Некоторые классы автомодельных решений уравнений Барнетта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м X 197 9

№ 1

УДК 532.541./55:533.694.71/72

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БАРНЕТТА

А. П. Быркин

Показано что уравнения Барнетта допускают классы автомодельных решений, аналогичные найденным в [1—5] для уравнений Навье — Стокса. Эти решения соответствуют стационарным и нестационарным течениям газа, в которых параметры потока в зависимости от расстояния изменяются по степенному или экспоненциальному закону, а от времени—по степенному закону.

При этом числа М и Ие в каждой точке остаются постоянными независимо от времени и расстояния.

В работе [1] указан класс автомодельных решений уравнений Навье — Стокса, основным свойством которых является степенной закон изменения всех величин в радиальном направлении. Зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры при этом предполагалась степенной. Решения этого класса соответствуют течениям вязкого газа в плоских клиновидных и конических каналах при сцециальном законе тепло- и мас-сообмена на стенке [2]. В предельном случае цилиндрических каналов автомодельные течения с тепло- и массообменом на стенке реализуются при изменении параметров потока по длине по экспоненциальному закону [3, 4]. В работе [5] класс автомодельных решений уравнений Навье — Стокса [1] обобщен на случай нестационарного течения газа в каналах с прямолинейными стенками.

В настоящей работе ставится задача отыскания аналогичных автомодельных решений для системы уравнений Барнетта, когда возможно ее сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Будем рассматривать течение слаборазреженного газа (Кп<1, Кп — число Кнудсена), которое описывается уравнениями Барнетта.

Для простоты будем рассматривать плоское течение. В этом случае уравнения Барнетта в полярных координатах г, ср имеют следующий вид [6]:

ди , ди

Ж + ?u dF

1/2

P-l'-dF

др і dirr | д',

дг

*rr-

■UV

dv , dv . dv .

-W + PUW + + P Г

d (?U) ,

dp ,

rd<f "1~ rd<f

rdy

+ d-ir+2

‘ dr 1 r

'r<P

= 0, =0,

d (pv) , _p«_

Г<3ср Г

JlL _L ^

div V +

de , de . de ,

P ~dt +P“aT^P'y7^'+^

_LX ____®4-*^ + T ( —

9 \ rdtp r ■ dr j ^ 99 \ rdy

p = (x—l)pl, p~7’«,

0,

div q +

du .

'rr~dF +

a

r

= o,

(1)

где t — время; и, v — радиальная и нормальная к полярному радиусу составляющие скорости; е — внутренняя энергия (e = cvT); р — давление; р-—плотность; Т — температура; {х, X — коэффициент вязкости и теплопроводности соответственно; ср, cv — удельная теплоемкость при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно; *=■ cp/cv = 5/3; irn , тф(р — составляющие тензора напряжений; q„ q9 — Составляющие вектора потока тепла; «=1/2 для модели молекул в виде твердых сфер, я=1 для максвелловских молекул.

Составляющие тензора напряжений и вектора потока тепла в приближении Барнетта приведены, например, в [6].

По аналогии с работами [2, 5] систему уравнений (1) будем использовать применительно к течению газа в плоских клиновидных каналах. Приведем систему (1) к безразмерному виду, вводя безразмерные величины:

l=tujr%, г = г1г№, и = и/и*, v = vju*, « = <?/<?*,

& р/р* 11*1 р p/p** ^ Л[i- = [Vp**, ■ р*

М = (х 1

где и*, р*, Т*, [а* — значения соответствующих величин, напри-

мер, при ср = 0 на расстоянии г* от полюса в начальный момент времени t = 0. Отметим, что в этих формулах величина рассматривается как алгебраическая. Таким образом, величины / и Re в принципе могут быть как положительными, так и отрицательными.

Поставим задачу отыскания автомодельных решений системы (1), когда возможно сведение ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по <р. При этом граничные и начальные условия для рассматриваемой задачи также должны отвечать условиям автомодельности.

Рассмотрим в отдельности случаи стационарного и нестационарного течений.

Стационарное течение 1-л =0) .

д

Автомодельные решения уравнений Барнетта будем искать в виде:

величины а, <Х[, . . . , а4 — некоторые постоянные.

Подстановка соотношений (2) в исходную систему уравнений показывает, что для сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям по <р необходимо, чтобы

где л является свободным параметром.

Из соотношений (2) и (3) следует, что составляющие тензора напряжений, отнесенные к величине р* ии составляющие вектора потока тепла, отнесенные к величине в зависимости

от г и ср также имеют вид:

При этом исходная система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по <р относительно величин с нижним индексом 2:

а?2 М2 + Р2®2 й2 — Р2 Н----------------------------------------/^2[а (2Я+1)----------------1 ] (Хг/-)2~Ь

где штрих означает дифференцирование по ч>.

