CC BY
55
Том XXXIII
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 2
№ 1—2
УДК 533.6.011.32
О КОНИЧЕСКИ ПОДОБНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Часть I. НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ
А. П. БЫРКИН, В. В. ЩЕННИКОВ
Рассматривается однопараметрический класс конически подобных течений идеальной несжимаемой жидкости. Существенным моментом является введение в рассмотрение закрутки потока, сохраняющей исходную автомодельность.
Известно, что впервые понятие конического сверхзвукового течения было введено Буземаном применительно к сверхзвуковым течениям газа [1]. Коническое течение газа в области между присоединенным коническим скачком уплотнения и поверхностью конуса обладает свойством постоянства параметров течения вдоль образующих соответствующих конических поверхностей.
Представляется также интересным исследование конически подобных течений несжимаемой жидкости, а также сжимаемого газа при дозвуковых скоростях.
По-видимому, анализ внутренних конически подобных течений несжимаемой жидкости наиболее полно представлен в работе [2]. В ней для анализа автомодельности система уравнений Эйлера приведена к одному уравнению относительно функции тока. Предложенный вариант постановки краевой задачи для этого уравнения позволяет заключить, что по существу в работе [2] рассмотрена задача о конически подобных течениях, индуцированных закруткой жидкости в поперечном сечении ограничивающего конуса при выполнении условия непротекания на оси и его поверхности.
Не снижая значимости результатов, полученных в [2], заметим, однако, что по-прежнему остается открытым вопрос о существовании внешних конически подобных течений несжимаемой жидкости. Наконец, принципиальное значение имеет сопряженная задача, в рамках которой сопрягается пара конически подобных течений: внутреннего и внешнего.
В данной работе приводятся результаты численных реализаций построенного однопараметрического класса решений указанных выше задач. Эти решения описывают конически подобные (автомодельные) течения, вызванные гидродинамическими особенностями на оси симметрии [3]. Показано, что введение в рассмотрение закрутки потока порождает качественно новый тип вихревых течений — винтовые конические движения. Найденные в рамках этого типа течений кинематические инварианты позволяют преодолеть в процессе их численного расчета особенность, возникающую на оси течения.
К числу топологических особенностей конически подобных течений с закруткой, обнаруженных в численном расчете, относится появление конических фронтов, на которых
параметры течения терпят излом. В процессе счета эти особенности удается проходить (насквозь) с использованием кинематических инвариантов.
1. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА, ОПИСЫВАЮЩИЕ КОНИЧЕСКИ ПОДОБНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Будем рассматривать стационарные осесимметричные (в общем случае закрученные) течения несжимаемой жидкости. Уравнения Эйлера запишем в сферической системе координат г, 6, Ф [4] (рис. 1), учитывая, что д/дф = 0:
ды „и ду „ V
— + 2- +----+ Се0- = 0,
дг г гд0 г
ды ды V + м> др
'---------V V--------------------------—---------,
дг гдв г дг
(1)
ду ду иу др
и----+ V----1----с1£0— =---------,
дг гд0 г г гд0
дw дw uw „vw
и — + V---------+ — + Се0— = 0.
дг гд0 г г
Здесь все величины безразмерные и связаны с размерными (отмеченными значком <<0>>) соотношениями
о
г
о
а
о
V
о
г —-
а — -
V — -
р =
о о р - Р()а
о
(ы1)
0 0 0 / где и , V , ^ — соответственно радиальная, нормальная к полярному радиусу (в меридиональном
плоскости) и окружная составляющие скорости, р — давление, р° — плотность, р°а —
постоянная; индекс 1 соответствует величинам на луче 0 = 01 на расстоянии г° от начала
координат, нижние индексы 0, а — параметрам соответственно заторможенного потока и на бесконечности.
о / і
Рис. 1. Линии тока
Будем искать решения системы (1) в виде
о
о
о
о
а
ы
ы
1
р
u(r,в) = m, v(r,e> = Ш, w(r,в) = Ш.p(r,в) = P£> , (2)
r a r r r
где a, p — параметры.
