CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XII
19 8 1
№ 3
УДК: 532.517.4
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОЛЕНОИДАЛЬНОГО ПОЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЧЕНИЯХ СЖИМАЕМОГО ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Е. П. Столяров
Рассмотрена эволюция пространственных корреляционных функций и спектрального тензора соленоидальных пульсаций скорости и завихренности при наличии возмущений энтропии в потенциальных двумерных (плоских и осесимметричных) течениях сжимаемого идеального газа в рамках теории „быстрой деформации". Получены аналитические выражения для передаточных функций, одноточечных моментов второго порядка и спектрального тензора энергии пульсаций при условии изотропности возмущенного поля в набегающем потоке. Основное внимание обращено на эффекты, обусловленные кривизной линий тока основного течения и возмущениями энтропии.
1. Проблема турбулентного движения в пространственно-неоднородных течениях давно привлекает внимание гидродинамиков и является предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований [1—5]. Чрезвычайная сложность данной проблемы и важность ее для технических приложений потребовала разработки различных упрощенных, в том числе асимптотических, способов ее описания.
Одним из направлений изучения турбулентных течений является подход на основе рассмотрения полной системы уравнений пульсационного движения [6]. В общем случае уравнения возмущенного и осредненного движения не разделяются, и их необходимо решать совместно. Тем не менее в реальных пространственных течениях при больших числах Рейнольдса могут существовать обширные области, в которых движение в среднем можно считать потенциальным и изоэнтропическим, а возмущения — малыми. Тогда для крупномасштабных возмущений, удовлетворяющих соотношениям
(1.1)
где I и V <<у'2) —характерные длина волны и амплитуда возмущений, и—характерное изменение скорости среднего течения на масштабе его неоднородности I, вязкими и нелинейными слагаемыми в уравнениях пульсационного движения в первом приближении можно пренебречь, а полную задачу свести к последовательному интегрированию цепочки более простых уравнений, в которой решение каждого последующего уравнения зависит от решений предыдущих, но само на них не отражается. Общие и частные аналитические решения уравнений для поля завихренности при наличии возмущений энтропии в двумерных течениях сжимаемого идеального газа получены в работах [7, 8] и использованы затем [9] для нахождения вихревого поля скорости и сведения общей задачи о возмущениях к нахождению решений неоднородного волнового уравнения для потенциала возмущений. Аналогичные результаты для трехмерных потенциальных течений в общем виде получены в работе [10].
Необходимо отметить, что первые оценки пульсаций скорости на основе невязких уравнений были проведены еще Прандтлем [11] и Тейлором [12]. В дальнейшем линейная теория, основанная на ограничениях (1.1) или эквивалентных им, получила название теории „быстрой деформации“ и была использована при рассмотрении целого ряда задач, представляющих интерес для практики [12—19]. При этом в качестве упрощающих использовались дополнительные предположения о несжимаемости [14, 19] или одномерности (иначе — однородности ■ деформации) основного течения [13—18]. Влияние возмущений энтропии на пульсационные характеристики течения не рассматривалось или учитывалось на основе полуэмпирических теорий [17]. Между тем это влияние, в частности на возбуждаемое звуковое поле, может быть значительным (см., например, [15, 20]).
В данной работе упомянутая выше своеобразная иерархия возмущений использована для построения корреляционных и спектральных характеристик соленоидального поля возмущений (скорости и завихренности) при наличии возмущений энтропии в двумерных потенциальных течениях сжимаемого идеального газа. Пульсации потенциального поля скорости дают лишь аддитивный вклад в корреляционный и спектральный тензоры и могут быть найдены независимо из решения соответствующей краевой задачи для потенциала. Результаты следует рассматривать как асимптотические при Ре£-> оо, е -> 0.
