Автомодельные течения вязкого газа в каналах с теплои массообменом на стенке Текст научной статьи по специальности «Математика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м VII 19 7 6

№ 2

УДК 532.542:532.526

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА В КАНАЛАХ С ТЕПЛО- И МАССООБМЕНОМ НА СТЕНКЕ

А. П. Бир кин

Рассмотрены автомодельные течения вязкого газа в плоских и осесимметричных каналах с прямолинейными стенками, в которых параметры потока по длине изменяются по степенному или экспоненциальному закону. Такие течения реализуются при одном и том же профиле чисел М в поперечных сечениях канала и при наличии тепло- и массообмена на стенке. Построено автомодельное решение полной системы уравнений Навье—Стокса для течений газа в цилиндрических каналах, когда параметры потока по длине изменяются по экспоненциальному закону. Предельным состоянием рассматриваемых течений газа при М -» 0 является течение Пуазейля.

1. Будем рассматривать ламинарное стационарное течение газа в плоском канале постоянного сечения или цилиндрической трубе при наличии отсоса (вдува) на стенке при таких значениях чисел Ие, когда влияние вязкости распространяется на все поперечное сечение канала.

В предположении, что канал длинный, (у ш — высота или

радиус канала, — длина), и скорость отсоса (вдува) является величиной порядка ы^/Ие (и*— скорость газа на входе в канал), для описания течения вязкого газа будем использовать приближенные уравнения, совпадающие по форме с уравнениями пограничного слоя [1, 2]

-- ди р и — дх

, - — ди

1- ю — =

ду

—= (ри) 4-дх

дх

+ — у ду

і— ди

ду

4г 4= (У” ?*) = о,

У дУ

ри Л= (А-¡-

дх

-М* и2

+а±(н+

д

ду

—ч - дк

ду

+ (х-і)м;±£=

у дУ

—V- - ди

У

ду

рхМ1 = ріг, ¡а = /г".

(1)

Система (1) выписана применительно к совершенному газу и степенной зависимости коэффициента вязкости от температуры (энтальпии). Здесь все величины безразмерные и связаны с размерными соотношениями

— X \ — у — и ^ п

х =— я—, у = —, и— — , v= — ке,

уш Ие ’ ут ’ ы* ’ и*

Т Н — р - р — и.

— А 1 Р 2 > Р р > ^ >

“* р* И Р*

где х, у — расстояния, измеряемые вдоль оси и по нормали к оси канала; и, V — продольная и поперечная составляющие скорости; Л, р, [л, М — соответственно энтальпия, давление, плотность, коэффициент динамической вязкости, число М; и*, Л*, р*, р*, М*—

значения соответствующих величин на оси канала в начальном

сечении х = 0; х — показатель адиабаты; Рг — число Прандтля; Яе = р* и* Уо,/р* — число Рейнольдса; индекс ги отвечает условиям на стенке канала, величина V принимает значение 0 в плоском и

1 — в осесимметричном случае. В рассматриваемом приближении давление постоянно по сечению канала, т. е. р = р(х).

Система уравнений (1) должна решаться при следующих граничных условиях

ди дк п „ — А

-= = -===(), -Ц = 0 при „у — 0, оу ду

и = 0, v = vw(x), к = Ът(х) при у — \,

(2)

где Ут(х), /ги, (х) — заданные функции. В качестве начальных условий должны быть заданы профили величин и = и(у), Н = Ъ(у) и значение М* при х = 0. .

Будем далее искать такие решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2), которые имеют вид (черту в обозначениях опускаем)

и = и1(х)и2(у), v — v1(x)vг(y), к = к1(х)^(у),

______/.ч. /<л \ (3)

%М2

Подстановка соотношений (3) в систему (1) показывает, что искомые решения будут иметь место при условиях

/ Г

= -55а = а - С0Пз1’ -4^2 =* = СОП8^ -Ёр- = с = СОП81,

'У \ 1

где а, Ь, с — произвольные константы, причем величина Ь без ограничения общности может быть положена равной единице; штрих означает дифференцирование по х.