Подстановка зависимостей (2) в систему (1) приводит при p = 2a к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций £/(в), Р’(в), Щв), Р(в)
(2-a) U + V'+ V ctg в = 0,
-aU2 + V U'- (V2 + W2) = 2a P,
-aUV + VF'+ UV - W2 е^в = -P' (3)
-a UW + VW'+ UW + VW ctge = 0.
Начальные условия для системы (3) запишем в виде
Щво = U1=1, V(el)=Vl, W(el)= W1, Р(в1)=Р1, (4)
где V1, W1, P1 — задаваемые величины, при этом в общем случае V1^0.
Таким образом, система уравнений Эйлера (1) допускает однопараметрический класс (a — свободный параметр) автомодельных решений. Как следует из формул (2) , свойством течений, описываемых этими решениями, является наличие связей между компонентами вектора скорости
и давлением на лучах в = const (v/u = const, w/u = const, p/u2 = const), которые характерны для
конически подобных течений.
Указанные связи на лучах ф = const присущи и плоским автомодельным течениям жидкости [5], в которых законы изменения составляющих скорости и давления от полярных координат r и ф совпадают с (2). (Данные плоские течения являются безвихревыми, хотя при определенных условиях представление (2) допускает и вихревой их характер.)
В осесимметричных конических сверхзвуковых течениях газа, описываемых решением Буземана [1], сами газодинамические величины постоянны на лучах в = const, так что указанные выше связи между составляющими скорости на них выполняются автоматически.
Отметим, что связь между собой характеристик потока на лучах в = const или ф = const имеет место также в автомодельных течениях вязкой несжимаемой жидкости и газа, описываемых полными уравнениями Навье — Стокса [6] — [10].
При фиксированных в1, V1, W1 характер конического течения определяется значениями
параметра a и приведенного давления Pl = [р° - pO^j / р0 [u° j в заданной точке течения 1. Величина Р1 характеризует степень отличия полного давления p°°i = р° [ rf. в! j в точке 1 от полного давления на бесконечности р0^ . Так,
P°°i -Р°°»=р , 1 + Vi2 +
2 1
Отсюда следует, что при Р1 = —^1 + V2 + Щ2 ) /2: р^1 = р0«,, при Р1 >—^1 + VI2 + Щ[21 /2: Р01 >Ро<» и при Р1 <_^1 + VI2 + Щ21/2: р°1 <р0^ . Таким образом, при значении приведенного
давления Р_ =— ^1 + У2 + Щ21 /2 полное давление будет постоянным во всей области течения, а
2
при Pf Ф - [l + Vf2 + W2 j /2 оно будет различным на разных линиях тока (в случае a=0 параметр Р1
может принимать только значение - [l + V2 + Щ2 j /2).
Укажем некоторые свойства конически подобных течений с закруткой, описываемых решениями системы (3). Из первого и четвертого уравнений (3) при исключении величины U приходим к уравнению:
1 [V sin ej 1 [W sin ej
2 -a V sin в 1 -a W sin в
интегрируя которое, получаем при aФ2 первый инвариант
1-a
Wsinв = Г[±Гsinej2-a . (5)
Здесь Г — константа, определяемая начальными данными (4) при в = в1; знак в формуле совпадает со знаком величины V. Отсюда при a = 1 следует W = Г^тв. При a = 2 независимо от степени закрутки из первого уравнения системы (3) получаем V = D/ sM, D = const.
Соотношение (5) свидетельствует о «вмороженности» поля окружной составляющей скорости в поле нормальной составляющей скорости.
Как будет показано ниже, для решений (3) с условиями (4) имеем V sM= const при в ^ 0. Из (5) при этом следует, что и W sM = const при в ^ 0. Последнее (в отличие от постановки автомодельной задачи в [2]) свидетельствует об отсутствии сингулярности на лучах в = 0 и л, присущей автомодельным уравнениям.
Далее, из трех последних уравнений системы (3) следует второй инвариант
U2 + V2 + W2 const
P +---------Z-------=-----------~ъГ, (6)
[±V sin j 2-a
где значение постоянной определяется начальными данными (4). Очевидно, что в случаях потенциального и винтового течений ее значение равно нулю.
Таким образом, для определения искомых функций и, V (с учетом (5), (6)) и решения всей задачи в целом остается проинтегрировать лишь систему первых двух уравнений (3).
