О конически подобных течениях жидкости и газа. Часть II. Сжимаемый газ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 2

№ 3—4

УДК 532.525.011.55

О КОНИЧЕСКИ ПОДОБНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Часть II. СЖИМАЕМЫЙ ГАЗ

А. П. БЫРКИН, В. В. ЩЕННИКОВ

Часть II работы посвящена автомодельным решениям уравнений Эйлера, которые описывают конические автомодельные течения газа с учетом завихренности, а также закрутки потока и нестационарности.

Найдено аналитическое решение, описывающее винтовое течение газа, в котором векторы скорости и вихря коллинеарны, а модуль скорости, давление, температура и плотность во всей области постоянны независимо от характерного числа М.

Приведены примеры других случаев конических течений газа.

Данная работа посвящена конически подобным течениям газа. Это понятие можно рассматривать как обобщение понятия конического течения, установленного Буземаном [1], при наличии и отсутствии закрутки [2].

Первым результатом работы является установление факта существования как внешних, так и внутренних конически автомодельных течений невязкого газа относительно конического фронта, на котором выполняется условие непротекания. Возможны сверхзвуковые и дозвуковые режимы или их сопряжение. В последнем случае течение реализуется без скачков уплотнения при двунаправленности перехода.

Второй результат носит топологический характер и связан с влиянием завихренности в рамках двухпараметрического класса конически автомодельных течений сжимаемого газа при наличии и отсутствии закрутки.

Третий результат касается расширения представлений о конически автомодельных течениях жидкости и газа на нестационарные режимы движения.

1. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА, ОПИСЫВАЮЩИЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

Рассмотрим стационарные осесимметричные (в том числе закрученные д/дф = 0) течения идеального совершенного газа. Для записи уравнений Эйлера используем сферическую систему координат г, 0, ф [3]:

£М+2 ри+£М+^=о,

дг г гд0 г

2 2

ди ди V + w др

ри-----bpv----р -

дг гд0 г дг

дv дv ^ п w2 др

ри---------------+ pv-+ р-----С;е0р— =-------,

дг гд0 г г гд0

дм дм им „ ум „

Р^ — + + Р — + ^0р— = О,

дг гд0 г г

Ри

дг

і К — 1 „ ,2 / 2 2 2)

И +-----------М1 (и + у + м

ру

г д0

5-1 м2 (и2 + у2 + м2'

= О,

(1)

р кМ^ = рк.

В системе (1) все величины безразмерные и связаны с размерными (отмеченными значком «о») соотношениями

г и у м

г = —, и = —, у = —, м = —

О „О „О „о

ч

и

и

ИО

р р

р = / \2,р=^ рО( иО) р

где и , V , ^ — соответственно радиальная, нормальная к полярному радиусу и окружная составляющие скорости; к0 — энтальпия; р° — давление; ро — плотность газа; М — число Маха; к — показатель адиабаты; индекс «1» соответствует величинам на луче 0 = 01 на расстоянии г° от начала координат (величина и‘0 рассматривается как алгебраическая, число М1 определено по

значению иО и скорости звука аО).

По аналогии с [2] будем искать решения системы (1) в виде

(г, 0)=да, у (г, 0)=ш, „ (г, 0)=ш,

и (г

г

г

г

и (г, 0)=т, р (г, 0)і т, р( г, 0)^^

( , ) г2“ , ( , ) кМ? гР ,

(2)

„(р-2а)

где а, р — свободные параметры.

Подстановка соотношений (2) в уравнения (1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций и(0 ), У(0 ), Ж(0 ), Н(0 ), Р(0) и Л(0 ):

( 2 + а-р) Яи + (ЯУ )' + ЯУ^0 = О, -аЯи 2 + ЯУи'- Я (V 2 + Ж2 ) = -^т Р,

кМ2

-аЯиУ + ЯУУ' + ЯиУ - ЯЖ^0 = -

Р'

кМ2

( 1 - а)ЯиЖ + ЯУЖ' + ЯУЖ^0 = О,

-2аЯи

н+^ м2 (и2 + У2 + Ж2

+ЯУ

н + ^ м2 (и2 + У2 + Ж2

Р = ЯН,

= О,

(3)

где штрих означает дифференцирование по 0.

В отличие от случая несжимаемой жидкости при условиях (2) система уравнений Эйлера

для газа допускает двухпараметрический класс автомодельных решений (а, р — параметры).

