Решение линеаризованного неоднородного уравнения Гельмгольца, описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального сжимаемого газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т о м XI

1 9 80

№ 1

УДК 532.5

РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА, ОПИСЫВАЮЩЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ МАЛЫХ ВИХРЕВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА

Е. П. Столяров

Рассмотрено линеаризованное неоднородное уравнение Гельмгольца, описывающее распространение малых нестационарных возмущений завихренности {в том числе при наличии возмущений энтропии) в потенциальных двумерных течениях идеального сжимаемого газа. Получено его общее решение. Па основании кинематических теорем установлены закономерности, которым подчиняются течении рассмотренного вида. В частности, отмечается, что поток завихренности в направлении линий тока в общем случае ие сохраняется.

1. Уравнения, описывающие нестационарные адиабатические течения сжимаемого идеального газа, можно записать в форме (см., например, [1]):

^ + «X K-7'yS-f- V" = 0;

at

<Ъ_

dt

dS

dt

V = 0;

^ y.vs = o,

d>

V-

- полная энтальпия.

где 1 У~завихренность, H — cpT -f-

S, о, T — энтропия, плотность и температура соответственно.

Для замыкания системы (1) необходимо ее дополнить уравнением состояния, которое запишем в виде:

S = tfeln(rP1-*),

где *-*CjJcv.

Применяя операцию rot к первому уравнению системы (1), получим неоднородное уравнение Гельмгольца

+ V X (“ X V) = VT'X VS, (2)

описывающее эволюцию завихренности в произвольном адиабатическом течении идеального сжимаемого газа*.

Рассмотрим некоторую ограниченную поверхностью о область G в плоском потенциальном стационарном течении (рис. 1), на которое наложены малые нестационарные пространственные возмущения, такие, что любую функцию течения можно представить как сумму двух слагаемых:

F(x, у, г, t) = Fо (х, у) + zf(x, у, z, t). (3)

Здесь е ^ 1 — малая величина. Такой подход является обычным для методов малых возмущений [3] и часто применяется при рассмотрении турбулентного движения (см., например, (4 — 8|).

Рис. 1

Подставляя представление (3) в исходные уравнения и приравнивая нулю суммы членов одинакового порядка но з, получим (с учетом того, что *>„ = 0, yS0 = 0): для основного течения

2 *2

н0 = Ср 7'о + = —р = const,

S0 = cv In (Г0р'-*) = const,

V ■ (po V0) = 0;

для возмущенного движения и первом приближении

— = — + ^,.^ = 0, (О)

dt dt

VX(»X Vn) — V 7 0 X v5>

dt

—-----h V^0 ■ VP' + ®2' VP-o + Po V' ®2 + ?' V • ‘ VPo> (7)

* Уравнением Гельмгольца называют соответствующее однородное уравнение, относящееся к случаю несжимаемой жидкости [2].

где

v = vl + v2, V X ^2 = 0;

м ■ 7Х®=?Х»ь V - = V'*>'>> ъ-, = уо,

а <•/— возмущенная плотность.

Уравнения (4) описывают стационарные потенциальные течения идеального газа. Система (5) — (7) распадается на две подсистемы, причем решения первых двух уравнений, описывающих распространение скалярного поля энтропии и соленоидального ноля скорости, не зависят от решений последнего, связанного с возмущениями потенциального поля. [Отметим, что к уравнению (7) следует добавить дополнительное соотношение, получающееся, например, применением операции с!1 V к исходному уравнению движения (см. [4]), так как использованная выше операция го! привела к утрате потенциального компонента скорости, для которого го(‘У^=0]. Для нахождения возмущенного поля течения необходимо прежде всего решить линеаризованное неоднородное уравнение Гельмгольца (6) совместно с уравнением для энтропии (5).

Отметим, что уравнению Гельмгольца удовлетворяет более широкий класс функций, чем это требуется условиями поставленной задачи. Действительно, если некоторая векторная функция А, имеющая непрерывные частные производные второго порядка, есть решение уравнения (6), то, подставляя это решение в уравнение и применяя к нему операцию сПу, получим:

) = -" (у-Л) = 0 или -*-(у-А) = - (у-А)(у-У0), (8)

откуда следует, что поле вектора А стационарно:

у. А = В(х, у, г).

