CC BY
91
Том X Ь
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2009
№ 2
УДК 532.542.011.6
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИЗМА ЭФФЕКТА РАНКА — ТЕПЛОВОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА ЖИДКОСТИ И
ГАЗА В КАНАЛЕ
А. П. БЫРКИН,
Известному эффекту теплового разделения потока газа в вихревой трубке, открытому Ранком [1], до сих пор не дано должного научного объяснения. Известен также экспериментальный факт подобного разделения в случае жидкости в штатной трубке Ранка [2].
На примере ламинарных автомодельных закрученных течений несжимаемой жидкости в расширяющихся конических каналах с ориентированным вектором вдува вдоль пористой стенки в рамках уравнений Навье — Стокса численно смоделировано тепловое разделение потока и выявлен его механизм, имеющий кинематическую основу.
Кинематический фактор — сильная закрутка потока обусловливает по сравнению с ее отсутствием повышенный внутренний подвод тепла вязкой диссипации кинетической энергии жидкости (в своей основе за счет увеличенного градиента радиальной скорости вблизи стенки). Используемая математическая модель позволила при охлажденной стенке и оттоке тепла к ней воспроизвести на качественном уровне немонотонный характер изменения избыточной температуры Г - ^ в поперечном сечении, а также отрицательные ее значения в окрестности оси реальной трубки Ранка [2]. Примечательно, что реализуемые отрицательные значения Г - обусловливаются возвратным характером линий переноса (посредством конвекции и теплопроводности) тепла в меридиональном сечении конического канала, которые сходятся в особой точке г = 0 и исходят из нее. В случае плоского варианта конического течения жидкости (течение Гамеля в расширяющемся плоском канале) результаты решения автомодельной тепловой задачи также свидетельствуют о немонотонности профиля избыточной температуры и возвратности линий переноса тепла.
Рассмотрен специальный случай стратификации температуры торможения по сечению канала в конически подобном закрученном течении вязкого газа.
Ключевые слова: механизм эффекта Ранка, автомодельные закрученные течения жидкости и газа в канале.
В. В. ЩЕННИКОВ
Эффект Ранка состоит в том, что в закрученных течениях в круглых цилиндрических и конических каналах происходит разделение потока на периферийный, имеющий температуру торможения газа выше температуры торможения на выходе из завихрителя, и приосевой, имеющий температуру соответственно ниже. При этом вихревая трубка может работать как по прямоточной схеме (направление приосевого протока совпадает с периферийным), так и по противоточной схеме (направление приосевого потока противоположно периферийному).
Вихревой эффект Ранка достаточно полно изучен экспериментально [3 — 6], и в лучших конструкциях вихревой трубы, предназначенной для получения холода, температура газа на оси достигает -100°С при исходной температуре 20°С [7].
В последнее время исследованию природы эффекта Ранка был посвящен ряд работ как в зарубежной [2, 8, 9], так и в отечественной литературе [10, 11]. В работах [9, 11] выполнено численное моделирование эффекта Ранка на основе полных уравнений Навье — Стокса. К сожалению, в них не приводятся данные о расчетных профилях температуры торможения газа в поперечных сечениях вихревой трубы. В [12] выполнено экспериментальное исследование структуры течения и энергоразделения в вихревой трубе.
В настоящей работе на примере ламинарных конически подобных закрученных течений вязкой жидкости и газа в канале с массоподводом на стенке смоделированы эффекты теплового разделения потока.
1. Автомодельные решения уравнений Навье — Стокса и энергии для закрученного течения несжимаемой жидкости в коническом канале с массоподводом на стенке. Будем рассматривать стационарные осесимметричные (в общем случае закрученные — Э/Эф = 0) ламинарные течения вязкой несжимаемой жидкости, наделенные свойством конической автомодельности [13]. Для описания рассматриваемых течений и процесса теплового разделения будем использовать полную систему уравнений Навье — Стокса [14], записанную в сферической системе координат г, 0, ф (рис. 1):
д— + 2 — + — + УС^0 = 0 дг г гд0 г
ди ди
и-------+ V------
дг гд0
_др +_1_
дг Яе
1 д2 (ги) 1 д2и сі£0 ди 2 дv . и
------4-^- + ^—;г + ^------------------Г---------2—-
г2 д02
д0 г д0
дv дv -V т С£0 др 1
и — + V-------+----------------— = —— + —
дг гд0 г г гд0 Яе
дw дw ит vwctg0 1
и — + V------+ — +---------— = —
дг гд0 гг Яе
1 д2 (гу) 1 д2V ctg0 дv 2 ди
+—;т + ^--------+^---
2 ,.2^2 ,.2 д0 ,.2 д0 г281И2 0.
г дг2 г2 д02 г2 д0
2
(1)
1 д (гт) 1 д2т ^0 дт
дг2
- +
г2 д02
+ -
д0 г2 8ІИ2 0
Исходное уравнение энергии с учетом тепла вязкой диссипации описывает поле температуры в потоке жидкости и имеет вид [14]:
дФ дФ 1 I 1
и-----+ V----=--------< —
дг гд0 ЯеРг I г
д_ ( Эф ^ + _д_ (_дф_
дг ^ дг J д0 ^ гд0
1 ( дФ дФ
+ -| — + ctg0-----------
г I дг гд0
+
Ес
Яе
ди
дг
., Эу и У (и V У ( Эу V ди
+ 2| — + - I + 21 - + ^0- I +1 ----------------+ —
гд0 г І I г г І I дг г гд0
дт Л т
+|Тзв-Свв 7
дт т
(2)
В уравнениях (1) и (2) все величины безразмерные и связаны с размерными (отмеченными значком °) соотношениями:
г и V т р - ра
г =—, и =—, V =—, т =—, р = -
Ес =-
и )2
І01 С
где и°, у°, т° — соответственно радиальная, нормальная к полярному радиусу в меридиональной плоскости и окружная составляющие скорости; р° — давление; р° — плотность; і° — температура; с° — удельная теплоемкость; Ц° — динамическая вязкость (предполагается постоянной); нижний индекс 1 обозначает величины при заданном значении 0 = 01 = 0 (ось канала) на расстоянии г1 от начала координат, нижние индексы 0, т, ~ обозначают соответственно значения на оси, границе конической струи и на бесконечности (г ^ ^). В выписанных выше соотношениях величина — считается алгебраической. Тем самым число Яе > 0 будет соответствовать положительному направлению течения жидкости на оси струи, случай Яе < 0 — отрицательному. (Значок °, отвечающий размерным величинам, без необходимости ниже будем опускать.) Значение числа Ес = 0 отвечает неучету тепла вязкой диссипации.
