а

о

о

где

£(<*, ■ч)

(2кЯ-(£—.*)« 4 а(х — т,)

< (2 £ + 1) /? +*>а ' 4 а (т —

} <Р (х — х,), . (2)

£•(*, х; £, —функция Грина для уравнения теплопроводности с гра-

ничными условиями второго рода для пластины конечной толщины;

1. т > 0 „

<?(х — 1^= 0 т<-0 — единичная разрывная функция; я — глубина

установки термопары; а, ~к — соответственно коэффициенты температуропроводности и теплопроводности материала пластины;

* (£, 0) = А + В + С + И ^|3 -г Е — начальное распреде-

ление температуры; А, В, С, О и Е — постоянные величины, характеризующие условия теплообмена на границе л: = 0.

Обозначим через Ьправ(х, х) величину, связанную с учетом „диффузии* начального распределения температуры:

я

Цх, х)~ х; 0)^(5, 0)(II = tЭKcn(х, х) —

со Я

2 J ехр [-

»—____лп n V L

(2 kR + S - x)*

+

+ exp [- {2 kR Jt Х-Ц t (6, 0) d\ = tBtm (X, X)}. (3)

Тогда уравнение (1) примет вид

. X . . ’

J £ (■*-> ^l) Я (^l) — ^прив (•*•> (4)

0

Прямое решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода (4) после замены интеграла конечной суммой, как правило, приводит к неустойчивости за счет неточного задания температуры t3Kcn(x, х), обусловленного погрешностями измерения, и из-за погрешности аппроксимации интегрального уравнения.

Для решения таких задач академик А. Н. Тихонов [2], [3] ввел понятие класса регуляризуемых некорректно поставленных задач и предложил общий метод их решения, так называемый метод регуляризации. Под этим, понимается построение семейства! корректных задач, зависящего от параметра регуляризации а, которое обладает тем свойством,, что при »-»0и при одновременном стремлении к нулю погрешности правой части решение корректной задачи стремится к истинному решению исходной некорректной задачи.

1; При этом строится регуляризирующий функционал вида

X X

УИ01 (li), ^прив(-^! т)] =: J [J ё (■*> xl) Ч (xl) '^привС*') ] dl -\-

о и .

' х г 1 ! -

+ aj /га(х1)^-^2 (х1) + /7(х1)^2(х1) rfx, (5)

и L 1 . ■ ‘

и рассматривается задача ^оптимизации функционала. Здесь a — параметр регуляризации (а>0), т(xj, ^(х,) — некоторые гладкие заданные неотрицательные множители функции xt.

Наиболее простым способом минимизации функциойала (5) при заданном а является решение краевой задачи для уравнения Эйлера

Взяв свертку выражения (8), с помощью изображения Лапласа получаем

В окончательном виде интегро-дифференциальное уравнение (6) для пластины конечной толщины будет иметь вид

Наиболее простым путем решения уравнения (6) является его „алгебраизация“, т. е. замена конечноразностным аналогом с приведением к системе линейных алгебраических уравнений, которую в матричном виде можно записать в виде .

где А — левая треугольная матрица; А' — транспонированная матрица; С — симметричная, положительно определенная матрица регу^ ляризации, получаемая путем разностной аппроксимации дифференциального члена в выражении (6). Например, при т=\, р = 1,.

N=3

при т = 0, р — 1 С — Е — единичная матрица, Л = ^—шаг по'

при заданных граничных условиях

Ч (0) = соші; г = 0, (7>

(7>

(8>

Л

g(x) х, є) —итерированный оператор;

X

(9>

X 00

(ЛМ + оС) да=А'В,

(11).

" 1/Л2 — 1/Л2 0 •

с= -1/Л2 2/Л2 4-1 —1/Л2 ;

О -1/Л2 1/Л2

(12}

Т

времени, я = 1, 2, 3 . . . , Ы— ------число точек решения.

