CC BY
85
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И ТомТ 1974
№ 5
УДК 536.6
ИСКЛЮЧЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗ ПОКАЗАНИЙ ДАТЧИКОВ ПЕРЕГРУЗОК, УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ И ДАВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ*
А. Я■ Коли
Рассматриваются в линейной постановке приближенные методы исключения систематических погрешностей из показаний датчиков с запаздывающими звеньями, когда измеряемая величина подвержена быстрым изменениям и появляются дополнительные погрешности вследствие инерционности и вязкого трения. При этом для восстановления входных воздействий используются и сравниваются два метода: известный простой метод последовательных интервалов (метод само-регуляризации) и более универсальный и эффективный — метод регуляризации. На методических примерах показаны ограниченная применимость первого метода и преимущества метода регуляризации. Приводится пример обработки реальной экспериментальной информации.
Для измерения перегрузок, угловых скоростей и давлений в технике широко используются датчики сейсмического типа, представляющие собой механическую систему: упругий подвес — инерционная масса.
Обычно показания датчиков принимаются за истинные значения измеряемых величин. Это верно лишь для установившегося или квазистационарного процессов, при которых реальные воздействия F (t) const и At^>T, где Т — период собственных колебаний инерционного элемента датчика.
Показания датчиков в неустановившемся (переходном) процессе могут значительно отличаться от значений измеряемой величины. При регистрации начального периода движения собственные колебания подвижной системы датчика, как бы быстро они ни затухали, могут серьезно исказить его показания. Наличие в измерительной системе давления подсоединительных трубопроводов с рабочим телом, заполняющего трубопровод и приемную полость
* Доложено на 7-й конференции по аэродинамике гиперзвуковых скоростей (секция методики и техники эксперимента) в ЦАГИ 28 мая 1971 г.
датчика, также вносит большие искажения в качественную характеристику переходного процесса, и погрешность измерения может возрасти в несколько раз.
Необходимо использование и разработка надежных методов перехода от показаний датчиков к значениям измеряемых величин при изучении неустановившихся быстропротекающих переходных процессов.
Для исключения систематических погрешностей из показаний датчиков с известными динамическими характеристиками, в том случае когда измеряемая величина подвержена быстрым изменениям, можно воспользоваться переходными характеристиками датчиков.
В линейной постановке переходные процессы в датчике сейсмического типа можно описать следующим дифференциальным уравнением
(і)
при нулевых начальных условиях
4Н»о=0-
где Ь1~ 2£)о>0, Ь2 = «с, Ь3 = 1/т — постоянные величины (ш0 = 2 и/ — угловая частота колебаний, /—частота собственных колебаний,
О — коэффициент демпфирования, т — приведенная масса).
При помощи преобразования Лапласа можно легко получить решение уравнения (1). При этом для ^>0 выражение функции Грина (импульсной переходной функции) в общем виде для датчиков будет иметь вид
ед=4-ч-г~ ь*
-1/2
ехр
-ТГ+- -Г—*2
\ 1/2
і —
/й? . V'"! л . < Ь1 , V1''2 /
ехр ь^ = ь — ~ Ь, ) ехр|^
А
2
X
Т-^2
1/2
(2)
Из выражения (2) можно получить следующие частные случаи: ь\
а) при ^----Ь2^>0 выражение (2) сохраняет свой вид,
ь\ / ь\ V'2
б) при -г---Ь2<0, С0С = | Ь2—4 I получим импульсную переход-
ную функцию для датчиков перегрузок, угловых скоростей и давления: .
2 \ 1/2 ЄХР 4 )
‘П
і\ і єіп
Ьг-^г
Т/2
*3
= —— ехр
О) с
г1) він (шс г1):
ехр (— а/) БІП ф£),
(3)
где о = £)<и0, В = о;0 (1 — 02)1/2, (ос — собственная частота измерительной системы;
Ь~
в) при -----Ь, << О, Ь3 = Ь2 выражение (3) можно записать в виде
К
2 Ь\ "с + -г-
= ^ ехР (_ "Т О 8‘п <®с ^ ^ ехр ) йп К I). (4)'
Как известно (по определению свойств функции Грина), выходной сигнал (отклик датчика) у У) связан с входным сигналом при нулевых начальных условиях линейным интегральным уравнением) вида
§K(t--)FWdT=y(£),
(5)
например, для выражения (3) можно записать
~ j ехр (—0 (t — т)) sin (Р(/ — т)) F(т) di —у (t).