Другой подход, используемый при получении численных решений системы (3) с начальными условиями (4), состоит в следующем. Продифференцируем второе уравнение и, используя третье уравнение, исключим величину Р'. В результате получаем соотношение
2а[и' — (1 — а)У~р + 2Щ (Щ' + а ЩС§0) — [и' — (1 — а)Г]Г и -(1 -а)У + р ’
которое будем использовать вместо второго уравнения системы (3) при численном ее решении с начальными данными (4).
Уравнение линий пересечения поверхностей тока с меридиональной плоскостью ф = 0 (при отсутствии закрутки они совпадают с линиями тока) определяется уравением
Ф Ы 0
и V
Его интегрирование с учетом первого уравнения системы (3) дает
const
г =-------------—. (7)
[V sin ej 2-a
1.1. РЕШЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПОСТОЯННОГО ПОЛНОГО ДАВЛЕНИЯ
Для этого случая рц - Ро<» и приведенное давление равно
P = P (в1) = -
1+V2 + w2
2
Запишем далее второе уравнение системы (3) в форме
-2a
U2 + V2 + Щ2Л P +--------------
VU'-[1 -aj[V2 + W2 j
= 0.
Поскольку при условии р°1 - р°х справедлив интеграл Бернулли — Эйлера, получаем
P -
U2 + V2 + W2 2
= 0.
(8)
Тогда выражение в квадратных скобках (инвариант) будет равно нулю
т — (1—а) (V 2 + Ж2) = 0.
(9)
Исходя из (9), представим V в виде
V = -
a-1 V
После подстановки полученного выражения для V в третье уравнение системы (3) и последующего его интегрирования также приходим к формуле (8).
Как следует из векторной записи уравнений движения в форме Громеки — Ламба [11], при наличии закрутки условие (8) может иметь место, если векторы скорости и и завихренности ё = rot/7 коллинеарны.
При 3/3ф = 0 и условиях (2) компоненты вектора завихренности записываются в виде [4]
1 А[ w sin 0j = a./. „ [W sin в/ .
r sin в 3в
гa+1 sin в
•On = --
1 3 [rw sin вj=—a+- [1 -ajW.
r sin в 3r
(10)
°ф=-
r
3[rvj 3u 3r 3в
[(1 -a)V - U' ]
Or =
r
и отличны от нуля.
Непосредственной проверкой убеждаемся в коллинеарности векторов й и та . Так, с учетом соотношения
W 2
U-[1 -aV = [1 -aj —,
являющегося следствием инварианта (9), и выражения для U
V [W sin вj [1 -aj W sin в
получаем
or _ ов _ °ф _ [1 -aj W_
u v w r V
Как известно из [11], течения, обладающие такими свойствами, называются винтовыми. а) Безвихревые течения при отсутствии закрутки. При отсутствии закрутки (W = 0) и произвольном значении a инвариант (9) принимает вид
U' - (1-a)V = 0.
Отсюда видно, что рассматриваемые ниже течения будут безвихревыми.
Используя выписанное выше соотношение, первое уравнение системы (3) представим в
виде
U" + ^в U + (2 - a) (1 - a) U = 0. (11)
Данное уравнение является уравнением типа Лежандра, которое будем решать при различных значениях свободного параметра a с начальными данными
U((1)=1, U" (во = (1 - a)V1. (12)
Первое из этих условий есть следствие нормировки, второе — вытекает из (9).
Проведен анализ полученных при некоторых значениях параметра a решений уравнения (11) с условиями (12) и описываемых ими течений. Эти решения удовлетворяют условию непротекания (V1=0) на коническом фронте в = в1 = в0.
Случай a = 0. При в1 = 0 решение уравнения (11) U=tos(, V= -sM. Оно описывает однородное течение жидкости с линиями тока, параллельными лучу в = 0.
При в1 = л/6 решение описывает внутреннее (в < в1) и внешнее (в > в1) течения, вызванные распределенными вдоль лучей в = 0 и в = л источниками (стоками), интенсивность которых (на единицу длины) возрастает в зависимости от r по линейному закону (q~r).