Таким образом, метод регуляризации сводится к многократному решению аппроксимирующей системы (11). В интегральной части уравнения производилась замена интеграла квадратурной формулой прямоугольников при различных значениях параметра а, по величине стремящихся к нулю:

а = а^=:Да•<*,_!, где Да<1, 8=1, 2, 3, . . .

Решение полученной системы алгоритмических уравнений представляет определенные трудности. Для ее решения был использован метод, разработанный В. В. Воеводиным [4] и [5].

Центральным вопросом при решении плохо обусловленных систем с использованием регуляризации является выбор параметра а. ■С одной стороны, а желательно брать как можно меньше. Но, с другой стороны, в силу некорректности обратной задачи очень малые значения а брать нельзя, так как неизбежные ошибки при аппроксимации интегралов в управлении будут сильно влиять на решение. Поэтому применяются специальные критерии гладкости.

В данной работе для определения значения, при котором <?* является приближением, близким к оптимальному, для заданного а применялись следующие критерии гладкости: критерий невязки [2] и [6]

К (а) = пип

(13)

где Ы — погрешность измерения температуры;

критерий квазинаилучшего [7] и [8]:

1(а) = тт {шах | ?“'(ху) — (х;) |}. (14)

''

Решая систему (11) при каждом а,, выбираем приближенное решение {<7“}, для которого К (а) или £ (а) достигает минимума, при этом для критерия Ь (а) выбирает первый локальный минимум справа вслед за первым локальным максимумом слева.

Выбранное таким образом {^} и будет дискретной аппроксимацией приближения к искомому решению на заданной сетке значений {а^} (в= 1, 2, 3, ... ).

С целью анализа точности метода были проведены вычисления решений обратной задачи для случая, когда тепловой поток и соответствующее ему температурное поле для неограниченной пластины задается аналитически

Я^) = \Уа^\ (15)

* (*, х) = *** 2 [ ** еп (+ Реп /(М±М±£

* \2Га(х-х1)Г \ 2Уа(х-х1)

; (16)

Я(*) = Яоехр(—Вх), В = ч~, (17)

/Р

где д0— единичный тепловой поток;

1)Я — х

(т - Т!>

+ ехр

(2к+ 1)# + *П ,101 »У«Ч-х,) 11’(18)

ф(ї 8)_± Ґ

и ./ (5_»)2 + р ао>

Я

5 = У й(х — Ті) , р

л, = 1 — аг//?, л2 = 1 + х//?, лг3 = З

■ х//?, . . . при к= 1, 2, 3, . . .

Расчеты, проведенные по температурам, рассчитанным по уравнениям (16) и (18) для любой внутренней точки пластины, привели к устойчивым решениям обратной задачи. На фиг. 1 приведены приближенные значения тепловых потоков, вычисленйых при оптимальном значении параметра регуляризации аор1 на основании точных значений температур (16), взятых с различной величиной абсолютной погрешности* для точек аг = 0,8 /?

(вблизи от наружной поверхности)

Фиг. 1. Изменение квазипостоян-ного теплового потока вида

Я (*) = (ЯоІЮ :

1, 2 — аналитические значения относительной температуры (16), вычисленные соответственно в точках х = 0,8 /? и 0,1 Я; 3—аналитическое значение теплового потока; 3> О — приближенные значения теплового потока» вычисленные из относительных температур соответственно в точках х = 0,8 /?

и ОД і? при Ы=± 5-10—-а, «ор*=10—

• — приближенное значение теплового потока, вычисленное из температуры в точке

х =0,1 Я при 5/=+5-10“5, ал„*=Ю~1° ^ Яо

*орГ

15 20 НаХ

и х = 0,1/?. Для сравнения здесь же приведено значение аналитического выражения теплового потока.

