О точных решениях уравнений Навье-Стокса для течения сжимаемого газа в каналах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Томі 1970

№ 6

УДК 532.541/,55:533.694.71/.72

О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ—СТОКСА ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО ГАЗА В КАНАЛАХ

А. П. Быркин

Получены точные решения уравнений Навье — Стокса для плоского и осесимметричного течений совершенного газа в каналах с линейным контуром при специальном законе распределения тепло-и массообмена на стенке.

Исходные уравнения. В работе [1] получено точное решение уравнений Навье — Стокса для течения газа в коническом сопле при специальном законе распределения отвода тепла от газа к стенке и степенной зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Аналогичное решение, отвечающее течению газа при отсутствии теплообмена на стенке, для плоского случая получено в работе [2]. Общим для рассмотренных в работах [1] и [2] решений является наличие только радиальной составляющей скорости. При этом уравнения Навье — Стокса сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (автомодельные решения).

Как показано в [3], полученные в [1] и [2] решения принадлежат к более общему классу автомодельных решений уравнений Навье — Стокса, для которых нормальная составляющая скорости не равняется тождественно нулю.

Соответствующие двумерные уравнения движения и энергии для совершенного газа в цилиндрических и сферических координатах г, 6 [4] имеют вид:

— ди

ди

- Vе-

рИ—^ + Р®=гг- —Р-^- = -дг гдь г

и 1 дгЛ

т+тж

др

1

2 ( ди

“Т1^г +

1 д Де гдЬ

дг

— {ду

Л*

ди

V 1 ди)

Т + "г М 1

дг

2_

3

2

д -

Ат +

ї?е дг

2 — — дг

■ +

Ие

Ы _ 1 (

Ие

2 ^ (и 4- V ^ 6) + I ^

дг г '■ дг

дv

дг

V

дю

\дь

+

1 ди) .

Таг ,с‘в

(і)

В уравнениях (1) —(4) все величины безразмерные и связаны с размерными следующими соотношениями:

г = г/г*, и = и/и*, v^=vSuщ, Ъ =

1 = р1р*и1, р = р/р*, ц ==р./У*> Ке = р*и*г*Д|.*,

где и, V — радиальная и нормальная к полярному радиусу составляющие скорости, к—-энтальпия, р — давление, р — плотность, ¡д. — коэффициент вязкости, Рг — число Прандтля, М — число М; н*, р*, М*— значения соответствующих величин при 9— 0 на расстоянии г* от начала координат; величина / принимает значения 0 в плоском и 1 в осесимметричном случае.

К уравнениям (1) —(4) необходимо добавить уравнение со-

стояния

Р* М* = р Л (5)

и зависимость коэффициента вязкости от температуры (энтальпии), которую будем полагать степенной

{Г - А". (6)

Следуя [3], будем искать автомодельные решения уравнений (1) —(6) применительно к течению вязкого газа в каналах с линейным контуром в следующем виде:

й = и1(г)и2(0); v = v1(r)v.,(6); к = к1 (г) Н2 (6); |

Р=-~17ТРх{г)рЛЧ р=р1(г)р»(в), I ^

хМ. I

где Ы) (г) = ЧЗХ (Г) = , А1(г)=-4Г , />! (Г)=4- , Р1 (г)'= -=$-; вели-

г г гт г

чины а, р, у, 8 являются некоторыми постоянными.

Для сведения уравнений (1) —(4) к обыкновенным дифференциальным уравнениям необходимо, чтобы

р = 2а, ^ = 1 + а (2 п-\- 1), 8=1 -\~а. (2п—1), (8)

(а — произвольный параметр).

Записывая выражение для расхода газа через поперечное сечение канала и учитывая условия (7) и (8), приходим к следующему выводу:

Q = j риг (2 т.г sin Оу db ~ -4°Г-Т- . (9)

где — полуугол раствора стенок канала.

Условие (9) означает, что в общем случае для рассматриваемых течений на стенке должен иметь место массообмен, т. е. составляющая скорости vw^0. При этом числа Re, определенные по параметрам потока на оси и координате г, и профили чисел М в поперечном сечении будут одними и теми же по длине канала.

Искомая система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций и2(0), (в), А2(6), /»2(в), р2(0) имеет сле-

дующий вид:

ReJ—ар2й2 + ргг»2и^-р2®|—[1 +а(2п + 1)] -^|г} =

^2 [1 4- я (2 fl -f- 1) [(2 а -j- 1) и2 + ,v2-\-j(u2 -f- v2 ctg 0)] -f-

-r {HüK —(«+ —2^[(“ -r- \)u2JrV,2\+jv-2{{u'2 — U+ l)i»2]ctg6 —

— 2 [(а —)— 1) u2 + v2 ctg 0]}; (10)

Re|- o.p2u2v2 + p2v2 v'2 + p, u2 v2 + j = ^-{^2[(2 + а)м2 + 2v2 — — j {Щ + v2 ctg 0)]}' 4- [a2 [1 -f- а (2 n + 1)] [(а -f-1) — u’2] -j-

+ 2 hK —(*+ l)®2l+y>2K--(*+ 1) W* -h 2 ctg e (-0' — üctgO)]; (11)

J

Re (— 2 ар2 m2 h2 -f- p2 v2 h’2) -f- Re —— {[1 -f a(2n + 1)] u2 p2 — v2p'2} =

= -jF^r [4 а2 (re +• 1) p2 h2 + (¡¿2 h2)’ + ;>2 (— 2 а A2 4- ctg 0A')] -f + (x - 1) M2 [x2 {2 a2 + 2 (и, + v'^ + 2 j (u2 + v2 ctg 0)3 4- .