д

Соответствующие этим решениям течения газа обладают свойством постоянства чисел M (определенных как по полной, так и по составляющим скорости) вдоль радиальной координаты r (0 = const). (Подобное имеет место и в случае автомодельных решений уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа [4] — [7].)

Начальные условия для системы (3) запишутся в виде

Щ01)=1, V(0O=Vb W(0O=Wb Я(0О=Д0О=Д(0О=1. (4)

При решении системы (3) для фиксированных значений параметров а и р величины M1, V^0, W1 должны быть заданными.

В случае а=р=0 и отсутствии закрутки потока (W^0) решения системы (3) при соответствующих начальных данных (4) совпадают с решениями А. Буземана [1], А. А. Никольского [3], описывающими конические безвихревые течения газа.

Есть, однако, основания утверждать, что решения системы (3) описывают конические

течения газа более общего вида, чем указанные А. Буземаном. В частности, при а^0 и р=0 решения системы (3) отвечают вихревым течениям газа при постоянном полном давлении ро во всей области течения и различной температуре торможения Т0 на разных линиях тока. При а=0 и р^0, наоборот, рассматриваемые решения отвечают вихревым течениям при постоянной температуре торможения и переменном полном давлении на разных линиях тока; при а^0, Р^0 имеет место общий случай. В случае а=р=0 при наличии закрутки (W^0) конические течения газа, описываемые уравнениями (3), являются винтовыми.

По аналогии с коническими течениями несжимаемой жидкости [2] укажем свойства конически подобных течений газа, следующие из системы (3).

Так, используя первое и четвертое уравнения системы (3) и исключая величину RU, приходим к уравнению

1 (RV sin 0) 1 (W sin 0)

2+а-р RV sin 0 1 -а W sin 0

интегрируя которое, получаем

1-а

(±RV sin 0) 2+а-р

W=Г(-------------------------------------------------------—1-, (5)

sin 0

где Г — константа, определяемая начальными данными (4) при 0 = 01 (знак в формуле совпадает

со знаком V). В частности, из (5) при а=1 следует W = r/sin0. При (а-р)=-2 независимо от

наличия закрутки из первого уравнения (3) имеем RV = D/sin0, D = const.

Используя первое и пятое уравнения системы (3) и исключая величину RU, можем записать

H+

к-l

м2 (и 2 +V 2 +W2 )

2

Отсюда после интегрирования получаем

2а (RV sin е)

h+—м2 (и2 +V2 +W2) 2+a-p RVsinе

H+—м2 (и2 +V2 +W2 )=-------------------------------l-^=-, (6)

2 (±RV sin е) 2+a-p

где D1 — постоянная интегрирования.

Из выражения (6), в частности, следует, что при а=0 температура торможения газа постоянна во всей области течения.

Уравнение линий пересечения поверхностей тока с меридиональной плоскостью ф = 0 в рассматриваемых конических течениях газа (при отсутствии закрутки они совпадают с линиями тока) определяется уравнением

dr rd 0 U ~ V '

Его интегрирование с учетом первого уравнения системы (3) дает

const

r =-

( r|v| sin 0)(2+а-р)

(7)

Подход, используемый при получении численных решений системы (3) с начальными условиями (4), такой же, как и в случае несжимаемой жидкости [2]. Так, принимая во внимание требование совместности второго и третьего уравнений системы (3), продифференцируем второе

ее уравнение и исключим величину рР' / кМ^ с помощью третьего. В результате получаем

и "={а/ и2 + 2 аяии"-( ЯУ )" и"+2 Я (УУ'')+я'(у2+Ж 2 )-

-р (1-а)

-а) RUV+RVV' - RW

!ctg0]^( RV).

Это соотношение используется вместо второго уравнения системы (3).

Выпишем также выражение для V , которое следует из первого уравнения системы (3) с использованием других ее уравнений

У'=-{ (2+а-р)и+Ус^0]Н-(1-а)кМ2иУ2+кМ?УЖ2^80-

!)‘

-2аи

H+^-1M12 (и 2 +V 2 +W21

+ (к-1) m2 (UU '+WW ' )V

H

2

1-Mi

,V_

H

Заметим, что (1-М2У2 / Н )=(1-М2 ), где Му — число М в заданной точке, определенное по

нормальной составляющей скорости. Поэтому, как и в случае конических безвихревых течений газа (возможных только при отсутствии закрутки (Ж = 0) [1]), предельным по углу 0 условием существования конических течений в расширенном смысле будет Му=1, при котором величина V" стремится к бесконечности.