Рис. 1. Решение динамической задачи о течении жидкости в закрученной струе
при > 0 (Яе > 0)
В рассматриваемом случае независимости вязкости ц от температуры динамическая задача является автономной (не зависит от уравнения энергии).
Следуя [13], будем искать автомодельные решения системы уравнений (1), (2) следующего
вида:
Ф=
І - С І - С І0 - С т (0)
(3)
Значение показателя п = 2 обеспечивает автомодельность тепловой задачи как с учетом, так и без учета тепла вязкой диссипации, значения п Ф 2 обеспечивают указанную автомодельность без его учета [13].
Подстановка условий (3) в системы (1), (2) с учетом симметрии течения и очевидных связей приводит к следующим системам уравнений для определения функций £Д0), Р(0), Ж(0),
Отметим, что третье и четвертое уравнения системы (1) допускают существование интегралов соответственно с произвольными константами В и С в явном виде для случая незакрученных течений [16] или в квадратурах для закрученных [13]. Указанное обстоятельство свидетельствует о возможности решения рассматриваемой автомодельной задачи со сведением ее к задаче Коши с начальными данными на оси канала.
Редуцированное уравнение энергии для значения п = 2 имеет вид:
где штрих означает дифференцирование по 0.
В автомодельных течениях вязкой жидкости рассматриваемого класса число Яе, определенное по скорости на оси и текущей координате г, сохраняет постоянное значение по длине.
В системе (4), уравнениях (5), (5) числа Яе, Рг, Ес — задаваемые параметры задачи; С = Ж' (0) — параметр, определяющий интенсивность закрутки потока (при С = 0 закрутка потока отсутствует (Ж = 0)); В — постоянная интегрирования, которая является искомой и определяется из удовлетворения соответствующему граничному условию, о чем будет сказано ниже.
Системы уравнений (4), (5), (5') будем решать в области 0 < 0 < 0„ с начальными данными на оси 0 = 0, отвечающие условиям нормировки и симметрии течения и тепловых процессов для
Здесь 0т — полуугол раствора конической струи.
Второе условие 6' задавалось таким же, как и в работе [15] при решении аналогичной тепловой задачи для плоского варианта конического течения. Потребуем ограниченность искомых функций в рассматриваемом поле течения, за исключением начала координат г = 0, являющегося особой точкой.
Перед проведением конкретных расчетов выполнено тестирование реализованных алгоритмов решения динамической и тепловой задач Коши. Для тестирования динамических задач проведено сопоставление с результатами расчетов автомодельных течений несжимаемой жидкости в конических каналах в рамках уравнений Навье — Стокса на основе точных решений Ландау,
3(0) и Д0):
и + V' + ^0 = 0,
0 1
и 2 + VU' - Ж2 = - Б + 21 Ж 2е1в0^ 0 +—( + 0180 и' + 2и),
0
(4)
1 Яс
-2ит + VT' =-(Т' + с1§ 0Т' + 2Т) +—[2и2 + 2(у' + и )2 + 2(и + с£ 0 V )2 +
Яе Рг Яе
+(и'- 2V )2 + (Ж'- 0Ж )2 + 4Ж2],
(5)
для п = 1 соответственно:
-иТ + VT' = ( + с1в0Т'),
ЯеРг
(5)
функций и(0), V(0), Ж(0), Г(0):
и(0) = 1, и '(0) = 0, ^0) = 0, Ж(0) = 0, Ж'(0) = С. Т(0) = 1, Т '(0)= 0.
(6)
(6)
Яцеева [16]. Для тестирования тепловых задач использовались точные решения Румера [19] и решение авторов в настоящей работе. Во всех сравниваемых случаях имело место полное совпадение.
1.1. Результаты решения динамической задачи об автомодельном закрученном течении вязкой несжимаемой жидкости в коническом канале с распределенным по длине массо-подводом на стенке. Отметим, что динамическая задача об автомодельном течении вязкой несжимаемой жидкости в коническом канале при отсутствии закрутки с граничным условием не-протекания на стенке, отвечающим идеальной жидкости, рассматривалась в [13]. В работе [17] решалась задача, близкая к предыдущей, которая отвечает течению вязкой жидкости в коническом канале при наличии отсоса (вдува) на стенке.
Ввиду независимости динамической задачи от тепловой, ее решение строится с использованием уравнений (4) и динамических начальных данных (6). В данном случае, считая число Re, значения С и полуугла раствора струи 0w заданными параметрами задачи, постоянную D находим посредством итераций в результате интегрирования уравнений (4) из условия равенства нулю радиальной составляющей скорости U(0w) = 0 на фронте 0 = 0w. Приведенные нормальная V(0w) и окружная W(0w) составляющие скорости на стенке при этом будут искомыми величинами. Это объясняется тем, что в данном случае законы изменения гидродинамических величин по длине заранее заданы (определяются видом формул (3)); поэтому для реализации рассматриваемых законов течения при фиксировании упомянутых выше параметров значения V(0w), W(0w), -P(0w) должны быть найдены из решения всей задачи в целом. Величины V(0w), W(0w), 3(0w) будем называть собственными значениями задачи.
Таким образом, рассматривается обратная задача расчета структуры автомодельного течения в коническом канале, когда для фиксированных значений параметров 0w и Re постоянная D, а также профили гидродинамических величин U, V, W, P по 0 определяются заданными начальными данными на оси.
