Об одном классе точных решений уравнений Навье Стокса для нестационарного течения сжимаемого газа в каналах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И Том III 1 972 ! : :

№ 6

УДК 532.54.55:533.694.71./72

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО ГАЗА В КАНАЛАХ

А. П. Бир кин

Найден класс автомодельных решений уравнений Навье —Стокса для нестационарного течения сжимаемого газа в плоских и осесимметричных каналах с прямолинейными стенками.

Полученные решения соответствуют течениям газа при специальном законе тепло- и массообмена на стенке и постоянном во времени и по длине канала профиле чисел М в поперечном сечении.

1. Будем рассматривать нестационарные течения вязкого газа в плоских или осесимметричных каналах с прямолинейными стенками (фиг. 1). Полную

Фиг. 1

систему уравнений Навье — Стокса для этого случая удобно записать в полярной системе координат г, в (цилиндрической или сферической):

д (-

дг

1

- ди

тр1н

гА

л.ди і дй ~ і»2 + ри —— ри —— — р ——

дг

гдв

— _ д~р + дг

Ие гдв

дг

дv

дг

у ди

Т 1т

+ _ г гдв

+

2

Ие

ди

дг

г г

- _

гдв

+

В уравнениях (1)—(4) все величины безразмерные и связаны с размерными следующими соотношениями:

т=1+/я7; 7=/и*/г*; г = г /г*; й = и/а*; Ъ = а/и*; Л = Л/Л*;

р=р1?*и1\ р = р/р*; р-р/р*: Не = р*и*/-*/н.*,

где < —время; и, 1> — радиальная и нормальная к полярному радиусу составляющие скорости; Л — энтальпия; р — давление; р — плотность; |л — коэффициент вязкости; Рг — число Прандтля; М — число М; и*, Л*, р„, [**, М* — значения соответствующих величин при 0 = 0 на расстоянии г* от начала координат в началь-

ный момент времени I = 0; величина / принимает значения 0 в плоском и 1 в осесимметричном случае; т—постоянная величина.

Отметим, что в выписанных соотношениях величина и* подразумевается как алгебраическая. Этим самым значения 0, Ие > 0 будут отвечать направлению течения от полюса к периферии, Г<10, 1^е<0 — направлению течения от периферии к полюсу.

Уравнения (1) — (4) необходимо дополнить уравнением состояния

р х = р Л (5)

(рассматривается случай совершенного газа) и зависимостью коэффициента вязкости от температуры (энтальпии), которую будем полагать степенной

?=Лл. (6)

Поставим далее задачу отыскания автомодельных решений системы (1)—(6), когда возможно ее сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по в.

При этом граничные и начальные условия также должны отвечать условиям автомодельности.

По аналогии со стационарным случаем, рассмотренным в работах [1], [2], такие решения будем искать в следующем виде:

и = «і(т,г)м2(0); и = Vi (т, г) v2 (6); h = fta(t, г)йг(0);

_ _ 1 _

Р = Pi О. г) р3 (в); р= Р\ г)Pi (в),

(7)

где

щ (т, г) = та‘ г'11; ©! (т, г) — х’1 Г1*; ht (х, г) — та> r3s;

Pi(t,r)= ?‘гр‘; р, (х, f) = т"5 Я3*;

величины аь а2,а5, (Ц, р2............р5— некоторые постоянные.

Подстановка соотношений (7) в уравнения (1) —(6) показывает, что для сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям необходимо, чтобы

а, = а2 = — 1; а3 = — 2; а4 = 1 — 2я; а5 = — (2я -f 1);

Pi = ?2=I; Рз = 2; р4 = 2я — 2, Рб = 2 я. |

Отсюда следует, что функции с индексом ,1“ должны иметь вид «1 = r/v, vx = r/т; hx = (r/x)2; pi = ря-2/т2Л-1. pi =-2«/T2«fl

} (8)

Таким образом, для рассматриваемых течений составляющие скорости в зависимости от г и -с изменяются соответственно по линейному и гиперболическому законам. При этом профили чисел М в поперечных сечениях не изменяются во времени и по длине канала; кроме того, число Ие, определенное по параметрам потока на оси и координате г, также сохраняет постоянное значение независимо от времени и расстояния. Искомая система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций «2 (0), и2(0)) Л2(в), р2 (в). Рг (в) имеет следующий вид:

О)

2 '9 Pi If Г 2 ,

ЩгЩ + ?ъЩ+?.гу2и2 — p2v| = — 2я^др + ~]^г{2п 2 и2 —-3-(2u2 + и2)

— - J / («2 + v2 ctg fl) + (fi2 и’2У — 21*2 v2 а («2 Ctg в — 2 v2 ctg 6)jj ;

— m?2v2 + 2pj u2t»2 + p2u2 v'2 = - +j^2 (u2 + v2) —

2 , 2 IV 1 Г

— -3- (2u2 + v2) — y/(tt, + ^ctge) I +р^-|2Я[^ «2 + 2(*2U2 +

+ i>2 [«2 + 2 (v'2 - v2 ctgfl) ctg 0] j , (10)

m (1 — 2я) p2 + 2rtp2 M2 + (p2 v2)' +J?i (u2 +1»2 ctg fl) = °; 01)

t 7, .— J '

