Автомодельные решения уравнений Навье стoкca для течения сжимаемого газа в коническом кaнaлe с массоподводом на стенке Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVII 1996

№3-4

УДК 532.516.2

532.525.011.55

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО ГАЗА В КОНИЧЕСКОМ КАНАЛЕ С МАССОПОДВОДОМ

НАСТЕНКЕ

А. П. Быркин, В. В. Кулинич '

Получены автомодельные решения уравнений Навье — Стокса для стационарного течения газа в коническом канале, отвечающие условию, когда составляющие скорости и температура являются функциями только угловой координаты 6. При этом давление и плотность изменяются в зависимости от радиальной координаты г по гиперболическому закону. Настоящие решения отвечают течению с массообменом на стенке. Приведены примеры рассчитанных автомодельных течений.

1. При исследовании течений вязкого сжимаемого газа большой интерес представляют случаи, когда удается свести уравнения Навье — Стокса к обыкновенным дифференциальным уравнениям (автомодельные решения). Помимо самостоятельного Значения автомодельные решения могут быть использованы в качестве тестовых лри апробации численных алгоритмов решения исходных уравнений в частных производных. ... , ...

В работах [1—4] указаны классы автомодельных решений динамики вязкого газа в плоских клиновидных и конических каналах, отвечающих стационарным течениям при описании их уравнениями Навье — Стокса. .

Уравнения Навье — Стокса для совершенного газа в полярных цилиндрической (/ = 0) или сферической (/' = 1) системах координат г, 0 (рис. 1) имеют вид [5]:

Т/г — Тая . . (хіг ~ хпп + тгв

+--------:-------+ /-"--------------------------------,

Г ' - . Г

да V дп ио ■■■■ 1 др 1 дію ^ів

ри — 4- р —* —я- 4* р —\* •“ — —*■ 4* — 1 1 4* "" +

у \дг ; г.т г; Г 90 г 99 дг

і о ТЛ { .• тгв +(тее ~ т ПП )с№

+2-------- + J----------------:-----------------,

УСІ)

ЗА

V 9А

и ип /

ри — + Р- — =(ае-1) дг г 90

др V др'

■ + —

9г г 90 >

1 [і

ЯеРг [г (ае ~ 1)

Ке

_9_

9г

9А

90.

Зи

9г

г ди V 1 9и>|2 2

^ дг г г 90; зц.

ди и 19»

-----Н-----4---------4-

дг г г 90

+У

и V ^

- + -С1ё0 гг )

В системе (1) все величины безразмерные и связаны с размерными соотношениями:

_ г _ и _ к -г А

/■=■—, И =7— ,»Г- А=Т-’

П «1 ‘ 01 *1

Р1

Р1*1

и

и

где и, V — радиальная и нормальная к полярному радиусу составляющие скорости, А — энтальпия, р — давление, р — плотность, ц. — динамическая вязкость, Рг — число Прандтля, хп, тг6, Тее, тпп — составляющие тензора вязких напряжений,

Т,г " Ле Ц

9и _ 2 дг 3

сіі\Г

9 ^иЛ 1 ди Г дг\г) г 90

Х00=ЖЦ

( 9іЛ 2 и + — —

1, 90; з

сііу К

—(и + ус1§0) - — сііуГ г 3

(индекс и указывает направление нормали к плоскости г, 0 в каждой системе координат); аь *1, Рь Ш — соответственно значения скорости

Рис. 1. а — распределения величин V, У, Н, Р по переменной в при в„ = к/6, Ие = 100, Ущ = уаг, б — система координат, картина линий тока, отвечающая значению К„= -0,185

звука, энтальпии, плотности, динамическои вязкости газа на стенке канала (0 = 0*) на расстоянии г\ от полюса 0. Для упрощения записи черту в уравнениях (1) опускаем.

Систему уравнений (1) необходимо дополнить уравнением состояния р = ——- рЛ (ае — показатель адиабаты) и зависимостью дина-ее ' . ,

мической вязкости от температуры (энтальпии), которую будем полагать степенной (ц ~ А", п — показатель степени).