2. Рассмотрим, например, слабовозмущенное нестационарное течение сжимаемого газа в плоском или осесимметричном канале с переменной площадью поперечного сечения (рис; 1). Допустим, что вдали от области неоднородности (в набегающем потоке) каждую гидродинамическую функцию течения можно представить в виде суммы постоянного среднего значения и малого пульсационного. В предположении, что статистические характеристики возмущений энтропии и соленоидального поля скорости в набегающем потоке известны, а их характерные масштабы удовлетворяют условиям (1.1), требуется найти статистические характеристики соленоидального поля возмущений в области неоднородности течения и вниз по потоку от нее. Отметим, что для других пространственных течений (таких, как дозвуковое обтекание тел, помещенных в безграничный слабо возмущенный поток или канал
с жесткими или упругими стенками, течения во входных устройствах и т. п.) постановка задач аналогична.
Предположение о постоянстве средних значений гидродинамических функций в набегающем потоке одновременно означает, что поля возмущений здесь являются статистически стационарными и однородными. Из теории однородных полей [1, 3] известно, что соленоидальное векторное поле не коррелирует как со скалярными^ полями, так и с потенциальным векторным полем. Как показано в работах [9, 10], общая задача о распространении малых возмущений в потенциальных и изоэнтропических течениях сжимаемого газа; в рамках ограничений (1.1) сводится к нахождению решений неоднородного волнового уравнения относительно потенциала возмущений. В правую часть уравнения и в граничные условия на стенках входит выражение для вихревого поля скорости, которое однозначно определяется возмущениями энтропии и со-леноидальными возмущениями скорости в набегающем потоке и может быть найдено независимо в аналитическом виде (см. также [7, 8]). Возмущения потенциального поля не порождают возмущений энтропии и соленоидального поля скорости. Следовательно, и в областях неоднородности течения, в которых выполняются условия (1.1), потенциальное поле дает лишь аддитивный вклад в спектральный и корреляционный тензоры пульсаций скорости, а соответствующие слагаемые тензоров могут рассматриваться независимо.
Целесообразность раздельного рассмотрения соленоидальных и потенциальных компонентов спектрального и корреляционного тензоров пульсаций определяется тем, что в реальных течениях, всегда существуют области, в которых нарушаются предположения теории „быстрой деформации": это области пограничного слоя и слоев смешения, окрестности критических точек, а для течений с переходом через скорость звука — окрестности звуковых линий. Появление особенностей в решениях линеаризованных уравнений свидетельствует о необходимости построения 'дополнительных внутренних разложений в упомянутых областях сильного взаимодействия [21]. При этом существенно, что внутреннее разложение может повлиять на решение для потенциального поля возмущений в значительной (если не во всей) области течения, в то время как соленоидальное поле возмущений изменится лишь в областях сильного взаимодействия и на линиях тока, выходящих из них (если, конечно, малые возмущения не приведут к глобальной перестройке основного течения). Например, в задаче об обтекании затупленных тел решение для вихревого поля возму-
щений имеет сингулярную особенность в критической точке [9, 19], что не позволяет продолжить решение за нее. Учет вязкости в уравнениях возмущений [22] не приводит к устранению этой особенности. Поэтому раздельное рассмотрение уравнения осред-ненного и пульсационного движения в окрестности критической точки, по-видимому, некорректно, а решения для потенциального поля возмущений, получаемые при формальном переносе граничных условий с внешней границы области сильного взаимодействия на стенку, вряд ли могут считаться удовлетворительными.
Таким образом, построение соленоидальных компонентов спектрального и корреляционного тензоров пульсаций, не зависящих от конкретных граничных условий на стенках, представляется оправданным.