Второму равенству в (8) можно придать более удобный вид:

,9)

Последнее соотношение при наложенных выше ограничениях на производные справедливо не только для решений линеаризованного уравнения (0), но и исходного уравнения Гельмгольца (2). Следовательно, при интегрировании уравнений (6) получаемые решения будут обладать большим произволом, чем это необходимо {будут содержать лишнюю произвольную функцию координат). Для отбора из полученного множества функций решения, отвечающего физическому смыслу задачи, необходимо наложить на пего дополнительное условие

у-Л=0. (10)

Очевидно, что, если в начальный момент времени возмущения удовлетворяют уравнению (10) во всем поле течения и в любой момент времени — на входной границе области (7 (АВС на рис. 1), то, в соответствии с равенством (9), оно будет удовлетворять условию (10) во всем поле течения в любой последующий момент времени.

Таким образом, задача о нахождении той части возмущенного ноля скорости, которая связана с вихревыми возмущениями и с возмущениями энтропии, в потенциальном основном течении в линейном приближении оказывается полностью замкнутой, в том числе

при наличии ограничивающих поверхностей в потоке, если генерируемое указанными возмущениями звуковое поле не будет порождать возмущений завихренности и энтропии вверх по течению от входной границы рассматриваемой области. К таким течениям следует отнести потенциальное обтекание тел безграничным дозвуковым потоком,сверхзвуковые течения в каналах при отсутствии скачков уплотнения в поле течения, а также дозвуковые внутренние течения, если генерируемое звуковое поле не влияет на работу входных устройств или это влияние ограничивается лишь порождением дополнительных потенциальных возмущений (например, в виде отраженных звуковых волн). При наличии в поле течения скачков уплотнения задача о нахождении вихревого поля возмущений будет, вообще говоря, незамкнутой, так' как потенциальное (звуковое) поле возмущений при взаимодействии со скачками генерирует возмущения завихренности и энтропии (9, 10]. Тем не менее и в этих случаях для построения общего решения могут быть использованы частные решения, описывающие эволюцию возмущений энтропии и завихренности в неоднородном иоле основного течения.

2. Преобразуем уравнение Гельмгольца таким образом, чтобы придать вид законов сохранения для компонентов завихренности в направлении линий тока и но нормали к ним, умножая уравнение (6) скалярно и векторно на вектор скорости V,, основного течения. Такое преобразование имеет смысл, если в рассматриваемой области течения модуль скорости | У0\ нигде не обращается в нуль. Относя все скорости к Ушах, линейные размеры — к характерному размеру области течения время — к Ц 1/шах, а энтропию—к ср, запишем преобразованную систему уравнений возмущений в безразмерном виде, сохраняя прежние обозначения для зависимых и независимых переменных.

ds

dt

= 0;

dt

d

dt

( ) _ _2>_ V amJ mR

(awj = a2

a ds mR dz

da ds

dt

m

d; dz a2 ds з da ds

mR di m d% dn

00

Здесь a — | V0 lrmax — безразмерная скорость, m = (l— a2)*-1 — без-

d d , d i d

размерная плотность,

dt

lln

b° dx _^'У° dy тор дифференцирования по времени, —— и d

эйлеров опера-— производные

d g dn

в направлении линии тока и по нормали к ней в плоскости z = const основного течения соответственно. При выводе уравнений (11) использованы соотношения для плоских адиабатических течений в естественной системе координат [1|

R

da

dn

дЬ

dn

I______d_

am di

(а/я),

(12)

а также связи между компонентами завихренности

U),, = (Up COS »> — Ю„ sin &, (Uy = ш; sin ft -f №„ COS O', (13)

и между производными в декартовой системе координат и производными по направлениям касательной и нормали к линиям тока

^ п д ■ о д д . а д 1 д , 1 .,

---= cos») —------- sin 9-—------------= sin ft------h cos , (14)

dx d; On dy d; dn

где ft — угол отклонения скорости от некоторого фиксированного направления (рис. 2), a R в (11) и (12) — безразмерный локальный радиус кривизны линии тока.

Уравнение неразрывности для вихря (условие соленопдаль-ности вихревого поля) запишется с использованием (12) — (14) н виде:

д / о)Е \ 1 д д f <ог \ 2<яп

7 г)-- \ am) ' am dn 1 дг V т ) mR ^ ^

4%

Рис. 2

Отметим, что уравнения (11) оиисывают по существу эволюцию потоков завихренности в направлениях осей естественной системы координат. С точки зрения теории дифференциальных уравнений в частных производных [11, 12] i — const есть частный интеграл рассматриваемой системы. Поэтому уравнения (11) могут быть упрощены, если в качестве координатных линий использовать характеристические кривые. Такое преобразование эквивалентно переходу в криволинейную систему координат, связанную с линиями тока. Для этого преобразуем вначале уравнения (11) к координатам Мизеса, используя формулы перехода

