Восстановление сигналов на входе линейного измерительного преобразователя методом статистической регуляризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о м VII 1 9 7 6 №4

УДК 519.2.681.2.088

ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ВХОДЕ ЛИНЕЙНОГО ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Ю. Е. Воскобойников, А. Я■ Колп

На основе метода статистической регуляризации решается задача восстановления сигнала на входе измерительного преобразователя, что дает возможность исключить ошибки измерения, обусловленные итерационностью преобразователя. Для выбора параметра регуляризации выводится статистический критерий оптимальности и приводится итерационная процедура, вычисляющая оптимальное значение этого параметра. Строится несколько моделей шума восстановления входного сигнала. Результаты работы применимы при обработке широкого класса экспериментальных данных.

При обработке результатов измерений экспериментатору для устранения искажений, вносимых инерционностью применяемого измерительного преобразователя, приходится решать некорректно поставленную задачу восстановления входного сигнала. В линейной постановке, когда входной и выходной сигналы преобразователя связаны интегральным соотношением

f h(t - x)x(i)di=y(t), [0, ту], (1)

о

где h (t) — аппаратная функция, задача восстановления состоит в построении оценки для x(t) по зарегистрированному выходному

сигналу y(t) =у {t) + ti (t) на основе решения уравнения (1) [1].

В последнее время широкое распространение при численном решении некорректно поставленных задач получили схемы, построенные на основе метода регуляризации [2]. Однако предложенные способы выбора параметра регуляризации и используемые нормы ошибки восстановления часто не учитывают стохастичность физического эксперимента, т. е. шум измерения n(t), а в ряде случаев и входные сигналы являются случайными процессами. Это приводит к отличию найденного значения параметра регуляризации от оптимальной величины и не позволяет оценить статистические

характеристики ошибки восстановления, которые важны при дальнейшей обработке восстановленного сигнала.

В данной работе решаются следующие задачи:

1) нахождение оптимального параметра регуляризации; выводится статистический критерий оптимальности выбора параметра регуляризации и приводится итерационная процедура, вычисляющая оптимальное значение параметра;

2) статистическое описание ошибки восстановления входного сигнала; строится несколько моделей шума восстановления входного сигнала, находятся их статистические характеристики.

Первоначально определим статистически регуляризованный каркас приближенного решения (1) и приведем эффективную вычислительную процедуру его нахождения, а затем перейдем к решению задач.

Решение интегрального уравнения будем искать при следующих предположениях:

— решение x(t)QL2 вне интервала [0, -rj тождественно обращается в нуль и может являться как регулярной функцией, так и реализацией случайного процесса;

— ядро h(t) представляет собой спектрально полную (относительно Фурье-преобразования) функцию, принадлежащую пространству Z., и вне интервала [0, tA] тождественно обращающуюся в нуль;

— шум измерения является реализацией гауссового стационарного случайного процесса, не зависящего от y(t) с нулевым математическим ожиданием и с известной корреляционной функцией КппЮ-

Таким образом, задача восстановления входного сигнала математически определена, т. е. решение уравнения (1) существует и единственно. Однако при численном построении этого решения появляется известная трудность, обусловленная некорректностью задачи восстановления. Трудность заключается в отсутствии счетной устойчивости [3] при нахождении псевдорешения х+ — = (НтН)~'Нту переопределенной системы

' Нх=у, (2)

полученной в результате редукции бесконечномерной задачи (1) к конечномерной задаче линейной алгебры путем дискретизации соотношения (1). В нашем случае векторы х, у составлены из значений функций x(t),y(t) на конечно-разностной сетке с шагом Дл т. е.

{x}j = x(J Д,); j = О, Nx— 1; {y}j=yUbt); j = 0, Ny - 1, где Nx = ent[zjbt]\

Ny = ent [(t, + тй)/Д J;

ent[-] —целая часть числа.

Элементы (Ny X АГ^-матрицы Н выражаются соотношением {H}kj=h((k — /) Л*) А,. Следуя [4], вектор х+ в дальнейшем будем называть каркасом приближенного решения (ПР) уравнения (1). Алгоритм нахождения каркаса ПР становится устойчивым к ошибкам измерения выходного сигнала, если на множество допустимых решений наложить некоторые дополнительные ограничения в виде априорной информации о восстанавливаемом сигнале. Используемый в этой работе метод статистической регуляризации основан

на байессовском подходе, где априорная информация вводится в виде априорного распределения р{х) для вектора х, а затем по формуле Байесса определяется апостериорное распределение р{х\у), математическое ожидание которого и принимается в качестве статистически регуляризованного каркаса ПР [5].

