Некоторые нестационарные течения вязкого газа в каналах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том VIII

197 7

№ 5

УДК 532.542:532.526

НЕКОТОРЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА В КАНАЛАХ

А. П. Быркин

Рассмотрен класс нестационарных течений вязкого газа в длинных каналах с плавным контуром, в которых параметры потока в зависимости от времени изменяются по степенному закону. При этом профили чисел М в поперечных сечениях канала не изменяются во времени. Приведены результаты численных расчетов таких течений в цилиндрической трубе.

Построено автомодельное решение системы уравнений для течения газа в плоском канале и цилиндрической трубе, когда параметры потока во времени и по длине канала изменяются по степенному закону, а уравнения сводятся к обыкновенным.

1. Рассмотрим ламинарное нестационарное течение газа в канале при таком значении числа Ие, когда влияние вязкости распространяется на все поперечное сечение канала.

В предположении, что канал длинный, &</,, и плавный, Ъ <£ Я, где 8 — характерный поперечный размер, Ь — длина, Я — радиус кривизны канала, для описания течения вязкого газа будем использовать приближенные уравнения, совпадающие по форме с уравнениями нестационарного пограничного слоя [1],

- ди — ди -----------да др 1 д (— - ди \

ду

ду

д (У р) д ( / р и) д (У р у)

ді

+

дх

+

ду

— дН

р и +'“

дН

дх

-- дН ,

+ Р у -<=- = (* ду

= 0,

_1_

У

_д

ду

IX —=-

ду

_д_

д~У

дЛ 6~

(О

рч. М* = р к, (х = к11.

Система (1) выписана применительно к совершенному газу и степенной зависимости коэффициента вязкости (л. от температуры (энтальпии). Здесь все величины безразмерные и связаны с размерными соотношениями

- / Уш* Р* — X I — У — , — У п

і = і І —-------- , л: =-^7— , у =■ -— , и = н/и*, V = — Ре,

Н = А +

ЛГ и2,

Ут* Ие А = А/А*,

Ут*

Р =

р*и:

Р = Р/Р*. = Н-/!1**

где I — время; х, у— расстояния, измеряемые вдоль оси и по нормали к оси канала; и, V — продольная и поперечная составляющие скорости; Л, р, р, [а, М — соответственно энтальпия, давление, плотность, коэффициент динамической вязкости, число М; м*, А*. р*, (л*, М* — значения соответствующих величин на оси канала в начальном сечении х = 0 в начальный момент времени Ь—О; у. — показатель адиабаты, Рг — число Прандтля, Ие = р* и^.уш — число Рейнольдса;

индекс но соответствует стенке канала, величина ч=0в плоском случае и ч = 1 в осесимметричном случае.

В рассматриваемом приближении давление постоянно по сечению канала, т. е. р = р (х, *). Граничные условия для системы уравнений (1) имеют вид

ди дН — — )

-Т=- = -^=г- = 0, V — 0 при У = 0,

ду ду (2)

и = V = 0, к = Ит(х, 7) при у=ут> I

где кт(х, () — заданная функция.

В качестве начальных условий задаются распределения продольной составляющей скорости, энтальпии и давления в начальный момент времени, при £ = 0: ■и = <р 1 (лс, у), А = 92(х, у), р = <?з(х), а также законы изменения и, Л, р на входе в канал при х = 0:

й=<Ы7. 7), Л=+2у(7), р = <\13(0.

2. В общем случае получение даже численного решения системы (1) с выписанными граничными и начальными условиями является сложной задачей, поэтому представляет интерес рассмотрение случаев, когда число независимых переменных удается уменьшить.

Будем искать решения следующего вида. Здесь и в дальнейшем черту в обозначениях безразмерных величин опускаем

и = «!(<) и2(лг, у), V = у), Л = Л! (0Л2(х, у),

1

р = Тм5 Рх р2 (дг)' Р = Р‘ ^ Ра ■у)-

(3)

Подстановка соотношений (3) в систему (1) показывает, что искомые решения будут иметь место при условиях

г»! = ии кх = Ир р1 = «1 "+1,

Р1 — М1

2 п—1

= — т = сопв^

Интегрируя последнее соотношение, получаем: 1 1

^ ~ I + mt ’ М _1_ т/^2 > —

1

(1 + т()2 ’

(1 + пЧУ

(1 + т()2п+1 ’ Р1

где параметр /га может принимать только положительные значения, поскольку течение не должно быть ограничено во времени. Значение т = 0 отвечает стационарному случаю. При этом, как следует из (4), профили чисел М в поперечных сечениях канала не изменяются во времени; числа Ие, определенные по параметрам потока на оси в данном поперечном сечении, также сохраняют постоянные во времени значения.

