О точных решениях уравнений Навье-Стокса для течения несжимаемой жидкости в каналах при наличии отсоса (вдува) Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VII

197 6

№ 4

УДК 532.542:532.526

О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ ПРИ НАЛИЧИИ ОТСОСА (ВДУВА)

Показано, что известные точные решения уравнений движения вязкой жидкости, в котором скорости обратно пропорциональны радиусу, могут быть интерпретированы как решение задачи о течении в конических каналах с пористыми стенками. Исследованы случаи асимптотически малых углов раскрытия канала.

В случае несжимаемой жидкости известны точные (автомодельные) решения уравнений Навье — Стокса для течения в плоском канале постоянного сечения и цилиндрической трубе с пористыми стенками [1, 2].

В настоящей работе ставится задача отыскания аналогичных решений для течения в плоских клиновидных и конических каналах.

Для описания течения будем использовать полярную систему координат г, 0 (цилиндрическую или сферическую). При этом уравнения Навье — Стокса имеют вид [3]

— ди , V

и -з- + — —

А. П. Биркин

дг

_2_ &и_ /-2 Й0

(2)

В уравнениях (1)—(3) все величины безразмерные и связаны с размерными следующим образом:

г = г/г^, и = и/и*, v = vlu^, р = (р — рт)1?и2*, Яе = и-^г^Ы,

где и, V — радиальная и нормальная составляющие скорости; р—давление; р—плотность; V—кинематический коэффициент вязкости; индекс * отвечает условиям при 0 = 0 на расстоянии г* от начала координат, индекс со—условиям на бесконечности; величина J принимает значения 0 в плоском и 1 в осесимметричном случае.

Отметим, что в выписанных соотношениях учитывается знак величины и*, поэтому значения Ие>0 будут отвечать течениям в диффузоре, Не<0 — конфузоре.

Будем далее искать автомодельные решения системы (1)—(3) следующего вида (черту в обозначениях опускаем):

и = и1{г)и2{в), v = v1(r)v2^в), р^р1(г)р2(в). (4)

Подстановка соотношений (4) в исходную систему показывает, что такие решения возможны при условии

«1П = (г) = , р,(г) = -1.

Таким образом, в течениях, соответствующих рассматриваемым решениям, число Ие, определенное, например, по величине скорости на оси и координате г, сохраняет постоянное значение независимо от расстояния.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций и2(6), v2(в), р2(Ь) имеет следующий вид:

- и\ + v2 и' — v\ = 2pt + ~ \u3—2v'2+j (— 2и2 + «'ctg 6 — 2vt ctg 0)], (5)

Re

Vo + v" + 2u'2+j(-v2-j- v'2 ctg 0 — —

sin2P

v2 -f j (u2 + v2 ctg 0) = 0. (7)

Тогда из (7) следует, что в плоском случае (7 = 0) должно быть г»2 = const. При ^2 = 0 этот случай соответствует радиальному течению жидкости между двумя плоскими стенками (течение Гамеля [3]), при v2 Ф 0 — течению с подводом массы у одной стенки и отводом массы у другой. Отсюда можно сделать вывод о том, что интересующие нас течения в плоском случае при v2 ^ 0 не могут быть симметричными относительно оси канала.

Ограничиваясь в дальнейшем симметричными течениями в канале, будем рассматривать только осесимметричный случай (/= 1). Необходимо отметить, что уравнения (5)—(7) при ' j — 1 являлись предметом исследования различных авторов [4—9]. При этом полученные частные решения истолковывались как решения, отвечающие струйным задачам вязкой жидкости. В данной работе решения уравнений (5)—(7) будем применять к течению вязкой жидкости в конических каналах с пористыми стенками. Следуя [6], после некоторых преобразований уравнения (5)—(7) можно представить в виде

' Re о . о , 2 I b cos0—а , с \ /оч

№ = T^ + ^clge-r-( >[п1| +т); (8)

где а, Ь, с — произвольные константы. интегрирования, D = 2c/Re2.