Рассмотрим далее указанные выше случаи конических течений газа в расширенном их смысле.

1.1. КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С ПОСТОЯННЫМИ ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ И ТЕМПЕРАТУРОЙ ТОРМОЖЕНИЯ ВО ВСЕЙ ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ ( а=р=0 )

Решение системы (3) с условиями (4) в случае а=р=0 описывают конические течения газа с постоянными значениями полного давления и температуры торможения во всей области течения как при отсутствии, так и при наличии закрутки. При отсутствии закрутки они являются безвихревыми.

Ниже приведены примеры указанных конических течений газа (к=1,4).

а) Решения, описывающие безвихревые течения газа (Ж = 0). На рис. 1, а представлены рассчитанные на основе численного решения системы (3) профили 6(0), Н(0), Н (0), Р(0), соответствующие начальным данным: 01=л/6, 6^=^= 1, М1=0,5. В данном случае существует конический фронт 0 = 0О = 0,8574, на котором выполняется условие непротекания (Н=0). Полученное решение описывает течение газа в области между двумя коническими фронтами 0 = 0- « 0,4300 и 0 = 0+ « 1,7436, разделенной фронтом непротекания 0 = 0О. Фронты 0 = 0- и 0 = 0+ примечательны тем, что нормальные составляющие скорости V на них равны скорости звука (I Mv 1=1), причем IV'|^ да при 0 ^ 0- (или 0+). При этом значения Ми(0-) = 0,4640, Ми(0+) =

На рис. 1, б показаны линии тока, рассчитанные согласно уравнению (7). Области между двумя любыми поверхностями тока представляют собой кольцевые трубки тока. В данном случае названные трубки тока (как внешние, так и внутренние по отношению к фронту 0 = 0О) простираются справа до бесконечности при г ^ да. Заметим, что течения газа в указанных кольцевых трубках тока являются двунаправленными. Здесь и ниже х = гео80, у = Г8Іи0.

На рис. 2 а, б представлены распределения и(0), Р(0), Н (0), Р(0) и картина линий тока для значений 01=л/6, и\=У\= 1 и величины Мі=2. В указанном случае решение системы (3) описывает течение газа в пространстве между коническими фронтами 0_ « 0,2886 и 0+ « 2,0536, при этом фронт непротекания 0 = 0О отсутствует. На фронте 0 = 0_ число Му=1, число Ми(0_) = 1,1905, на фронте 0 = 0+ Му >1, причем Ми(0) ^ да при 0 ^ 0+. Последнее проявляется на характере функций Н (0) и Р(0), которые круто ниспадают к их нулевым значениям. Картина

0,1914,

Ми(0о) = 0,5645.

о

X

Рис. 1.

а — распределения и, V, Н, Р по 0; б — линии тока

линий тока описываемого течения газа отвечает его развороту от исходного состояния на луче 0 = 0- до предельного состояния на луче 0 = 0+, на котором достигается абсолютный вакуум.

Рис. 2

а — распределепия U, V, H, P по Є; б — липии тока

Рис. З

а — распределения U, V, H, P по е; б — линии тока

б)

Для сравнения с предыдущим примером на рис. З, а, б приведены результаты расчетов для Є1=л/6, U1=1, V1= -і, M1=2. В данном примере границы области реализуемого течения суть Є- * 0,2986, Є+ * 2,9236, причем Mv(e-) = Mv(e+)= -і, Ми(Є-) = 2,3736, Ми(Є+) = -3,2470, а фронт непротекания Є = Є0 отсутствует, как и в предыдущем примере. В рассматриваемом случае, однако, существует фронт Є = Єї = 1,2736, на котором M„=0 (U = 0), при этом Mv(e1) = 3,1791.

На рис. 4, а представлены распределения U(e), V(e), H (Є), P(e) для Є1=л/2, U1=1, V1= 0, M1= 1,25. Данное решение описывает веерное коническое течение газа (картина линий тока его показана на рис. 4, б) с граничными значениями Є- * 1,2850, Є0 =л/2. При этом Mv(e-) = і, Мв(Є-) = 1,2184.