Получаемая система .стационарных" уравнений и граничных условий для определения функций н2, у2, Л2) р2, Рг имеет вид:

ди2 ди2 1 с1р, 1 д( ди2'

— тир2м2 + РгМг-^ + Ра ^2 f ~у дУ (/ >*2'

ду

. <Э(Ур2и2) , й(Урак2) „ т(2п-\)у р2 + -----------^^-------------------- = О,

дН,,

дН2

— 2 /пр2 Н% + р2 м2

Рг

ду

— т (2 п + 1)

1 1 Рг "7л

_д_

ду

_1_

Рг

Р-г

Ра Л2, = Л2’ Н2 = к2Аг

д_

ду

1. ^2 + У>2 ду

■ М2 и\,

(5)

ди2 дН2

фГ = ~дУ = °- v* = 0 при у = О, u2 = v2 — 0, h2 — hw2 (х) при y=yw.

В соответствии с полученными выше результатами зависимости величин и, h, р во входном сечении канала и величины h на стенке от времени должны отвечать условиям (4).

Как ясно из изложенного, нестационарные течения газа, соответствующие рассматриваемым решениям, могут быть реализованы при определенных распределениях газодинамических величин в начальный момент времени, которые должны быть найдены в результате решения системы (5), (6).

Отметим, что данный класс решений был указан ранее в работе [2], в которой для описания течения газа использовались уравнения Навье - Стокса.

В качестве примера для значений параметра т — 0; 2; 4 на ЭЦВМ проведено численное интегрирование данной системы уравнений.

Уравнения решались для условий, соответствующих течению газа в цилиндрической трубе (yw = const, v = 1) и однородному потоку на входе (и2 = Л2 — 1 при х = 0, 0<!_у<^1). При расчетах полагалось, что газ одноатомный (% = 5/3), Pr = 0,7J, М* = 0,4, температура стенки по длине принималась постоянной и равной температуре торможения газа на входе в трубу. При этом для простоты бралось п = 0,5, когда уравнение неразрывности полностью совпадает со стационарным случаем независимо от значения т. Расчеты проведены методом, изложенным в работе [3J. Некоторые их результаты приведены на фиг. 1—3.

На фиг. 1 представлены распределения величин pjpu uajuu hojhu М0 по приведенной длине трубы х, где индекс ,0“ соответствует условиям на оси трубы. Из этого графика видно, что при всех значениях параметра т расчеты практически доведены до критических значений приведенных длин, соответствующих запиранию течения в трубе. Наибольшей чувствительностью к параметру т обладает величина и0/а1> меньшей —М0 и Л0/Лt и наименьшей—Р1Р\.

На фиг. 2, 3 показано, как деформируются профили продольной скорости ШВ] и энтальпии hjht в поперечном сечении по длине трубы. Отметим, что

Фиг. 2

7—Ученые записки № 5

9?

три достаточно больших т вблизи стенки наблюдается максимум для величины Л/*!.

В целом из приведенных на фигурах данных можно сделать вывод о том, что представленные характеристики рассмотренного течения близки к квазиста-■ционарным (сравнительно слабо зависят от параметра т), хотя зависимость значений скорости, температуры и давления от времени является существенной. Это свойство, по-видимому, является следствием постоянства во времени профилей чисел М.

Полученные результаты можно рассматривать в качестве обоснования использования квазистационарного приближения при инженерных расчетах такого рода течений.

3. Покажем далее, при каких условиях могут быть получены автомодельные решения системы (1) и (2) для нестационарного течения газа в каналах постоянного сечения, когда уравнения сводятся к обыкновенным*.

По аналогии с предыдущим такие решения будем искать в виде

После подстановки выражений (7) в уравнения (1) получим, что для сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям по у необходимо, чтобы функции с индексом „1“ имели вид (4), а функции с индексом „2“ должны удовлетворять условиям:

u2=\+sx, i/3=l, й2 = (1 + s*)2, р2 = (1 + sx)2"+2, р2 = (1 +sxfn, (8)

где 5 является параметром.