Анализ полученного при в1 = л/6 численного решения показал, что радиальная составляющая скорости U в окрестности значения в = 0 для внутреннего и в = л для внешнего течений в зависимости от величины в (или S = л - в) изменяется по логарифмическому закону. Из первого уравнения (3) с учетом представления Vsi^ = const при в ^ 0 следует, что отношение U/V при в ^ 0 (или S ^ 0) стремится к нулю.
На рис. 1 для значения в1 = л/6 представлены рассчитанные линии тока, отвечающие внутреннему (в < в1) и внешнему (в > в1) течениям. Здесь и ниже x = r cos(, y = r sM.
Случай a=1. В данном случае из уравнения (9) при W = 0 и первого уравнения (3) получаем
U = 1, V =cos в-cos в1 , (13)
sin в
а уравнение линий тока (7) принимает вид r(cosв - cos в1) = const. При в1 = 0 это решение описывает течение, вызванное распределенными вдоль луча в1 = л источниками (стоками) постоянной интенсивности. На рис. 2 приведена рассчитанная картина линий тока, отвечающая значению в1 = 0.
Отметим, что при в1 = л/2 уравнение линий тока
r cos( = x = const,
т. е. решение (13) описывает течение от плоского источника (стока).
Случай a=-1. При в1 = 0 имеем решение:
и -1- [3оо8 ( 20) +1], V-— ( 20) ,
которое описывает безвихревое осесимметричное течение с критической точкой в начале координат. Соответствующие линии тока показаны на рис. 3.
Случай а=2. В этом случае решение уравнения (11) и = 1, V = 0 описывает радиальное течение от пространственного источника (стока). При условии ^0^ Ф 0 решением уравнения (11) будет: V = С/8т0, и = 1и^0/2| + В, где С, В — константы. Это означает, что в данном случае луч 0 = 0 является линией источников, а луч 0=л — линией стоков (или наоборот). Соответственно линии тока исходят из луча 0 = 0 и подходят к лучу 0 = л.
и= 1 >■-*(!)
I " 1---- ---‘ 1----------1--------*"Г---------1-----—(--------------г
-2 0 2 4 6
Рис. 2. Линии тока
а)
(/ = ^[Зс<м(2е) + 1]
[/ = -|8‘п(20)
Рис. 3. Распределение и, Vпо 0 (а); линии тока (б)
Завершая анализ результатов расчетов безвихревых течений при отсутствии закрутки, отметим, что решения уравнения (11) для U(0) с условиями (12) совпадают при значениях а=1 и 2, а=0 и 3, а= -1 и 4 и так далее. Однако вид функции V(0) разный в соответствии с условием (9) при W = 0. По этой причине будет разной и топология этих течений (сравним случаи а = 1 и 2 при U = 1).
б) Безвихревые закрученные течения. При значении а=1 и наличии закрутки существует решение системы (3) с условиями (4) (при р =— (l + V2 + W2 j/2), примечательное тем, что оно
описывает безвихревое конически подобное течение. Последнее следует из уравнений (5), (9) и соотношений (10) для компонентов вектора завихренности при W = T/sin0, U = 1. Выражение для V(0) получаем из первого уравнения (3) с учетом U=1.
При этом независимо от закрутки имеет место связь
_ V sin 01 + cos 0 — cos 01
sin 0
Отсюда следует, что существует конический фронт 0 = 0О, на котором реализуется условие непротекания — V(0O) = 0. Значение 0О = arccos(cos01 — V1sin01), при V1=0 получаем 0О=01.
Для иллюстрации на рис. 4 для 01=л/6 и U1 = V1 = W1 = 1 сплошными линиями показан фронт
0О = 1,1965 и линии пересечения поверхностей тока с плоскостью ф = 0.
о 1 2
Рис. 4. Линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0
Приведем пример безвихревого закрученного течения при а=1 с другими начальными условиями:
—
0, = -, и = 0, VI = 1, Wl = г.
1 2
В качестве масштаба скорости используется величина V0 ^г,, 0, |.
В отличие от течения, описанного выше, оно имеет иную топологию. Так, и = 0, ¥(0) = 1/8Ш0, Ш(0) = Г/8Ш0, а линии пересечения поверхностей тока плоскостью ф = 0 будут дугами окружности. При этом лучи 0 = 0 и 0 = л будут линиями вихреисточников (стоков).