Общим для решений, указанных в [1—4], являются следующие законы изменения в зависимости от г и 0 приведенных газодинамических величин:

Л(г, 0) = р(г,в) =

Р(в)

ае г1+а(2в+1)’

р(г, 0) =

г1+а(2й-1) ’

ще а- — произвольный параметр.

В соответствующих указанным решениям течениях числа Ле, определенные по параметрам потока газа на оси и координате г, и профили чисел М в поперечном сечении канала сохраняются постоянными по длине, а расход 0 через поперечное сечение изменяется в зависимости от г следующим образом:

(3 = jриг (2пг$швУ (В = •

о г

Из приведенного соотношения следует, что в общем случае (произвольное значение а) в течениях рассматриваемого класса на стенках канала должен иметь место тепло- и массообмен

(эл/бв]*,^ 0, ф о).

В [1, 2, 4] приведены результаты расчетов автомодельных течений в каналах указанной выше конфигурации при значениях параметра а > Л(2и). Последние реализуются с отводом тепла и массы от газового потока к стенке [4], с отводом только тепла (а = Л(2п), j = 1) [2] либо вообще при отсутствии тепло- и массообмена на стенке (а = О, / ='0) [1]. Использованный, однако, в [4] подход получения автомодельных решений (основанный на сведении к задаче с начальными данными на оси, когда полуугол раствора канала 0*,, энтальпия Ь„, давление рш и нормальная составляющая скорости газа и на стенке являлись искомыми и находились из условия равенства нулю радиальной составляющей скорости — ищ = 0) оказался неприемлемым из-за возникающей неустойчивости применяемой численной схемы в случае параметра а < у/(2и). В данном случае должен иметь место подвод массы к газовому потоку через стенки канала.

2. Ниже приводятся результаты расчетов автомодельных течений в коническом (/ = 1) канале, отвечающие значению параметра а = 0.

В этом случае согласно (2) как при у = 0, так и при ] =■ \ составляющие скорости зависят только от 0, однако, в отличие от течения в плоском канале (реализующемся с радиальными линиями тока), течение указанного типа в коническом канале реализуется с массоподво-дом на стенке.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемая из (1) с использованием условий (2) при а = 0, для случая течения в коническом (/ = 1) канале имеет вид:

(ЛК)' + Л(17 -»- Кс^в) = 0, ^

Ке|дГ^' - Ш2 - £} = \м[и + У' + {и + Кс^0)] +

+{м[и' - V]}' - 2М[и + V] + м{[и' - Г]с^0 - 2(и + коде)}, Яе^КК' + лиг + ^ = |{-А[2и + 2У ~(и + Кс^е)]}’ +

+М[Г - и'] + 2М[и' -У] + М[и' - V + 2^0(1" - К^в)],

^ЯУН' + ^—(ир -*?')] =

■=^[(ЛГЯ')' + ^с*0#'] + (*-1).*{2(ЕГ + К')2 + I

+2(СГ + Кс1*е)2 + (г/' - К)2 -1 \и + К' + + Кс<80)]21,

Р = КН, М = Нп.

-У

Здесь штрих означает дифференцирование по 0.

Систему (3) будем решать, задавая граничные условия на оси (условия симметрии течения) и значения газодинамических величин на стенке канала:

И' = Н' = Л' = У = 0 при 0 = 0,

(4)

и = 0, Н = 11 = 1, К = К* при 0 = 0*.

Таким образом, искомые в данном разделе автомодельные решения находятся как решение краевой задачи. Параметрами краевой задачи являются полуугол раствора канала О*, задаваемые характерное число 1*е и скорость Уш вдуваемого на стенке газа’.

Для численного решения системы (3) с граничными условиями (4) вводим сетку в/ = /А0 (/ == 0, 1, 2, ... , ІУ) с шагом Д0 = Ъщ/Йтл. сеточные функции Яі, ии Уц Я/. Проведя линеаризацию членов уравнений (3) и простейшую дискретизацию первых производных (с. первым порядком точности и ориентированными в зависимости от знака У разностями), сводим их к разностному виду

4” + в” = Щ, (5)

ще А”, В”, С? — матрицы 4x4, {/,- = Ції,-, £//, Уі, Я,|| — вектор-строка искомого решения, Щ — вектор правых частей.