(6)
Для нахождения у (() аппроксимируем в течение промежутка времени пЫ непрерывную функцию Ft{t) ступенчатой кривой 11,2}
п- 1
k = 0
(7)
где /(£) — единичная ступенчатая функция, Л,к+\ — квазипостоян-ное значение реальной функции, определяемое соотношением
(*+1) 4/
вида Г,-, *+1=— | F{f)dt.
АД/
Подставляя (7) в (6), получим приближенное решение этого уравнения, которое может быть представлено в виде
N-1
y(t)= 2 Fk+l№\(n-k)M), 1
к =0
(8>
где
ДФ \п — k) Щ = ф {{п — к) М\ - ф\{п - (к 4- 1)) Д<].
(9>
С учетом выражения (2) легко получить характеристическую' функцию Ф (кЫ):
Ф
(Ш)= jK(t--)dx
ехр {—Ц-Ш) х
X Sh
l2 \ 1/2 \ . / / ,9 \ 1/2
Ь' . \ - Л / L Л у ^ _ I I / I , 1
(10)
7 Ученые записки ЦАГИ jY<? о
97
Случай „б“ получается заменой ^-------Ь21 (Ь2---, при
этом характеристическую функцию для постоянного ускорения, постоянной угловой скорости и скорости изменения давления запишем в виде
Ф(кМ) = —Х—~- (1 — ехр(— £)со0£Д01со5(ш0(1 -ОУ^кЩ + т,% 1
+ (1 — В2)1/2 З‘п (1 °'У12ш)} • (11)
Заметим здесь, что случаям „б“ и „в“ соответствует одинаковый вид функций /:(£), следовательно, одинаковый вид будут иметь и функции Ф (МО-
Используя решение (8) с характеристическими функциями Ф(кМ) в виде (10), (11), можно построить систему линейных алгебраических уравнений и по известному значению выходного сигнала определить искомые значения реального воздействия.
Действительно, записав уравнение (8) для последовательных интервалов времени, получаем:
_У(1, 'М) = Р1[Ф(1, дг)_Ф(0, Щ;
' у (2, ДО-/7, [Ф (2, ДО - Ф (1, ДО + [Ф (1, М) - Ф (0, ДО]; у (3, ^ о = Р, [Ф (3, ДО - Ф (2, ДО] + Р> 1Ф (2, ДО - Ф (1. Д01 -х-+ /Г3[Ф(1,Д0 — ф(0, ДО] И т. д.
Обращение выражения (12) дает
“ дф“(1) 1-У (*> Л0Ь
^ = дфщ^(2>^)-/7.ДФ(2)];
/Гз=дф^1у[^(3, ДО - Г2 ДФ (2) — /?1 ДФ (3)] и т. д.
Необходимо помнить, что решение (13) может быть выполнено только последовательно. При этом, что очень важно, не происходит роста погрешности в определении входного воздействия к «-му интервалу.
Точность решения обратной задачи (погрешности в определении входных воздействий или других искомых функций) зависит от двух причин; приближенности математического решения (погрешность метода, обусловленная ступенчатой аппроксимацией) и отклонением используемой информации от действительной (неточности измерения выходного сигнала). Рассматривая систему уравнений (13), допустим, что значение /?1 определено с большой погрешностью Д/^>0. Это может быть следствием погрешности метода или погрешности информации, или и того и другого. Тогда погрешность в определении значения Г2 будет обусловлена в основном погрешностью Д/7,, причем ДР2 будет величиной Отрицательной и близкой по абсолютной величине к погрешности на первом интервале, поскольку функция ДФ(2) одного порядка
(12)
(13)
с функцией ДФ(1). На третьем интервале в ошибку определения входит выражение
которое по модулю значительно меньше ошибки | ДГ, | и | А/^21. В погрешность определения войдут почти скомпенсированные погрешности Д/7,, Д/^ и ошибка Д/^, меньшая двух первых.