В течениях, соответствующих рассматриваемым решениям, должен иметь место массооб-мен на коническом фронте 0 = 0w. Последнее следует из выражения для расхода жидкости через поперечное сечение струи с учетом условий (3):
0w
М = | 2 nrsin0purd0-const• r . (7)
0
Описываемые закрученные течения можно представить реализованными посредством ориентированного вектора вдува на пористой стенке канала, либо вращением элементов стенки drw по закону 1/r с нормальным на них вдувом при условии U(0w) = 0.
На рис. 1 для случая течения жидкости в конической струе с полууглом раствора 0w = п/6
при Re = 100 (значение u[ > 0) и параметрах закрутки С = 0; 5; 10 приведены рассчитанные поперечные профили U(n), V(n), W(n), где n = 0/0w. Найденные значения постоянной интегрирования D для соответствующих значений С указаны на рисунке. В данном случае автомодельные течения реализуются с массоподводом на границе струи (V(0w) < 0). При наличии закрутки в периферийной части поперечного сечения функция W(n) убывает. Наиболее сильно влияние закрутки потока сказывается на поведении радиальной составляющей скорости U по n. Если при отсутствии закрутки (С = 0) профиль U(n) имеет предотрывный вид из-за заметного угла расширения канала и вдува на стенке, то при С = 10 профиль U(n) в окрестности оси струи становится существенно немонотонным. На рис. 1 для рассмотренных вариантов приведены рассчитанные по формуле r = const/Vsin0 линии тока (для закрученного потока — линий пересечения поверхностей тока с меридиональной плоскостью), по которым можно судить о влиянии степени закрутки на внутреннюю структуру исследуемых автомодельных течений.
На рис. 2 приведены результаты расчета течения жидкости в конической струе при
Re = -100 (значение u[ < 0) и 0w = п/6. Топология течения в данном случае совершенно иная по сравнению с предыдущим случаем. Так, при отсутствии закрутки (С = 0) автомодельное течение реализуется с отводом массы на границе струи (V(0w)<0, v°w > 0), причем профиль радиальной составляющей скорости U(n) является наполненным.
Распределения V, У, IV по г|=0/0,„
Линии сечения поверхностей тока плоскостью ср=0
Рис. 2. Решение динамической задачи о течении жидкости в закрученной струе
при щ < 0 (Яе < 0)
При наличии закрутки (С = 2.5) существует фронт 0 = 0О = 0.217, на котором У(0) = 0, т. е. он является поверхностью тока. Существует также фронт 0 = 0^ = 0.152, где £Д0) = 0. При этом автомодельное течение реализуется с подводом (вдувом) жидкости в поток на границе струи
(У(0„) > 0, у; < 0 ). На рис. 2 приведены также картины линий и поверхностей тока, соответствующие наличию и отсутствию закрутки. При наличии закрутки в области 0^ < 0 < 00 исходное отрицательное направление линий тока в окрестности оси меняется на обратное.
Поскольку в случае С = 2.5 расход жидкости через поперечное сечение струи может быть только положительным (см. рис. 2), реализуемое течение следует рассматривать как течение в расширяющейся струе.
Из описанных выше результатов для значений Яе = -100, 0; = п/6 следует, что можно предполагать значение параметра закрутки 0 < С < 2.5, при котором У(0;) = 0. Такое решение получено и отвечает значениям С = 0.2, В = 0.994265. Его результаты представлены на рис. 2 штрих-пунктирными линиями. В отличие от случая С = 2.5 в данном случае окружная составляющая скорости Ж монотонно возрастает, достигая наибольшего значения 4.576 на границе области 0 = 0;. При этом существует конический фронт 0 = 0.3932, на котором радиальная составляющая равна нулю. Поэтому контуры линий сечения поверхностей тока меридиональной плоскостью имеют возвратный характер.
Остановимся далее на случае автомодельных решений при малых углах раствора струи (0м << 1) и асимптотически больших числах Re. В данном случае система (1) приближенно может быть представлена в виде:
ди дУ . и V _
— +------+ 2- + — = 0,
дг гдп г пг
2
ди _ ди м др
и-------+ V-------------=-------+
дг гдп г дг Re 0м г
др = м>2 дп П
1 1 (д2и 1 ди
+ ■
2 ,.2
М
дп2 П дп
дw _ дw им ум и--------+ V---------+--------+------=
1 1
дг г дп г пг Re 02; г2
дп2 п
дп п
где П = 0/0;, V = у/0; .
Задаваясь по аналогии с (3) следующим видом решений системы (8):
„М)=ш, у(Г,0)=т, ;(г.0)=жс0). ,(Г,в)=з°>,
Г Г Г Г
сведем ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
и + — + — = 0,
п
-и2 + уи' - Ж2 = 2Р + - 1
Re 0
у
1
Re 0М
Ж' Ж
ж*+Ж - Ж п п2
Л
(8)
(9)
(10)
Данную систему при заданных параметрах Яе 0м , С будем решать с начальными условиями на оси струи (п = 0):
и (0 ) = 1, и' (0 ) = 0, у (0) = 0,
Ж(0) = 0, Ж'(0) = С, Р (0) = 3.
(11)
Постоянная В является искомой и должна определиться из условия и(1) = 0.
2 —
Для значений параметров Яе 0; = -4.5 и С = 0, 1, 2, 3 получены решения системы (10) с условиями (11), описывающие автомодельные течения жидкости в конических струях с массообме-ном на границах. (Осевая линия тока при этом имеет отрицательное направление, поскольку
Яе 02; < 0.) На рис. 3 представлены распределения и(п), У(п), Ж(п).
При С = 0 и 1 описываемые течения реализуются в сужающейся струе с отводом массы
на границе (У (1)< 0, (1) > 0). В случае параметра закрутки С = 1 характер профиля скорости
и(п) является предотрывным. При значении С = 2 реализуется режим течения практически с выполнением условия и(0;) = У(0;) = 0 на границе струи. В периферийной части сечения струи ра-
л
11е0* = -4.5
3 и, V, IV
-1
О
2
Распределения V, V, Ш по г| = 8/0*,
Рис. 3. Решение динамической задачи о течении жидкости в закрученной струе при и{ < 0 (Яе < 0) и 0; << 1
диальная составляющая скорости и° > 0, т. е. направление течения жидкости у границы противоположно направлению течения у оси. В данном случае суммарный расход М через любое поперечное сечение струи, определяемый соотношением (7), равен нулю. Отметим, что реализуемое при значении параметра закрутки С = 2 течение в конической струе можно интерпретировать как обусловленное только кручением струи.