в) Винтовые конические течения. Приведем примеры рассчитанных винтовых конических течений, отвечающих заданным значениям параметров а и 01. Как указывалось выше, условием реализации винтовых течений является требование выполнения условия
Случай а=0, в1=л/6. По данным численного расчета на рис. 5, а представлены полученные распределения и(0), ¥(0) и Ш(0), отвечающие значениям и1= У1= Ш1=1, Р1= -1,5. При этом существует конический фронт 0 = 0О = 0,8400, на котором ¥(0О) = 0. При отсутствии закрутки в безвихревом варианте течения и' (0О)=0 (см. (9)), при ее наличии величина и'(0О) Ф 0; из уравнения (5) при этом следует Ш(0О)=0, а функция \Ш' (0) да при 0 ^ 0О, как следует из
четвертого уравнения системы (3).
На рис. 5, б показаны линии пересечения поверхностей тока рассмотренного винтового течения с плоскостью ф=0. Течение обусловлено вихреисточниками (стоками) с переменными вдоль луча 0=0 интенсивностями источников (стоков) q~r и циркуляции у~г.
Случай а=0, в=л/2. Рассмотрим другое решение при а = 0, которое отличается от предыдущего как значением 01, так и начальными данными, а именно: и1 = О, ¥1= 1, Ш1 = Г,
1 + V2 + Щ2
а)
в
а=0
01=71/6
1/1=у,=щ=\
У
\
о
2
Рис. 5. Распределение и, ¥, Шпо 0 (а); линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = О (б)
)/2 = -(1+ Г2 ) /2
В этом случае, P(0) = P = const, поскольку из уравнений (3) следует, что P' (0i) =
=P"(01) = . . . =P”(01) = 0 при n ^ да .
Из уравнения (8) тогда вытекает
U2 + V2 + W2 = U2 + V2 + W12 = 1+ Г2 = Q2 .
Последнее свидетельствует о том, что модуль скорости Q постоянен в области течения. С учетом полученного результата инвариант (9) представляется в виде
Уи'= V2 + Ж2 = Q 2 - и 2 ,
который с использованием первого уравнения (3) запишем следующим образом:
(и ) (V sin 0)
Q2 - и2 (V sin 0) '
Интегрируя это уравнение, получаем с учетом начальных условий при 0 = л/2
и2 = Q2 (1 - Vsin0) = (1+Г2) (1 - Vsin0).
Выражение для функции Ж 2(Н) следует из (5)
2 2 V
W =Г2--------
sin 0
С учетом выписанных выше соотношений окончательно получаем
V = Q2 sin0—Г— = (l + Г2 )sin0—-
Отметим, что при отсутствии закрутки (Г = 0, Q = 1) найденное решение описывает однородное и параллельное оси 0 = 0 течение, в котором и = - cos0, V = sin0.
Из последнего уравнения, в частности, следует, что существуют два значения 00, определяющие конические фронты, на которых выполняются условия непротекания. Так, полагая V = 0, получаем
При этом Ж(0О) = 0, а значение Ж' (0) ^ ± да при 0 ^ 0О. Областью существования решения будет 001 — 0 — 002.
Для значения Г = 1 на рис. 6, а и б приведены распределения и(0), Н(0), Ж(0) и показаны линии пересечения поверхностей тока с плоскостью ф = 0. В данном случае 0О1 = л/4, 0О2 = 3л/4.
Случай а= - 1. Для указанной величины параметра а и значений 01=л/6, и1=Н1=Ж1= 1 на рис. 7, а и б приведены профили и(0), Н(0), Ж(0) и картины линий пересечения поверхностей тока рассчитанного винтового течения с плоскостью ф = 0. По сравнению с предыдущими примерами (например, при а= 0), в данном случае на коническом фронте 0 = 0О = 0,7371 величина
0О1 = arcsin
U' (0о)=О согласно (5), (9).