Отметим, что система (4) содержит производные второго порядка от и2 и V2 и третьего порядка от р2 и Т2 по у. Последнее объясняется тем, что в приближении Барнетта в выражении для величины (ъ<рГ)е учитываются члены, содержащие вторые производные от р2 и Т2. Сама же величина (х¥!р)2 входит во второе уравнение системы (4) под знаком производной. В этой связи, по сравнению с уравнениями Навье — Стокса, возникает проблема постановки дополнительных граничных условий.

и = и1 (г) И2 (<Р), V = '1)у (г) ъ2 (?), <? = е, (г) е2 (ср),

Р = -щг Р\ (г) Рі (?). р = Рі (г) Р2 (?).

(2)

где

аг = а, а2 = 2а, а3 = а(2я+1)—1, а4 = а (2п—1) — 1, (3)

— (*и)і (хі/)гї Я і — ІЯі)і ІЧі)и

(2а)

где

-«(2л +1,-1. (^і)і==р2а(Л + 1)-1

+ (^9)2 + 2 — (х<рср)а — 0,

ар2 и2 + р2 ю2 + р2 м2 v2 + ■ %1Л2 Р2 + ('сч=<р)2 +

-Ь [а (2п + 1) — 1] (^г9)2 2 (х,ч>)2 = 0,

(2а« — 1) р2 м2 + (рг г'г)'+ р2 «2 = 0.

2ар2 и2 Є2 + р2г;2Є2 + (х— 1) р2 (ам2-Ь «2 + ^2) +

+ [2« (л+1)—1] (Яі)г + (<7г)г + (^9)2 + (х ~‘ 1) *М2 [а (т/т)2 и2 + + ( хг<р)2 («2 ~ 1>2 + + (т«р<р)2 (®2 + и2)] = 0,

Рг ~ Рг е2> 1*2 ~ ^2» б2 = Т2,

(4)

Оставляя вопрос о граничных условиях для уравнений Барнетта в общем случае открытым, сделаем некоторые выводы.

Так, условия автомодельности (3) означают, что числа М, Re и Kn~M/Re, определенные по параметрам потока в любой точке луча с? = const с текущей координатой г, будут постоянными на этом луче. Эти условия полностью совпадают с условиями автомодельности, полученными в [1] при использовании уравнений Навье — Стокса. Поэтому можно предполагать, что интерпретация решений [1], приведенная в [2], применима и к рассматриваемым решениям уравнений Барнетта. При этом, однако, решения должны быть получены с учетом эффектов скольжения газа и скачка температуры на стенке.

Отметим, что граничные условия для уравнений Барнетта, приведенные в [6] для непроницаемой стенки и содержащие частные производные от искомых величин, допускают с использованием соотношений (2) и (3) сведение их к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Из полученных результатов следует также вывод, что уравнения Барнетта допускают автомодельные решения вида, рассмотренного в [3, 4]. Эти решения соответствуют течениям газа в цилиндрических каналах с экспоненциальным изменением параметров потока по длине. *

Заметим, что в работе [7] получено автомодельное решение „укороченных11 уравнений Барнетта (учтен один барнеттовский член), которое отвечает течению в плоском клиновидном канале. Однако это решение относится к другому классу.

Нестационарное течение. Автомодельные решения уравнений Барнетта в данном случае будем искать по аналогии с работой [5] в виде:

и = щ (г, t) иг (?), 5 = 1»! (г, t) v2 Op), ё = (г, t) е2 (?),

1 _ (5)

P = ~1WP' (Г) *)Л(*)' Р = Pi (Л О Р2 (?),

где

их = г“ (1 —f mtf, vl = r'L' (1 4- m~tf', ег — re* (1 + tnt)9', px = f* (1 4- mtf\ pt = r“4 (1 + mt)?i\ m, a, aj,..., a4, p, |J„ . . . , p4 — постоянные.

Подстановка выражений (5) в систему уравнений Барнетта показывает, что для сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям ПО ср необходимо выполнение условий

a = a, = l, a2 = 2, a3 = 2 п, а4 = 2я —2,

Р = Pi----1, Ра = -2, р3 = -(2я+1), Р*-------(2л — 1).

При этом система обыкновенных дифференциальных уравнений по виду совпадает с системой (4) при значении а=1. Отличие состоит лишь в том, что в каждом дифференциальном уравнении необходимо добавить член, отвечающий частной производной по времени и соответственно равный — тр2и2, — mp2v2, —т (2п—1)р2,

— 2/гар2 е2.

Как и следовало ожидать, на основании результатов, полученных для стационарных течений, условия автомодельности для уравнений Барнетта и Навье — Стокса в нестационарном случае также совпадают. Значение т = 0 отвечает стационарному случаю.

} (6)

4 — Ученые записки № 1

49

Как ясно из изложенного, рассматриваемые в этом случае решения уравнений Барнетта соответствуют течениям газа с вполне определенными распределениями всех газодинамических величин по пространству в начальный момент времени ^ = 0, которые должны быть найдены из решения задачи в целом. При этом числа М, Re и Кп в любой точке области течения будут оставаться постоянными во времени. Они будут также постоянными на луче <р = const.