Из первого условия при этом следует, что для рассматриваемых течений профили чисел М в поперечных сечениях канала, соответствующие продольной составляющей скорости, не изменяются по длине канала. Определив связь между р1 и ии указанные условия можно представить в следующем виде:

Л, = «2, р, = ис/а, = ~2п+2_с/а = а.

и\

При интегрировании последнего соотношения получаем два следующих закона изменения величины их (и соответственно величин

Л„ ри от

при 2 и-|-2 — с\а ф 1 имеем степенной закон

и, = (1 + кх)а‘ ; при 2п + 2 — с\а =1 имеем экспоненциальный закон

и1 = е^‘х,

где к, а„ р* — новые произвольные константы.

Рассмотрим в отдельности оба этих случая,

а) Степенной класс. В соответствии с полученными выше результатами решения (3) для этого класса нужно искать в следующем виде:

и = (1 + и2(у), V = (1 + кх)а> v2 (у),

А —(1 + /гху*И2(у), р = —^ (1 + кхУ‘ » (4)

р = (1 + ¿*)“Е РгЫ.

где постоянные а2, а3, а4, а5 определяются подстановкой выписанных соотношений в исходную систему уравнений (1). В результате получаем

а2 = а, —1, а3 = 2а., а4 = 1 + (2я + 1), а5 = 1 + {2п — 1),

а а, и 4 считаются параметрами. При этом система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций щ{у), (У), й2 (У), ?Лу) имеет вид '

с*! Ар, и* + р, V-, и’ = — к -1 + °д + ^ (-У' ¡ь

у ' "

(1 + 2 а, я) £р2 ы2 + (_у'; р2 ъ2)' = 0;

2 а 1А р2 Мг -—2— Мо и21 -(- р2Х’2 -|-2— Мо Нг1 *=

= -^гу(Г К)' + (х - ]) моу (У" н-2 щ «¿У;

р2= 1/Л2; ^2 = ^2.

Решение системы (5) должно удовлетворять следующим условиям на оси канала:

«2 (0) = /¡2 (0) = 0, и2(0) = Л2(0) = 1, ®2(0)~0, (6)

которых достаточно, чтобы сформулировать задачу Коши для этой системы.

При этом величины а, и М0 (число М на оси) для заданных х, Рг, п будем считать параметрами. Величина А должна определиться в результате интегрирования уравнений (5) из условия равенства нулю величины и2 на стенке канала (условие прилипания). Приведенные энтальпия газа на стенке Л2(1) и поперечная скорость г>2(1) будут искомыми величинами.

Это объясняется тем, что в данном случае законы изменения всех газодинамических величин по длине определены, поэтому для реализации рассматриваемых законов при заданных а, и М0 величины Л2(1) и г>2(1) должны быть найдены из решения всей задачи в целом.

(5)

В общем случае в рассматриваемых течениях должен иметь место как тепло-, так и массообмен. Требованию как сле-

дует из второго уравнения (5), отвечает условие

1+204« = 0, ocj = — 1/2 и.

б) Экспоненциальный класс. Для данного класса решения (3) следует искать в виде

и = е^х и2 (у), v = е$-х Vo (у), h = e^h2{y), |

Р = ^'Х> Р = е-**Р2(У)- j

Постоянные р2, Рз> ?4> Рб) как и в предыдущем случае, найдем в результате подстановки условий (7) в исходную систему уравнений (1). В результате получим

Pí = Pi, Рз = 2р1( р4 = р1(2л+1)> Рв — Рг (2 я — 1),

где р, является параметром.

В отличие от степенного класса здесь продольная и поперечная составляющие скорости по длине изменяются одинаковым образом.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций и2, v2, /г2, р2 в данном случае будет

р, р2 и\ + р2 v2 в' = — Pl (-^а" !) + ~ (У’ V-2 «2)':

о У

2 р!« Рз «2 Н—V (vv Рз ’Ог)' = 0;

У

2 Pi Р2 м2 (^2 "Ь ■—9— Мо + р2 'Оз [h2 -}-2— Мо u2J =

= -¿Г (Г !^2 AJ)' + (* — 1) М2 (_у>2 и2 и;)';

р, = 1/Л2; и2 = Л" .