Таким образом, происходит компенсация влияния погрешностей метода и погрешностей измерений при рекуррентном переходе от (п — 1)-го к га-му интервалу. Аналогичным образом затухает со временем и влияние большой погрешности, случайно появившейся в измерении выходного сигнала на каком-либо г-м интервале. Поэтому (при правильном выборе интервала Д/) подобный алгоритм отыскания входного воздействия можно назвать саморегуляризующимся. В этом смысле метод последовательных интервалов можно назвать методом саморегуляризации. Функция (ДФ (I))-1 автоматически компенсирует влияние погрешностей метода и погрешностей измерений, т. е. как бы обладает фильтрующими свойствами.
Количественная связь погрешности входного воздействия Д/7 с погрешностью выходных данных Ьуь зависит не только от номера интервала, но и от характера входного воздействия. Поэтому для выяснения области применимости метода саморегуляризации было проведено сравнение расчетов по формулам (13) с аналитическими решениями. При этом были выбраны примеры с различным характером воздействия:
— воздействие изменяется по экспоненциальному закону
— воздействие растет от нуля пропорционально Р.
Для этих примеров точные аналитические решения движения инерционного элемента датчика соответственно имеют вид:
Расчеты, проведенные при решении обратной задачи методом саморегуляризации, позволили оценить точность метода в зависимости от выбора интервала времени Дt и абсолютной погрешности в измерении выходного сигнала 8у.
При этом было установлено, что на сходимость решения обратной задачи для рассматриваемых случаев величина выбираемого интервала времени практически не влияет.
На фиг. 1 и 2 приведены приближенные значения квазипосто-
„ „ FU) "
янных входных воздействии—^, вычисленные на основании точ-
. т ’
ных аналитических решений, описывающих движение инерционного элемента датчика, которые будем считать показаниями датчика, записанными на регистрирующем устройстве. Исследование устойчивости метода саморегуляризации проводилось по отношению к различным по величине погрешностям, которые вводились в корреляционную функцию отклика датчика искусственно. Значения откликов брались с различной степенью округления: от шести —
(ДФ(1))-1 [ —|ДГ,|ДФ(3) -Ь | Д/73|ДФ(2)]
(F~ exp ( — 70)’
У (() = ~(а -РТ)2 + Р» {1 — еХР(— (а - Т) t) COS (р/) + Sin (р/> J , (14)
y(t)-10\
м
*
3
2
1
О
1, 2—аналитические значения соответственно отклика датчика и входного воздействия; значения
, , F(t)
квазипостоянных входных воздействий ---, вычисленных из движения инерционного элемента
т
датчика, взятого с различной степенью приближения: 3—5—методом саморегуляризаини при б, 7—методом регуляризации при аОр^ = 10~^
Фиг. 1. Движение инерционного элемента датчика перегрузок у (t), вызван-„ F(t)
ное воздействием • , изменяющимся по экспоненциональному закону
р
вида — ехр ( — Юг).
(/=■(,= 1 Н, и = I кг, /=10 Гц, D = 0,6, М = \Q~2 С)
1, 2— аналитические значения соответственно отклика датчика и входного воздействия; значения квазипостоянных вход- л?(0
ных воздействии---, вычисленных из
т
движения инерционного элемента датчика. взятого с различной степенью приближения; 3— 6—методом саморегуляриза-ции при a0pt = 2,6l 10‘: 7—методом регуляризации при а0р[—Ю—^
Фиг. 2. Движение инерционного элемента датчика перегрузок y(t), вызванное воздействием F(t)
т , изменяющимся по параболическому закону вида F0
I2*2 т ‘
(f0=l Н, т=\ кг, 7=10 Гц, D = 0,6, ДС = 10-2 с)
восьми значащих цифр, до двух —четырех значащих цифр, что приближается к погрешности регистрации выходного сигнала в реальных условиях.