Таким образом, для рассматриваемых автомодельных течений профили чисел М в поперечных сечениях канала, соответствующие продольной составляющей скорости, не изменяются во времени и по длине канала.

При этом искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций м3, »3, Л3, рз запишем следующим образом:

Систему уравнений (Э) будем решать как систему с заданными начальными ус ловиями на оси канала

Величины т и М0 (число М на оси) при заданных х, Рг, п будут параметрами данной системы.

Величина 5 должна определяться в результате интегрирования уравнений (9) из условия равенства нулю величины м3 на стенке канала [и3(1) = 0].

Ввиду того, что в случае автомодельных решений при у = 0 заданы условия для и3(0), Л3 (0), приведенную энтальпию газа на стенке Л3(1) и скорость г/3(1) следует считать искомыми величинами. Это объясняется тем, что в данном случае законы изменения всех газодинамических величин по длине определены, поэтому для реализации рассматриваемых законов при фиксированных и и М0 величины Л3(1) и г»3(1) должны быть найдены из решения всей задачи в целом. В указанных течениях на стенке канала, вообще говоря, должен иметь место тепло-и массообмен.

* Нестационарные автомодельные течения вязкого газа в случае погранич ного слоя исследованы, например, в работе [4].

u = u1(t)u2(x)u3(y), v = v1(t)v2(x)v3(y), h = h1(t)h2(x)h3(y),

1

*

v2 = \, h2 = u\, p2 — a\n+2, p2 = u\n, u'2 = s = const. Отсюда следует, что зависимости их от х должны иметь вид

г2л + 2 '2

— 2/ярз Н3 -(- 2sp3 и3 Н3 + р3 v3 Но — — т (2п + 1)------------------------------ -f-

(9)

Рз-----1_ , [х3 — Л", Нй — h3 -J- ——A- Mq u\.

«з z

из (°) = h (°) = °- “з (0) = Л3 (0) = 1, t-3(0) = 0.

(10)

Фиг. 4

В качестве примера для х = 1,4, Рг = 0,71, п = 0,76 и т = 0; 1, М0 = 1 проведено численное интегрирование системы (9) с граничными условиями (10). Случай т = 0 будет соответствовать стационарному автомодельному течению.

В нижеследующей таблице для всех расчетных случаев приводятся значения величины в, а также величин Л3(1) и и3(1).

т I в | *з(1) МО

0 0 -0,4509 0,7267 0,6044

1 — 0,0277 0,0786 0,0661

1 0 - 0,9907 0,7585 0,5354

1 — 0,6001 0,4936 0,4128

Из таблицы видно, что для рассматриваемых автомодельных течений характерен отвод тепла и массы от газового потока к стенке канала.

На фиг. 4, 5 приведены профили величин и3, ^ и А3 в поперечном сечении канала. Видно заметное отличие этих характеристик течения в стационарном и нестационарном случаях. При этом имеет место ограничение режимов течения по значениям т и М0 (в особенности в плоском случае), максимально возможные значения которых соответствуют температуре стенки, равной абсолютному нулю.

Из анализа формул (8) при найденых значениях «<0 также следует, что автомодельное течение не может быть продолжено за сечение х = хтах = —1/«, соответствующее обращению в нуль всех газодинамических величин, за исключением V, т. е. канал оканчивается .заглушкой".

Необходимо отметить, что решения рассматриваемого здесь класса существуют при М0-> 0. При этом в ~ Мц. Такому предельному решению в стационарном случае (тп = 0) соответствует течение Пуазейля с тождественно равной нулю поперечной составляющей скорости и постоянной температурой по длине и по сечению канала.

В заключение укажем, что аналогичные решения для нестационарного течения в плоских клиновидных и конических каналах были получены в [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Межи ров И. И. О законах подобия при нестационарном течении вязкого газа в канале и пограничном слое. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 4, 1971.

2. Быркин А. П. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для нестационарного течения сжимаемого газа в каналах. .Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 6, 1972.

3. Быркин А. П. Численный расчет ламинарных течений вязкого газа в каналах. .Ученые записки ЦАГИ\ т. 4, № 6, 1973.

4. \Virz Н. .1. Emige аИпПсЬе Ьбзип£еп <1ег пШаНопагеп, кошргев-8Ш1еп 1аш1пагеп Gгenzschlchtgleichungen. IngeGteuг-Archiv, 1970, N 4.

Рукопись поступила 811 1974 г.