С учетом граничных условий на оси и стенке канала, записанных в разностном виде, система (5) на каждой итерации (и + 1) решается методом векторной прогонки. Итерации прекращаются по выполнении требуемой точности.

Применительно к воздуху при умеренных температурах (ае = 1,4, Рг = 0,71, п = 0,76) для различных значений 0*, Не и У№ описанным выше методом на ЭВМ проведено численное интегрирование системы (3) с граничными условиями (4), результаты которого описываются ниже.

Так, на рис. 1 приведены рассчитанные профили безразмерных величин и, V, Н, Р по 0 для случая течения в коническом канале с по-лууглом раствора 0* = п/6 при числе Яе = 100 и значениях скорости вдува газа на стенке У*= — 0,1; — 0,3. Числа М на оси Мо для указанных величин Уу, соответственно равны Мо = 1,760; 2,414.

Видно, что структура реализуемых автомодельных течений сильно неоднородна по сечению канала: имеются области больших поперечных градиентов функций V (в) и Р (0), локализованные в окрестности стенки. При этом в направлении От стенки к оси канала в случае Vw = = — 0,1 (Мо = 1,760) наблюдается резкое возрастание по модулю скорости V и падение давления (плотности), в случае же Vw = — 0,3 (Мо = = 2,414), наоборот, имеется резкое падение по модулю величины V и возрастание давления (плотности).

Таким образом, следует, что существует некоторое промежуточное значение скорости вдува газа Vw, при котором будет иметь место минимальный поперечный градиент давления вблизи стенки. Такой ситуации отвечают, например, результаты расчета при Vw = —0,185 (Мо = = 2,099), представленные на рисунке сплошной линией. В качестве примера для указанного варианта в нижней части рисунка приведена также картина линий тока, определяемых уравнением г = const/ {RV sin0).

Вместе с тем 1футой (разрывный) вид профилей V (0) и Р (0) у стенки для значений Vw — —0,1 и —0,3 дает основание предполагать существование для заданных Qw и Re лишь некоторой области по скорости вдува газа Vw, внутри которой получаемые решения отвечают физическому смыслу; вне ее физический смысл решений отсутствует. Последнее следует из выражений для нормальных напряжений = -р + и стее = -р + хее на стенке канала, записанных ниже в приведенном виде с учетом условий автомодельности (2) при а = 0:

(r Q \ _ ^rr (Qw ) / л \_ ‘See (9w )

CT;rv>0w/— > ст09^»0ц|/— >

где

^(0w) = -i-|i-(F' + Fctg0), ae 3 Re

SbbK) = \4~(2V - KctgS).

ae 3 Re

Поскольку нормальные напряжения в газе могут быть только напряжениями сжатия [61, максимальное по модулю значение \VW\

I * шах

определяется условием ^n-(0w) = 0, реализуемым при большом отрицательном значении производной V'(QW). Наоборот, минимальное по модулю значение |F'tt,|rnjn определяется условием 5'00(0W) = O, возможным при большом положительном значении производной V'(Qw)-

Возникает, однако, вопрос о законности использования уравнений Навье — Стокса при описании течения в области у стенки канала с большими градиентами газодинамических величин в поперечном направлении. Согласно кинетической теории [6] критерий их применимости состоит в том, чтобы отношение ширины упомянутой области Ai к средней длине свободного пробега молекул (определенной по параметрам газа на стенке при г = rj) было заметно больше единицы (AiAi > 1).