В результате было получено, что для воздействия, изменяющегося по экспоненциальному закону, вычисленного при значении отклика датчика, взятого с постоянной абсолютной погрешностью ■оу = +5-10~8 (округление до трех-четырех значащих цифр), средне-
FM Fit)
интегральное значение —— отличается от расчетного—— с отно-
r т г т
сительной погрешностью от 2 до 0,5% на первых десяти интервалах и от 4 до 16% на остальных интервалах. Из фиг. 1 видно, что с ростом величины абсолютной погрешности (уменьшением числа значащих цифр) возрастает нерегулярность вычисленного значения входного воздействия. Нерегулярность особенно наблюдается при больших значениях п.
Для воздействия, изменяющегося по параболическому закону, вычисленного при значении выходного сигнала, взятого с постоянной абсолютной погрешностью by — -j-5• 10-8 (округление до двух-трех значащих цифр), относительная погрешность изменяется от 160 до 25% на первых семи интервалах и от 20 до 3% на остальных интервалах (фиг. 2).
Расчеты показали, что при увеличении абсолютной погрешности в значении выходного сигнала до величин, превышающих рассмотренные выше, решение получается неустойчивым.
Таким образом, рассмотренный метод выявил его ограниченную применимость, особенно при восстановлении процессов по исходным данным, взятым с большой погрешностью.
Как известно, задача восстановления должна исключать полностью или частично систематическую динамическую погрешность, вносимую измерительным устройством при измерении входного сигнала, и минимизировать случайные ошибки входного сигнала, обусловленные случайными отклонениями параметров измерительного устройства и внешней помехой. Основной проблемой при этом является разработка устойчивых методов решения задач с учетом неточностей исходных данных.
К наиболее общему приему решения задач восстановления входных воздействий измерительных устройств можно отнести методы, основанные на вариационном исчислении. Их применение позволяет проводить обрабтку экспериментальных данных, вносимых звеньями измерительного устройства даже в предельном случае, когда имеется только одна реализация случайного процесса.
Принципиально новый подход к таким задачам дает метод регуляризации, предложенный акад. А. Н. Тихоновым [3,4], который направлен на отыскание приближенного решения при приближенных исходных данных, причем погрешность решения задачи зависит от погрешности исходных данных.
Основой метода служит понятие регуляризующего алгоритма, который можно записать в виде
М" [F (ч),у (/)! = J Г11 K(t, т) Fix)-у (Of dt +
I t
о 10
(16)
где а— параметр регуляризации (а>0), Р\{х), р2 (т)— некоторые гладкие заданные неотрицательные функции т. Рассматривается задача оптимизации функционала /Иа. Наиболее простым способом минимизации функционала (16) при заданном а является решение краевой задачи для уравнения Эйлера:
| К (t, т) Fa(т) dx + а
+ (0 (*)} = a(t) (17)
при заданных краевых условиях: F(0) = const,
t=о
= 0;
(18)
есть итерированный оператор;
t
a(t)= [K{t',t)y(t') dt'.
(19)
Взяв свертку выражения (18) с помощью обычного численного интегрирования для импульсной переходной функции, например вида (3), получаем: і
1 ([exp (—a (t — -с)) sin (р(£ — х))] exp (—от) sin (рх) dx —
K(t, X) :
exp (—at)
2m* 33“ [Sin (P0 ~ pt COS (PZ?)].
(20)
В окончательном виде интегро-дифференциальное уравнение (17)
с учетом выражения (20) будет иметь вид t
sJ ехР (- z)) [sin (P (t — T)) — Hi - ^ COS (p (t - x))] /?“(т)^т +
d
dt
РЛП 2TF^t]
^ j* exp ( O(t - x)) Sin (P(f —t))y (t)
dx.
