Поведение завихренности в неоднородных течениях сжимаемого газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXX 1999

Ml —2

УДК 532.527

ПОВЕДЕНИЕ ЗАВИХРЕННОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЧЕНИЯХ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

А. А. Гладков

Показано, что в пространственных неоднородных течениях сжимаемого газа, в которых остаются постоянными вдоль линии тока, но в остальном могут меняться полная энтальпия, энтропия и состав, завихренность газа определяется не только кинематическими и динамическими параметрами, как в плоских течениях, но и геометрией общей картины течения. Следствия из соотношения Крокко позволяют непосредственно связать изменения поперечной составляющей завихренности, перпендикулярной линии тока и градиенту соответствующей неоднородности, с изменением размера элементарной трубки тока в том же направлении. В этом состоит существенное отличие пространственных течений газа от плоских.

1. Поведение завихренности в течениях сжимаемого газа в общем случае существенно отличается от ее поведения в несжимаемом газе. Запись уравнения движения газа в форме Громека — Ламба

ду Л

—+ grad ot

V

2 Л

+ QxF = -—grad p (1)

P

позволяет непосредственно установить связь между завихренностью и динамическими характеристиками газа — давлением и плотностью (здесь считаем, что внешние силы отсутствуют, газ невязкий и Q = rotF). Особенно простые соотношения получаются для установившегося течения. Выражая правую часть уравнения (1) как функцию энтальпии і и энтропии s

—grad р = grad i-T grad s, (2)

P

приходим к соотношению

grad

f

V

2

v У

+ £1хК = Т gradi - grad/',

(3)

а перенося член grad

2

V У

в правую часть и вводя энтальпию торможения

г'о = / + - j-, получаем

П х V = Г gradi - grad/Q.

(4)

Для баротропного газа, т. е. при р = р(р), а следовательно, и для несжимаемого газа с постоянной плотностью, в правой части (4) получается только один член с градиентом механической энергии.

Рассматривая течения газа за искривленной ударной волной, в которых энтальпия торможения постоянна, Крокко [1], используя соотношение (4), сформулировал свои теоремы о связи завихренности с изменениями энтропии:

1) всякий безвихревой поток (стационарный, изоэнергетический) должен быть изоэнтропическим;

2) всякий неизоэнтропический поток (стационарный, изоэнергетический) имеет завихренность. •

Тем самым впервые было использовано алгебраическое выражение завихренности через термодинамические характеристики течения.

Впрочем, правая часть уравнений движения в форме, полученной в уравнении (3), была известна уже А. А. Фридману, и в своем труде 1922 г., появившемся в печати уже после его кончины [2], он ссылается на более раннюю работу [3], в которой, по-видимому, впервые была показана роль энтропийного члена уравнения (3) в процессах вихреобразования.

Позже А. Важоньи [4] восстановил полную форму соотношения (4), назвав его обобщенной теоремой Крокко. Он же рассмотрел двумерные течения газа и для случая, когда полная энтальпия и энтропия сохраняются вдоль линии тока, получил из соотношения (4) выражения для завихренности, введя обычным способом функции тока у:

в плоском случае

Q = p

т 8s ді0 б\|/ д\\і

(5)

в осесимметричном случае

0 = гр

(см. также [5], с. 246).

5v|/ 5\|/

* (6)

8s 8i0

При этом легко видеть, что, так как — и —- постоянны вдоль линии

5v|/ Э\|/

тока, для совершенного газа завихренность на каждой линии тока выражается линейной комбинацией плотности и давления.

Теперь отметим, что в осесимметричном случае в выражение для завихренности входит пропорциональность и местной радиальной координате г рассматриваемой точки. Естественно поставить вопрос: связано ли появление радиуса только с выбором системы координат или же оно обусловлено более глубокими причинами? Далее займемся выяснением этого вопроса.

Рассмотрению вихревых движений помогает их связь с определенными образами общей картины течения. В классической гидродинамике таким наглядным образом явилось представление о вихревой трубке как индивидуальном телесном образовании, сохраняющем свой состав и интенсивность вихревого движения. Теоремы Гельмгольца, полученные для несжимаемой жидкости из рассмотрения кинематики движения вихря, определяют условия сохраняемости вихревых трубок [6].