Следуя [5], примем, что априорное распределение каркаса ПР выражается функцией

/>а(х) = const Ха^/2Х ехр{— I х ii J, (3)

где || х || = (х, Г-1 л:) — квадратичная форма; Г — положительно,

определенная (Nx X Л^-матрица.

Тогда с учетом (2) и приведенных выше предположений статистически регуляризованный каркас ПР является решением системы алгебраических уравнений

(air-y + HTR-iM)x. = HTR-^y, (4)

где {у}] = .у и Д,); у = 0, Ny — 1; /? — корреляционная матрица вектора шума с элементами {Щк, }"= Кпп(\к—] \Ь.(), / = 1, Му; „т“ —

символ транспонирования.

Если предположить, что а и Г известны, то для нахождения л* достаточно решить систему (4) порядка 1ЯХ. Но решение этой системы методами линейной алгебры при Л^>100 с применением мини-ЭВМ или ЭВМ с малым объемом оперативной памяти является весьма трудоемкой задачей, сопряженной с известными трудностями. Ниже приводится алгоритм, позволяющий строить каркас ПР большой размерности со значительно меньшими затратами машинного времени по сравнению с затратами при решении прямыми методами линейной алгебры.

Вычислительный алгоритм нахождения статистически регуляризованного каркаса. Подробно построение этого алгоритма изложено в работе [6]. Здесь приведены лишь конечные выражения и сделано сравнение вычислительной эффективности этого алгоритма с другими методами решения системы (4).

Статистически регуляризованный каркас хл вычисляется через М-мерный вектор Хъ при помощи равенства

*.(/)■=*« (у), / = 0, Ых — 1, (5)

справедливого при условии

N>N, + ^ + N«-2, (6)

где Л/* = ег^ [тЛ/Д,], Л^^еШЫД,];

т# — интервал корреляции шума измерения.

Процедура нахождения ха имеет вид

ха = фуа1Р-1у, (7)

где и?-, ИР-1 — матричные операторы обратного и прямого дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с элементами

{^}*,/==ехр{-^-(Л-!)(/-!)};

у ^;ехр{--^ (6-1) (/-!)}, А,у= 1, А;

і -^-мнимая единица;

—диагональная матрица,

хя (/)

{'Ыоч-п. (/+1) = ПТГТЙ|ГЗГТТллГ77уП ’ 7 — ^ ~ 1' ^

[!ХЯ О)!2 + (/)/Аг (у))

Последовательности Хя, X;?, у определяются соотношениями

N-1

Ьн (/) = £ Л (А) ехр Л/}, 1 = 0, N-1; к=0 *■ ^

А{/> = Г(/‘А')А<’ ^*-1; ~(у)= .У (/**). 7 = 0, Ау — 1;

~ 1 О, / = АЛ, А'- 1, ~ I 0, ;=Ау> ТУ— 1,

'/-й(У) = 5„л(/Дч)/Д^ 7 = 0, ЛГ/2; ХЯ(/) = Х* (А^-у),

j = N^‘2 + \, А- 1,

где 5ЛЛ(7) — спектральная плотность шума измерения, Д, = 1/(АгД,).

Если 5ЛЛ (■*)>• О для | V | > /у2 (/^ = 1/дЛ т0 элементы последовательности X# выражаются в виде

‘ 1 1" ___________________________________________________

и) = У 5ЛЛ (/Д, - к Р0), } =0, А/2.

А' П.

. Число /„ находится как наименьшее целое, удовлетворяющее условию 5ЛЛ (V) ^ 0 для | V | > /л /70. Последовательность Хг однозначно определяется элементами матрицы Г и обладает свойствами

Хг(/)>0; у = 0, А-1; ХГ(/) = ХГ(Л^-Д / = А/2 4- 1, ЛГ- 1. (9)

В дальнейшем множество последовательностей Хг, удовлетворяющих (9), будем обозначать через Лдоп.

Подсчитано, что при применении алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) для взятия ДПФ от последовательностей, входящих в (7), требуется (с учетом выбора параметра регуляризации) ЗA(log2 М — 1) + А(8 + 4/) операций умножения и бА^^з А— 1) + N(6 + 21) операций сложения; /—число итераций при выборе параметра регуляризации.

