CC BY
38
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XI 1980
№ 1
УДК 532.527
МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЯМОУГОЛЬНОГО КРЫЛА, ОБТЕКАЕМОГО ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ
В. Ф. Молчанов
В работе [1] найден главный нелинейный член разложения по углу атаки коэффициента подъемной силы прямоугольного крыла, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. В настоящей статье этот результат обобщен на случай малых дозвуковых скоростей обтекания. Приведен результат численного расчета.
Рассмотрим обтекание плоского крыла идеальной жидкостью. Прямоугольную систему координат (л-, у, свяжем с крылом так, чтобы ось у шла по нормали к плоскости крыла, ось ^ — вниз по потоку, а ось х — вдоль размаха крыла.
Математическую задачу но отысканию потенциала течения Ф поставим, используя условие не протекания на крыле и условия непрерывности давления н непротекання на поверхности тангенциального разрыва, который может возникнуть в случае отрывного обтекания крыла. Будем требовать выполнения постулата Жуковского на задней и боковых кромках крыла, для чего достаточно, чтобы к ним примыкала упомянутая выше поверхность тангенциального разрыва. В работах [2, 3] задача решалась методом плоских сечений.
Если течение около крыла условно разложить на линейную и нелинейную части, то становится очевидной нерациональность метода плоских сечений, ибо при этом не только нелинейная часть, но и линейная рассчитываются но приближенным формулам. А. А. Никольским предложен метод, в рамках которого происходит разделение задачи на линейную и нелинейную части, и первая может быть рассчитана по точной теории. В основе этого метода лежит сращивание асимптотических разложений, описанное, например, в работе [4], идея которого восходит к Прандтлю — к его теории пограничного слоя.
Метод состоит из следующих элементов.
Сначала проводится расчет по линейной теории и вычисляются главные члены в разложении течения около кромок. Затем решается плоская задача отрывного обтекания полупластины, в которой внешнее течение задается упомянутыми главными членами разложения.
Роль времени играет координата /. На следующем этапе во внешней области ищется решение, непрерывно переходящее во внутреннее. Конкретно процесс расчета состоит в следующем. Решив задачу в рамках линейной теории, найдем асимптотику течения около кромки
где а —угол атаки, W — точка в комплексной плоскости / = const, W=x-\-iy, (/ — комплексная скорость.
Для определенности будем считать, что правая кромка крыла лежит в начале координат. Задача по отысканию отрывного течения около полупластины сводится к решению следующей системы уравнений:
здесь параметр р определяет конкретную вихревую нить, которая сошла с боковой кромки. Величина р равна значению I в той точке, где данная вихревая нить сходит с кромки 0^p^t. W(/?, t) — вихревая поверхность, составленная из вихревых нитей W = х + iy. Верхняя звездочка обозначает действие операции комплексного сопряжения, нижняя — зависимость данной переменной от переменной интегрирования. Г(/?) — скачок потенциала при переходе через вихревую поверхность в точках р = const. Термин „вихревая поверхность14 отождествляется с термином „поверхность тангенциального разрыва “.
Решение (2) — (4) ищем в виде:
Решив (8), (9), получим /,=а1гз, /> = аЧ Система для ги Г, совпадает с системой (2) — (4) при а=1. Ее можно решить численно [2, 3]. По известным Г и £ можно найти комплексный потенциал возмущенного течения С(и/, /, а) как функцию комплексной координаты XV, координаты t и угла атаки я.
U г=-
А {t) я 1 W,
(1)
я А (t) 2 iz + (v> 2z = dz* д/; j.A (t) і 4- (v) =0 при p—t\
(2)
(3)
і
(4)
(5)
z=/,(a)Zi(^ P)> fі (1) = 1; Г-Л(а)Г,(/>). /2(1)=1.
Относительно /,, f., получаем следующую систему:
a//i + (a — !)/*//? = /і а-
(8)
(9)
із
Получаем
С = — Г 1п •■г~~а',3г1* &ч*^*(1р, (10)
2тл г + а'»^ йр
о
где 2 = У №.
Выделим главный член £0 разложения комплексного потенциала С но а.
