Численный расчет ламинарных течений вязкого газа в каналах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Том IV

1973

№ 6

УДК 532.542:532:526

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ГАЗА В КАНАЛАХ

А. П. Быркин

. Предложен численный метод интегрирования уравнений, описывающих ламинарные течения вязкого газа в длинных каналах с плавным контуром.

Приводятся'результаты расчетов течения газа в плоском канале и цилиндрической трубе вплоть до сечения запирания. '

В случае: .течения в трубе проведено сравнение результатов расчета с имеющимися экспериментальными данными и обнаружено удовлетворительное их соответствие.

1. Будем рассматривать ламинарное течение вязкого газа в плоском или осесимметричном канале при малых и умеренных числах Яе, когда эффекты вязкости будут проявляться не только в погранитеом слое, а во всем поле потока уже на сравнительно малом расстоянии от1 входа.

Предположим, что канал длинный, 8//<1, и плавный, 8/г< 1, где 8 — характерный поперечный размер, I — длина, г — радиус кривизны контура канала.

При этих предположениях для описания течения вязкого газа будем использовать приближенные уравнения, имеющие вид уравнений пограничного слоя [1, 2]

~ (у' ри) -г ~ (Г рг>) = О,

(1)

2—ученые записки ЦАГИ № 6

Система уравнений (1) выписана применительно к совершенному газу. При этом все величины в ней безразмерные и связаны С размерными следующими соотношениями:

—______ х _1_ —

Х ~ Ухе* ’ У

Утш >

р-

р

к

р*в! ’ Р*' |К

— р (1 = -Е!**

,2 »

где х, у — расстояния, измеряемые вдоль оси и по нормали к оси канала; и, V — продольная и поперечная составляющие скорости; р — давление; р — плотность; к — энтальпия; Я=А + и2/2; ц — коэффициент вязкости; Рг1— чйсло Прандтля; х — показатель адиабаты; и*. Р*, А*, ^ — значения соответствующих величин на оси канала в начальном сечении; V === 0 и 1, соответственно! в случае плоского и осесимметричного канала; Ие = р* */р.*—число Рейнольдса.

В рассматриваемом^ приближении давление постоянно по сечению канала, т. е. р = р (х). . •

Система уравнений (1) должна решаться при следующих граничных условиях:

&и дЛ п — п — п )

,■ . ——— ="0, г»==0 при V = 0;

. _ ду _ _ _ _ ^ (2) и = ъ = 0, /1 = /11е(х) при у ]

где Нго (х)— заданный закон изменения энтальпии газа на стенке канала. ; ^ I,г м

Кроме того, должны быть заданы начальные; условия задачи. Отметим, что здесь ставятся два условия для вертикальной составляющей скорости V, так как давление будет искомой функцией.

Систему (1) с граничными условиями (2) будем решать методом конечных разностей, одним из достоинств которого по сравнению с методом интегральных соотношений [2] является то, что он позволяет задавать Профили скорости й температуры на входе в канал, близкие к реальным. '

Для описания метода перейдем к прямоугольной области интегрирования, введя новые независимые переменные (черту в обозначениях опускаем) 1Л

1-лГ- 1

Формулы преобразования производных при этом будут

____Уш

дх ~ д£ уц,71 ’ ду = уш дт| ’

где штрих означает дифференцирование по х.

В результате такого перехода исходная система (1) —(2) запишется следующим образом:

ди

ри -щ- +Р®

ди Лр .1 1 д І

ди

)■

(3)

(4)

-щ (Уш1 У? ри) -|- (Уш1*? рто) == О,

дН . дН 1 1 1 д / „ дН\

Р» * + Р^ ат) рг ^ ^ (п I»

>1 1РГ / V **Г аїі і’

. ^=-^ = 0» т = ° при 4=0,

и = то = 0, А = Л®(5) при т)=1,

где да = (г> — уш т]и)/у„,.