На фиг. 1 приведены зависимости числа вычислительных операций, необходимых для решения (4), от размерности Nx восстанавливаемого каркаса для трех методов: прямые методы линейной алгебры (требующие примерно А£ операций), метод Воеводина [7} и процедура (7). Видно, что применение процедуры (7) целесообразно при и особенно эффективно при Л^^бО, когда чис-

ло вычислительных операций сокращается на 2 — 3 порядка.

Однако для того чтобы воспользоваться вычислительной процедурой (7), необходимо определить последовательность Хг и параметр а, входящие в (8). Вполне естественно желание выбрать Хг и а таким образом, чтобы регуляризирующий оператор Т (а, Г) = = (аГ)-> Н)~1 Я1/?-1 минимизировал среднеквадратическую

ошибку (СКО) восстановления

, е*(а, Т) = М[\\хл-х+ ||*],

где Ц ^11евклидова норма в Л^-мерном пространстве; м Ж[-] —оператор математического ожидания;

л:+— псевдорешение при точно заданной правой части урав-* ненва ;(1). ;

Такой оператор назовем оптимальным. Справедливо следующее утвержденное.

Утверждение 1. Существует семейство оптимальных регул яри-зирующих операторов, определяемых такими а и Хг, что

Ar(A)/a = yV\X+(k)\\ £ = 0, N— 1, (10)

или, если x(t) — случайный процесс со спектральной плотностью

\T(k)/a = Sxx(k^)lAt, й = 0, N/2. (И)

Вектор Х+, входящий в (10), вычисляется как Х+ = W~l х+, где х+ — „расширенный” вектор псевдорешения: x+(j) = x+(j),

/ = 0, Nx—1; л:+(у') = 0, j=Nx, TV—1 . Из-за ограниченного объема статьи доказательство этого и последующих утверждений не приводится.

Так как в данной работе подразумевается, что априорная информация о спектре восстанавливаемого сигнала отсутствует, то а и Хг не могут быть определены из (10), (11). Предлагается следующий путь. Пусть выбрана ХгбЛдоп. Необходимо вычислить значение а0 параметра регуляризации, которое обеспечивало бы минимум СКО восстановления для выбранной Аг, т. е. infe2(a) = е2 (а0).

а

6—Ученые записки iNs 4 81

Такое значение а0 будем называть Г-оптимальным параметром регуляризации, а нахождение этого значения составляет содержание задачи 1.

Выбор Г-оптимального параметра регуляризации*. Обозначим

через е„ вектор у — Нха, ковариационную матрицу которого определим как Уе(а) = М[е«еД. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Для Г-оптимальности значения параметра регуляризации достаточно выполнения тождества

УеЫ = Я(1* + 'Ъ1НГНТ)-11*- (12)

Условие (12) по существу является статистическим критерием Г-оптимальности параметра а. Изменяя а, можно достигнуть значения а0, при котором справедливо (12). Однако для проверки этого тождества необходимо точно вычислить матрицу Уе(а) по одной реализации случайного вектора ел, что представляет собой сложную задачу. Возникшее затруднение можно преодолеть, если для проверки (12) применить статистические методы испытания гипотез

о равенстве ковариационных матриц, широко используемые в многомерном статистическом анализе [8]. За нулевую гипотезу А0 берется предположение Уе (а) = Я (Я 4- а-1 Н Г Я1)-1 R, а в качестве альтернативы Ах: Уе (а) ф (/? + а-1 Я Г Я7)-1 /?. Принятие нулевой гипотезы с помощью выбранного статистического критерия Г, что в дальнейшем будет отражаться записью Ve{cl)F=R(R-\-(l-1HГ^-Г)-1R, гарантирует выполнение тождества (12) с вероятностью 1—а, где а — вероятность ошибки первого рода для критерия Г. Обозначим через лА значение а, при котором принимается гипотеза А0, через {а}д, —совокупность а, для которых гипотеза А0 отвергается, а под множеством {<*}/? будем понимать объединение аА и {®}л,. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3. Если ковариационная матрица вектора невязки при значении а.А удовлетворяет тождеству

^М^/г^ + ^ягя1)-'/?, (13)