При значении С = 3 полученное решение описывает течение с подводом массы на границе < 0), причем в окрестности оси направление течения отрицательное (и°(г, 0) < 0), в окрестности же границы — положительное (и°(г, 0) > 0). При этом, поскольку расход М положителен и возрастает по длине, в данном случае течение следует считать реализующимся в расширяющейся конической струе.
Проведены расчеты с целью сопоставления результатов, полученных на основе как упрощенных уравнений (система (10), так и полных уравнений Навье — Стокса (система (4)) для случая,
отвечающего значениям Яе 0; = -4.5 и ^Ж/^п(0) = 2. При использовании системы (4) величина 0; полагалась равной 6°, число Яе = -4.5/ 0;. В указанном тестовом случае имело место практически
полное совпадение сравниваемых величин и, V, Ж и Р при одинаковых значениях п = 0/0;.
1.2. Результаты решения задачи о тепловой стратификации среды в автомодельном течении вязкой несжимаемой жидкости в коническом канале с теплообменом на стенке.
Как было отмечено выше, при использовании уравнения энергии с учетом тепла диссипации условие автомодельности тепловой задачи требует, чтобы выражение для избыточной температуры
имело вид Ф(г,0) = Т(0)/г” , где п = 2. При этом поток избыточного теплосодержания через поперечное сечение струи запишется в виде:
Таким образом, величина Q не является постоянной по длине, как в случае рассмотрения
изменяется по длине как 1/Г и тем самым стремится к бесконечности в окрестности особой точки
автомодельной тепловой задачи в [13] при законе Ф(г,0) = Т(0))г (п = 1); в данном случае она
г = 0. (Отметим, что это будет справедливо до тех пор, пока среда физически может рассматриваться как жидкость.) Аналогичный закон изменения по г имеет и выражение для интегрального по сечению теплового потока, обусловленного теплопроводностью среды.
Отметим, что в монографии [18] рассматривалась постановка автомодельной тепловой задачи без учета и с учетом тепла диссипации для струи Ландау, реализуемой в бесконечном пространстве (0 < 0 < п), и был выявлен парадокс ее неразрешимости в последнем случае.
В настоящей работе тепловая задача также рассматривалась без учета и с учетом тепла диссипации для течений в расширяющихся конических каналах, реализуемых в полубесконечном пространстве при 0» < п/2. (В случае каналов, углы 0» которых при Яе ^ ^ задаются законом
подобия Яе 0» = соп81 [17], они вообще стремятся к нулю.) Ее постановка аналогична рассмотренной в работе [15] для течения в плоском клиновидном канале.
Решения автомодельной тепловой задачи были получены на основе линейного уравнения второго порядка (5) относительно функции Т(0) с температурными начальными данными (6'), поскольку поля скоростей в расчетной области известны из решения динамической задачи.
Числа Рг и Ес являются параметрами тепловой задачи. В рассматриваемом автомодельном случае локальное число Ес (как и локальное число Яе), определенное по текущим характеристикам течения на оси струи, постоянно по длине, причем число Ес положительно при (% - t<x) > 0 и отрицательно при (01 - ^) < 0. Получены численные решения уравнения (5) для 0» = п/6 и различных сочетаний значений Яе и С.
Вариант I. Яе = 100, С = Ж'(0) = 0. В данном варианте закрутка потока отсутствует (см. рис. 1).
Вариант II. Яе = 100, С = Ж'(0) = 10. В данном варианте отношение »»/и0 ~ 0.6 (см. рис. 1).
Вариант III. Яе = -100, С = 2.5. В данном варианте параметры Яе и С отвечают случаю, когда течение в целом происходит в расширяющейся струе в положительном направлении от полюса, однако в окрестности оси существует область возвратного течения (см. рис. 2). При этом »»/и00 ~ 0.9. Решения уравнения (5) с начальными данными для температуры (6') находились численно при значениях параметров задачи Рг = 1, Ес = 0; ±2.
Прокомментируем в отдельности результаты расчетов указанных случаев.
Вариант I. На рис. 4 представлены полученные распределения Т по п = 0/0», отвечающие указанным числам Ес. Видно, что поперечные профили Т(п) практически монотонны. На рисунке, кроме того, приведены результаты расчета для значения Ес = -1.88, которое соответствует величине Т(1) = 0. В данном случае ^ = £», т. е. температура стенки постоянна по длине; Т(п) — монотонная и положительная функция. При других значениях числа Ес для рассматриваемой тепловой задачи величина ^ переменна по длине. Формула для избыточной температуры t - £» следует из последнего соотношения (3):
На рис. 4 представлены также линии тока, которые берут свое начало на стенке и уходят вправо в бесконечность. Кроме того, для значения Ес = -1.88 приведено сопоставление линий тока и линий суммарного переноса тепла в меридиональном сечении, обусловленного конвективным переносом избыточного теплосодержания (пропорционального алгебраической разности t - ^) и теплопроводностью среды.
Указанные линии переноса тепла строились следующим образом. Поскольку перенос тепла осуществляется посредством конвекции и теплопроводности, полный вектор приведенного удельного теплового потока среды представляется в виде суммы = цс + ^, составляющие век-
торов которого соответственно равны:
t (г, 0)-С= Т (0)^01—^ г
Чсг = и^ = —, 4с0= ^ = —,
ит
УТ
г
г
1 ЭФ 2 Т
1 ЭА______________1_ Т_
Яе Рг гЭ0 Яе Рг г3
I 1.5 2
Рис. 4. Решение тепловой задачи при и[ > 0 (Яе > 0) и отсутствии закрутки
Дифференциальное уравнение линий суммарного переноса тепла запишется в виде:
ёг = гё 0
Чъг
интегрируя которое, получаем форму искомых линий:
г = г* ехр
и+-
Яе Рг
Т
0* УТ -
Яе Рг
-Т'
где г*, 0* — задаваемые фиксированные значения.