д д д д д д д

---- -> ---- . —----5--------О.-. Vr,--. -

dt

дг

dt дх дх dl ду "J " дф

Тогда, например, уравнение для энтропии запишем в виде:

ds , ds ds . ds

——h u<і —— — Po vo uo ------ h po «о ‘

dt ox oh

ИЛИ

=0,

d

дг

<?S

dt

-Г a

ds

~дГ

(16)

так как на линиях -Ь = const выполняется соотношение

__ dx

a uQ

Уравнение (16) является по классификации Уизема 113] простейшим волновым уравнением, описывающим диспергирующие волны. Ьго общее решение

5 = 5°(т, ф, z), Z=t —

d\

(17)

Sd

в чем нетрудно убедиться непосредственной подстановкой. Тот же результат получается, если ввести преобразование независимых переменных:

dc — dZ, dt — d~-\-

д д д

dl

dt

dz

д

д;

а дх

Физический смысл последнего преобразования состоит в переходе к поверхностям постоянной фазы, а величина

хо :

dl

представляет сооои время, за которое возмущение из точки на границе области О приходит в данную точку поля течения с координатой с вдоль соответствующей линии тока. Таким образом, поверхности постоянной фазы также являются характеристическими или т=соп51 есть второй частный интеграл системы (11). Решение (17) означает, что возмущение энтропии, возникшее в точке границы с координатами (£0, %, г0) в момент времени

t = t{h сохраняется постоянным в точке пересечения данной линии гока с поверхностью постоянной фазы, движущейся вдоль линии тока с локальной скоростью течения а.

Использование вышеупомянутой последовательности преобразований позволяет свести остальные уравнения системы (11) к обыкновенным дифференциальным уравнениям (см. [12]), решения которых могут быть получены их интегрированием вдоль линий тока при " = const:

я «г а0 т0

(|)

!>

о,оо I т<) ! “о т°

ш? + --- dn — а0 ——

? 1 п J а2 т дг J а- гп

d\)

or a° ds" п а ш„ + 2 дг

т

т.,

о • ds" у 1

or -4- г дг L

н /-?<» +2 j-4-(

я0 ds° 2 дп

где ноликом снизу отмечены функции основного ноля течения на входной границе, а ноликом сверху —■ возмущения на границе

г

области О, взятые в момент времени т = — | .

*0

Аналогичным образом отыскивается общее решение для двумерных течений с осевой симметрией (в цилиндрической системе координат). В данном случае оно имеет вид:

5 = 5'

(т, <!>, <р),

ат зс ГПи

»? + 2,- Г йь —** I а^°г° а»

л I а- тг г0 да ] а2 тг

Я«) Г0 1 н ш0 1 а»_ дз° , 12 1 \1

ш — п аг п 2 г0 ~*г\ 2 °0 )

тг

т„ г,,

<и +

~дГ

то г(,

тг

с1Ъ + 2 \-=- X

X

/ Г 4 1 йа. ^0 „9 X .а . . П 1

11 11 1/ \ ) а- тг 2 " йгГ 1 2 1

ч^о / V -0 / )

(19)

где г, 9 — радиальная и азимутальная координаты соответственно, гп — радиальная координата иа входной границе области при = = ;п-Остальные обозначения имеют тот же смысл, что и в (18). Решение (1Н), (19) однозначно определяется начальными условиями и в силу известных теорем математического анализа (см., например, 111, 12]) существует, если коэффициенты уравнений (т. е. функции основного поля течения) непрерывны.

3. Характерной особенностью полученного решения (1К), (19) является зависимость компонента завихренности в направлении линии тока Ш; от компонента шп, направленного но главной нормали к линии тока, что свидетельствует о несохранении потока завихренности в направлении линий тока даже при отсутствии возмущений энтропии, в том числе в несжимаемой жидкости. Аналогичные результаты следуют из чисто кинематического рассмотрения на основе классических теорем Кельвина и Гельмгольца

о вихрях (см. [1, 2]), а отмеченная особенность по существу отражает различие между эйлеровым и лагранжевым описанием движения жидких частиц.

Если возмущения стационарны, то решение (18) будет удовлетворять условию соленоидальности (15) во всем поле течения, если оно удовлетворяет этому условию на границе области О, в чем нетрудно убедиться непосредственной подстановкой (18) в (15). Покажем, что указанного требования достаточно и в случае нестационарных возмущений, а общее решение имеет вид (18).

Докажем следующее утверждение.

В потенциальных стационарных неоднородных течениях идеального газа поверхности постоянной фазы не могут быть ортогональными к линиям тока во всем поле течения.