1.2. КОНИЧЕСКИ ПОДОБНЫЕ ТЕЧЕНИЯ С РАЗЛИЧНЫМ ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ НА РАЗНЫХ ЛИНИЯХ ТОКА
Как отмечалось выше, для решений, описывающих указанные течения, выполняется условие Р-1 Ф Ф- (1 + V2 + Ж21 /2. При этом конически подобные течения с
различным полным давлением на разных линиях тока являются вихревыми при отсутствии и наличии закрутки потока.
В качестве примера на рис. 4 для значения величины а = 1 при 01=л/6, и1=Н1=Ж1=1 показано влияние
параметра Р1 на топологию течения с
закруткой потока. Видно, что линии пересечения поверхностей тока с
плоскостью ф=0 при Р1=— 3 (полное
давление
отличаются
р01 < р0да )
радикально случая Р1= -1,5
(Р01 = Рода), отвечающего безвихревому случаю. При Р]= -3 линии тока исходят из луча 0 = 0 и замыкаются на луче
Рис. 6. Распределение и, V, Ж по 0 (а); линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = О (б)
0 = л. При Р1 = 0 (р01 > р0х) течение, вызванное распределенными вихреисточниками на луче
0 = 0, реализуется в ограниченной области 0 < 0О (0О = 0,8136, У(00)=0), причем и(0)^да при 0^0о-
Аналогичные данные для а=—1 при 01=л/6, и1=У1=1, но в отсутствие закрутки (Ж1=0), приведены на рис. 8. При значении Р1= — 1 (р° = р0о, р0о — полное давление при г = 0), отвечающем безвихревому течению, имеются два конических фронта 001= 0,7647 и 002= 2,1108, на которых выполняются условия непротекания У(00) = 0 (соответствующие линии тока показаны сплошными линиями). Данное течение обусловлено распределенными источниками на луче 0 = 0 и стоками на луче 0 = л.
При значении Р1=—2 (р^п < р^) течение вызвано распределенными источниками на луче 0=0. Оно реализуется внутри конуса с полууглом раствора 00=О, 7236, на стенках которого выполняется условие непротекания; при этом и' (0) ^да при 0^00 (линии тока для этого случая показаны штриховыми линиями).
Значению Р 1=0 (р^ > р°0) соответствуют линии тока, показанные штрихпунктиром. В данном случае течение также вызвано распределенными источниками на луче 0 = 0. При этом суще-
Рис. 8. Линии тока
ствует конический фронт 00=2,9336, на котором выполняется условие непротекания, причем и'(0) ^ — да при 0 ^ 00.
2. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ
ПОДОБНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
По аналогии с п. 1 рассмотрим в рамках уравнений Эйлера закрученные течения, описываемые в цилиндрической системе координат х, г, ф (З/Зф = 0),
Зи Зу V „ Зи Зи Зр Зу Зу м2 Зр Зw Зм ум ^
— + — + - = 0, и — + V— = ——, и — + V-= ——, и — + V— + — = 0. (14)
Зх Зг г Зх Зг Зх Зх Зг г Зг Зх Зг г
Здесь х, г — безразмерные координаты, а и, V, ^ — соответственно безразмерная продольная, радиальная и окружная составляющие скорости.
Предполагая далее, что гидродинамические функции рассматриваемого течения изменяются в зависимости от х и г по законам
и(х, г) = еухи(г), v(х,r) = еухУ(г), м>(х,г) =еухЖ(г), р(х,г) =е2ухР(г), (15)
где у — свободный параметр, исходную систему (14) редуцируем к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений
У 9 Ж2 УЖ
,и + У + - = 0, ,и2 + Уи' = -2уР, ,иу + УУ'-= -Р', ,иж + УЖ' +-= 0. (16)
г гг
Начальные данные для системы (16) запишем в виде
Щг0=1, У(гО=Уь Ж(г1)=Ж1, Р(гО=Рь (17)
где г1 — приведенная (отнесенная, например, к единичному линейному размеру) поперечная
координата в начальном сечении х = 0, У1, Жь Р1 — задаваемые величины, причем У1 # 0. Исключая с помощью первого и четвертого уравнений системы (16) величину уги, получаем
(гЖ)' _(гУ)'
гЖ гУ Интегрирование данного уравнения дает
Ж = кУ, (18)
где к — постоянная.
Выражение (18) означает, что поле окружной составляющей скорости Ж «вморожено» в поле радиальной скорости У.