Отметим, в частности, возможность равенства нулю выражения
д1,г дсг + Я%г 3
г
при каком-либо значении 0 в рассматриваемой области. Последнее может иметь место либо при и + 2/ЯеРг = 0, либо при Т = 0. В этом случае будет существовать конический фронт 0 = 0^, на котором будет отлична от нуля только нормальная составляющая =(УТ - 1/ЯеРгТ/)/г3 . На-
оборот, при равенстве дэд = 0 будет существовать конический фронт 0 = 0-, на котором будет отлична от нуля только радиальная составляющая
fer -
Г
Заметим дополнительно, что условие Т = 0, кроме упомянутого выше, означает, что на коническом фронте 0 = 01 температура t = t= tw. По этой причине на этом фронте q^r = 0.
Рассчитанные линии суммарного переноса тепла, представленные на рис. 4, исходят из начала координат и приходят к стенке, причем ось симметрии струи является их общей огибающей. Особая точка г = 0 идентифицируется как источник «холода» бесконечно большой мощности.
В рассмотренной автомодельной тепловой задаче для значения Ec = -1.88 при г ^ ^ происходит выравнивание избыточной температуры (t —1«) в сечении струи и стремлении ее к нулю. При г ^ 0 неоднородность (t —1«) в сечении струи и ее модуль возрастают при условии рассмотрения среды как жидкости.
Вариант II. На рис. 5 представлены результаты расчетов тепловой задачи при параметре закрутки С = 10 (ww/u0 ~ 0.6). При значении Ес = —0.085 величина Т(1) = 0. Сравнение результатов данного расчета с результатами расчета варианта I при Ес = —1.88 показывает наличие немонотонности функции Т(0), а также такого факта, что при значении 0 = 0.175 величина Т = 0 (t = t«). Это свидетельствует о существовании конического фронта 0 = 01, на котором q^r = qcr = q%r = 0. Отсюда следует, что при 0 > 0.175 в поперечном сечении струи температура среды t > tw. Наоборот, при 0 = 0.46 суммарный поток тепла q^0 = (VT — 1/RePrT7')/r3 = 0, т. е. значение 0 = 0— = 0.46 определяет конический фронт, на котором отлична от нуля только радиальная составляющая q^r. Отметим, что минимальное значение t — t« = T(0)(t01 — t«)/r2 реализуется на оси струи. Таким образом, в любом сечении струи существуют области, где температура t < tw и t > tw. Последнее можно интерпретировать как тепловое проявление вихревого эффекта в модельной прямоточной дифференциальной вихревой трубе (в случае рабочей среды — жидкости), в которой подвод массы на стенке осуществляется по всей длине трубы.
На рис. 5 представлены также контуры поверхностей тока в меридиональном сечении, берущие свое начало на стенке и уходящие вправо в бесконечность, и линии суммарного переноса тепла. По сравнению с вариантом I основное влияние закрутки потока на тепловую стратификацию среды в струе проявляется в наличии двух зон, сопрягающихся на коническом фронте
0 = 0.46, отличительным признаком которого является условие qse = 0. При этом нижняя зона состоит из возвратных и вложенных друг в друга линий переноса тепла, а верхняя — из вложенных линий переноса тепла, но разомкнутых на границе струи.
На основе полученных результатов решения вариантов I и II тепловой задачи для одной и той же среды, одинаковом значении г и удовлетворении условию tw = const = t« отношение разностей температур на оси струи в вариантах II и I, т. е. (t01 — t«)II/(t01 — t<»)i равно
(01 — ^»)д — Eci — —188 — 22 12
(01 — t~)I EcII —10085
U + -
Re Pr
T
3
U +------| T
RePr
Рис. 5. Решение тепловой задачи при и[ > 0 (Яе > 0) и наличии закрутки
Таким образом, в случае с закруткой потока (вариант II) отрицательная разность (/01 - ґ^) по модулю на оси больше, чем на порядок по сравнению с вариантом I.
Отметим, что в случае плоского варианта автомодельных конических течений — течений Гамеля [15] в слабо расширяющихся клиновидных каналах — результаты решения аналогичной автомодельной тепловой задачи при постоянной температуре стенки и оттоке тепла к ней также указывают на немонотонность профиля избыточной температуры, отрицательное ее значение на оси и возвратный характер линий суммарного переноса тепла. На рис. 6 представлены результаты расчета такого случая, рассмотренного в [15].
Учитывая это обстоятельство, немонотонность избыточной температуры в рассмотренном выше варианте II с закруткой потока по сравнению с вариантом I без закрутки в коническом канале можно объяснить повышенным подводом тепла диссипации (в основном за счет больших
’©гЬ-| 0! * \ Рв=684
Л ОЛ. IV 0=172 Рг=1 Ео=-3.49
' ч х N \
ч X ч, 7 \ -ч \ Ч \
1 I 1 ь 1 -1 У N \ Ч \ ч\ •Л + 1 - 4- --- |
-0.5 0 0.5 1 и, Т 1.5
Распределение и,Т по 0
Рис. 6. Решение динамической и тепловой задачи для течения в плоском клиновидном канале
при щ > 0 , в„ = 5°
градиентов радиальной скорости по 0) и образованием возвратных линий суммарного переноса тепла.
В работе [15], кроме того, показано, что в течениях в сужающихся каналах (Re < 0) избыточная температура t — ^ в окрестности оси положительна, что обусловлено подводом возрастающего тепла диссипации вниз по течению. При течении в расширяющемся канале (Re > 0) внутренний подвод тепла диссипации вниз по течению, наоборот, убывающий, что способствует генерации избыточной отрицательной температуры в окрестности оси.