Получаем
/
Г 2Кег.,^с1р. (11)
УIV 2, }
о
Пусть ср (х,у, I) — трехмерный потенциал, удовлетворяющий условию непротекания на крыле и заданной величине скорости на бесконечности и на кромках, имеющий такую же особенность, как КеС0 в точке И7 = 0. Тогда функция
Ие(С —Со) + ? (12)
является равномерно точным приближением для потенциала Ф всего течения. Функция Ие— С0) в окрестности кромки приближенно удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа в силу того, что ее производные в поперечном направлении много больше производных в продольном направлении, а в конечной области функция Г^е (С — С0) мала. Она убывает как \!№3* и, следовательно, по-прежнему может считаться приближенно удовлетворяющей уравнению трехмерного течения. Предлагаем прием, с помощью которого можно построить требуемый потенциал <?, удовлетворяющий обычным условиям при заданном а и дополнительному, при котором на кромках потенциал имеет особенность следующего вида:
Г(Ц=4- [2Яег,^-<1р. (13)
о
Предварительно получим потенциал <р0, удовлетворяющий обычным условиям ограниченности на кромках, непротекапию и т. д. при а = 1. В этом случае на кромках, согласно (1), получим
¥0~Ке(-гл (ОКШИ. (14)
Повторим расчет для крыла со слегка измененным полуразмахом. Пусть 9, — потенциал обтекания крыла, полуразмах которого задается функцией
/1 — /о + 2 в/(*)М(0, (15)
где /0 — полуразмах первого крыла, а /, — полуразмах второго крыла.
Тогда на кромках получим
\-iAd, (16)
Производная дуидг при г = 0 дает потенциал, удовлетворяющий условиям непротекания на первом крыле, нулевой скорости на бесконечности и имеющий на кромке особенность вида
-^=-/(0. (17)
дг У47 4
Из этого следует, что
? = а <Ро + а'3 4~ ?1* О8)
аг
Производную по г можно заменить отношением разностей Таким образом,
—(19)
аз £
Ф * аср„ + а‘:-±о, + Яе (С—С,). (20)
(78
В функциях, определяющих подъемную силу У и момент М, можно также выделить главные нелинейные члены разложения по углу атаки а. Мы покажем, что эти члены зависят только от ду^дг. Нам потребуются некоторые результаты теории крыльев малого удлинения, в рамках которой потенциал всюду удовлетворяет
двумерному уравнению Лапласа. Для таких крыльев верна формула
А. А. Никольского, определяющая нелинейную часть подъемной силы сечения / = сопзЪ
I
у1 = 2р/г>0 4 \ 4 йр. (21)
(И (1р о
Здесь 'Ь — функция тока безотрывного обтекания сечения потоком ъ0, р — плотность. Поскольку
ф = _ Ие ъ0 ( + 2 и//)■/., (22)
где / — полуразмах, а начало координат помещено на кромку крыла, то
I
Г, = - 2о — Гие {\р1+2 \VI) *^йр. (23)
сИ р
о
Найдем выражение для сил К2(/?), действующих на участок сечения (—Я, 0). Для этого достаточно из половины величины У, вычесть силу, действующую на участок сечения (—/, —/?), которую можно вычислить, используя интеграл Коши — Лагранжа. Мы опу. скаем промежуточные выкладки и приводим лишь выражения для
нелинейной части комплексного потенциала С', необходимого при
использовании интеграла Коши — Лагранжа. Окончательный результат:
С' = — [\пг—± — (1р, -г = (1Г2 + 21VI)'*; (24)
2-г 1 г — г (/п о *
/
У., (/?)= А- Г 1^е уЖ — с1р + о (Г>3- Уп), (25)
т: д( ,) " йр
О
где л = тах|И/, о (Г}/ А>) — остаточный член.
Формула (25) может быть применена и в случае крыла конечного удлинения для оценки влияния тех слагаемых потенциала (20), которые удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа. Определим /? так, чтобы главная нелинейная часть сил, действующих на участок сечения {—К., 0), определялась только слагаемым ИеС. Для этого необходимо, чтобы
К -> 0 при а -» 0. (26)
1І0, ЧТООЬ!