Подход, используемый при получении численных решений системы (16) с начальными данными (17), аналогичен примененному в пункте 1. В результате получаем следующее соотношение:
2 У2
2
2у(и'-,У)и + (и'-,У)У' + 2,к2 " и " = ,У ' --
У
которое и будем использовать вместо второго уравнения системы (16).
Рассмотрим сначала режим течения, для которого Р(г\)=Р\= -(1+У12+Ж12)/2, т. е. полное давление постоянно во всей области течения.
Записав второе уравнение системы (16) в виде
и2 + У2 + Ж2Л
Р +------------
2
V
(и' -,У)У -,Ж2
= 0
и принимая во внимание интеграл Бернулли — Эйлера в форме
и2 + У2 + Ж2
Р + и +У Ж = 0, (19)
выражение в квадратных скобках необходимо положить равным нулю
(и '-у У) У - уЖ2 = 0. (20)
Отсюда, представив У в виде
та, = —
= -е ух (уЖ),
_ и' Ж2 ~~у V ’
после подстановки этого соотношения в третье уравнение и последующего его интегрирования вновь приходим к соотношению (19).
Данный результат не противоречит второму уравнению системы (16) и исходному условию постоянства полного давления в течениях с закруткой.
При этом векторы скорости й и вихря та с составляющими
тах = I £М = * у. Ж + Ж
г дг
1 д( гм>') г дх
ду ди ух , тг тт,ч
та* = &-!Т-е (уУ-и )
должны быть коллинеарны.
В этом убеждаемся непосредственной проверкой. Так,
тах = та = таФ=-^ у . и V w
При доказательстве данного факта привлекалось условие (20). Течения, обладающие этими свойствами, являются винтовыми [11], [12].
2.1. ТЕЧЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМ ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ
У словием реализации данных течений будет ^ = -(1 + у2 + Ж2 ) /2.
Рассматривая случай отсутствия закрутки (Ж = 0, к = 0), из первого уравнения (16) с учетом условия (20) приходим к уравнению
и' 9
и" + — + у2и = 0, (21)
г
которое является уравнением Бесселя нулевого порядка первого рода.
Решением уравнения (21) с начальными данными
^(г1)=1, и /(г1)=¥(г1)=0 при г1=0 (22)
является цилиндрическая функция Мг), так что и(г)=^(г), У(г)=и'(г)/у. На рис. 9 представлена картина линий тока течения, описываемого решением (21) при у=1.
Рис. 10. Линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0 цилиндрически подобных автомодельных течений
На рис. 10 сравниваются картины линий пересечения с плоскостью ф=0 поверхностей тока цилиндрически подобных автомодельных течений при отсутствии и наличии закрутки, полученные на основании решений системы (16) с условиями (17). Данные этих расчетов соответствуют параметру у=1, значению ^=0,5 при и1 = V = 1, Ж1 = 0, Р1 = -1 и и1 = V = Ж1=1, Р\ = -1,5. При наличии закрутки (Ж1 = 1, к=1) рассмотренное автомодельное течение является винтовым. Картины линий тока на рисунке показаны только для приосевой области течения. Ширина этой области определяется первым значением г = г0, при котором выполняется условие непротекания У(г0)=0.
Отметим, что при у=0 (д/дх=0) будем иметь случай с вихреисточником (стоком) на оси (г=0) и и = СОИ81=1.
3. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрим плоские течения при описании их в полярной системе координат г, ф. По аналогии с пространственными течениями будем рассматривать решения вида
и {г, ф) = -^7^, V(г, ф) = , р(г, ф) = , (23)
г г г
где и, V, р — безразмерные величины, в — свободный параметр.
При этом уравнения Эйлера сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
(1 - e)U + V'= 0 -в U2 + VU'- V2 = 2eP, (24)
(1 - e)UV + VV'= -P'
Начальные условия для системы (24) запишем в виде
U(9i) = 1, V(9i) = Vi, P(9i) = Pi, (25)
где V1, P1 — задаваемые величины.