—2 mp2 h2 + 2p2 u2 й2 + p2 v2 h2 = —-— [—(2л + 1) mp2 + ^nu^Pi + v2pi\ +

+ ReTr ^ (я + 1) P2 ^2 +• (f-2 *2)’ (2^2 + Ctg 0)] 4-

)2]

+ (■*■— 1) М2 -щ; ц2 |[2и2 2 (н2 + к2)2 + 2/ («2 4~ и2 с12 ®)2 (й2

. — [2и2 + 1'2 + Л“2 + *'2с1§е)2]|; (12)

Ръ — Р2Л2> 1*2 = Л2‘

Полученные обыкновенные дифференциальные уравнения (9) —(13) будем решать при заданных начальных условиях на оси канала:

и2(0)=Л2(0) = р3(0)=1; (0) = 0; ч

• II . (т—1)(2я—1) |

«'(0) =Л2(0) = 0; ^(0)= ---------Г+7----- и I

Второе условие для поперечной составляющей скорости получаем из уравнения (11) с учетом симметрии течения на оси [р2 (°) = °]-

Угол наклона стенок канала 0^, определим в результате интегрирования уравнений (9) — (13) с начальными данными (14) из условия равенства нулю радиальной составляющей скорости на стенке.

Величины от, Ие, М (М — число М на оси канала) при заданных х, Рг, п будут параметрами рассматриваемой системы.

Приведенная энтальпия газа на стенке Л2(6Я,) и нормальная составляющая скорости 1/2(0щ,) будут искомыми величинами. Это означает, что в данных течениях, вообще говоря, должен иметь место тепло- и массообмен.

При получении численных решений уравнений (9) — (14) необходимо отойти от особой точки 0 = 0, для чего используем разложения для искомых функций, в окрестности 0=0.

2. При различных значениях т, Ие, М и х = 1,4, Рг = 0,71, я = 0,76 на ЭЦВМ проведено численное интегрирование уравнений (9) — (13) с начальными условиями (14).

Как показали результаты расчетов, условие равенства нулю радиальной составляющей скорости на стенке может быть выполнено лишь при значениях Ие<0 (и соответственно Г<0). Это означает, что рассматриваемые автомодельные течения газа в каналах возможны при направлении течения от периферии к полюсу, при этом по данным расчетов должен иметь место отвод тепла и массы от газового потока к стенке. _

Поскольку согласно (8) величина т = 1 + тЬ может быть только положительной, а автомодельное течение не ограничено во времени, параметр т может принимать только отрицательные значения.

/=0')т=-1-,МЧ-, Ле=-2£; вш= 0,1 Ш

В качестве примера на фиг. 2 и 3 для М = I, Ие = — 25 и т.— I приведены рассчитанные профили скорости ы/и0, и/и0. энтальпии й/Л0, давления р!р0 в поперечном сечении плоского и осесимметричного каналов (т) = 0/0им индекс .0 отвечает условиям на оси канала); указаны также полууглы раствора стеной канала Видно, что энтальпия газа у стенки заметно отличается от энтальпии на оси. При этом наблюдается максимум для величины 1//«0.

j= /; /7=-/; M‘/} fo=-2S; 0J7SS

Фиг. 3

Следует сказать, что, как и в случае стационарных автомодельных течений [2], рассматриваемые нестационарные течения возможны не при всех числах М. Существует предельно возможное число М, которое отвечает Re -з>со и нулевой температуре стенки.

Отметим далее некоторые свойства полученных решений при асимптотически больших числах Re.

Как показывают анализ и результаты расчетов системы (9) — (14), при Re-^co

угол раствора каналов подчиняется условию Re 0^, = const, давление постоянно по сечению канала с точностью до членов 1/Re и имеют место одни и те же профили величин и/и0, (v/tio) Re,/2 , h/h0 по координате тг] = 0/9да. Это означает, что при малых углах раствора канала указанные нестационарные автомодельные течения с точностью до членов 1/Re1/2 описываются уравнениями, совпадающим по форме с уравнениями пограничного слоя в полярной системе координат. Последнее находится в соответствии с результатами работы [3].

В заключение укажем, что для j = 1 найденные решения могут быть распространены на случай течения газа в пространстве между двумя соосными конусами, а также на трехмерный случай при вращении стенок канала около оси симметрии с угловой скоростью ®—■ 1/х.

ЛИТЕРАТУРА

1. Щенников В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа.

ПММ, т. 33, № 1, 1969

2. Быркин А- П. О точных решениях уравнений Навье —

Стокса для течения сжимаемого газа в каналах. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970. ,

3. Межи ров И. И. О законах подобия при нестационарном ламинарном течении вязкого газа в канале и пограничном слое. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, Ns 4, 1971.

9—Ученые записки ЦАГИ № 6

Рукопись поступила I6fIII 1972 г.