Учитывая условие симметрии течения в канале, из (8) приходим к выводу, что необходимо положить а = & = с. Тогда уравнение (8) легко интегрируется, в результате чего получаем [6, 10]

при с> — 1/2

2 Г * и 1 , л \ , 1 1 — cos 0 я2 '

и, = — к-\пth(пх + А) -\----------------------------

Re [ 2 1 + cos 0 ch3 (пх А)

2 sin0 i я\ , 1 1 л a_W Re 4-1

V

-|яШ(ял: + A) +-j"j , Л-= Arth

Re 1 + cos 0 при c< — 1/2

+ 2 1 + „(*P|S

2

2 n

.(ii)

л In 2;

1 — cos 0

n2

V,

Re 1 + cos 0

[4-“»tg (nx + A)

(12)

A = arctg Re2^~ -- —n In 2;

при с-

1/2

«•> =

_ 2 Re

Vo =

—--------------------f- —

+ Ax 2 sin 6 Г

1 — cos 0

A*

Re 1 -J- cos0

A — —

L 1 + Ax Re + 1

cos0 (1 + Ax)

(Re + 1) In 2 -f 2

(13)

1/21/|1 + 2c | = 1/2 Y\ 1 + Re2D|; постоянная каждом случае определена из условия

где х == 1п (1 + сое 0), п интегрирования А в и,(0)=1.

Считая величины Яе и 0 — 2с/'Ке2 параметрами, полуугол раствора стенок канала 6да определим из условия равенства нулю радиальной составляющей скорости на стенке —0)- Пря

этом нормальная составляющая скорости ^(б^,) будет искомой величиной.

Как показывает анализ полученных формул, для каждого значения числа Ие существуют предельные наибольшее значение £> при Яе>0 и наименьшее значение й при Ие<0, когда равенство нулю радиальной составляющей скорости еще может иметь место (причем это может выполняться и при углах 0>тс/2). Необходимыми условиями существования таких решений будут

D< 1 + D > 1 +

_2_

Re

_2_

Re

при Re>0; при Re<0.

(14)

Неравенства (14) получены из уравнения (5) в Предположении убывания функции и2(6) в окрестности в = 0 (т. е. «2(0)<0) и ограничивают при заданном значении числа Ре выбор значений О.

В качестве примера на фиг. 1 для Не = 10; Э — 0; —1; —100 и фиг. 2 для 1?е = —10; £) = 1; 10; 100 приведены рассчитанные профили величин и2, г»2 в поперечных сечениях каналов (тг) = в/0^,); указаны также полууглы раствора стенок канала Ьw. Из фигур следует, что при течении в диффузоре (Ие>0) должен иметь место вдув жидкости через стенки канала (^<0), а при течении в конфузоре (Ие <С0) — отсос жидкости через стенки канала (^„,>0).

н Кг NN Яе = 0

К 1 Ч' N ч Ч\ \)

1 / \

I 1Г 1 / \\ Л\

ч /У п=0 ; вш=ЦЗ& \\\ -/ ; 0,5М М , -100 \, 006302 '

0.2

о,ь 0,6

Фиг. 2

Исследуем далее свойства решений при Ие 0 и Ие оо.

При Ие 0 независимо от Ь и направления течения в канале получаем

и% — сое 0, г»2 =---э!п 0. (15)

Отсюда следует, что для этого случая полуугол раствора стенок канала 0да = к/2.

При Ие оо использование формул (11) и (12) для заданного I) показывает, что 0„,-> 0. Формулы (И) соответствуют при этом только течению в конфузоре при £)>0, а формулы (12) —в диффузоре при О <0. Применяя для этого случая асимптотические

выражения для величин п, соэ 0 и 1п 1 + , получаем

для течения в конфузоре (Ие<0)

и9

у а

К

Уо

у = ЛгШ

+

УО ‘ 8

для течения в диффузоре (Ие >0)

]/£>■

>2-

(16)

*-- Ие б1,

и2 = У\0\1ёу+—^ Б

сое* у Ие в*

где 7]= 0/0в

VI о I

8

У\о\ц',

(17)

Полагая в выражениях (16) и (17) и2 = 0, т]=1, можем определить зависимость D=/(Re0™), которая приведена на фиг. 3. Эта зависимость имеет следующие асимптоты: слева D— 1, справа D = 0. При Re0^,-*O она имеет особенность вида D=—4/Re 6^,.