Очевидно, что интегралом системы (24) является условие
P = P1 = const. (26)
В предположении безвихревого характера течения (р = -(1 + V2 ) /2), когда справедлив интеграл
Бернулли — Эйлера и выполнено соотношение P + (U 2+V 2)/2=0, из второго уравнения (24) следует
U' = (1 - в )V.
С учетом найденного выражения из первого уравнения (24) получаем линейное
дифференциальное уравнение для определения функции Щф)
U"+ (1 - в)2 U = 0. (27)
Общее решение этого уравнения и задачи в целом будет
U = A cos (| 1 - в | ф) + Bsin (| 1 - в |ф),
Л' ll - в I
V=^Т7) (I1 -в1ф)-B cos (I1 -в1ф)]. (28)
В частности, для значения в = 0 при ф1 = 0, U1 = 1, V1 = 0 имеем A = 1, B = 0. Тогда U = cos ф,
V= -sin ф, т. е. полученное решение описывает однородное течение, параллельное лучу ф = 0.
(При V1 Ф 0 прямолинейные линии тока будут наклонены под углом к лучу ф = 0.)
Отметим, что следствием условий P + (U 2 + V 2)/2 = 0 и P=P1 является интеграл U 2 + V 2 = = const.
Изложенные выше результаты относятся к безвихревому течению и известны [5]. Система (24) допускает, однако, при Pi Ф -(l + V2 ) /2 решения, которые описывают течения с различными
значениями полного давления на разных линиях тока.
Так, рассмотрим случай в = 1, когда возможно получение аналитического решения системы (24). Имеем V=V1, P=P1, тогда уравнение для определения искомой функции Щф) принимает вид
( 2Р1 + у2 ) + U2
U ' = ^------------. (29)
V ( )
На рис. 11 сравниваются линии тока плоского течения, описываемого при условиях = 1, ф1 = -л, U1 = 1, V1 = -1 решением (28) - U(ф)=1, V(ф)= -1 (которое отвечает значению
Р1 = -(1 + V2 )^2 = -1), и течения, описываемого при условиях в= 1, ф1 = 0, U1 = V1 = 1 решением (29) - U = U (ф), V = 1 (которое отвечает P1 = -1,2). Течение, соответствующее решению (28),
Рис. 11. Линии тока плоских автомодельных течений
вызвано вихреисточником и имеет линии тока в виде логарифмических спиралей. Течение, соответствующее решению (29), имеет линии тока типа двойной спирали — скручивающейся и раскручивающейся. Таким образом, как и в конических течениях, параметр Р\ оказывает качественное влияние на топологию плоских автомодельных течений.
В заключение отметим, что результаты исследований конически подобных течений сжимаемого газа будут изложены отдельно в части II.
ЛИТЕРАТУРА
1. Буземан А. Осесимметричное коническое сверхзвуковое течение/Сб. переводов статей «Газовая динамика».— М.: ИЛ.— 1950.
2. Fernandez - Feria R., Fernandez de la Mora J., Perez - Sabo-rid M., Barrero A. Conicaly similar swirling flows at high Reynolds numbers//Quarterly J. of Mechanics and Applied Mathematics. - 1999. Vol. 52, № 1.
3. Быркин А. П., Щенников В. В. Новые представления конических течений/Сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции «Фундаментальные исследования для гиперзвуковых технологий».— ЦАГИ.—1998. Т. 2.
4. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. - M.:
Физматгиз.— 1963.
5. Ламб Г. Гидродинамика. - М. - Л.: ГИТТЛ.— 1947.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. - М. - Л.: Гостехтеориздат.— 1944.
7. Яцеев В. И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости// ЖЭТФ. - 1950.— Т.20, вып. 11.
8. Squire H. B. The round laminar jet// Mechanics and Applied Mathematics.—1951.
Vol. 4, pt. 3.
9. Щенников В. В. Об одном классе точных решений Навье — Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа// ПММ. - 1969. Т. 33, № 3.
10. Быркин А. П. О точных решениях уравнений Навье — Стокса для течения сжимаемого газа в каналах//Ученые записки ЦАГИ. — 1970. Т. I, № 6.
11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Физматгиз.— 1970.
12. Васильев О. Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных потоков. -М.— Л.: Госэнергоиздат.— 1958.
Рукопись поступила 7/X1999 г.
71