Расчеты показали, что для относительных температур, взятых с величиной абсолютной погрешности + 5-10-8, в точках а = 0,8/? и 0,1/?, вычисленное значение теплового потока отличается от аналитического с относительной погрешностью на первых трехчетырех интервалах от 46 до 7%, до 4% на последних двух-трех интервалах и менее 0,5% на остальных интервалах. Выбор решения при этом проводится из условия минимума критерия /С(*).

Увеличив погрешность в задании температур до двух-трех значащих цифр [округляя значения температуры, подсчитанные по формуле (16) до +5-10—4 для точки х = 0,8/? и +5* 10-5 для точки аг = 0,1 /?, что соответствует погрешности регистрации температур в реальных условиях], получили решение обратной задачи, отличающееся от аналитического с относительной погрешностью от 77 до 6% на первых пяти интервалах и менее 1—2% на остальных интервалах для точки х = 0,8/? и от 150 до 6% на первых восьми

* Величина абсолютной погрешности задавалась на ЭЦВМ датчиком случай ных чисел для равномерного закона распределения плотности вероятностей.

интервалах, от 3 до 18% на последних восьми интервалах и менее 2% на остальных интервалах для точки х —0,1/?. Выбор решения проводился также из условия минимума критерия К (а).

На фиг. 2 приведено приближенное значение теплового потока, вычисленного при различных значениях параметра регуляризации на основании точного значения относительной температуры (18), взятой с постоянной величиной абсолютной погрешности +5-10~3 в точке х = 0,9/?. Как видно из фиг. 2, наилучшее приближение восстановленного значения теплового потока к аналитическому, выбранного из условия минимума критерия К (а), будет при оптимальном значении параметра регуляризации aOpt=10-10, при этом максимальная относительная погрешность составляет 27—4% на двух первых и последних интервалах и менее 0,5% на остальных интервалах. Выбор решения из условия минимума критерия L(а) будет При *opt — Ю-15.

Отметим, что, рассматривая уравнение Вольтерра первого рода, в отличие от интегральных уравнений типа Фредгольма [9] приходится сталкиваться с трудностями, связанными с тем, что при малых значениях аргумента интеграл заменяется квадратурной суммой с малым числом членов и, следовательно, с большой относительной погрешностью. Этим можно объяснить заметное отличие вычисленного теплового потока от аналитического на первых интервалах (см. фиг. 1 и 2). Заметные отклонения кривых на последних интервалах отражают тот факт, что тепло, поступающее в тело в поздние моменты времени, не успевает заметно изменить температуру в рассматриваемой точке, так как вследствие удаленности чувствительного элемента датчик температуры не реагирует на изменение температуры в рассматриваемой точке. Поэтому

я<?о

‘ $ 10Ц

1 1 V

vl

V \L /

Ш

1 \Y

j 'А \

t

S

Aft ' 5 10 IS ЛлС

Фиг. 2. Влияние параметра регуляризации на восстановление теплового потока вида я (г) = ?0ехр (— Ьг):

/—аналитическое значение относительной температуры (18), вычисленное в точке лг=0,9/?; 2~ аналитическое значение теплового потока; д, V, □, X, О, С& — приближенные значения теплового потока, вычисленные из относительной температуры (18)

в точке х = 0,9 при —— 5/= ± 5-10 3 К Я о

ственно для а — 10

• 10

10"

и 10

— 15

информация, которую дает метод регуляризации, для этих последних моментов времени является недостаточной. Этот факт отражен й в графическом материале работ [7], [10]. Интерпретация по-явлейия загибов подтверждается тем, что при продолжении счета теплового потока (при введении дополнительной информации о температуре в последующие моменты времени) загибы кривых перемещаются в сторону более поздних моментов времени. Число 80

интервалов, охватываемых загибом, зависит от характера теплового потока и величины погрешности, с которой измеряются температуры; оно растет при увеличении глубины залегания внутренней точки, в которой производится измерение температуры (см. фиг. 1).