В дальнейшем вместо іг) перейдем к переменной С:

- 1 1п[1 +а(1—г,)]

^ 1п(1 +о) ’

введение которой при постоянном шаге ДС дает возможность сгустить сетку по т] вблизи стенки (в области наибольших градиентов искомых функций) и растянуть ее вблизи оси (в области малых градиентов), что позволяет повысить точность расчетов. С увеличением параметра а эффект сжатия (растяжения) сетки увеличивается, при а = 0 он отсутствует.

Кроме того, после некоторых преобразований систему (3) — (4) запишем в дивергентном виде

_д_

ді

(„?-1 р«») — $• ) = - Л*1 і § + А( ,7' „• */-£),

(рг- •) Ж [>'" 'ч’р/

Рг да Vу*

д (а2/2) ;

и:

за

<Ь = О приС = 0;

О, к — <1* = при С= 1.

ди________ дк ________р.

1а ~ Ж ~ ’

(5)

(6)

из

Здесь ф = Г .у^Л- риеК—функция тока, вид которой получен ./ /

О

уравнения неразрывности; значение находится из начальных условий на входе в канал;

* дЇ)

[1 -)-а(1 — ї])] ІП (1 + а

• _ 1 _ (1 1

:) » 7< ~' * а ■ ’

Решение системы (5) с граничными условиями (6) на каждом шаге по 5 будем находить в результате последовательного решения нескольких обратных задач.

Обратная задача состоит в том, что заданной будет являться величина Р = Лр\(1\ (первое приближение для Р берется с преды^ дущего шага), искомой — величина ф®.

Подбором величины Р по формуле

р — р(к) I Р(*+1) — у. ф<*)\

Г — Г' >.л+1) _ .к) (ф*.

Т ХУ Т 1£}

где /г — номер приближения, определится ее искомое значение и решение всей задачи в целом.

Как показали расчеты конкретных случаев, три-четыре приближения оказываются достаточными для окончания итерационного процесса по Р.

Интегрирование системы (5) с соответствующими граничными условиями при решении самой обратной задачи будем производить разностным методом, аналогичным методу [3], предложенному для расчета ламинарного пограничного слоя.

На плоскости К строится прямоугольная сетка \ = /Д$, С = = у'ДС (г,у = 0, 1,2, . . .) и уравнения (5) представляются в конечноразностном виде с помощью неявной шеститочечной схемы, что приводит к соотношениям

«£\ + р и?1 + чТ 1#1 = 8<-“>, (7>

«Г + $Н) «/+1 + *А\ = «Г- (8>

Система (7) — (8) совместно с разностной аппроксимацией граничных условий определяет значения искомых функций и, Н на слое /+ 1, если заданы их значения на предыдущем г-м слое. Решение системы уравнений (7) — (8) находится методом линейной прогонки. При этом, поскольку коэффициенты уравнений ау., ру., ^ и 8;- зависят ог искомых функций, при решении используются итерации.

В качестве первого приближения для и и Я на (/ + 1 )-м слое принимаются их значения на г-м слое. Определение функции тока производится непосредственным интегрированием величины

У^-у-ри по С (например, по формуле трапеций).

При проведении расчетов устойчивость счета обеспечивалась демпфированием, при использовании которого значение искомой функции <р в (/ + 1)-й итерации определялось по формуле

<р(Ж) = <р(0 -|_ 8 [(<р)<,+1> —

Здесь <р(1) значение у в 1-й итерации; (<р)<г+1)— значение <р в(/+1)-й итерации без учета демпфирования; 8 —параметр релаксации, который принимался равным 0,5. Итерации оканчивались по достижении требуемой точности г. Выбор шага Д? на большей части длины производился таким образом, чтобы при г = 0,0005 число итераций не превышало шести.

2. Изложенным выше методом проведены расчеты течения вязкого газа в плоском канале постоянного сечения и цилиндрической трубе. Все расчеты соответствуют случаю, когда температура стенки принималась равной температуре торможения набегающего потока в начальном сечении.