Начальные условия для уравнений (8) даются соотношениями (6).

При решении системы (8) с заданными *, Рг, « параметром будет число М0. Величина р, должна определиться в результате интегрирования уравнений (8) из условия равенства нулю продольной составляющей скорости на стенке. Как и для степенного класса, при получении решения в данном случае энтальпия газа на стенке и скорость отсоса (вдува) будут искомыми величинами. Условию для данного класса будет отвечать п = 0, т. е.

независимость коэффициента вязкости от температуры. Отметим, что автомодельные решения указанных классов при отсутствии массообмена на стенке были рассмотрены ранее в [3].

В качестве примера для х = 1,4, Рг = 0,71, п = 0,76 и числа М0 = 1 проведено численное интегрирование систем (5), (8) с начальными условиями (6).

Получение численного решения с заданной точностью проводилось методом проб (подбирались такие значения k или р, при которых величина yw, соответствующая и2 = 0, мало отличается от единицы) в сочетании с методом последовательных приближений.

В табл. 1 для решений степенного класса приведена сводка отдельных численных результатов.

Величина А здесь определяет предельное значение координаты хпр (положительное или отрицательное), где газодинамические величины стремятся к нулю или к бесконечности

хпр = —\/к.

В окрестности точки х = хпр используемые уравнения, вообще говоря, будут несправедливыми.

Из таблицы видно, что с увеличением & величины /г2 (1) и г>2 (1) монотонно убывают, причем может даже менять знак. Значе-

Таблица № 1

№ V к а1 А»0) »*(1)

1 0 -2,157 0 1,124 1,630

1 —4,729 0 1.130 1.315

0 —0,451 1 0,727 0,605

2 1 -0,991 1 0,759 0.535

0 0,753 —1 0,409 0.128

3 1 1,651 -1 0,453 0,128

0 1,353 —1/2 п 0,222 »¡еО

4 1 2,959 —1/2 и 0,272 и2 = 0

ние отвечающее /г2(1) = 0, по физическому смыслу является максимально ВОЗМОЖНЫМ (¿шах).

Зависимость параметра от к является немонотонной. На фиг. 1 для М0=1 эта зависимость приведена для плоского и осесимметричного случаев. Здесь соответствует значению ^ = 0,

II 3? 1 і

1

1 1 ! И

I

1 с 1

I- А/ / ! К- 1/1 —

и і

>

У

- * и I

I й щ

2_ 1/ «т, ,

/

-/ / *

I /

1

. 1

Фиг. 1

к2— значению а, = — 1/2 п. Область I на графике отвечает течению с нарастанием продольной скорости (и температуры) и отводом массы по длине канала, область II — течению с уменьшением продольной скорости (и температуры) и отводом массы, область III — течению с уменьшением продольной скорости и подводом массы. С увеличением числа М0 область III может исчезать, а область II может быть ограничена значением £ = &шах ввиду достижения на стенке температуры абсолютного нуля.

Для значений М0, при которых ктах>0, при к ->-+ 0 величина Я] ->- + оо по закону <з.х = сопэ^'й. Последнее означает, что степенные решения при к — 0 вырождаются в экспоненциальные. Отсюда следует, что течения, соответствующие экспоненциальным решениям, возможны при отводе тепла от газа к стенке, т. е. при ^<0,

Фиг. 2

'

когда скорость и температура газа по длине убывают. В качестве примера на фиг. 2 представлены профили величин и2, V2, Л, в поперечном сечении канала для степенного класса при а^О. Видно, что приведенные профили газодинамических величин по сечению для плоского канала и цилиндрической трубы сравнительно мало отличаются друг от друга.

Случай (*! = () характерен тем, что продольная составляющая скорости, температура и величина №)т по длине постоянны, а давление убывает по линейному закону (в плоском и осесимметричном случае с разной интенсивностью, определяемой значением &). При М0 = 1 этот режим течения имеет место практически при теплоизолированной стенке.

Отметим, что при М0 -* 0 рассматриваемые автомодельные течения газа переходят в течение Пуазейля с тождественно равной нулю поперечной составляющей скорости и постоянной температурой как по длине, так и по сечению. При этом для степенных решений & ~ Мо, для экспоненциальных ^ — Мб.