положим
Получаем
при этом можно было пользоваться формулой (25),
- 0. (27)
г!Я -> 0 при
У2 {К)= а5/з
4Р УК д
— Re д( .1 п
XV
і *
сір -{- оа
УИ — и
(28)
силы остального дг. Здесь можно
(29)
В силу (27) главная нелинейная часть подъемной участка сечения У2(х) определяется слагаемым пользоваться локальной формулой Жуковского
У, (х) = 2р — Г — (іх при у = 0.
’ 1 Ы <?е
Если же применить формулу (29) к участку (—/?, 0), то мы получим выражение, совпадающее с (28), ибо в силу (26) слагаемое можно заменить слагаемым КеС0. Это означает, что слагаемое Не (С — С0) приводит лишь к перераспределению давления, суммарная же сила зависит только от а'^д^/дг, что и доказывает высказанное выше утверждение, ибо подъемная сила всего крыла и его
момент определяются подъемными силами сечений.
Поэтому подъемная сила крыла и момент имеют следующие разложения:
У = аа0 4- а5'3 я,; (30)
М — а.Ь0 -{- а3/® Ьг. (31)
Мы не касались вопроса о форме вихревой поверхности в задней части потока за крылом. Можно показать, что, если нас интересуют величины, порядок которых меньше а3, то соответствующая
часть вихревой поверхности может считаться цилиндрической.
При расчете главных нелинейных членов необходимо учитывать цилиндрические участки вихревой поверхности, образованные пришедшими сюда боковыми вихрями. Этот учет происходит автоматически при использовании предложенного выше приема вариации потенциала по размаху для определения <р.
у/1сс ;
т
/
• *
-0,5
0 %х/1 а2^
/ — //л=
0,5; 2-і/Н = 1 Рис. 1
асимптотических разложений Рис. 2
Можно найти и старшие члены разложения. Например, для У можно получить
У — 7. д0 + «'■■> а, 4- яо.. + а:) 1п ааа + аа -|- • • • (32)
Однако практическое вычисление коэффициентов а,, и т. д. затруднено в силу несовершенства существующих методов решения задачи линейной теории крыла (большая погрешность для окрестностей кромок). Надежные результаты получаются лишь при вычислении главных нелинейных членов. На рис. 1 п2 дан пример расчета прямоугольного крыла с удлинением ). = 1. Здесь система (2)— (5) решалась методами [2, 3] с использованием принципа регуляризации. Задачи линейной теории крыла при отыскании <р0 и решались методом С. М. Белоцерковского |5| с некоторыми изменениями, позволяющими более точно рассчитывать течение около кромок и применять прием вариации размаха при определении <р. На половине крыла бралось 120 расчетных точек. На рис. 1 приведены формы поверхности тангенциального разрыва в среднем и кормовом сечениях. На рис. 2 дано сравнение результатов расчета с экспериментом С. М. Белоцерковского [6] и расчетами но линей-рой теории и методу плоских сечений. При сравнении с расчетом, приведенным С. М. Белоцерковским, обнаружено расхождение, не превосходящее 2°„. Возможно, это свидетельствует о малости коэффициентов при старших членах разложения. Для сп и т получено:
с„= 1,46а + 2,31а > т — 0,244а -I- 1,01 аЧ (33)
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский А. А. Нелинейный закон подобия для отрывного обтекания идеальным газом прямоугольного крыла со сверхзвуковой скоростью. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 3, № 6, 1972.
2. Молчанов В. Ф. Некоторые вопросы расчета течений с тангенциальными разрывами. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 6, № 4, 1975.
3. Судаков Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ-, т. 5,
2, 1974.
4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Перевод с англ. яз. пол ред. А. А. Никольского. М., „Мир", 1967.
5. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозауковом потоке газа. М., .Наука", 1965.
6. П е л о и е р к о в с к и й С. М. Расчет обтекания крыльев про изволыюй формы в плане в широком диапазоне углов атаки. „Изв. АН СССР, ,\ШГ\ 1968, № 4.
Рукопись поступила 12\Х 1978 г.
2 — «Учонмс записки» .V» I