+ [u'2-{a+l)v2]2 — ~[(\~a)u2 + v2 +j(u2 + v2ctgb)]2); (12)

— 2 arepa u2 4- (p2 v2y -+- jp2 (u2 4- ^2 ctg e) = 0; (13)

. p2 = “ff ’ ^ = (14) 2—Ученые записки № 6 17

Систему уравнений (10) —(14) будем решать, как систему с заданными начальными условиями на оси канала 0 = 0:

и2 (0) = А2 (0) = /?2 (0) = 1, 1>2(0) = 0,

> ,п\ i'tfw ’ 2 ап — J 05)

и0 (°) = Л2 (°)» ^2^- 2/ •

При этом второе начальное условие для поперечной составляющей скорости получаем из уравнения (13) с учетом условия

р4 (0) = о.

Угол наклона стенок канала bw определим в результате интегрирования уравнений (10) — (14) из условия равенства нулю радиальной составляющей скорости. Величины а, Re, М(М —число М на оси канала) при заданных х, Рг, п будут параметрами рассматриваемой системы.

Приведенная энтальпия стенки А2(0Ш) и нормальная составляющая скорости v2(bw) будут искомыми величинами.

Система (10) — (14) с выписанными начальными условиями может решаться каким-либо численным способом на ЭЦВМ. При этом уравнение (13) удобнее использовать для определения величины р2, записав его в виде

р'2 = р2 А' -f р2^2 [2 anu2 — v2 — j (и, + v2 ctg 0)]. (13')

При получении численных решений уравнений (10) — (14) необходимо отойти от особой точки 0 = 0, для чего с учетом условий (15) используем разложения для искомых функций с точностью до членов 0(О2).

Прежде чем переходить к рассмотрению результатов численных расчетов, остановимся на частном случае рассматриваемых автомодельных течений в канале — течениях с постоянным расходом, для которых (см. (9)):

2ая — у =0. (16)

Отличительное свойство этих течений состоит в том, что нормальная составляющая скорости v = 0. Это следует из уравнения (13) и условия симметрии течения [г/(0)=0]. В плоском случае, однако, возможно несимметричное течение при p2i>2=const ^0, соответствующее вдуву на одной стенке и отсосу на другой.

Автомодельное течение с постоянным расходом для плоского случая при ii = 0 и произвольной зависимостью вязкости от температуры рассмотрено в работе [2], для осесимметричного случая

при a = ö-----в работе [1]. В осесимметричном случае для п — 0

Z ft

автомодельное решение соответствует течению в цилиндрической трубе с параллельными линиями тока и относится к классу, указанному в работе [5].

Как следует из (16), в плоском случае для я = 0 автомодельное течение в канале с постоянным расходом возможно также при а ф 0.

Укажем для у = 0 еще один пример вязкого течения газа при t> = 0, характеристики которого определяются условиями (7) при

а = 0 и -^—=0. Этот случай может быть интерпретирован как

течение газа от плоского источника в пустоту. В указанных предположениях из соотношений (10) — (14) получаем, что такое течение может быть реализовано при

-Щг-Т- (17)

При этом радиальная скорость и температура постоянны во всей области течения, давление и плотность меняются по гиперболическому закону. Учитывая, что отношение M/Re пропорционально числу Кнудсена Кп, из (17) при Kn<Cl получаем М^>1.

Таким образом, в рамках предположений механики сплошных сред (Кп <С 1) указанный режим вязкого течения от источника соответствует гиперзвуковым числам М.

Результаты численных расчетов. Для различных значений а, М, Re и *=1,4, Рг = 0,71, я = 0,76 (что соответствует воздуху при умеренных температурах) на ЭЦВМ проведено численное интегрирование систем (10) — (14) при начальных условиях (15).

Фиг.

0,8

0,4

0.2

»1- \ \ • ' і £_

"ч. л

и Ь_ Ьд Л

Но "'І і

\

/ N \

\ ,\

\

У\ 0,04 0,08 0,12 0,16 ’Of,

0,1 0.4 0.6 0.8

ha’ Ра

Фиг. 2

Как показали результаты расчета, для «> 0 и заданных М и Re равенство нулю радиальной скорости на стенке (прилипание жидкости) может быть при а>0 (у = 0) и а>-(1/2и) (у= 1), что соответствует падению скорости и температуры по длине канала. На стенке при этом должен иметь место отвод массы, что следует, например, из условия (15) для нормальной скорости на оси.