Введем в рассмотрение многомерное поле случайных возмущений:
w С*) = {vс (дг), W (х), s (*)} = [Wj (*)}, / = 1,2,..., 7,
где 5 — энтропия, а) — завихренность, vc — соленоидальная составляющая поля скорости, удовлетворяющего соотношениям:
у®с = 0, vXvc = “>,
а х—{хи х2, дг3} — вектор пространственного положения точки в криволинейной ортогональной системе координат, связанной с линиями тока основного течения. Здесь xt отсчитывается вдоль линии тока, х2 — по главной нормали к ней и х3 — по бинормали. Будем предполагать, что все встречающиеся размерные величины приведены к безразмерному виду, причем скорости отнесены к максимальной скорости набегающего потока 1/Шах, линейные размеры— к характерному масштабу области неоднородности L, время—-к /./1/шах, а энтропия — к величине теплоемкости ср. В дальнейшем будут использоваться тензорные обозначения, по повторяющимся индексам будет подразумеваться суммирование.
В силу однородности поля w в набегающем потоке (в области однородности основного течения) оно допускает в этой области спектральное представление [1, 3]
оо
w°(x)— j ехр(— ik-x)dZj{k), (2.1)
—со ■
причем комплексные амплитуды dZj(k) обладают известными свойствами:
(dZj{k))= 0, dZj(-k) = d2S(k),
(dZ*p (к) dZq (£')> =&(& — k') F°pq [k) dk dk'.
Здесь 8(k) — многомерная дельта-функция, dk — dk^dk^dk^ — элемент объема в пространстве волновых векторов, индекс означает комплексно-сопряженную величину. Тензор взаимных спектральных плотностей Fpq(k) и корреляционная матрица B°pq(r) связаны парой взаимно-обратных преобразований Фурье:
ОО
В?рч = (w°p (х) w°q (х + г)) = j exp (—ik r) Fpq (k) dk, (2.3)
—00
1 °°
= J exp(t£-r) B°pq (r)dr. (2.4)
(2.2)
Линейность задачи в рамках теории „быстрой деформации" позволяет интерпретировать выражения (2.1) для компонентов случайного поля на как совокупность плоских гармонических волн, каждая из которых сохраняет свою индивидуальность в процессе распространения. Для установления связи между фазами и амплитудами волн в набегающем потоке и в произвольной точке области неоднородности течения используем аналитические решения, полученные в работах [8, 9]. В принятых обозначениях любая элементарная плоская волна возмущений (энтропии, завихренности или соленоидального поля скорости) dZq(k)exp [г'(^ — А?-*)] переходит в совокупность диспергирующих волн вида
dZp(x, Щехр \iYit — 0(дг, к)]}, (2.5)
где / .
V = а0*1 = -г - *2 = -Г-(**-Т*1), ^3 = 4^- (2.6)
£1 12 гЗ
Масштабные коэффициенты /у- и параметр 7, связанный с кривизной линий тока, являются функциями параметров основного поля течения:
т=2/тгЛ; <2'7>
&о
здесь а = | К|/1/шах — безразмерная локальная скорость основного
течения; т = (1—а2)*-1 — безразмерная плотность газа; % = ср1ср — показатель адиабаты; г — радиальная координата линии тока; п — 0—в плоском и я = 1 — в осесимметричном течениях; 0 — угол отклонения вектора скорости основного течения от некоторого фиксированного направления; индексом „0“ отмечены параметры течения в набегающем потоке. Интегрирование в (2.7) выполняется вдоль линий тока основного течения. Комплексные амплитуды возмущений dZp{x, Л) в произвольной точке течения связаны с комплексными амплитудами в набегающем потоке соотношениями:
йгр (х, к) = фрд (X, к) dZ0q (к). (2.8)
Здесь Фр? — тензор передаточных функций, компоненты которого определяются следующими аналитическими выражениями:
<т> — 1 к' | (к2 — 7^) . ф _ М*2 — 7*1) . 1
Ф17 =
«О
ї\- 1 '
Ф27 г- '
37 ■
2 - Л кі\к*
«0 7 1 —г 7 (^2 — 7*і)21
2 ^2 1\кК* 4/с2
(і\- 1)*і*з , г 7 *з(*2 — 7^г)
Ф
1
к к 1
ФЗ° /і І-,
ЩкК*
ф == -Л_ . ■ ф — ; _?2. **з 45 /* к ’ 47 ~ 2 /2 /3
ф і_-
57 ^ 2 /і /3
Ф«
1
ф„
а0 (^ї 1)^2 7^1
її І2
^77 — 1»
К2 — -4- + -яг (&2 — 7^і)2 +
(2.9)
В матричной форме тензор Ф имеет вид:
Фц Ф12 Фіз 0 0 0 ,Ф17
Ф21 Ф22 ®23 0 0 0 Ф27
Ф31 Ф32 Фзз 0 о 0 Ф37
0 0 0 Ф44 Ф45 0 Ф47
0 0 0 0 Ф55 0 Ф57
0 0 0 0 0 Фбб Ф67
0 0 0 0 0 0 1
(2.10)
Перемножая соответствующие компоненты и)] в произвольных точках поля течения и производя осреднение с учетом (2.2), (2.3), (2.5) и (2.6), получим выражения для двухточечных моментов второго порядка:
Вр9 (х, г) = <ву* (х) (х + г)) =
и и и
с ехр {г[0(дг,Л) — в (* + /•, Л)]}^М(Л, к)йк, (2.11)
где
Ррд (х, Л) = 1, 4I, Фрг (х, к) Фд8 (х, к) Ртз {к)
(2.12)
есть трехмерная спектральная плотность.
В частности, средние квадраты и одноточечные взаимные корреляции пульсаций, а также соответствующие одномерные спектры энергии и взаимные спектры записываются в наиболее простом виде:
1
Врд (х, 0) = | Грд (х, к) сік,
—СО
со со
(X, = 7-|7- | ^ Рр(1 (X,к)
(2.13)
(2.14)
Разность фазовых функций в (2.11) однозначно определяется координатами точек и волновым вектором в набегающем потоке. Действительно, возмущения, достигшие точек А' и В' с координатами х и х + г (рис. 2) в момент времени находились в некоторый более ранний момент времени ^ — т° в точках А и В с координатами л:0 и х° г° в области однородности течения соответственно. В силу стационарности основного поля течения существует единственный вектор г° = г°(х,г) такой, что
0 (х, к) — 0 (л- + г, Щ = — Л-г0. (2.15)
в'(х+ г)
Этот вектор определяется из условия равенства времени распространения возмущений от точек А и В до точек А' и В' вдоль соответствующих линий тока основного течения, причем выбор вектора в значительной мере произволен: достаточно лишь потребовать, чтобы точки А и В лежали в области однородности основного поля течения. Отметим, что соотношения (2.5)--(2.15) при отсутствии возмущений энтропии (5 = 0) на прямолинейных линиях тока (7 = 0) переходят в соответствующие соотношения одномерной теории, полученные в [13] для сжимаемой и в [14] для несжимаемой (гп!т0= 1) жидкости.
Таким образом, в рамках теории „быстрой деформации" корреляционный (2.11) и спектральный (2.12) тензоры соленоидальных пульсаций однозначно определяются параметрами осредненного течения (2.7) и спектральными характеристиками возмущений в набегающем потоке, в том числе с учетом кривизны линий тока и при наличии возмущений энтропии.