Для сжимаемого газа условия сохраняемости Гельмгольца были обобщены А. А. Фридманом [2], [7] и имеют вид

—+ (F-V)Q-(n-V)F + QdivF = 0. (7)

dt

С другой стороны, дифференциальное уравнение для изменения завихренности получается из уравнения (1), если применить к нему операцию rot:

ЯО 1

- + {v- V)Q - (п • v)v + adivF = —=-grad р х grad р. (8)

dt pz

Из сравнения выражений (7) и (8) видно, что условия сохраняемости выполняются только для баротропного газа, а в общем случае движения сжимаемого газа вихревые трубки теряют свой смысл сохраняющихся образов и вместе с ними теряет свое значение и понятие интенсивности вихревой трубки как сохраняющегося инварианта. На передний план выступает изучение непосредственно завихренности, и, как показано далее, появляется возможность связать завихренность с иными образами общей картины течения. *

Отметим также, что завихренность вихревой трубки меняется и в условиях сохранения такой характеристики вихревой трубки, как ее интенсивность. Так, если элементарная вихревая трубка сужается, из условия сохранения ее интенсивности, равной произведению площади поперечного сечения трубки на завихренность, следует, что завихренность в трубке увеличивается, и наоборот. Для жидкости с постоянной плотностью эту закономер-

ность можно выразить и иначе. Если привлечь к рассмотрению элемент длины элементарной вихревой трубки, то при уменьшении площади поперечного сечения трубки из условия сохранения объема следует, что пропорционально увеличивается соответствующий элемент длины. Тогда можно сказать, что локальная завихренность трубки меняется прямо пропорционально длине прилегающего элемента вихревой трубки. Последнее сформулированное свойство справедливо и для баротропного газа, лишь при длине элемента трубки дополнительно входит сомножителем местная плотность газа.

2. За основу дальнейшего рассмотрения можно взять полную форму обобщенного соотношения Крокко, в которую включена возможность изменения состава газа [8]:

ПхГ = :Tgrads-gradio-(g2 -£i)grad<x, (9)

где для газа, состоящего из двух компонентов, а = Р2/Р1 — массовая доля второго компонента, gn = in - Tsn — свободная энтальпия единицы массы компонента номер п,Т — температура, р — плотность газа, р„, s„ — плотность и соответственно энтропия компонента и. Газ считается невязким и совершенным, течение установившимся.

Будем считать, что s, io и а сохраняются вдоль линий тока, но в направлении поперек линий тока они могут непрерывно меняться. Тогда при непрерывном изменении параметров течения линии тока образуют поверхности, соответствующие постоянным значениям указанных величин. При этих предположениях можно проследить изменение завихренности вдоль линии тока сравнением правых частей соотношения (9). Рассмотрение проведем раздельно для плоских и пространственных течений.

Однако вначале сделаем одно предварительное замечание. Исходные предположения для каждого из членов правой части соотношения (9) выделяют в каждой точке течения два направления — одно вдоль линии тока, второе — вдоль соответствующего градиента, входящего в рассматриваемый член. Каждый член в правой части соотношения (9) сопоставляется с частью общей завихренности в рассматриваемой точке, определяемой тем условием, что векторное произведение этой части завихренности на скорость в левой части соотношения (9) равняется соответствующему члену правой части. Отсюда следует, что сопоставляемая часть завихренности лежит в плоскости, нормальной к градиенту, и выявляется третье направление, нормальное к первым двум, — направление компоненты завихренности Cit, поперечной к направлению скорости. Введение поперечной компоненты завихренности позволяет заменить векторное произведение в левой части соотношения (9) алгебраическим произведением поперечной компоненты завихренности на скорость. Продольная составляющая завихренности (вдоль скорости) в соотношения Крокко не входит.

Ц=р4-^77- Так как Д5г- и А<2 постоянны вдоль элементарной трубки

Плоские течения. Выделим элементарную трубку тока с прямоугольным нормальным сечением единичной ширины и высотой в нормальном сечении трубки А/г, лежащей в плоскости течения. По условию, градиенты величин в правой части соотношения (9) лежат в нормальном сечении трубки и направлены по его высоте. Каждый член правой части соотноше-

ДД-

ния (9) имеет структуру Д где Щ — перепад параметров течения

поперек выбранной трубки тока, а А1 — коэффициент при градиенте,

равный для соответствующих членов Т, -1 и - (^2 - £1)-

В случае плоского течения вектор поперечной завихренности направлен перпендикулярно плоскости течения и равняется полной завихренности.