Действительно, рассмотрим область потенциального плоского течения, заключенную между двумя линиями тока и двумя эквипотенциальными поверхностями (рис. 3). В силу взаимной ортогональности линий тока и линий равного потенциала имеем

5В ’'В'

д9 = J Vd\ = ] V'

откуда следует, что средняя скорость на отрезках линий тока, заключенных между двумя эквипотенциальными поверхностями,

обратно пропорциональна их длине. Рассмотрим теперь жидкие частицы, находящиеся в некоторый момент времени tn

на линии равного потенциала АЛ'. Через

Г di

время х = —- частица, находившаяся

первоначально в точке А на более короткой линии тока, достигнет точки В, лежащей на пересечении той же линии тока с линией равного потенциала ВВ'. В то же самое время частица, находившаяся первоначально в точке А', еще не достигнет точки В’ как за счет большей длины отрезка линии тока А'В1, так и за счет меньшей средней скорости на ней, и окажется в некоторой точке/?". Таким образом, линия ВВ" уже не будет ортогональной к линиям

тока, а поверхности жидких частиц (поверхности постоянной фазы)

не будут совпадать с поверхностями равного потенциала во всем поле течения.

Из последнего утверждения, а также из основных кинематических теорем Кельвина и Гельмгольца вытекает ряд важных следствий. Поскольку жидкие частицы должны находиться па поверхностях постоянной фазы, одновременно перемещаясь вдоль соответствующих линий тока, то имеет место:

Следствие 1. Вихревая линия, лежащая в некоторый момент времени на поверхности постоянной фазы, будет оставаться на ней и во все последующие моменты времени.

Следствие 2. Величина проекции вектора завихренности rot г» на направление касательной (к поверхности постоянной фазы), лежащей в одной плоскости с главно!! нормалью к линии тока, будет возрастать по сравнению с тем значением, которое она имела бы в соответствующем однородном течении, вместе с увеличением расстояния между линиями тока и ростом угла отклонения поверхности постоянной фазы от направления нормали, и уменьшаться — в противоположном случае.

Действительно, вихревая трубка претерпевает дополнительную деформацию вдоль поверхности постоянной фазы, и в силу теоремы Кельвина о сохранении циркуляции по замкнутому контуру величина rot г» возрастает (убывает) вместе с соответствующим уменьшением (увеличением) площади поперечного сечения вихревой трубки.

Следствие 3. В потенциальном неоднородном течении возмущенный поток завихренности в направлении линий тока не может сохраняться но всем поле течения.

Рассмотрим плоское потенциальное течение в канале переменного сечения. На рис. 4 изображена картина линий тока, линий равного потенциала и линий постоянной фазы в плоскости 2=сопз1. Элементарный объем жидкости, заключенный между двумя поверхностями тока 41 — т*! и ='Ь> плоскостями г = и г — г2 и фазовыми поверхностями и Т = Х2 в сечении С?, через некоторое

время займет новое положение в сечении О'. В силу уравнения неразрывности полный поток завихренности через поверхность выделенного объема равен нулю, а согласно теореме Кельвина в потенциальном течении циркуляция скорости по любому замкнутому контуру сохраняется при перемещении частиц, составляющих этот контур. Разлагая вектор завихренности на три компонента, нормальные к соответствующим площадкам в начальном сечении (рис. 5), можно записать следующие соотношения между компо-

яинии тонн >> рабнаго потенций ля и постоянной фазы

Рис. 4

Сечение Q Сечение Q'

центами вихря в сечениях Q и Q' с использованием теоремы

Стокса:

1 V-dl = | (rot V)\dndz ^ и? А5пг;

HFEC

(j) V-dl = \ (rot V). dndz ~ oj Д5„г;

B’F'E'C'

§ V dl — f (rot V)n d'dz — шо ЛS;Z;

A fiCD

I V dt = / (rot V)„ d\dz ~«/ COS $ASlz = % A5: A'BCD'

ф V dl— [ (rot V)z d\ dn ~ Л 5:„;

AGFB

V. dl = J (rot V), d-dn — шг Д5=„.

В соответствии с уравнением неразрывности для основного течения и уравнением движения фазовой поверхности имеем:

fj YrS — р' V' 5' = const,

откуда

^5„г _ г/ У' _______ 7/м ^lz _ V _ or,, _ о' _ /п

Д5„г ~ Pv' з0/н0 ’ ss[z ~ v' ~ * ’ \s]n Р ~ т"

п для компонентов вихря в сечении Q' получим:

at,-,, п ш л, ctfn

№(1 о ______ ’ П

С0„ = ------------------------ (<)и • U) = ----------- ш

AZ п т £ 71

* «I, “о /ло

Дш: = ш' sin 3 = <!>„ tg ,3 = — С» tg ,3.