3. Наиболее важными статистическими характеристиками случайного поля являются спектральный тензор энергии (2.12) и одноточечные моменты второго порядка (2.13), характеризующие распределение энергии по волновым числам, суммарную энергию и одноточечные корреляции пульсаций. Часто используемыми характеристиками являются также одномерные спектры (2.14), определяющие взаимные корреляции различных компонентов пульсаций при фиксированных значениях компонента волнового вектора ки а также распределение энергии пульсаций по 6, (при /> = #). Компоненты спектрального тензора Рт нетрудно выписать в явном виде, однако та его часть, которая связана с соленоидаль-ными пульсациями скорости, весьма громоздка. Если предположить, что поля пульсаций в набегающем потоке изотропны, то большая часть слагаемых при интегрированиях пропадает. Приведем для этого случая лишь те слагаемые и компоненты тензора Ррд,
которые дают вклад в энергию соленоидальных пульсаций скорости и завихренности:
Гп = [А* (А? + Аз) + 2 в3 к\ к\ + 4 к\ (А? + Аз) +
Ї2 к\ (к\ + к\)\ + -ЦЯ {[(/? - 1) {к\ + е3 Аз2) + т21\ А?|2 +
+ т2 (2/? — 1 )к\к\}-/?22 = [в? к\ (А? + к\) + 2е, еа А? к\ + 4 к\ (к\ + к\) +
+ Т2 4 к\ (к\ + й)\ + (£1 й к\+гък\?+Ч (її-1 )2 А? ЛгЦ;
* /2 я4
^33 = —,?д— 1*2 $ + Аз) +2 (ех + з Т2) А? А2 + + (Єї + Т2)2 (Аі + Аз) а? + т2 Аз (А? + А|)] +
+ — {[£і(^і — 1) — Т2]8 *з + Т2 Аг Аз};
12
■ [Є| Аі (Аі + Аг) — ®з Аз (Аі + А3) -{-
+ єз (&і — ^2)] + Т'
4 /! /2 А*
+ Т2 Я А?] (£і Я Аї + £з Аз) + ех (/? - 1) (2/? - 1) Аі А!};
/гі°(/г) П І „2\ І “0 °1 (к) „2 А2.
і кз,
№ *з)2
Р , ао 0Лк) Є _1)к2
55 II. ІЛ» І 4 /Л /-12 V і ^я3»
(Л- У2
4 (/і У2
66 •
к1 О (к) , «0 Оі (Й) г„ ,2 ,.2 , / /2 , Ч 1.2
^*46 '—
54
Здесь дополнительно введены следующие обозначения: А4 — [(е1 + 72) Аі + Аг + £3 Аз — 2т А! Аг]",
А* = А? + А^ + А|; е1 =
(3.2)
Функции б (А) и С?! (А) — трехмерные спектры изотропных векторного и скалярного полей соответственно (см. [1,3]). При вычислении компонентов тензора использовалось общее выражение спектрального тензора Р°рч соленоидального изотропного поля скорости:
' ^, = 0(А)[8иА*-АрАв].
К сожалению, представить в удобной обозримой форме тензор (^Сі^с;) в общем случае не удается, хотя его компоненты могут
быть записаны в виде однократных интегралов. Для тензоров {(огсо;.) и (“V — вихревое поле возмущений, компоненты кото-
рого входят в правую часть волнового уравнения и граничные условия для потенциала [9, 10]) получаются простые аналитические зависимости, в том числе для однородного (не обязательно изотропного) поля возмущений в набегающем потоке:
-2 т \
~ I2 2 /2 г3
1
/2 ‘1 I2 ‘3
1
<>01)
<(В1 ш2)
12 I2 /3
(^2> + 4(/?-1)2(М3> г>
(<«02> — -Л (/?— 1)<(У^о)2>
(г>Ъ = ± 1\
1
(3.3)
2
а0
<^2> = ( <®&>. + 72 <г&> + -г т2 <*о)
<®1 «2> = —
<«8> = _4'(‘г/оз);
/о
<^01)---------Т" (^1 — 1) (®о)
(3.4)
)
Из выражений (3.1), (3.3), (3.4) видна особая роль интегрального параметра 7: он определяет взаимные корреляции (ш1ш2), (ъ1ъ2) и (%>а‘ис2) > причем последняя величина непосредственно связана с одной из важнейших характеристик турбулентного движения— напряжением турбулентного трения Рейнольдса. Пренебрежение кривизной линий тока не позволяет н^йти этот момент, а также приводит к утрате целого ряда слагаемых, вклад которых в спектральный и энергетический тензоры может быть существенным (в основном вблизи поверхностей обтекаемых тел, где достигаются наибольшие значения параметра 7 [8]). Этот эффект можно продемонстрировать на следующем простом примере. Рассмотрим дозвуковое течение в канале с поджатием потока, но с одинаковыми площадями поперечного сечения на входе и на выходе из него. Одномерная теория дает в данном случае на выходе из канала те же уровни пульсаций, что и на входе [13]. При учете кривизны линий тока результат оказывается иным. В частности, энергетический тензор завихренности (3.3) приобретает вид:
' 2 , < ш? > = ( Ши ) + 72 < Ш02 > + 72 ( (у«о)2 > ;
< а)2 > — < 1^2>;
< <|>! > = < сооз > + 72 < (у«0)2);
( *1 “2 > = Т < ®02 > •
ч
В тензоре соленоидальных пульсаций скорости (3.1), как нетрудно убедиться, изменятся все компоненты. Таким образом, уровни пульсаций сохранятся только на оси симметрии канала и будут монотонно возрастать по направлению от оси канала к стенке. Так, на выходе из осесимметричного канала с отношением максимального диаметра к минимальному 0/(1= 4 и отношением характерного продольного масштаба неоднородности к диаметру /,/£)~4' параметр у у стенки достигает — 4 [8],. что дает увеличение суммарной энергии завихренности вблизи стенки более чем в пять раз. Кроме того, появляется турбулентное трение, отсутствовавшее на входе в канал.
Обтекание цилиндрического тела турбулентным несжимаемым потоком (/ге/т0= 1) с учетом кривизны линий тока при отсутствии возмущений энтропии рассмотрено в работе [19]. Соленоидальное поле пульсаций скорости отыскивалось здесь путем решения трех уравнений Пуассона для компонентов векторного потенциала, что привело к неоправданному усложнению задачи. В частности, потребное время для вычисления на машине 1ВМ360 спектрального тензора энергии пульсаций в одной точке поля течения составляло, как отмечается в этой работе, около 87 часов, причем более 96% его затрачивалось на вычисление соленоидального поля (в работе отыскивалось одновременно потенциальное поле возмущений путем решения четвертого уравнения Пуассона с условием непротекания на стенке). Использование аналитических зависимостей (3.1) позволяет сократить время аналогичны^ расчетов соленоидального поля возмущений (по предварительным оценкам) в 104 — 105 раз.
Ряд новых- эффектов возникает при наличии возмущений энтропии. Дополнительные слагаемые спектрального тензора (3.1) имеют совершенно иную зависимость как от волновых чисел, так и от параметров основного течения. Поэтому спектральные и энергетические характеристики соленоидальных пульсаций, порождаемых возмущениями энтропии, значительно отличаются от соответствующих характеристик, связанных лишь с деформацией в поле течения первоначальных соленоидальных возмущений. Дополнительная энергия пульсаций (3.2), (3.3) пропорциональна
квадрату скорости набегающего потока и быстро нарастает в областях с большими положительными градиентами скорости. Влияние кривизны линий тока на порождаемые пульсации аналогично случаю отсутствия возмущений энтропии: с увеличением параметра у энергия пульсаций возрастает, а дополнительный вклад в корреляции (ш^), (vtv2), (.фс1фс2) пропорционален величине у. Однако здесь отмечается следующий интересный эффект: возмущения энтропии могут приводить как к увеличению упомянутых корреляционных моментов (при ^<1), так И К уменьшению ИХ (при /!>1). Следовательно, возмущения энтропии вызывают увеличение турбулентного трения Рейнольдса в замедляющихся (диффузорных) течениях и уменьшение его (или даже изменение знака) — в ускоряющихся (конфузорных). Наиболее заметно рассмотренные эффекты должны проявляться в случаях, когда уровни пульсаций скорости в набегающем потоке незначительны по сравнению с уровнями возмущений энтропии.