Из анализа структуры конических течений газа при a=p=0 и W=0, отвечающих большому числу рассмотренных частных случаев (четыре из которых описаны выше), следует, что при |Mvi|=|Vi\Mi <І независимо от значения M1 реализуется конический фронт непротекания Є=Є0.

(Априори может быть рассчитан режим течения при произвольном значении M1 с заданным коническим фронтом непротекания Є=Є0, полагая Є1=Є0, V1=0. Пример картины течения для подобного случая при Є0=л/2 приведен на рис. 4.)

При |Mvi| > І и произвольном M1 реализуемое коническое течение имеет топологию типа, представленного на рис. 2 или З.

б) Винтовые конические течения. На рис. 5 представлены результаты расчета конического течения газа с закруткой, отвечающего начальным данным М]=1,25, 01=л/6, и1 = Ж1=1,

Н1= -0,5.

Рис. 4

а — распределения U, V, H, P по 0; б — линии тока

Рис. 5. Винтовое коническое течение: а — распределения U, V, W, H, P по 0; б — линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0

Особенность конических течений газа в случае а=р=0 при наличии закрутки состоит в винтовом их характере. Последнее вытекает из соотношения А. А. Фридмана, А. Крокко [8]

—— ——

T Vs -V^o = rot V х V,

где s = ln(p/pK) — энтропийная функция.

В данном случае Vs=Vho =0, тогда из выписанного выше уравнения следует rotVxV=0 .

—— ——

Последнее является условием винтового течения и означает коллинеарность векторов rot V и V. C учетом соотношений для составляющих вихря скорости [3] получаем

Юг ___ 1W

u v w r V

На рис. 5, а, б для указанного примера приведены профили скорости U(0), V(0), W(0), H(0), P(0) и линии сечения поверхностей тока рассчитанного течения плоскостью ф=0. Данное течение реализуется в пространстве между двумя коническими фронтами 0 = 0О =0+ = 1,1436, на котором выполняется условие непротекания, и 0 = 0- = 0,4636, на котором число Mv=1, Ми = 1,5558, Mw = 1,3570. В соответствии с (5) значение W(0o)=O, W'(00)=<x>, U(0О) — конечная величина; значение Ми (0+) = 0,9013.

Остановимся далее на примере винтового конического течения газа, реализующегося при 01=л/2, U1=0, V1=1, W1=r (в данном случае масштабом для скорости является величина

v’|J . 9] j). Анализ и численные расчеты показывают, что при упомянутых начальных данных

независимо от числа M1

P' (01) = P " (01) = . . . P(n) (01) =0.

(Последнее имеет место и в случае несжимаемой жидкости [2].)

В случае газа, кроме того, имеет место

H"(01) = H"" (01) = . . . Hn) (01) = 0.

Отсюда следует, что во всей области течения давление, температура и плотность газа будут постоянными. При этом из уравнения Бернулли для газа (6) независимо от числа M1 вытекает

U2 + V2 + W2 = U2 +V2 +W* = 1+ Г2 = Q2.

Полученное соотношение свидетельствует о постоянстве модуля скорости Q в каждой точке области течения. Причем, как и в случае несжимаемой жидкости [2], получаем

U=±.

^1+Г2 )(l-V sin 0),

V=(l+r2 ) sin 0^-Г—, ' ' sin 0

sin0

где знак «-» соответствует значениям 0 < л/2, знак «+» — значениям 0 > л/2.

При отсутствии закрутки (Г = 0, Q = 1) найденное решение описывает однородное и параллельное оси 0 = 0 течение, в котором U = ± cos0, V = sin0.

Из уравнения для V, в частности, следует, что существуют два значения 00, определяющие конические фронты, на которых выполняются условия непротекания. Так, полагая V = 0, получаем

г

001 = штат ----- , 0О2 =я-0О1.

IV 1+г2 ]

При этом Ж(00) = 0, а значение I Ж'(0) | ^ да при 0 ^ 0О. Областью существования решения будет 001 < 0 < 002.

Для значения Г = 1 на рис. 6, а, б приведены распределения и(0), ^(0), Ж(0) и показаны линии пересечения поверхностей тока с плоскостью ф =0. В данном случае 0О1 =л/4, 0О2 =3л/4.

Таким образом, в рассмотренном случае винтового движения имеет место полное кинематическое подобие течений жидкости и газа. При отсутствии закрутки указанное течение переходит в однородное течение.