а

Следовательно, компонент завихренности «>= претерпевает дополнительное изменение, пропорциональное компоненту w„ и тангенсу локального угла между поверхностно постоянной фазы н главной нормалью к линии тока. Сохранение потока завихренности возможно лишь для тех областей течения, в которых поверхности постоянной фазы всюду ортогональны к линиям тока (например, на оси симметрии основного течения).

Таким образом, (18), (19) дают общие выражения для компонентов возмущений завихренности в потенциальном неоднородном поле в рамках линейного приближения, если начальные функции '•*?, or», ш“ удовлетворяют условию соленоидальности. Наличие возмущении энтропии, которые распространяются вместе с теми же фазовыми поверхностями вдоль линий тока, что и компоненты завихренности, приводит лишь к изменению величин отдельных компонентов, однако сами вихревые линии остаются на тех же фазовых поверхностях и линиях тока. Очевидно, что указанные закономерности имеют место лишь в идеальной (невязкой) жидкости, в которой отсутствуют диффузия завихренности и теплопередача между соседними слоями.

4. Отметим, что применение теорем Гельмгольца без учета деформаций сдвига при рассмотрении эволюции спектров турбулентных возмущений в каналах переменного сечения (см. работы Рибнера }5] и Бэтчелора |6]) не позволяет получить выражение для дополнительного слагаемого Дш:. В этом, по-видимому, заключается одна из причин того, что рассчитанные в упомянутых работах уровни поперечных пульсаций скорости после прохождения области неоднородности, как отмечают сами авторы, плохо согласуются с экспериментальными результатами. Использование общих решений, полученных в данной работе, может, по крайней мере частично, исправить этот недостаток. Действительно, наличие слагаемого с % в компоненте возмущений <«: неизбежно порож-

дает корреляционный момент (u'v'), пропорциональный напряжению трения Рейнольдса. Кроме того, в компонентах корреляционного и спектрального тензоров пульсаций скорости появятся дополнительные слагаемые, связанные с возмущениями энтропии и с кривизной линий тока, что должно привести К относительному возрастанию интенсивности турбулентных пульсаций как по мере перемещения вниз по потоку, так и в направлении от оси симметрии к стенке канала.

В заключение следует сказать, что использование линеаризованных уравнении возмущений и получаемых на их основе решений может оказаться в ряде случаев достаточно эффективным. В принципе, имея точные решения таких уравнений, можно построить следующее приближение с учетом отброшенных нелинейных слагаемых в уравнениях возмущенного движения. Ситуация здесь во многом аналогична той, которая имеет место в теории пограничного слоя. В случае же относительно малых возмущений достаточно ограничиться первым приближением, которое в своих основных чертах правильно отражает существо процесса распространения возмущений и их взаимодействия с неоднородным полем основного течения. Кроме того, даже при сильных возмущениях их эволюция на начальном этапе описывается линейными членами [13], которые являются главными и описывают основные эффекты взаимодействия.

Автор выражает искреннюю благодарность А. Д. Хонькину за полезное обсуждение работы, а также В. Я- Нейланду и А. И. Голубннскому за ряд критических замечаний по существу затронутых в работе вопросов.

ЛИТЕРАТУРА

1. М и з е с Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М., изд. иностр. лит-ры, 1961.

2. Лой нянек ий Л. Г. Механика жидкости и газа. М., .Паука", 1978.

3. Пайфе А. X. Методы возмущений. М., „Мир”, 1976.

4. Kovasznay L. S. G. Turbulence in supersonic flow. „JAS“, vol. 20, N 10, 1953.

5. Ribner H. S., Tucker M. Spectrum of turbulence in a contracting stream. NACA Rep. N 1113, 1953.

6. Бэтчелор Д. Теория однородной турбулентности. М., изд. иностр. лит-ры, 1955.

7. Молин А. С., Я г лом А. М. Статистическая гидромеханика. М., „Паука", ч. I, 1965, ч. 11, 1967.

8. Струмин ский В. В. Об одном новом направлении исследования проблемы турбулентности. В сб. „Турбулентные течения", М., „Наука*, 1977.

9. Ribner Н. S. Convection of a pattern of vorticity through a shock wave. NACA Rep. N 1164, 1954.

10. Moore F. K. Unsteady oblique interaction of a shock wave with a plane disturbance. NACA Rep. N 1165, 1954.

И. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.

Изд. 5-е. М, - Л., ГИТТЛ, 1950.

12. Камке Е. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М., „Наука", 1966.

13. У и з е м Д. Б. Линейные и нелинейные волны. М., „Мир*,

1977.

Рукопись поступила 23j VI 1978 г.