В заключение отметим, что результаты проведенного анализа могут быть распространены и на произвольные неоднородные области течения при наличии возмущений с произвольным спект-
ром (не обязательно однородным), если течения в таких областях удовлетворяют условиям „быстрой деформации11. Для этого необходимо решить обратную задачу: формально продолжить течение вверх по потоку к такому состоянию, в котором как скорости основного течения, так и статистические характеристики возмущений будут однородны. В силу однозначной связи между параметрами основного и возмущенного движения и линейности уравнений возмущений это всегда можно сделать путем сжатия или расширения течения и искривления линий тока; для необходимого изменения четырех отличных от нуля компонентов энергетического тензора имеется в распоряжении три масштабных коэффициента и интегральный параметр 7.
Полученные в работе аналитические результаты могут быть использованы в качестве первого приближения в асимптотических теориях турбулентного движения в неоднородных средах, а также для уточнения некоторых гипотез, применяемых в полуэмпири-ческих теориях.
Автор выражает искреннюю благодарность В. В. Струминскому и А. Д. Хонькину за полезное обсуждение затронутых в работе вопросов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бэтчелор Дж. К. Теория однородной турбулентности. М., Изд. иностр. лит-ры, 1955.
2. Хинце И. О. Турбулентность. М., Физматгиз, 1963.
3. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М., „Наука", ч. I, 1965; ч. II, 1967. 1
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука", 1974.
5. Турбулентность. Сер. „Проблемы прикладной физики". Под ред. П. Брэдшоу. М.,. „Машиностроение", 1980.
6. Струминский В. В. Об одном новом направлении исследования проблемы турбулентности. В сб. „Турбулентные течения". М., „Наука", 1977.
7. Столяров Е. П. Решение линеаризованного неоднородного уравнения Гельмгольца, описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального сжимаемого газа. „Ученые записки ЦАГИ", т. XI, № 1, 1980.
8. Столяров Е. П. Распространение слабых вихревых и энтропийных волн в потенциальных течениях сжимаемого идеального газа. „Ученые записки ЦАГИ", т. XI, № 3, 1980.
9. Столяров Е. П. К линейной теории возбуждения звука турбулентными потоками в условиях „быстрой деформации" поля течения. „Ученые записки ЦАГИ", т. XI, № 6, 1980.
10. Goldstein М. Е. Unsteady vortical and entropic distortions of potential flows round arbitrary obstacles. „J. Fluid Mech.“,vol. 89, pt. 3, 1978.
11. Prandtl L. Attaining a steady air stream in wind tunnels. NACA TM, N 726, 1933.
12. Tay'lor G. I. Turbulence in a contracting stream. ZAMM, Bd. 15, Heft 1, 1935.
13. Ribner H. S., T u с k e r M. Spectrum of turbulence in a contracting stream. NACA Rep. N 1113, 1953.
14. Batchelor G. K., Proud man I. The effect of rapid distortion of a fluid in turbulent motion. „Quart. J. Mech. and Appl. Math.", vol. 7, pt. 1, 1954.
15. Ribner H. S. Shock-turbulence interaction and generation of noise. NACA Rep. N 1233, 1955.
16. Ф р о с т В. А. Однородная быстрая деформация турбулентности в газе. ДАН СССР, т. 133, № 4, 1960.
17. Иевлев М. В. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М., „Наука", 1975.
18. Зимонт В. Л., Сабельников В. А. Поведение однородной турбулентности в каналах переменного сечения. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1975, № 2.
19. Н u п t J. С. R. A theory of turbulent flow round two-dimensional bluff bodies. „J. Fluid Mech". vol. 61, pt. 4, 1973.
20. Marble F. E., Candel S. M. Acoustic disturbance from gas non-uniformities convected through a nozzle. „J. Sound and Vibr.“, vol. 55 (2), 1977.
21. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М., „Мир“, 1967.
22. Sadeh W. Z-, S u ter a S. P., Maeder P. F. Analysis of vorticity amplification in the flow approaching a two-dimensional stagnation point. ZAMP, vol. 21, N 5, 1970.
Рукопись поступила 251V 1979 г.
\