-2 о 2

Рис. 6. Винтовое коническое течение: а — распределения и, V, Ж по 0; б — линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0

Найденное решение, кроме того, позволяет сформулировать следующее: уравнения Эйлера допускают режим осесимметричного обтекания конуса специально закрученным сверхзвуковым потоком, кинематически возможный и реализуемый при отсутствии скачка уплотнения. При этом потребная степень закрутки в плоскости 0 = л/2 определяется только углом раствора конуса. Значения чисел M1 могут быть M1 > 1.

1.2. КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С ПОСТОЯННЫМ ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ ВО ВСЕЙ ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ И РАЗЛИЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ ТОРМОЖЕНИЯ НА РАЗНЫХ ЛИНИЯХ ТОКА ( а * 0, р=0 )

При значениях параметров а*0 и р=0 решения системы (3) описывают вихревые течения газа с постоянным полным давлением во всей области течения и различной температурой торможения на разных линиях тока. Для простоты рассмотрим пример таких течений при

отсутствии закрутки потока (Ж^0), соответствующий значению а=-1 и начальным данным 01=л/6, и1=1, Vl= -0,5, М1=1,25.

Для указанных условий на рис. 7, а и б приведены рассчитанные профили и(0), У(0), #(0), Р(0) и картина линий тока. Полученное решение описывает течение газа в пространстве между двумя фронтами 0_ =0о = 0,1950 (У=0, М„=1,3511) и 0+ = 0,7600 (Щ0+) = 1, Ми(0+) = 1,0757). Особенностью данного течения является то, что значения и(0_) и Н(0_) стремятся к нулю при 0 ^ 00, но число Ми(00) остается конечным.

Это является следствием кинематического подобия конических течений газа в случае

отсутствия закрутки, отвечающих р=0, а=уаг и одним и тем же начальным данным (01, и1, У1, М1). Указанное подобие обусловлено тем, что (как показывает анализ и численные расчеты) отношение и/У при р=0 не зависит от параметра а и является только функцией угла 0. Поэтому согласно дифференциальному уравнению линий тока с1г!г = (1ЛУ)с1д в сравниваемых течениях

Рис. 7

а — распределения и, У, Н, Р по 0; б — линии тока

они будут совпадать. При этом, хотя составляющие скорости и температура (отвечающие различным значениям а) в каждой точке сходственных линий тока будут разными, числа Ми, Му, а также величины давления р в этой точке будут одними и теми же.

Для подтверждения этого на рис. 7 представлены также данные расчетов для случая р=0 и

а =0. Видно, что распределения и(0), У(0), Н(0), Р(0) для а =0 и а = _1 сильно отличаются между собой. Картины же линий тока и поля чисел М в сравниваемых течениях в соответствии с изложенным выше совпадают. Последнее имеет место несмотря на то, что при а = _1 значение Д(0) ^ да при 0 ^ 00.

1.3. КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С РАЗЛИЧНЫМ ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ НА РАЗНЫХ ЛИНИЯХ ТОКА

При значении параметра р^0 решения системы (3) описывают вихревые течения газа с различным полным давлением на разных линиях тока. При этом температура торможения на разных линиях тока может быть как постоянной (а =0), так и переменной (а ^0).

Для условия отсутствия закрутки потока (Ж=0) на рис. 8, а, б представлены результаты расчетов, соответствующие а =0, р=1 (полное давление убывает с ростом г), 01=л/6, £/1=1, У1= -0,5, М1=1,25. Соответствующее течение газа реализуется в области 0— < 0 < 0+, где 0—=0,3286 (М„= -1, Мв=1,8018), 0+ = 0о = 1,7236 (Ми= -2,4162).

С целью демонстрации влияния параметра р (при прочих равных условиях) на характер течения на рисунке представлены расчетные данные, отвечающие значению р=-1 (полное давление возрастает с ростом г). Соответствующее данному расчету течение реализуется в области

0_ < 0 < 0+. Здесь 0_ =0,0890 (М„ = -1, Мн=0,8008), 0+=О,5936 (М„ = -1, Мн=1,3249).

Рис. 8

а — распределения и, У, Н, Р по 0; б — линии тока

Видно, что топологии сравниваемых течений сильно различаются. Например, в случае Р=—1 направление линий тока при течении газа практически меняется на обратное.