Были проведены также расчеты по определению реального теплового потока по температуре, измеренной термопарой, которая находилась в теплозащитном материале, на некотором расстоянии от поверхности нагрева (фиг. 3).

Приближенное значение теплового потока, выбранного из условия минимума критерия К (а), с погрешностью, не превышающей в среднем 4%, совпадает с аэродинамическим тепловым потоком, вычисленным по формуле Фея, Риддела [11].

Для проверки правильности определения теплового потока по измеренной температуре была численно решена прямая задача

Фиг. 3. Восстановление реального теплового потока, вычисленного по температуре, измеренной термопарой в теплоза-51 щитном материале:

/ — температура на глубине 3.36-10-*± ± 5* 10 4 м от поверхности нагрева, измеренная хромель-алюмелевой термопарой диаметром 1 ‘10 ^ мм с погрешностью измерения ± 5°от 2 — аэродинамический тепловой поток; О—приближенное значение реального теплового потока <7а» восстановленное расчетным путем по кривой 1 при <*0р^ = 1(Г~3; О — приближенное значение температуры, вычисленное по методом конечных разностей

теплопроводности методом конечных разностей. Незначительное отличие рассчитанной таким образом температуры от измеренной подтверждает правильность восстановления реального теплового потока.

Все решения проводились с матрицей регуляризации С, взятой в виде (12) без учета начального распределения температуры. При вычислении по формулам (16), (18) было взято: к = 0,005, а = Х = = /? = 1, 7 = 25, к — Ъ. При отработке реального эксперимента:

к —4с, а= 3,56-10-7 м3/с, Х = 0,5778 ^ , /?==Ы0-2м, £ = 3.

Расчеты показали, что выбор решения можно проводить как из условия минимума критерия К (<х), так и I (а). Для более точного и надежного восстановления теплового потока целесообразнее использовать сочетание принципа невязки (13) с методом квазинаи-лучшего параметра (14). При этом алгоритм поиска ос^ был таков: от а невязки находился минимум и соответственно первый локальный минимум справа вслед за первым локальным максимумом слева для а квазинаилучшего и по этим значениям а определялась область а0р1. При этом всегда аНев>«к. н, что определяет в случае критерия невязки более „сглаженные11 результаты (см. фиг. 2).

6—Ученые записки ЦАГИ № 6

81

1. Б у д а к Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сб. задач по математической физике. М., ГИТТЛ, 1956.

2. Т и х о н о в А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методике регуляризации. ДАН СССР, т. 152, № 3, 1963.

3. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, т. 153, № 1, 1963 г.

4. Воеводин В. В. Численные методы алгебры (теория и алгорифмы). М., „Наука”, 1966.

5. Воеводин В. В. О методе регуляризации. .Журнал вычисл. матем. и матем. физики”, т. 9, № 3, 1969.

6. Морозов В. А. О регуляризующих семействах операторов. Вычислительные методы и программирование. Сб. статей ВЦ МГУ, вып. VIII, 1967.

7. Тихонов А. Н.р Г л а с к о В. Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах. .Журнал вычисл. матем. и матем. физики”, т. 5, № 3, 1965.

8. Т и х о н о в А. Н. О неконкретно поставленных задачах. Вычислительные методы и программирование. Сб. статей ВЦ МГУ вып. VII, 1967.

9. Г л а с к о В. Б., 3 а и к и н П. Н. О программе регуляризующе-го алгоритма для уравнения Фредгольма первого рода. Вычислительные методы и программирование. Сб. статей МГУ, вып. V, 1966.

10. Тихонов А. Н., Г л а с к о В. Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела. „Журнал вычисл. математики" и матем. физики”, т. 7, № 4, 1967.

11. Проблемы движения головной части ракет дальнего действия. Сб. статей под редакцией Самуйлова Е. В. и Шпильрайна Э. Э. М., Изд. иностр. лит., 1959.;

Рукопись поступила З/УП 1972 Переработанный вариант поступил Щ1У 1973