2. Рассмотрим течения вязкого газа в плоских клиновых или конических каналах с малыми углами раствора (0да<С1)- Для описания этих течений газа также будем использовать приближенную систему уравнений, которая в полярной системе координат г, 9 имеет вид

да

dp , г dr, dF

дг

(Р»)

Р«^г\h +

дг

1

ди

гдт\ - 1

Re Ь2 г* ч» дг.

.. ди

(р®)-

JJL + v-f- a+f) = °;

м’и2) +

[jV

h +

Рг Ref

1 д

гЦ'1

dh

д^

(х — 1)М2

X — 1 . «2 ,

—2— М. и2 1 й

Re в*

ди

рх М" = рА, ^ = /г".

Здесь все величины безразмерные и связаны с размерными соотношениями, приведенными в п. 1, т| = 6¡вт. Отличие состоит лишь в том, что радиальная координата отнесена к г%, поперечная составляющая скорости отнесена к Ие = р* и* а индекс „* и

соответствует величинам при 0 = 0 на расстоянии г* от начала координат. Кроме того, в этих соотношениях величина и* рассматривается как алгебраическая. Таким образом, Ие>0 будет соответствовать течению в расширяющихся каналах, Ре<0 — в сужающихся каналах.

Как и в предыдущем пункте, будем искать решения системы уравнений (9) вида

и = и1(г)и2(1Г1); V =Vl(r)vt(r^)■, А = А1(г)А2(-»});

Р=-

Р i(r); р = р1(г)р,('ч).

(10)

Подстановка выражений (10) в систему (9) дает следующие условия существования таких решений:

r2Plul rPlVl и j.

~--а — const; - 2п~ == b = const;

г/, = и,; hl = u\\

w

2п+2

г2 Р1

и

2л+1

1

■с = const,

где а, Ь, с — произвольные постоянные.

С учетом полученных условий и их совместности выражения (10) можно представить в виде

и — гт-ИзМ; V = гг»®2(•»]); Л=г^Л2(т(); р гт«; р = ГЪр2(т)); (11)

1)-1,

где Т2 = Т1, Тз = 2т„ Т4 = Т1 (2л + 1) — 1, ?5 = Т1(2га

7! — свободный параметр.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения функций «2. ^2. А2, р2 при этом имеет вид

71 Ь «2 + Р2 ^«2=-

7, (2я + 1) — 1

(г1‘ Ъи'оУ]

(V + 2 7, л) р2 «2 + — (V р2 г;,)' = 0; ч

2 Т] р2 и2 (4-------------------------5----- Мо #2

ро г»2 (Л2

1 , , .... (»- 1)М2

РгКев* V (71 2) + Неб?,,

■Мо Мг) =

1

■ (V [*, иг и')'-,

р2 -—- 1 /Но \ р*2 — Л2 •

Начальными данными для решения полученной системы уравнений (12) будут условия (6). При заданных теплофизических свойствах газа параметрами для данной системы будем считать ?! и М0-Выбор величины Иеб^ подчиним условию и2(1) = 0. Энтальпия газа на стенке и скорость отсоса (вдува), как и в предыдущих рассмотрениях, будут определены в результате решения задачи. Заметим, что при у 4~ 2-(1п = 0 имеем v~0.

Следует сказать, что данный класс решений для течения газа в каналах был рассмотрен ранее в работах [4, 5], причем для описания течения в них использовались полные уравнения Навье— Стокса. Однако результаты численных расчетов, приведенные в [5], отвечают только отдельным значениям 7,.

Для различных значений 75 и М0 = 1 (х= 1, 4, Рг = 0,71, я = 0,76) проведено численное интегрирование системы (12) при условиях (6). В табл. 2 приводится сводка некоторых численных результатов.