В заключение раздела 1 отметим, что система уравнений Эйлера, записанная в полярных координатах г, ф, допускает автомодельные решения вида (2), которые описывают специальные плоские течения газа. Решения указанного типа при р=0 и произвольном а описывают течения

газа с параллельными линиями тока. (При а = р=0 редуцированная система уравнений Эйлера при соответствующих начальных данных описывает также течение Прандтля — Майера, однако оно не относится к рассматриваемому классу, поскольку является вырожденным случаем. Особенность течения Прандтля — Майера, как известно, состоит в том, что при развороте потока

газа нормальная составляющая скорости V равна скорости звука.) Решения же при р^0 и произвольном а описывают течения с постоянными числами M на лучах ф=сош1.

2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

Приведенные в I и II частях результаты относятся к случаю стационарных течений жидкости и газа. При этом оставался открытым вопрос о существовании подобных (конических) течений с включением фактора времени.

Переходя к рассмотрению нестационарных уравнений движения, с самого начала обратим внимание на одно (достаточно очевидное) свойство уравнений Эйлера как применительно к случаю течений несжимаемой жидкости, так и к случаю течений сжимаемого газа.

Это свойство можно назвать инвариантностью уравнений по отношению к знаку времени (^ — — 0. Причем эта инвариантность (с очевидностью) имеет место, если выполнено условие кинематической кососимметрии:

и —— —и,

V — —V,

м — —м.

Указанным свойством обладают конически автомодельные решения нестационарных уравнений Эйлера, для отыскания которых сначала осуществим следующую параметризацию фактора времени

х = 1 + т^ (8)

где t =

—безразмерное время (

— модуль характерной скорости в заданной точке 1 области течения (г}°, 01) в начальный момент времени t = 0), т — произвольный параметр, удовлетворяющий следующим условиям:

t > 0 — т > 0,

t < 0 — т < 0.

Значение т = 0 отвечает стационарному случаю.

Отдельно рассмотрим случаи несжимаемой жидкости и газа.

а) Несжимаемая жидкость. С учетом (8) нестационарные уравнения Эйлера в

безразмерной форме, описывающие закрученные течения (д/дф = 0), примут вид

ди „ и ду „ V „

—+2-+----------+Се0-=0,

дг г гд0 г

2 2

ды ды ди V + м др

т----+ и---

дх дг гд0 г дг ^

ду ду ду иу пм2 др

т----+ и--+ у-----1--------с1£0—=---,

дх дг гд0 г г гд0

дм дм дм им ум

т-----+ и------+ у-1----+ Се0—=0.

дх дг гд0 г г

Конически автомодельные решения системы уравнений (9) будем искать в виде

г г г

и(г,0,х)=-и(0), у(г,0,х)=-V(0), м(г,0,х)=-Ж(0), х х х

г V (10)

р(г,0,х)=[-J р(0).

Поскольку автомодельное течение не может быть ограничено во времени, величина х может быть только положительной. При этом граничные и начальные условия (при t = 0) должны отвечать условиям автомодельности.

С учетом представлений (10) система (9) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

зи + У'+ У ^0 = 0,

—ти + и2 + Уи — (У2 + Ж2) = -2Р,

—тУ + 2£У + УУ - сИ^Э Ж2 = —Р',

—тЖ + 2иЖ + УЖ + УЖ ^0 = 0.

При т = 0 имеем стационарный случай (см. [2] при а= -1).

Начальные условия для системы (11) запишем в виде

и(01)=иь У(01)=У1, Ж(01)=Ж1, Р(01)=Р1. (12)

В отличие от стационарного случая [2] величина и1 может быть равной 1 или -1 ввиду предполагаемой нормировки составляющей скорости и0 на абсолютное значение и 0 .

Отметим, что в случае безвихревого нестационарного конического течения жидкости (реализуемого при Ж = 0 и условии и' - 2У = 0) второе уравнение системы (11) можно трактовать

как частную форму записи интеграла Коши —Лагранжа [3]. При этом Р1 = - (и}2 + V2 ) /2+ти} /2,

а вид функций и(0) и У(0) полностью совпадает с видом функций и(0) и У(0) для стационарного случая (т = 0).