то аА является Г-оптимальным параметром регуляризации из совокупности значений (a}f, т. е. inf s2 (а) == £*(ад). Условие (13) позволяет строить легкоалгоритмизируемые процедуры вычисления Г-оптимального параметра регуляризации. Например, в работе [6] построен простой алгоритм выбора а, основанный на проверке гипотезы А0. Не повторяя рассуждений, изложенных в [6], приведем конечную запись процедуры решения нелинейного уравнения Ry10) — N-1, корень которого соответствует величине a = 1/т, гарантирующей принятие гипотезы А0. Процедура имеет рекуррентный вид

Tm+l = Т т +

Ry (Тт)

1

То « 1,

* Этот раздел работы выполнен Ю. Е. Воскобойниковым.

где

Н-1 1 ~/ п И

/Мт) = IV У--------------;----------------------:-----—

уТ0 О) 1т I кн (Л I3 + *■/? (ЛАг (Л1

ы-' I (ЛР \у(Л \2

/?1(Т)==— лгу —-

1 ^ *г (У) [Т I Ая (Л р + хя (У)/Хг (/)]»

;=о

Процесс нахождения <* = 1/-у прекращается при попадании величины в интервал

Ч(в,==[у#,(т)’

,1 — —

У\ 2

где vл?y^~j-----^---квантиль х2-распределения с Л^, степенями сво-

боды, что соответствует принятию гипотезы А0 с ошибкой первого рода, равной а.

Процедура (14) имеет максимальную скорость сходимости к Г-оптимальному параметру регуляризации и обычно число итераций, необходимых для попадания в интервал 8 л- (а), не пре-

вышает 3 — 5, и это число не зависит от у0 и Ыг

Важным требованием к любому алгоритму выбора параметра регуляризации является гарантия сходимости регуляризованного решения ха к псевдорешению х+ при стремлении ошибок измерения к нулю. Можно показать, что процедура (14) гарантирует сходимость ха к х+ в среднеквадратическом и по вероятности, т. е.

Нт(М[ ]| -«а — х+ | 2])1/2 = 0 и ИтРЦ** — *+|>8} =0

при М[ \\у— ^||5] + 0.

Несколько слов об апостериорном уточнении последовательности Хг, основанном на результате утверждения 1. Пусть в качестве первого приближения для Хг принята последовательность Адоп

(например, Х(г1}(/') = |Хя(у')р, / = 0, 1). Определим каркас хЯ* и

второе приближение для Хг зададим соотношением Аг2)(/) = = Л/ | (/')|2. Такое определение Хг следует из (10) и предположе-

ния близости х[1) к х+. В общем виде процедуру уточнения можно записать в виде А^+1)(/)=ЛП^(/)|2. / = 0, N—1, а условие окончания работы этой процедуры можно выразить неравенством || х<ак+1> — || -< 8 || .*(*> || , 8 < 1. Эффективность рассмотренного

уточнения Хг показана ниже.

Статистические модели ошибки восстановления входного сигнала. В качестве характеристик ошибки восстановления рассмотрим Л^-мерный вектор смещения статистически регуляризованного каркаса х* относительно х+

Ьа = М [ха] —х+ = [(аГ-1 + Ят /Г1 #Г1 Ят /Г1 Н—1]х+ (15)

(/—единичная матрица подходящей размерности), характеризующий сглаживание каркаса ПР, вносимое регуляризирующим оператором, и корреляционную матрицу '

СІх = М [(ха — М [л:*]) (х* — М [ха])т] =

= (аг-1 +Ят/?--1ЯГ1Ят/?-1Я(аГ-1 + Ят^--1Я) (16)

размерности ^ Х определяющую степень разброса ха от М[х*]. Заметим, что непосредственное использование (15) и (16) при *х> > 100 затруднительно. Для упрощения вычислений этих характеристик, следуя [6], введем Димерный вектор Ьа и (А^Х ЛО-матрицу Са■ При выполнении условия (6) справедливы равенства

Ь* (/)=£«(/’)> У — 0, ДГж— 1; . (17)

{Са}іг, /) к, / = l,NJC. (18)

Вектор Ьа вычисляется как ДПФ (Ьл=\УВа) от Л^-мерного вектора Во. с проекциями

. ... Д, (/)=—,— акя(Л кг0)-------Х+0), / = 0, ЛЛ— 1. (19)

Любой А/-й элемент матрицы Са определяется в виде [6]

{Ял/=7гЕХс^ехр{^/(/г--^1- <20>

. 1=0 ' '

где

ІМОРМ*)

МО----------— —------. /=о,лг—1.