! Таблица 2

№ V Ке02№ Ь ¿2(1) о.(1)

1 0 -0,664 1 0,425 —0.524

1 — 1,350 1 0,470 —0,406

2 0 0,485 — 1 0,725 0,797

1 1,120 — 1 0,759 0,108

3 0 0,684 —1/2 п 0,766 0,546

] 1,606 —1/2 п 0,799 1*2 = 0

4 0 2,994 0 1,141 О III N &

1 8,058 0 1,154 —0,242

Как было сказано выше, Ке6^<0 отвечает течению в сужающихся каналах, Ке0^>О— в расширяющихся каналах. Из табл. 2 видно, что с увеличением Ие6^ приведенная энтальпия газа на стенке Л2(1) возрастает, а отсос газа сменяется вдувом. Значение Яе6|,, отвечающее Л2(1) = 0, является минимально - возможным. Функция от Иеб^ является немонотонной, причем 71-* + оо при + ° (фиг. 3).

В предельном случае при Яе 6^, = 0(0ц, = 0) автомодельное течение будет иметь место в плоском канале постоянного сечения или

Фиг. 3

цилиндрической трубе и, как показывает анализ, с экспоненциальным распределением параметров потока по длине. Такие течения рассмотрены выше в п. 1.

На фиг. 4 для 71 = 0 приведены графики величин и2(т\), •г'гС7]). Л,(т|). Случай 7! = 0 соответствует такому режиму течения в рас-

7

1,0

0,8

О, в

ол

0,2

Фиг. 4

ГгО

ч V 1

ч \

к \ 1>

г N II

^г 1

1 ч ч 4

/ * А

V, \

/ Ч

/ N

1 ч \

/ к Ч к I1

/ N N \ 1

1 Л

/ \ \ 1

/ \\

/ \

/ \ 1 1 1 V: н

/

/

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 агТи1уИг

3 Ученые записки ЦАГИ № 2 33

ширяющихся каналах, когда составляющие скорости и температура по длине постоянны, а давление убывает по гиперболическому закону. При этом для 7 = 0 стенка должна быть теплоизолированной и ъ = 0, для у=1 должен иметь место вдув газа практически при теплоизолированной стенке.

Предельным состоянием данных течений газа при М0 -+ 0 также является течение Пуазейля.

3. В предыдущем разделе показано, что автомодельные течения газа в каналах постоянного сечения с экспоненциальным распределением параметров потока по длине являются промежуточными для автомодельных течений в сужающихся и расширяющихся каналах с прямолинейными стенками. Для последних существуют автомодельные решения полных уравнений Навье — Стокса. Это указывает на существование для полных уравнений Навье—Стокса также экспоненциальных автомодельных решений, что находится в соответствии с результатами работы [6].

Система уравнений Навье—Стокса для случая течения газа в рассматриваемых цилиндрических каналах имеет вид

ди , ди др , 1 ( 4 д / ди \ , д / ди

дх ^ ду <Заг Ре | 3 дх дх ] ду ду

. д / да \ "2 д (

"И" ду (^ дх ) 3 дх I ^

да

р идГ

ди

да дУ др

1 /ди ,ди \ 2 д / V

у дх I 3 дх у ) | ’

1(4 д / ді’ \ д ( ди \ ,

йе \ 3 ду (^ ду ) дх дх )

д / ди_\ 2 д / да

<3лг \ ^ у 3 ду дх

2а-

(да і’ \

¿7“ V)-

2 _д_ 3 ду

¿-(Р«)+^-(Р*) + *Ру = 0.

ду

1

+

, 1 дк + ^-37

+

дх

(*-1)м I

Яе

ду I

Ие Рг дх

дА_

дх

9 V /—'і2 (— 4- _ 2- (д-± . дл.

“ ^ у ) ду ) 3 ^ ду

рхМ^ — рН, [х = Лп.

(13)

Как и выше, здесь все величины безразмерные и связаны с размерными зависимостями, приведенными в п. 1. Однако в данном случае поперечная составляющая скорости отнесена к и*, а размерная координата х — к половине высоты или к радиусу канала.

Исходя из полученных выше результатов, интересующие нас решения будем искать в виде

и = и{ (х)и2 (у) = е^хи2(у), v — vl {х)ъ2 {у) — е'^ху*(у), А = Аі {х)Н2 (у) = Л2 (у), р == -¿у рх (х) р2 (у) =

1 X М"

1

е\(2п + \ )*р2(у), р = Рі (Ж) р2(У) = Є!