Подчеркнем также, что в нестационарных конических течениях линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Приведем примеры нестационарных конических течений с закруткой (являющихся вихревыми) и продемонстрируем на них, в частности, инвариантность к знаку времени. Так, на рис. 9, а

Рис. 9. Несжимаемая жидкость: а — распределения и, V, Н, Р по 0; б — линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0

в виде распределений и(0), ¥(0), Ж(0), Р(0) представлены результаты решения системы (11) при значении параметра нестационарности т = 1 и следующих начальных данных:

01 =1, иХ =УХ =ЖХ =1, РХ =-(и2 +УХ2 +ЖХ2)/2.

Полученное решение описывает течение жидкости в области 0 < 0 < 0О = 0,7156. Течение вызвано распределенными нестационарными вихреисточниками на луче 0 = 0, при этом на луче

0 = 0О реализуется условие непротекания — ¥(0О)=О, а также Ж(0О)=0. На рис. 9, б показаны линии сечений поверхностей тока плоскостью ф = 0.

В соответствии со сказанным в начале настоящего раздела полученное решение при т = -1 и кососимметричных начальных данных

0Х =-, иХ =УХ =ЖХ =-1, Р =-| 6

Х =-|иХ2 +УХ2 +Ж2 )/2

обладает полной кинематической кососимметрией по отношению к предыдущему примеру. Требование неограниченности во времени течения, описываемого последним решением, формально допускает возможность отрицательного отсчета времени ^.

Анализ и результаты расчетов при этом показали, что выдерживать кососимметрию по величине Ж не требуется.

Укажем также, что система (11) при т=1 с начальными данными 0х =—, и =У =Щ_=-1 и

6

при т= -1 с начальными данными 0х =—, и =У =Щ_=1 допускает существование другой пары

6

сопряженных решений в упомянутом выше смысле.

б) Сжимаемый газ. С учетом (8) система уравнений Эйлера для сжимаемого газа в нестационарном случае при условии 5/5ф = 0 имеет вид:

dp d(pu) d(pv) pv л

m —+——-+——-+ctg0—=0, dr dr rd0 r

du du du v2 + w2 dp

mp--------+pu-----+pv---------p

дг дт тд0 2 дт

ду ду ду иу „ м2 др

тр—+ри—+Ру^+Р--------------СЇ§ЄР—=—гг,

дг дт тд0 т т тд0

дм дм дм им п ум „

тр----ьри---ьру----ьр-ь ^0р—=0,

дг дт тд0 т т

, , Чл/г2 dp п

тр---ь т (к-1) М, —=0,

^г V 71 d г

ркМ2 =рк.

В ней все величины безразмерные и связаны с размерными, имеющими индекс 1;

последние отвечают лучу 0 = 0Ь расстоянию і) ° и начальному моменту времени ґ = ґ и\ //|' = 0.

Будем искать автомодельные решения системы (13) следующего вида [9]:

т т т

и(т,0,г)=-и(0), у(т,0,г)=-V(0), м(т,0,г)=-Ж(0), г г г

к(г,0,т)=Г-1 Н(0), р(г,0,т)=—ЦР©, р(г,0,т)= К|0^ ,

1 , , ) ( ), р( , , ) кМ2 гРт6 р( , , ) -Р+2т^

где т = 1+т?1 (т, Р, Ь — свободные параметры).

При условиях (14) из системы (13) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

-т (Ь - 2) Я-(Р-1) Яи+( ЯУ )' + сХфЯУ=0,

-mRU+RU2 + RVU'-R (v 2 +W 2 )=^^ P,

1

9 P'

-mRV+2RUV+RVV '-ctg0RW 2 =---- , (15)

кМ2

-mW+2UW+VW'+ctg0 VW=0,

-2шШ+m — bP+2RUЯ+Rm '+— (pUP-VP')=0, к к v !

P=Ш.

Таким образом, система уравнений (13) допускает трехпараметрический класс автомодельных решений (m, р, b - параметры). При этом описываемые указанными решениями течения газа обладают по аналогии с [9] свойством постоянства чисел M как во времени, так и вдоль радиальной координаты.

Начальные условия для системы (15) запишутся аналогично (4):

Щ0О=1, V(0O=Vb W(0O=Wb Я(01)=Р(01)=Р(01)=1. (16)

Величины M1, V1 Ф 0, W1 при решении системы (15) с фиксированными значениями параметров m, р и b также должны быть заданы.