Из (16) и (17) следует, что для заданного D при Re -> оо величина угла раствора каналов подчиняется условию Re 6^, = const, давление постоянно по сечению канала с точностью до членов

Фиг. з

---------0,001; 8%s

Фиг. 4

1/Re и имеют место одни и те же профили величин и2, i»2Re1/2 по приведенной координате т). Это соответствует тому, что при малых углах раствора канала рассматриваемые течения с точностью до членов 1/Re1/2 описываются уравнениями, совпадающими по форме с уравнениями пограничного слоя, записанными в полярных координатах.

На фиг. 4 приведены профили и2{т\), ^2/0® (7l)> рассчитанные по формулам (16), (17) при значениях D, близких к асимптотическим. Отчетливо виден различный характер изменения по -ц приведенных на графике величин для течения в конфузоре и диффузоре. Так, в случае течения в конфузоре профиль и2{г\) является полным, а в случае течения в диффузоре — слабо наполненным. Такой же характер изменения радиальной скорости по 0 в сужающихся и расширяющихся каналах будет иметь место при Re оо и 0Ю~О(1). Это указывает на некоторую аналогию между рассматриваемыми течениями и течением Гамеля.

При Re в%,= 0 имеем параболический профиль скорости («2 = 1 — Yj2) и 0а, = О, т. е. течение Пуазейля в цилиндрической трубе с тождественно равной нулю поперечной составляющей скоростью.

Из анализа формул (11), (12) также следует, что при Re = const и |D|-»oo имеет место еще один случай асимптотически малых углов раскрытия канала. Об этом свидетельствуют результаты расчетов, приведенные на фиг. 1 и 2.

Этот случай соответствует стремлению к нулю инерционных членов в уравнениях Навье — Стокса, что может рассматриваться как аналог приближения Стокса для течения в канале.

При этом получаем

и — 1 _ „г. _3_ Л _ _3l\

2 4 ’ в. — 2 ^ 2 / ’

где удовлетворяет условию = — 4/Не.

При О = оо также будет иметь течение Пуазейля в цилиндрической трубе.

Таким образом, в работе показано, что точные решения уравнений движения вязкой жидкости, в котором скорости обратно пропорциональны радиусу, могут быть интерпретированы как решение задачи о течении в конических каналах с пористыми стенками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Berman A. S. Laminar flow in channel with porous walls.

Journ. of Applied Physics, vol. 24, N 9, 1953.

2. Y u a n S. W., FinkelsteinA. B. Laminar pipe flow with injection and suction through a porous wall. Transac. ot the ASME, vol. 78, N 4, 1б56.

3. К о ч и н Н. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. II. М., Физматгиз, 1963.

4. С л е з к и н Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., Гостехтеориздат, 1955.

5. Л а н д а у Л. Д., Л и в ш и ц Е. М. Механика сплошных сред.

М.—Л., Гостехтеориздат, 1944.

6. Яцеев В. И. Об одном классе точных решений уравнений

движения вязкой жидкости. ЖЭТФ, т. 20, вып. 11, 1950.

7. Squire Н. В. The round laminar jet. Mechanics and Applied

Mathematics, vol. 4, pt. 3, 1951.

8. Squire H. B. Some viscous flow problems. I. Jet emering from a hole in a plane wall. The Philosophical Magazine, vol. 43, N 344, 1952.

9. Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости. М., Физматгиз, 1965.

10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Физматгиз, 1961.

Рукопись поступила 231X11 1974 г.