5, (2л— !)дг

92 (У),

(14)

где 8, — параметр, значение которого находится в результате численного решения задачи (см. ниже).

Из этих соотношений, в частности, следует, что число Ие, определенное по параметрам потока на оси и высоте канала, будет постоянным по длине канала. .

Подставляя (14) в уравнения (13), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций и2, Щ, К, р2, Р‘2

51 92 А + р2 «2 ---°і(^2 Рі + (4 81 (2л + 1 ) ^ 11'' ~

+ (^2 и2У “Ь (н*2 УзУ з~ 81 (2 Л 4- 1) |12 V,-, +

Р-2 — («о + 81®г)~

--±- 8Д2«4- 1)^-3-

)

і Рг иг 'и2

Р, «г2 гг'---+ ¿{_3_^зг,2), + 5?(2п + +

—(2 /г -{— 1) ¡а2 и2 3- Зі (ц-г иіУ + 4 2(*2у "у") 3"(^2]у) } ’

2 §! про м, + (р2 г'з)' 4- г -у- = О,

2§! р2 // | /ї2 "І- Р2 ^2

йе Рг

4 §і (п + 1) [а2 /г2 + (ц, А2)'+>р-2 ■

(*-1)Мр

Ке

■Р*2

+ 2 К)* + 2 V (Г + (8, «2 + «2)г - -І-І 81 и2 + гг2 +

^2

(15)

Р2 — Рг ^2> 1^2 — ^2 •

Полученные обыкновенные дифференциальные уравнения (15) ■будем решать для условий на оси канала

и2 (0) = /г, (0) = р, (0) = 1, к2 (0) = 0,

и2 (0) — К (0) = о, ®;(0)—?^т-

(16)

Второе условие для у2 получаем из третьего уравнения (15) с учетом симметрии на оси [р2(0) = 0]. Значение параметра определим в результате интегрирования системы (15) с начальными данными (16) при заданных х, Рг, п, числе Ие и М0 на оси канала из условия равенства нулю продольной скорости на стенке [и2(1) = 0]. Приведенная энтальпия газа на стенке канала к„{\) и приведенная скорость отсоса ^2(1) будут при этом искомыми величинами. Как и в случае использования приближенных уравнений, результаты расчетов показывают, что имеет место ограничение режимов таких течений по числам М0 из-за достижения на стенке температуры абсолютного нуля. Предельно возможное число М0 отвечает Йе оо и нулевой температуре стенки.

Отметим асимптотические свойства полученных решений при больших числах Ие. Анализ и расчеты показывают, что при больших числах Ие (практически уже при Яе>10) давление постоянно по сечению канала с точностью до членов 1/Не2 и имеют место

одни и те же профили величин uju0, (v/u0) Re, А/А0 по у. При этом Sj Re = pl5 где — параметр, введенный при использовании приближенной системы уравнений (1). Это означает, что экспоненциальные решения уравнений (1) являются предельными для данных решений уравнений Навье—Стокса при Re -* оо.

В качестве примера на фиг. 5 приведены результаты расчета для значений х=1,4, Рг = 0,71, и = 0,76, M0=l, Re = 5. Видно, что даже при столь малом числе Re давление по сечению практически постоянно.

При М0-»0 рассматриваемые течения газа переходят в течение Пуазейля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Williams J. С. Viscous compressible and incompressible flow in slender channels. A1AA Journal, vol. 1, N J, 1963.

2. Б ы p к и h A. П., Межиров И. И. О расчете течения вязкого газа в канале. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1967, № 6.

3. Быркин А. П. Об автомодельных течениях вязкого газа в канале при наличии теплообмена. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, №5.

4. Щенников В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье—Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа.

ПММ, т. 33, № 3, 1969.

5. Б ы р к и н А. П. О точных решениях уравнений Навье —Стокса для течения сжимаемого газа в каналах. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 6, 1970.

6. Shidlovski V. P. Spécial case of viscous gas motion in cylindrical tube in slip flowregime. Rarefied gas dynamics sixth symposium,

July, 1968. Academic Press, vol. 1. 1969.

Рукопись поступила 2/VII 1974 г■