Вариант III. По-иному выглядит распределение Т по п для случая, отвечающего значению С = 2.5, когда в окрестности оси имеется область возвратного течения (Re = —100). Эти данные приведены на рис. 7. Значение Т(1) = 0 имеет место при Ес = —1.73 и соответствует ^ = ^. В случае Ес = —1.73 существует фронт 0 = 0.376, на котором Т = 0 (д%г = 0), т. е. t = Тем самым в поперечном сечении струи при 0 < 0.376 температура t < £», при 0 > 0.376 — t > £».
Отметим, что в отличие от варианта II немонотонность в поперечных профилях функции Т(0) выражена сильнее. В сечении струи имеются области заметно пониженной и повышенной избыточной температуры t — tx, ее минимальное значение достигается при 0 = 0.241.
Характерными являются фронт 0 = 0.151 (дхг = 0), сопрягающий фронт 0 = 0.252 (дхе = 0), фронт 0 = 0.376 (Т = 0) и сопрягающий фронт 0 = 0.475 (д^0 = 0).
На рис. 7 представлено сопоставление контуров поверхностей тока и линий переноса тепла. Отличие по сравнению с вариантом II состоит в наличии не двух, а трех зон с возвратными линиями переноса тепла, которые сопрягаются между собой на конических фронтах, отвечающих условию = 0. Этот вариант интерпретируется как аналог теплового проявления вихревого эффекта в модельной противоточной дифференциальной вихревой трубе применительно к жидкости. Таким образом, качественно предсказывается эффект энергоразделения жидкости, подобный эффекту энергоразделения газа в прямоточной и противоточной вихревых трубах. Природа этого эффекта объясняется изменением структуры течения при сильной закрутке, приводящим к возвратным линиям переноса тепла. Отметим, что расчеты варианта III при числе Рг = 5 выявили существенное увеличение теплового разделения.
Анализ случая Ес > 0 (^1 — ^ > 0) показывает, что эффект энергоразделения жидкости меняется на обратный. В этом случае избыточная температура среды на границе струи изменяется в радиальном направлении по закону
tw t<x> (^1 — ^Щ^/г2.
0,5 1,0 1,5
Рис. 7. Решение тепловой задачи при < 0 (Яе < 0) и наличии закрутки
По аналогии с динамической задачей остановимся далее на асимптотической форме уравнения (5), отвечающей малым углам раствора канала (0№ << 1) и асимптотически большим числам Яе. В данном случае аналог уравнения (5) запишется в виде:
-2иТ + УТ ' =
1
Т
Т" + —
п
Л
+
Ес
Яе
(и )2 +
(12)
где п = 0/0», штрих означает дифференцирование по п. Начальные условия для решения уравнения (12) совпадают с условиями (6'):
Д0) = 1; Т '(0)= 0.
(13)
Распределения и, V, Т по ц=
Рис. 8. Решение динамической и тепловой задачи при и < 0, в„ << 1 при наличии закрутки
На рис. 8 для случая, когда Яе 0№ = -20 (течение вдоль луча 0 = 0 направлено к полюсу), параметр закрутки С = 2.5 и число Рг несжимаемой жидкости равно 5, представлены результаты решения уравнений (10) и (12), при числе Ес = -0.1 (^01 - ^ < 0). Указанное значение числа Ес соответствует условию Д(1) = 0, когда температура стенки ^ постоянна по длине и равна £». В приведенном примере, поскольку ?01 — £» < 0, температура жидкости, текущей вдоль луча 0 = 0 в отрицательном направлении, понижается. Из представленного на рисунке распределения Дп) видно, что стратификация температуры жидкости ^ в поперечном сечении струи за счет большего числа Рг = 5 более интенсивная, чем в случае варианта III, результаты которого показаны на рис. 6.
Отметим, что в рассмотренных выше вариантах число Ес постоянно по длине струи и тем
2
самым избыточная температура на оси (0 - £») строго пропорциональна квадрату скорости и0 в каждом сечении. По определению числа Ес, это выполняется и в общем случае, например в экспериментах [2] со штатной вихревой трубкой. По данным [2], для получения перепадов температур жидкости (воды) на «холодном» и «горячем» концах трубки от 10 до 20°С требовалось давление воды на входе в завихритель (200 — 500) • 105 Па. По оценкам, средняя скорость воды в эксперименте должна быть не менее 50 м/с.
Остановимся далее на результатах решения тепловой задачи без учета тепла диссипации, отвечающие значениям параметра п = 1 для каждого из вышерассмотренных вариантов динамической задачи I, II, III.
Решение уравнения (5) соответствующее значению п = 1, может быть записано в квадратурах. Так, с учетом первого уравнения системы (4) уравнение (5') представим в виде:
{УТ 8Іп 0)
1
ЯеРг
У' 8ІП 0) = 0.
Интегрируя его, получаем:
УТ—
Т'
Яе Рг 8ІП 0
Требования ограниченности функции Д0) и симметрии тепловой задачи означают, что константу А необходимо положить равной нулю, т. е. Т/(0) = ТО(п) = 0 , что согласуется с результатами, изложенными в [18].
При значении А = 0 полученное выше уравнение принимает вид:
Т'
УТ-----------= 0 .
ЯеРг
Интегрируя его, получаем выражение для искомой функции Д(0):
Т(0) = ехр ЯеРгУ0
(15)
Условие (14) означает, что полный поток переноса тепла посредством конвекции и теплопроводности в нормальном направлении равен нулю, т. е. линии переноса тепла являются радиальными линиями как при наличии, так и отсутствии закрутки.
В случае течения без закрутки (С = 0) и задании константы В = 0 в системе (4) решение в квадратурах (15) может быть записано в аналитическом виде. При указанных условиях имеем:
У (0) = —— 51П 0 , и (0) = —
У ’ Яе ( - со8 0) ’ Яе
В2 -1
(Б - С08 0)
-1
0М = агссо81Б
(->/В2 -]
где В = 1 + 4 / Яе .
Подставляя в (15) выражение для У(0), получаем известную [19] формулу:
т (0) =
с
(( - с08 0)
2Рг
Для случая п = 1 проведены расчеты по формуле (15) профилей Д(0), отвечающих решениям вариантов динамических задач I, II, III. Получено, что во всех вариантах функция Д(0) одного знака (положительна), но в вариантах I и II она монотонна, в варианте III существенно немонотонна.