Запишем соотношение (9) для каждого из членов правой части в виде

Д Л

П/У = Л;—Умножая обе части на рА/г и замечая, что рУАИ = А() — ДА

постоянный расход через выбранную трубку тока, получаем, что

Лб

тока, изменения завихренности вдоль трубки тока связаны только с величиной рЛг . Для отдельных членов соотношения (9) это соответствует следующим влияниям неоднородностей параметров течения поперек линии тока:

а) абсолютная величина завихренности, зависящая от градиента энтропии, меняется вдоль линии тока пропорционально местному давлению;

б) завихренность, обусловленная градиентом полной энтальпии, меняется вдоль линии тока пропорционально местной плотности;

в) завихренность, обусловленная градиентом состава, складывается из двух частей, одна из которых прямо пропорциональна плотности, а другая прямо пропорциональна давлению.

Таким образом, результаты, полученные при рассмотрении плоского течения, находятся в соответствии с соотношением (5).

Пространственные течения. Снова используя соотношение (9), рассмотрим каждый член правой части. Выделим в некотором исходном положении прямоугольную в нормальном сечении элементарную трубку тока высотой ДА и шириной Д/ — теперь переменной вдоль трубки. Направление высоты сечения возьмем по направлению градиента в соответствующем члене. Теперь для каждого члена можно написать, что АВ'

С1цУ = А,—г~, где значения символов те же, что и раньше. Умножая обе АЛ

части на рАР, где АР — площадь нормального сечения трубки, вспоминая, что расход через элементарную трубку тока Дб = рКД/г, и применяя при необходимости теорему о среднем, получаем

Выводы относительно влияния давления и плотности, сделанные выше, остаются справедливыми и в этом случае, однако наличие множителя Д/ в правой части (10) приводит к появлению геометрического фактора и к существенному дополнению общих выводов, сделанных для плоского потока. Вывод, отличающий пространственные течения от плоских, выглядит следующим образом: если происходит деформация сечения элементарной трубки тока поперек направления градиента неоднородности, составляющая завихренности в этом поперечном направлении, помимо прочего, изменяется пропорционально размеру сечения в том же направлении или, что то же, местной ширине элементарной трубки тока.

Для двумерных осесимметричных течений ширина элементарной трубки тока пропорциональна текущему радиусу линии тока в цилиндрической системе координат, и, следовательно, в правой части соотношения (10) Д/ пропорционально г. В осесимметричных течениях продольная составляющая завихренности отсутствует и поперечная компонента равняется полной завихренности. Таким образом, для двумерных осесимметричных течений полученный результат соответствует соотношению (6).

Тем самым получен ответ на поставленный в начале вопрос, и вхождение радиуса в соотношение (6) является отражением общих закономерностей, выраженных в частном случае осесимметричной системы координат.

3. Сделаем еще несколько почти очевидных замечаний.

— Учет массовых сил, не введенных здесь ради краткости изложения, не вносит принципиальных изменений в ход рассуждений. Если силы имеют потенциал, то в рассмотрение, как раньше, вводится его градиент, если потенциал отсутствует, вместо градиента выступает сам вектор неконсервативной силы, действующей в точке.

— Условия сохраняемости вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок выполняются в тех случаях, когда в правой части соотношения (9) стоит чистый градиент без переменных сомножителей.

— В случае течений несжимаемой однокомпонентной жидкости с постоянной плотностью и течений баротропного газа в правой части соотношения Крокко стоит чистый градиент единственной функции. Вывод о влиянии изменений формы элементарной трубки тока справедлив и в этом случае, т. е. он относится и к условиям, когда существуют сохраняющиеся вихревые трубки.

— Члены с чистым градиентом и без него в правой части соотношения (9) на первый взгляд кажутся равноправными, однако между ними существует глубокая разница. При применении к соотношению (9) операции rot, аналогично переходу от уравнений (1) к (8), чисто градиентные члены выпадают, а другие члены остаются и в виде, например, grad р х grad р,

grad T x grad s входят в уравнение вихреобразования (8). В результате они могут привести к появлению завихренности, если ее не было, в отличие от чисто градиентных членов. Соответственно их называют «вихреобразующими» («турбулизирующими», по терминологии А. А. Фридмана). По аналогии чисто градиентные члены можно назвать «вихренесущими». Они вызывают изменение завихренности, если она существует, в соответствии с обобщенным соотношением Крокко (9), но сами привести к появлению завихренности не могут.