На фиг. 1-^4 приведены результаты расчета течения одноатомного газа (х = 5/3) в плоском канале. При расчете принималась

степенная зависимость коэффициента вязкости от температуры ([а~Ал, п = 0,5), число Рг = 0,7. Задаваемые профили скорости и температуры в начальном сечении л; = 0 (см. фиг. 1 и 3)

отвечали наличию невязкого ядра и пограничного слоя вблизи стенки, который рассматривался как на пластине при М* = 0,25.

При интегрировании уравнений (5) и (6) шаг Д£ = 0,02, параметр а =100. Расчет практически доведен до критического значения приведенной длины, соответствующей запиранию течения в канале.

Нафиг. 1 —3 можно видеть, как деформируются профили, скорости величины р®, энтальпии g — hjhS6 в поперечном сечении по длине канала. ; . _

Из графика для величины рг> следует, что сначала поперечная скорость направлена от стенки к оси, а при подходе к сечению запирания меняет свой знак.

На фиг. 4 приведено распределение числа М на оси и давления р/р*, где Рщ. — давление в начальном сечении. Видно, что вблизи сечения запирания, как и в окрестности начального сечения, имеет место резкое изменение газодинамических параметров, вследствие чего уравнения (1) здесь будут недостаточно точными.

:

'**

08

¥

о*

0,2

О

Для сравнения с рассматриваемым случаем плоского канала проведен расчет течения одноатомного газа в цилиндрической трубе при одинаковых условиях на входе.

Из фиг. 4 видно, что критическая длина в случае трубы оказалась заметно меньшей по сравнению со случаем плоского канала.

На фиг. 5 (сплошная кривая) приведены также некоторые результаты расчета течения воздуха (х=1,4; \х~кп, п = 0,76, Рг = 0,71) в цилиндрической трубе.

Профили скорости и температуры на входе задавались как и в предыдущих случаях, температура стенки равнялась температуре торможения в ядре потока, число М* = 0,4236. Число М на входе и условия на стенке отвечают условиям эксперимента [4].

_Проведено сравнение расчетной зависимости величины р!р% от ха с экспериментальной {ха = х/с1Кеа, й — диа-

метр трубки). В экспериментах варьировались значения 1\с1 и Ией (/ — длина трубки), а замеры статического давления проводились как по длине трубки, так и на ее правом конце.

0,005 0,010

Фиг. 5

Рассмотренный диапазон чисел Red указывает, что в экспериментах должен был иметь место ламинарный режрм течения, Последнее подтверждается полученной авторами [4] для заданных условий универсальной зависимости р,р* от xd, характерной для ламинарного течения. : : . , ,

Существование такой универсальной зависимости находится в соответствии с законами подобия, установленными: в [2|. В случае каналов достоянного сечения они сводятся к тому, что при х = const имеют место одни и те же профили величин И, V, g, а градиенты давления dp/dx обратно пропорциональны числам Re.

Из графика видно, что на длине до сечения запирания, имеет место удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных. Само значение критической длины определяется с погрешностью 15%, что можно считать удовлетворительным, учитывая разброс экспериментальных точек и сильную зависимость критической длины от М* и других начальных данных.

Полученное в целом согласие расчета с экспериментом, а также подтверждение законов подобия свидетельствует об удовлетворительном описании течения вязкого газа в длинных каналах приближенными уравнениями вида (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Williams J. С. Viscous compressible and incompressible flow in slender channels. AIAA, v. 1, No 1, 1963.

2. Быркин А. П., МежировИ. И. О расчете течения вязкого газа в канале. „Изв. АН СССР, МЖГ“, № 6, 1967.

3. Быркин А. П., Щенников В. В. Об одном численном методе расчета ламинарного пограничного слоя. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 10, № 1, 1970.

4. Боровков И. С., Вершинин И. Д., Ра ко гон Ю. Г. Экспериментальное исследование запуска простейших воздухозаборников при малых числах Рейнольдса. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1973.

Рукопись поступила 6jIX 1972 г.