2. Автомодельные решения уравнений Навье — Стокса и энергии для закрученного течения сжимаемого газа в коническом канале с массоподводом на стенке. Рассмотрим класс конически подобных закрученных течений вязкого сжимаемого газа, реализующихся в коническом канале с тепло- и массообменом на пористой стенке. (При отсутствии закрутки данный класс течений указан и исследован в работах [20 — 22].) При этом для простоты будем рассматривать закрученное течение в конической струе с малыми углами раствора (0М << 1) при асимптотически больших числах Яе. Для его описания используем приближенную систему уравнений в сферической системе координат г, 0, ф [23]:
ри —
дг
дг
ди _ ди М!7
ри — + Ру —---------------------р —
дг гдп г
д(Ри ) + д(И + 2 +Р^ = 0
гдп др + 1
Пг
2 „2
м‘
дг Яе 0Мг
др рм2
Ц
ди
Ц ди
дп 1Г дп ) П дп
+
гдп пг
дм _ дм им УМ 1 I д
ри---------+ру-----------------------+р-+р— =----—— < —
дг гдп г пг Яе 0Мг2 I дп
Ц
V
дм м дп п
г + ——1 м2 (и2 + м2
+ ру
1 дк +—Ц--п дп
+
(к-1)м2 1
Яе0М г 2
ци-
гдп
ди
! + ^2-!м12 (и2 + М2
дм дп п 1
Яе 02, Рг г2
Л
1 ди д
+— ци---------+
(
дп ^ дп) ц дп дп ^ дп) п дп п дп
цм-
дм
\
1
+—цм-
дп ^ дп дм 1 д
(16)
Систему уравнений (16) необходимо дополнить уравнением состояния (газ рассматривается как совершенный, $ — показатель адиабаты, р — плотность, к — энтальпия, М — число Маха)
ркМ^ = рк и зависимостью динамической вязкости от температуры (энтальпии к), которую будем полагать степенной (ц = кп, п — показатель степени).
Здесь все величины безразмерные и связаны с размерными так же, как и в случае несжимаемой жидкости, причем п = 0/0», V = у/0» , а вместо числа Ес используется характерное число
М на оси канала — М1 = а1 (а1 =д/(к- 1)к1 — скорость звука.
По аналогии с [22] будем искать автомодельные решения системы (16) следующего вида:
u(r,-) = ^ v(r,-) = w(r,-) = —O^, h(r,-)= ^
i p (n)
h r1
(17)
где а — параметр автомодельности. Условия на границе конической струи (0 = 0№) также должны удовлетворять условиям автомодельности.
Подстановка соотношений (17) в систему (16) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций £Дп), V (п), Щ(п), #(П), Дп) и 3(п):
V
(1 - 2an )RU + (RV) + R — = О,
-aRU2 + RVU' - RW2 = [l + a(2n + 1)]—^ + - 1
kM Re 0
-2aRU
(1 -a)RUW + RV k- 1
l
Re 0W ld-
U
(mU') + m— n
9 W2
P = kM2 R------,
n
m
w 1 w'-— n
m
+ 2— n
H+
M2 (u2+ w2
+rv
H+
k- 1
M2 (u2 + w2
r-— n 1
Re 0W P- -
\
(-mH') +
+
(K-l)M2
Re 0Wn
-UmU' + -WmI W'-
—
n
P
R = —, m = Hn, H
(1S)
где штрих означает дифференцирование по п.
При этом, как и в случае автомодельных течений в конических каналах (струях) при отсутствии закрутки потока [23], числа Яе, определенные по параметрам газа на оси и текущей координате г, и профили чисел М в поперечном сечении струи будут одними и теми же по длине. При этом расход газа через поперечное сечение струи будет меняться по длине по закону:
W
Q = I 2 nr2 sin 0pud0'
const
,„2an-1
т. е. на стенке канала при а Ф 1/2п должен иметь место массообмен.
Систему уравнений (18) будем решать с начальными условиями на оси п = 0:
Д(0) = и (0 ) = Н (0) = 1, У(0) = Ж(0) = 0, и' (0 ) = Н(0) = 0, Ж'(0) = с.
Здесь С — задаваемый параметр, определяющий интенсивность закрутки потока.
Задаваемыми параметрами являются также значения параметра автомодельности а и число М1 на оси конической струи, а значение параметра подобия Яе 0» определяется в результате интегрирования системы (18) с начальными данными (19) из условия равенства нулю радиальной составляющей скорости на границе струи (и(1) = 0). При этом приведенные нормальная V (1) и окружная Ж(1) составляющая скорости и энтальпия газа Н(1) на ее границе будут искомыми величинами. По найденному значению величины Яе 0» , задавая число Яе, можем далее определить полуугол раствора границы струи 0».
Наибольший интерес представляет случай, отвечающий значению параметра а = 0, при котором функции и(г, п), V (г, п) и »(г, п) зависят только от приведенной угловой координаты П = 0/0», а функциир(г, п), и р(г, п) в зависимости от г изменяются по гиперболическому закону.
В качестве примера для воздуха при комнатной температуре (к = 1.4, Рг = 0.71, п = 0.76) на рис. 9 при величине параметра а = 0, числе М на оси канала М1 = 1 и параметрах закрутки потока С = 0; 0.823; 1.828 представлены рассчитанные профили приведенных газодинамических величин и, V , Ж, Р, Н и Н0 (Н0 — энтальпия торможения) по координате п = 0/0». Найденные значения параметра подобия Яе0», отвечающие указанным значениям С, приведены на рисунке. Ввиду того, что эти значения положительны, течение газа происходит в положительном направлении по г.
Отметим также, что при всех рассмотренных значениях параметра закрутки С имеет место вдув газа на границе струи. Видно, что при увеличении степени закрутки потока профиль радиальной скорости и(п) становится более полным. Профили окружной скорости близки к линейному, т. е. кручение газа близко к движению по закону твердого тела.