Как отмечалось, из соотношения Крокко нельзя определить продольную составляющую завихренности. Однако можно сделать выводы о характере ее изменения из общего соотношения div rot V= 0, используем с этой целью подход, примененный в [9]. Рассматривая здесь вектор завих-

„ ^ ^ V

ренности как сумму двух компонент — продольной Qy = xiV, т = — и поперечной ZQfi, заменим величину Оу на Cly /(pV) — обобщенную проекцию завихренности на направление скорости, и, привлекая уравнение неразрывности div(pF') = 0, по аналогии с [9] записываем

Теперь раскроем скалярное произведение в левой части соотношения (11), а для преобразования его правой части введем единичный вектор направленный вдоль ПП ¡ = ДО,.. Тогда (11) примет вид

В правой части здесь стоит сумма произведенных продольных компонент завихренности, соответствующих проведенному ранее в п. 2 покомпонентному представлению теоремы Крокко, и, следовательно, можно записать

(И)

д С1]

д А,

и далее, в соответствии с п. 2,

или

Здесь в круглых скобках стоят величины, постоянные вдоль трубки тока.

— Следует отметить, наконец, что для небаротропных течений законы сохранения, аналогичные теоремам Гельмгольца, а с ними и образования, аналогичные вихревым трубкам, были получены для довольно сложной комбинации параметров течения, в которую завихренность входит в виде слагаемого [10].

4. Подведем итоги. Проведенное рассмотрение показывает, что в пространственных неоднородных течениях сжимаемого газа, в которых остаются постоянными вдоль линий тока, но в остальном могут меняться полная энтальпия, энтропия и состав, завихренность газа определяется не только кинематическими и динамическими параметрами, как в плоских течениях, но и геометрией общей картины течения. Следствия из соотношения Крокко позволяют непосредственно связать изменения поперечной составляющей завихренности, перпендикулярной линии тока и градиенту соответствующей неоднородности, с изменением размера элементарной трубки тока в том же направлении. В этом состоит существенное отличие пространственных течений газа от плоских.

Двумерные осесимметричные течения ‘занимают промежуточное положение между плоскими и пространственными течениями. В них поперечная составляющая завихренности равняется полной завихренности, как в плоских течениях, но зависит от местного радиуса точки, тем самым отражая зависимость, характерную для пространственных течений.

Возможность связи завихренности с деформациями элементарной трубки тока в условиях пространственного течения сжимаемого газа, когда теряет свое значение понятие вихревой трубки, выдвигает на первый план исследование поведения линий тока и оценку общей картины течения.

Непостоянство поперечной составляющей завихренности вдоль ее собственного направления приводит к изменению продольной составляющей завихренности, направленной вдоль скорости. В результате влияние геометрического фактора захватывает всю завихренность.

В целом возможна сложная картина течения с концентрацией отдельных компонент завихренности в ограниченных областях, с генерированием завихренности и переносом ее на большие расстояния, с нелокальными эффектами, связанными с изменением завихренности в областях выше по течению, когда появление небольшой завихренности, ниже по потоку приводит к созданию существенно вихревых течений.

В ряде случаев, особенно в численном эксперименте при решении и отладке сложных задач, расчет пространственных течений заменяют решением плоских задач. Очевидно, что использование решения двумерных задач для моделирования пространственных вихревых течений в общем случае не может дать нужного результата — в них просто отсутствуют эффекты, характерные для пространственных течений.

1. С г о с с о L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation // 1937. ZAMM. Vol. 17.

2. Ф p и д m а h A. A. Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости. — Л. — М.: ОНТИ ГТТИ. — 1934.

3. A n s е 1. Beiträge zur Dynamik und Thermodynamik der Atmosphäre. Dissertation. —1913. Gottingen.

4. V a z s о n у i A. On rotational gas flows // Quarterly of Applied Mathematics. — 1945. Vol. 3, N 1.

5. 4 e p h ы й Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука. — 1988.

6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука. —

1987.

7. К о ч и н H. E., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. — М.: Гостехиздат. — 1948.

8. Oswatitsch K. Grundlagen der Gasdynamik. В. 1. — Wien, New York: Springer. —1976.

9. Голубинский A. И., Голубкин В. H. О некоторых свойствах сохранения в газовой динамике // ПММ. —1985. Т. 49, вып. 1.

10. М о b b s S. D. Some vorticity theorems and conservation laws for non-barotropic fluids // J. Fluid Mech. — 1981. Vol. 108.

Рукопись поступила 29/IX 1997 г.