(21)
Для решения уравнения (17) заменим его конечноразностным аналогом, выразив входящий в него интеграл какой-либо квадратурной суммой. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений, которую в матричном виде можно записать
(А'А + аС)Е« = А'у, (22)
где А — левая треугольная матрица; А' — транспонированная матрица; С — симметричная, положительно определенная матрица регуляризации, получаемая путем разностной аппроксимации дифференциального члена в выражении (21)
Например, при /71 = 1, р2 = 1, /V == 3
1/Л2 -1 /А* 0
—1/Л2 2/Л2+1 1/Л2
0 —1/Л2 1/Л2
(23)
при р1 = 0, р2 = 1, С—Е- единичная матрица, h = Ar = t\h — шаг
по времени, «. = 1, 2, 3, ... , Л/ = V\h
число точек разбиения.
Таким образом, метод регуляризации сводится к многократному решению аппроксимирующей системы (22) при различных значениях параметра а, стремящихся к нулю:
я = а5 = Да o.s._1,
где Да < 1, s = 1, 2, 3 . . . .
Решение полученной системы алгебраических уравнений представляет определенные трудности, особенно при решении больших систем. Поэтому для ее решения был использован метод, разработанный В. В, Воеводиным [6,7]. Выбор наилучшего приближения к F(t) (выбор а) осуществлялся двумя методами — по принципу невязки, при котором величина невязки должна быть согласована с точностью задания исходных данных [3, 8, 9]:
I I т Г п _ 11 I I /2 "1
min | Д, = Аг| -5у|. а = а„е„, (24)
и по методу квазинаилучшего параметра А. Н. Тихонова и
В. Б. Гласко [10]
min {Д2 = max | F*s(r/) — F*s~' |(r)| }, а = ак. (25)
Я /
.У 1
Решая систему (22) при каждом as, выбираем приближенное решение \Ff}, для которого Д, или Д2 достигает минимума. Полученная таким образом {F*) и будет дискретной аппроксимацией искомого решения на заданной сетке значений {aj.
Применение метода регуляризации позволило получить устойчивое решение обратной задачи в случае очень большой погрешности в регистрации (округление выходного сигнала проводилось до одной-двух значащих цифр), когда решение, полученное методом саморегуляризации, является неустойчивым. При этом восстановление входного воздействия можно считать вполне удовлетворительным (см. фиг. 1 и 2).
Для воздействия, изменяющегося по экспоненциальному закону, при значении выходного сигнала, взятого с постоянной абсолютной погрешностью +5-10-6 (округление проведено до одной значащей цифры), относительная погрешность изменяется от 30 до 7% на первых пяти интервалах, от 5 до 1% на последующих пяти интервалах и от 9 до 68% на остальных интервалах. Для воздействия, изменяющегося по параболическому закону при значении выходного сигнала, взятого с постоянной абсолютной погрешностью 8у ,==:+5 • 10-7 (округление проведено до одной-двух значащих цифр), относительная погрешность изменяется от 60 до 20% на первых десяти интервалах и от 15 до 0,5% на остальных интервалах.