Для рассматриваемых автомодельных течений газа в канале величина Ах = где 9 — угол, отсчитываемый от стенки, при котором давление Р практически' равно его асимптотическому значению в ядре потока (в обоих случаях для Ущ = —0,1 и —0,3, Э* 0,0236, см. рис. 1). Используя формулу для средней длины пробега молекул Я-1 = 1,256 получаем, что отношение А1Д1=8Ке/

(1,256-Угё) * 1,6. Условно можно принять, что полученные решения при

Ущ — —0,1 и —0,3, результаты которых представлены на рис. 1, отвечают требованиям, предъявляемым к задачам механики сплошной среды. Тем самым отрезок по У*, [—0,3, —0,1] можно рассматривать как область существования физических автомодельных решений при в* = п/6 и Не = 100.

На рИс. 2 сопоставляются результаты расчетов, отвечающие одинаковым значениям полуутла раствора б* = п/6 и скорости вдува Ущ — = —0,1; —0,3, но разным числам Ле (Ле = 100 и 1000).

Из сопоставления видно, что в обоих случаях по К* градиент функции V (0) вблизи стенки возрастает с увеличением числа Ле.

На рис. 3 приведены данные расчетов автомодельного течения в полуплоскости 0ц, = я/2 при Ле = 100, Ущ = —0,5 (Мо = 4,531) и У„ = = —1,0 (Мо = 5,273). Сравнение данных расчетов, приведенных на рис. 1 и 3, показывает, что на диапазон физически возможных скоро-

Рис. 2. Распределения величин и, V, И, Р по переменной в при 0* = к/6, = уаг, Ке = Уаг

Рис. 3. Распределения величин и, V, Н, Р по переменной О при 6„ = */2, Ле = 100, Ри> = таг, картина линий тока, отвечающая значению = — 0,5

стей вдува Vw и структуру рассматриваемых течений большое влияние оказывает угол наклона скорости вдува (3 к оси канала р = п/2 — Qw.

Были проведены также расчеты с целью проверки выполнения асимптотических законов подобия рассматриваемых автомодельных течений в канале при 0W «1, \VW\ «1 и Re -> оо [7]. При этом уравнения, описывающие течение газа, совпадают по виду с уравнениями пограничного слоя, а давление постоянно по сечению канала с точностью до членов 1/Re.

Так, рассчитано автомодельное течение газа для условий 0W = = 0,08726 = 5% Vw = - 0,01966, Re = 883,4 (Mo = 1) . Согласно [7] при сохранении параметров подобия Re92 = const и Vw Re1/2 = const должны сохраняться неизменными профили U (ц), VRel/>2 (п), Н (п), где т) = = 0/0 w. В сопоставляемом случае, когда 0W = 0,1745 =

= 10', Vw = - 0,03931, Re =

= 220,8 (Re92 = 6,726,

P^JRe1/2 = — 0,5843), отличие в сравниваемых профилях

KRe^Oi), Я(л) на рис. 4 неразличимо.

В заключение отметим, что рассмотренные выше автомодельные решения, отвечающие значению параметра а — 0, существуют при произвольной зависимости динамической вязкости от температуры ц (Т).

Рис. 4. Распределения величин U, Же1/2, Я, Р по переменной л = 9/0» при Мо = 1,

ew = var, Re 02 = const

W * u>

Авторы признательны О. Г. Фридлендеру за обсуждение некоторых результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Быркин А. П. Об одном точном решении уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа // ПММ.— 1969. Т. 33, № 1.

2. W і 11 і a m s J. С. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump // (AIAA J. - 1967. Vol. 5, N 12.

3. Щ e н н и к о в В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа // ПММ.—

1969. Т. 33, № 3.

4. Быркин А. П. О точных решениях уравнений Навье — Стокса для течения сжимаемого газа в каналах // Ученые записки ЦАГИ. — 1970.

Т. 1, № 6.

5. Пробстейн Р., Кемп Н. Вязкие аэродинамические характеристики в гиперзвуховом потоке разреженного газа // Механика.— 1961,

№ 2.

6. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа.— М.: Наука.— 1967.

7. Быркин А. П. Автомодельные течения вязкого газа в каналах с тепло- и массообменом на стенке // Ученые записки ЦАГИ.— 1976. Т. 7,

№ 2.

Рукопись поступила 3/IV1995 г.