При фиксированном а для каждого значение М существует минимальное значение Не, которое соответствует температуре стенки, равной абсолютному нулю.

Следует сказать, что рассматриваемые течения возможны не при всех числах М. Как в плоском, так и в осесимметричном случае существует предельно возможное число М^1,5, которое отвечает Йе-»оои нулевой температуре стенки.

На фиг. 1 и 2 для а=1, Йе = 100 приведены профили скорости и/и0, ‘О/Но, энтальпии А/А0, давления р\р0 в поперечном сечении

канала при значениях М = 1; индекс “0„ отвечает условиям на оси канала, указаны, кроме того, полууглы раствора стенок канала. Видно, что энтальпия стенки заметно меньше энтальпии на оси. При этом наблюдается максимум для величины г//и0.

При одних и тех же значениях М и Ие в осесимметричном случае раствор канала, энтальпия стенки оказываются больше, а скорость отсоса газа меньше, чем в плоском случае. Заметим, что для 7 = 1 рассматриваемые автомодельные решения могут быть распространены на случай течения газа в пространстве между двумя соосными конусами.

ос = 0,5, в„ =0,393; Яе =/¿7

а. = -ОЛ;0ы=1,7> Яе=10

в_

в*

0,8

0,6

0,4

0,2

ч X /— р

и > Ро

и0 / \

/ л

/ ЧА )0 Ьо 1 \

/ / )

0,2

О,'А

Л_ . ]Г_ У о Йл

0,6 0,8 ">"■1

1,0

Фиг. 3

Фиг. 4

Остановимся теперь на результатах расчета автомодельных течений газа в плоском канале при отсутствии отсоса (V = 0) и лфО. Как отмечалось выше, такое течение возможно, если коэффициенты вязкости и теплопроводности не зависят от температуры. Интегрируя для этого случая уравнение (11), получаем зависимость р2 от и2 в виде

1 /7 1 \„ ,

Р-1— 1 Ке ^3 з“)(1 иг)-

Отсюда при и2 = 0 следует, что приведенное давление на стенке

хМ2 / 7 1

Ие [з З“

Поскольку величина р2т может быть только положительной,, полученное соотношение накладывает ограничения на значения параметров а, М и Яе.

Результаты расчета показывают, что рассматриваемые течения могут иметь место в расширяющихся (Ие^О) и сужающихся (Ие<С0) каналах. Течение в расширяющемся канале может происходить при подводе тепла от стенки к газу (а<0), при теплоизолированной стенке (а = 0) и отводе тепла от газа к стенке (а>0), что

отвечает соответственно нарастанию скорости по длине канала, постоянной скорости и падению скорости.

Течение в сужающемся канале может иметь место только при отводе тепла от газа к стенке (здесь а<0).

Для заданных М и 1?е течения с отводом тепла (как в сужающихся, так и расширяющихся каналах) могут быть реализованы не при всех а. При этом, как и в случае течений с отводом массы, предельное значение а будет соответствовать достижению стенкой температуры абсолютного нуля. Ввиду этого для больших чисел М указанные режимы возможны только в расширяющихся каналах и при достаточно малых значениях а.

Отметим, что уменьшение числа Рг способствует расширению диапазона таких режимов по а и М; уменьшение числа Ие действует противоположным образом.

На фиг. 3, 4 для значений а = 0,5 и —0,4 при М—1, Яе=10 (х=1,4, Рг = 0,71) представлены некоторые результаты численных расчетов. Так, на графиках приведены профили величин и/и0, /г/Л0, р1р0 по величие 0/0да и указаны значения 0Ш.

Как видно из фиг. 4, при а = — 0,4 вследствие интенсивного подвода тепла от стенки к газу значение скорости в поперечном

сечении превышает ее значение на оси. При этом — 1,7 > .

Таким образом, показано существование класса автомодельных решений уравнений Навье — Стокса для течения вязкого газа в каналах с линейным контуром при наличии массообмена на стенке. Частным случаем этого класса являются решения при г> = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Williams J. С. Conical nozzle flow with velosity slip and temperature jump. AIAA Journal, 1967, v. 5, № 12.

2. Б ы p к и н А. П. Об одном точном решении уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа. ПММ, т. 33. № 1, 1969.

3. Щ е н н и к о в В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа. ПММ, т. 33, № 3, 1969.

4. Пробстейн Р., Кемп Н. Вязкие аэродинамические характеристики в гиперзвуковом потоке разреженною газа. „Механика“, 1961, № 2.

5. Shidlovski V. P. Spesial case of viscous gas motion in cylin-

drical tube in slip flow-regime. Rarefied gas dynamics sixth symposium, July, 1968. Academic Press, 1969, v. 1. ’

Рукопись поступила 2/VII 1970 г.