На фиг. 3 показано влияние параметра регуляризации на восстановление „треугольного* входного воздействия. При этом в точке перегиба, где нарушается непрерывность восстанавливаемого процесса, наблюдается „заглаженное" решение. В остальных местах точность восстановления входного воздействия является достаточно хорошей. ,
На фиг. 4 показано влияние коэффициента демпфирования на точность восстановления входного воздействия. Для сравнения здесь же приведено его аналитическое значение. В результате получаем, что для правильно определенного коэффициента демпфирования (D — 0,5) относительная погрешность восстановления
У, 2— аналитическое значение соответственно отклика датчика и входного воздействия; 3—7— расчет методом регуляризации для разных а\ 3—а= 10"9; 4- = 10~“8; 5—а- 10~7; 6-а =
•=10~6; 7—о:=?10“^; 8— значение отклика датчика, вычисленного по прямой задаче (12) при воздействии вида 4 (для а0р£)
Фиг. 3. Изменение квазипостоянного входного воздействии, вычисленного методом регуляризации
воздействия, восстановленного методом регуляризации по кривой У При 3—0=0,4 (яор1 = 10"14); 4—0 = 0,5
(аор1—^
= Ш— 15\-
_ );.5-£>=0,6(«ор(=10-1й);
6—значение отклика датчика, вычисленного по прямой задаче (12) при воздействии вида 4 для £)=0,5 Фиг. 4. Влияние коэффициента демпфирования на точность восстановления входного воздействия
входного воздействия не превышает 1—4% за исключением первых и последних четырех-пяти интервалов, где она изменяется от 25 до 5%. В случае искаженного значения коэффициента демпфирования на 20% относительная погрешность восстановления входного воздействия возрастает и составляет соответственно: при О — 0,6 — в среднем от 20 до 10%; при 0 = 0,4 — от 42 до 6% на первых трех интервалах, от 4 до 30% на последующих двенадцати интервалах и от 50 до 450% на последних четырех-пяти интервалах.
На фиг, 5 приведено изменение реального воздействия (перегрузки), вычисленного по осциллографической кривой движения инерционного элемента датчика перегрузок методом последовательных интервалов и методом регуляризации. При этом в первом случае относительная погрешность изменяется от 50 до 100%, а во втором —до 20% на первых четырех-пяти интервалах и менее 10—2% на остальных интервалах. Значение реальной перегрузки, вычисленное методом регуляризации, показывает удовлетворительную сходимость с перегрузкой, найденной теоретическим путем.
1—движение инерционного элемента датчика;
2—теоретическое значение перегрузки, вычис-
ленное из условия газодинамических процессов, имеющих место при разделении двух тел; 3, 4-реальная перегрузка, восстановленная расчетным путем по кривой / соответственно методом са-морегуляризации (при aQpt =6,14-105) и регуляризации (при aQpt=10 &у = ±5*10—®
Фиг. 5. Движение инерционного элемента датчика перегрузок, вызванное
. F{t)
реальным воздействием —
(/=45 Гц, D =0,5, Af = 2-10-3 с)
Все решения проводились с матрицей регуляризации С, взятой в виде (23). Как показали многочисленные расчеты, для более точного и надежного восстановления входных воздействий необходимо использовать сочетание принципа невязки (24) с методом квазинаилучшего параметра (25). При этом, поскольку принцип невязки всегда дает несколько „переглаженные'1 результаты, то в качестве лучшего приближения следует выбирать регуляризо-ванное решение, соответствующее первому локальному минимуму Д2 слева я„ео (а < анев), а таким образом определить оптимальное а. Отметим, что при малых погрешностях в исходных данных выбор наилучших приближений к искомому результату из условий (24) и (25) приводит к практически тождественным результатам. Это дает возможность использовать для определения искомого приближения только метод квазинаилучшего параметра, который не требует знания величины погрешности исходных данных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шумаков Н. В. /Метод экспериментального изучения процессов нестационарного теплообмена. ЖТФ, т. 27, № 4, 1957.
2. Васильев В. Г. Воспроизведение быстропротекающих процессов линейными регистрирующими системами. „Измерительная техника', 1963, № 1.
3. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. ДАН СССР, т. 151, № 3, 1963.
4. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, т. 153, № 1, 1963.
5. Т и х о н о в А. Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 5, № 4, 1965.
6. Воеводин В. В. Численные методы алгебры (теория и алгорифмы). М., .Наука", 1966.
7. В о е в о д и н В. В. О методе регуляризации. Журн. вычисл.
матем. и матем. физ., т. 9, № 3, 1969.
8. М о р о з о в В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 6, № 1, 1966.
9. М о р о з о в В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации. Журн. вычисл. матем.
и матем. физ., т. 8, № 2, 1968.
10. Т и х о н о в А. Н., ['л а с к о В. Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах. Журн. вычисл. матем. и матем. физ-, т. 5, № 3, 1965.
335389 3S7
Рукопись поступила 3IVIII 1972 г.