При отсутствии закрутки энтальпия торможения Н0 и статическая энтальпия Н на стенке равны, при этом величина Нэ убывает от оси к стенке. При наличии закрутки, наоборот, энтальпия Н0 возрастает от оси к стенке (статическая энтальпия по сечению меняется незначительно) за счет возрастания окружной составляющей скорости Ж, причем интенсивность роста Н0 по п увеличивается с повышением параметра закрутки С. При этом значения теплового потока на границе конической струи (п = 1), обусловленного теплопроводностью газа, определяются величиной поперечного градиента статической температуры. Реализуемое в рассматриваемом течении распределение энтальпии торможения газа Н0 по п обусловлено конвективным переносом Н0, теплопроводностью газа, действующими в поперечном направлении, и теплом вязкой диссипации.
-0.5 0 0.5 1 1.5 и, V, IV, Н, Н0
>-----------------------,----------------------т-----------------
0 5 10 Р
Распределения II, V, И7, Р, Н, Но по г)=0/0ц.
Рис. 9. Решение задачи о течении сжимаемого газа в закрученной струе при 0» << 1, а = 0; М0 = 1
На основании представленных на рис. 9 распределений энтальпии торможения #о(п) при параметрах закрутки С = 0.823 и 1.828 оценим эффект энергетического разделения газа в сечении струи. Так, задаваясь значением температуры торможения газа То на границе струи, равным 300 K (t = 27°C) получаем значение температуры торможения на оси канала соответственно То = 286 K (t = 13°C) и То=200 K (t = -73°C).
Рассмотренный пример стратификации энтальпии (температуры) торможения газа в поперечном сечении ограниченной закрученной струи обусловлен переносом тепла посредством конвекции и теплопроводности в поперечном направлении, а также подводом тепла трения. Он представляет собой специальный случай энергетического разделения газа в модельной дифференциальной прямоточной вихревой трубе.
Заключение. Выявленный на примере автомодельных закрученных течений вязкой жидкости в расширяющихся конических каналах механизм теплового разделения, реализуемый при торможении потока, изменении его структуры при сильной закрутке, обуславливающей повышенный подвод тепла трения, состоит в формировании возвратного характера линий суммарного переноса тепла посредством конвекции теплопроводности. Представляется, что этот механизм действует и в неавтомодельных течениях, в том числе в плоских клиновидных каналах. Есть основание полагать, что выявленный механизм в своей основе ответственен за тепловое разделение и в случае газовой рабочей среды и состоит в формировании возвратного характера линий суммарного переноса тепла, включающего конвективный перенос энтальпии торможения газа и перенос тепла посредством теплопроводности. Достоверность такого объяснения может быть, в принципе, проверена прямым численным моделированием процессов в вихревой трубе в рамках уравнений Навье — Стокса.
Численные расчеты, проведенные методом Рунге — Кутта, и подготовка материалов статьи для печати выполнены Э. В. Юдиной, снискавшей признательные слова благодарности.
ЛИТЕРАТУРА
1.Ranque G. J. Method and apparatus for obtaining from fluid under two carrents of fluid at different temperatures //U. S. Patent. № 1, 952, 281, March, 1934.
2. Balmer R. T. Pressure-Driven Ranque-Hilsch temperature separation in liquids //
Transactions of the ASME, J. of Fluids Engineering. 1988. V. 110.
3. Меркулов А. П. Вихревой эффект и его применение в технике. — М.: Машиностроение, 1968.
4. Гупта А., Лили Д., Сайред Н. Закрученные потоки. — М.: Мир, 1987.
5. Кузнецов В. И. Теория и расчет эффекта Ранка. — Омск: Омский гос. тех. университет, 1995.
6. Fulton C. D. Ranque’s tube // Refrigerating Engineering. May, 1950.
7. Гольдштик М. А. Вихревые потоки. — Новосибирск: Наука, 1981.
8. Frohlingsdorf W., Unger H. Numerical investigations of the compressible flow and the energy separation in the Ranque-Hilsch vortex tube // International J. of Heat and Mass Transfer. 1999. V. 42.
9. Colgate S. A., Buchler J. R. Coherent transport of angular momentum: the Rangue-Hilsch tube as a paradigm // Annals New-York Academy Scienses, 2000.
10. Гуцол А. Ф. Эффект Ранка // Успехи физических наук. 1997. Т. 167, № 6.
11. Тарунин Е. Л., Аликина О. Н. Вычислительные эксперименты для вихревой трубки Ранка — Хилша // Труды международной конференции RDAMM-2001. Т. 6, ч. 2.
12. Дубнищев Ю. Н., Меледин В. Г., Павлов В. А., Яворский Н. И. Исследование структуры течения и энергоразделения в вихревой трубке квадратного сечения // Теплофизика и аэромеханика. 2003. № 4.
13. Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости. — М.: Физмат-гиз, 1965.
14. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. II. —
М.: Физматгиз, 1963.
15. Millsaps K., Pohlhausen K. Thermal distribution in Jeffery-Hamel flows between non-parallel plane walls // JAS 20, 1953.
16. Яцеев В. И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1950. Т. 20, вып. 11.
17. Быркин А. П. О точных решениях уравнений Навье — Стокса для течения несжимаемой жидкости в каналах при наличии отсоса (вдува) // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т.УП, № 4.
18. Гольдштик М. А., Штерн В. Н., Яворский Н. И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. — Новосибирск: Наука, 1989.
19. Румер Ю. Б. Конвективная диффузия в затопленной струе // ПММ. 1953. Т. XVII,
вып. 6.
20. Быркин А. П. Об одном точном решении уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа // ПММ. 1969. Т. 33, № 1.
21. Щенников В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа // ПММ. 1969. Т. 33, № 3.
22. Быркин А. П. О точных решениях уравнений Навье — Стокса для течения сжимаемого газа в каналах // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. I, № 6.
23. Быркин А. П. Автомодельные течения вязкого газа в каналах с тепло- и массо-обменом на стенке // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. VII, № 2.
Рукопись поступила 6/ІІ2008 г.