[1 (0І2 + «х* (0АГ (*)Р

Здесь следует заметить, что при вычислении вектора Ь% и элементов матрицы Са применяется алгоритм БПФ.

Используя Ьа И Сау найдем величину СКО построения регуля-ризованного каркаса ПР. Представление

е2 (а) = М[ II Ха. — Х+ || 2] = М [ [| Ха-М [Ха] || 2] + |] М [Ха] - *+ || *

позволяет вычислить СКО по формуле є2 (а) = bl ba + Nx а2, где а2= = {Са}і,і — интерпретируется как дисперсия регуляризованного решения. Учитывая (17) и (20), имеем

^ х 1 ЛГ-1

s2(a)= 2£(y)+wA02M/). (21)

У—о /-0

Единственным затруднением при использовании (19) является

то, что неизвестен. Поэтому приходится ограничиваться вы' ■ Л '

числением оценки Ьа для вектора смещения, которая определяется по тем же соотношениям (17) и (19), что и Ьа, с той лишь разницей, что вместо вектора Х+ используется Ха. Знание этой оценки по-

о А

зволяет, введя новый каркас ха — Ха—Ьа, в некоторой степени скомпенсировать вносимое регуляризирующим оператором сглажи-

о о в

вание, так как смещение каркаса ха определяется ba = М [л:*] — _, л '

— х =Ьа---- Ьа (см. ниже).

Заметим, что для ситуаций, когда решение уравнения (1) является не окончательным, а только промежуточным этапом обра-

ботки результатов эксперимента, знание СКО восстановления бывает недостаточным для определения точности оценивания параметров, вычисляемых по регуляризованному каркасу. В таких случаях каркас ха целесообразно представить в виде ха==х+ + + где еа есть А/^-мерный случайный вектор, в дальнейшем называемый шумом восстановления. С учетом характеристик Ьа и Са ошибки нахождения каркаса ПР можно построить следующие представления для ха.

■—, —, А о —

Ха = X Ьа~\~%а‘, Ха ~ X -j- Ьа + 5»; Ха ~ Х+ £а,

что соответствует трем моделям шума восстановления:

£] = Ьа + ?«; e<2)^6a + U 43)~1а. (22)

Вектор подчиняется нормальному распределению с нулевым

математическим ожиданием й корреляционной матрицей Са.

При вычислении ошибок оценивания интегральных параметров, определяемых по Ха, удобно рассматривать элемент как вектор, составленный из значений реализации случайного процесса £а(0 со спектральной плотностью Sse (y’Av) = >-с (/)дл У = О, N/2 и корреляционной функцией /6;е(/Д*)= {Са}1ш/, j = 1, Nx.

Таким образом, построенные в работе модели шума восстановления дают возможность экспериментатору при интерпретации каркаса ха или параметров, вычисленных по ха, широко использовать аппарат математической статистики (построение доверительных интервалов и областей, испытание различных статистических гипотез и т. д.).

Результаты численных экспериментов. Изложенные в данной работе процедура нахождения статистически регуляризованного каркаса входного сигнала и алгоритм выбора параметра регуляризации были реализованы в ряде программ, нашедших широкое применение при обработке экспериментальных данных и подробно ж> следованных на решении большого числа модельных задач. Численные эксперименты показали, что при самых различных аппаратных функциях h{t) и входных сигналах x(t) параметр а успешно находился алгоритмом (14), а регуляризованные каркасы с точностью до ошибок, предсказываемых второй и третьей моделями шума восстановления, совпадали с входными сигналами измерительной системы.

Здесь покажем только целесообразность учета оценки вектора

л

смещения Ьа и эффективность апостериорного уточнения последовательности Хг на примере решения одной модельной задачи. Пилообразный входной сигнал (фиг. 2) измерялся системой (1) с аппаратной функцией [1] й(0 = ехр(—^т) sin (|к)//гер, где р = <о0 У 1 — D2; <u0==2ir/0, ~[-=Dw0; т= 1,0; D = 0,4; /0 = 50 Гц; A,= 0,0015 с. Шум измерения имел корреляционную функцию K„„(i) = aln ехр(—2000|х|). Погрешности измерения и восстановления характеризовались величинами

\ (га) = шах | га (У)|/шах |у (у')|; §2 (га) = || га || / || у || ;

1 i

(х„) = max | *„(/) — х+(у) |/max | х+(/) |; '

Ъ2(Ха)=\\Ха-Х+\\/\\Х+ |! .