Решения системы (15) с условиями (16) определяют поля газодинамических величин в начальный момент времени t= 0, отвечающие условиям автомодельности (14). При t= 0 температура (энтальпия) газа переменна налучах 0 = const, а степень изменения давления вдоль лучей определяется значением параметра р. В частности, при р = 0 оно постоянно на лучах 0 = const.

Отметим, что при р = - b (в том числе и при р = b = 0) в рассматриваемых нестационарных конических течениях газа все газодинамические величины будут иметь одни и те же значения на лучах 0 = const при различных гит, если выдерживается постоянство отношения г/т.

Анализ показывает, что как в стационарных, так и в нестационарных конических течениях газа одним из предельных условий их существования по углу 0 будет равенство числа Mv = 1, определенного по составляющей скорости v, при этом V(Q) —> 00.

I 2 3 Р 4

---------,-------------------------------------------------------------------.----------------------,-----------------------1---------------------^

-I 0 1 и, V, W, н 2

Рис. 10

а — распределения и, V, Н, Р по 0; б — линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0

В качестве примера при наличии закрутки на рис. 10, а представлены полученные на основе решения системы (15) для к = 1,4 распределения и(0), К(0), Щ0), Н(0), Р(0) и линии сечений поверхностей тока (рис. 10, б), отвечающие значениям параметров т=1, р= Ь=0 и начальным данным

—

01 = -, и = 1, V = -0,5, Ж1 = 1 и М1 = 1,25.

6

В данном случае решение системы (15) описывает нестационарное коническое течение газа в пространстве между двумя фронтами 0_ = 0,1236 (Ми = 3,4417, Му = -1, М* = 1,8348) и 0 = 0+ = 0О = 0,9436 (Ми ^ - да, V ^ 0, Н ^ 0, т. е. на луче 0 = 0О реализуется условие непротекания). Видно, что значения радиальной скорости и(0_ ) и и(0+) имеют разный знак.

По аналогии со случаем несжимаемой жидкости получено также решение системы (15) при

—

т = _1 и кососимметричных начальных данных 01 = —, и = — 1, ¥х = 0,5, Щ = — 1, |М1 = 1,25. При

6

этом численные результаты второго решения демонстрируют полную кососимметрию описываемого течения по сравнении с первым решением.

Таким образом, рассмотренные примеры нестационарных конических течений как жидкости, так и газа подтверждают их инвариантность (как сохранение коничности) по отношению к знаку времени, которую можно интерпретировать как обратимость во времени свойства коничности.

Наличие в приведенных численных примерах принципа кинематической кососимметрии в начальных данных приводит к тому, что обращенное во времени коническое автомодельное решение сохраняет свойство кососимметрии и потому оказывается кинематически кососимметрично сопряженным по отношению к так называемому прямому автомодельному решению.

Очевидно, что нестационарные уравнения Эйлера, описывающие плоские течения несжимаемой жидкости и газа в полярных координатах г, ф, также допускают автомодельные решения вида (10), (14).

В заключение выражаем свою признательность Э. В. Юдиной за помощь в проведении расчетов и оформление материалов статьи для печати.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буземан А. Осесимметричное коническое сверхзвуковое течение/ Сб. переводов.

Газовая динамика.— М.: ИЛ — 1950.

2. Быркин А. П., Щенников В. В. О конически подобных течениях жидкости и газа. Часть I. Несжимаемая жидкость//Ученые записки ЦАГИ.— 2002. Т XXXIII, № 1—2.

3. К о чин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть I, II.— М.: Физматгиз. - 1963.

4. Williams J. C. Conical nozzle flow with velosity slip and temperature jump//AIAA J.—

1967. Vol. 5, № 12.

5. Быркин А. П. Об одном точном решении уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа//ПММ —1969. Т. 33, № 1.

6. Щ е н н и к о в В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа//ПММ — 1969, Т. 33, № 3.

7. Б ы р к и н А. П. О точных решениях уравнений Навье — Стокса для течения сжимаемого газа в каналах// Ученые записки ЦАГИ.— 1970. Т. I, № 6.

8. Черный Г. Г. Газовая динамика.— М.: Наука.— 1988.

9. Б ы р к и н А. П. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для нестационарного течения сжимаемого газа в каналах//Ученые записки ЦАГИ.— 1972. Т. III,

№ 6.

Рукопись поступила 10/II2000 г.