м

x(t)

м/а

65% -ь/е доверительные

интервалы \

Ю

¥

¥

0,2

О О S 10 1S 20 2S 30 35-0,015'с тельности Аг (каркасы д:12) и

fo=50 Гц-,Л =0,4; At= 0,0015С

* каркас 4Г при df (л) = 0,012

• каркас при $, (п) = 0,12

°<2'> ч

о каркас х при о,(п) =0,12

—входной сигнал измерительного преобразователя -----выходной сигнал

Фиг. 2

X?)

В таблице приведены усредненные значения этих характеристик для каркасов

х{*\ Х?\ х(1\ Х(а \ Усреднение происходило по выборке, образованной из значений рассматриваемых характеристик, вычисленных по десяти различным реализациям шума измерения, но с одной и той же корреляционной функцией. Анализ таблицы показывает, что учет оценки вектора смещения (каркас

л:£1}) и уточнение последова-позволяют существенно (на

15 — 30%) повысить точность восстановления (см. также фиг. 2).

На этой же модельной задаче было проведено сравнение (по точности построения регуляризованных каркасов) процедуры (7) с выбором а согласно предложенному алгоритму (14) с программой МЫКР, реализующей регуляризирующий алгоритм А. Н. Тихонова нулевого порядка. Усредненные величины ЗДл;,^), 83(лгаг) для каркаса хат, построенного программой МЫКР, приведены в таблице. Видно, что ошибки построения каркаса хат в 1,4—1,9 раза

Погрешности измерений Без уточнения хг С уточнением хг

каркас х[^ каркас х ^ каркас х каркас х^ ivapitdv' ^ат

ь, &2 h S2 «і 52 Si 52

(л) = 0,004 62 (л) = 0,003 0,038 0,016 0,031 0,015 0,031 0,016 0,029 0,015 0,048 0.020

Мл) = 0,012 В2 (и) = 0,010 0,068 0.038 0,061 0,036 0,057 0,036 0,042 ,0,028 0,098 0,058

Bj (л) =0,120 В2(л) = 0,103 0,124 0,086 0,111 0,074 0,120 0,074 0,101 0,071 0,221 0,162

превосходят ошибки построения каркаса По-видимому, это объясняется низким порядком регуляризирующего алгоритма и тем, что при выборе а в программе МЫКР не учитывается статистика шума измерения.

Приведенная вычислительная процедура позволяет построить статистически регуляризованный каркас ПР для любой корреляционной матрицы шума. Это является весьма важным фактом, так как распространенная в работах по регуляризации некорректно поставленных задач модель „белого" шума измерения бывает далека от физической реальности.

Полученный в работе критерий оптимальности, сформулированный в терминах ковариационной матрицы вектора невязки, позволяет вычислять Г-оптимальное значение параметра регуляризации без привлечения априорной информации о спектре (временном или частотном) восстанавливаемого сигнала.

Построенные модели шума восстановления дают возможность оценить не только ошибку построения регуляризованного решения, но и точность вычисления интегральных характеристик входного сигнала, определяемых по регуляризованному каркасу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колп А. Я. Исключение систематических погрешностей из показаний датчиков перегрузок, угловых скоростей и давлений на основе метода регуляризации. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 5, № 5, 1974.

2. Т и х о н о в А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Доклады АН СССР, т. 151, № 3, 1963.

3. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск, .Наука", 1973.

4. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М., .Наука*, 1971.

5. Т у р ч и н В. Ф., Н о з и к В. 3. Статистическая регуляризация решения некорректных задач. Изв. АН СССР, сер. .Физика атмосферы и океана*, 1969, т. 5, № 1.

6. Воскобой ни ков Ю. Е., Томсонс Я. Я. Восстановление реализаций входных сигналов измерительных систем. Сб. .Электро-диффузионная диагностика турбулентных потоков*, Новосибирск, АН СССР. 1973.

7. Воеводин В. В. О методе регуляризации. .Журнал вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 9, № 3, 1969.

8. Андерсон Т. Введение-в многомерный статистический анализ. М., „Физматгиз", 1963.

Рукопись поступила 51V 1975 г.