Укажем, что уравнения Барнетта, записанные в сферической системе координат г, б, также допускают решения типа (2) и (5). Пространственный характер течения скажется только на виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно величин с индексом 2.

В заключение данного раздела отметим, что в случае нестационарного течения возможны также автомодельные решения вида:

- _ щ (г, у) - У.2(г, у) - е2{г, у)

1 + mt ’ 1 + mt ’ (1 + mt)2 ’

Рз (г, у)

%М2

(1 + mt)2n+1

Р =

Р2 (Г, у)

(1 + mt)2n~l

(7)

При подстановке выражений (7) в систему (1) получим для определения функций с индексом 2 систему уравнений в частных производных, по форме совпадающую с исходной системой в стационарном случае.

В предположении радиальности течения ^г/ = 0, при

этом будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений по г.

2. Рассмотрим случай стационарного течения газа в плоском канале с прямолинейными стенками, когда характеристики течения подчиняются соотношениям (2) при а = 0.

Тогда при условии симметрии течения получаем следующую систему для определения искомых величин:

Р2

■Х.М2

Pi

■*.№

+ (ХГ9 )2 - (^99)2 — 0»

~Ь (^99)2 Ч- (^пр)2 == 0)

Здесь

(<7?)2 + (*-1)*М2 [(гЛ<р)2 и2\' = 0

(8)

, . U.0 / . иМ2 f*2

(^9)2 =— -£г «2 +

+

Re 1 / 1

Re2 р2

4*1-

%М2

^2 ы 4-Ж“2 +

3 хМ2 [ р2

+

k\T ’ 1

кз J 1 2 ~ 2

хМ2 А ff-2

Re2 Рг LI з

К Р2 Т2

хМ2

k2 Ч—д- 1 и2 иг -(-

гг* | ^2 Р 2

У2~>~ тш

14

9

k2 + -g- ) «2

+ •

2 &з rj-yN , 2 h\

X 2-1

%M2

3 K.M2 p2

з гМ2 т2

Т2---Th{U2f +

4- (|бі + 202 -+■

(^9)2

Р2----------Н*2 — ^2!

^1, &2, . . . , &6, 0Ь 62) . . ., 65 — постоянные, значения которых зависят от выбора молекулярной модели.

В рассматриваемом случае (а = 0) линии тока являются прямыми радиальными линиями, что соответствует г> = 0. При этом уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически. Такое течение газа в канале на основе уравнений Навье — Стокса рассмотрено в работе [8].

Граничные условия для уравнений (8) будут:

Соотношения (9) следуют из условия нормировки, соотношения (10)— из условия симметрии течения газа в канале.

На стенке канала (<р = (ра,) при этом необходимо использовать условия скольжения газа и температурного скачка:

где иш2 = 0 (стенка неподвижна), ТтЪ— приведенная температура стенки.

Граничные условия (11) соответствуют приближению Барнетта для максвелловского газа (я=1) и получены на основании данных [6]. Коэффициенты аи Ьх, си еи е2, е3, е8 являются известными функциями от коэффициентов аккомодации о и а. Граничных условий (9)—(11), однако, недостаточно для получения решения системы (8), которая содержит третьи производные от р2 и Т2.

В рассматриваемом случае граничные условия для уравнений Барнетта можно дополнить введением свободного параметра О, смысл которого станет ясен из нижеследующего. Так, проинтегрируем второе уравнение системы (8) по <р. Тогда с учетом условий (9) — (10) можем записать:

«2 (0) = Г2 (0) = /73 (0) = 1,

«; (о ) = т'2 (0)(0) — о.

(9)

(10)

Ч~ ^2 * МГ2 ^ ІІ2 4б3 X МТ2^Й2 Ч 1/"* М7ІР и2 4-

+ ев(т^—1^тгт2--^(т2у],

хМ2 3 Яе ^ Не» [х^2 ( 3 9 *2+ 9 ^е) + ^2 + з ^]»(12)

где обозначено £) = &3 7г (0) — &2 Ръ (0). При этом, если задаться значением £), то граничных условий (9)—(10) будет достаточно, чтобы сформулировать задачу Коши для системы (8), в которой вместо второго уравнения надо использовать уравнение (12).

Полуугол раскрытия канала ^ тогда определится из первого-условия (11), значение температуры Тш2 — из второго условия (11).

В результате для заданных чисел М и Ие будем получать семейство решений, каждое из которых определится значением параметра £). Представляет интерес сравнение построенных таким образом автомодельных решений на основе уравнений Навье — Стокса и Барнетта, которые будут отвечать одним и тем же значениям М, Не и (ро,.

Для заданного числа М и Ие полуугол раствора канала <рж в приближении Навье — Стокса определяется единственным образом [8].

Учет эффектов скольжения газа и температурного скачка на стенке в этом приближении не вызывает затруднений. В граничных условиях (11) при этом необходимо учесть только первые члены в правых частях. Определив величину <рт в приближении Навье — Стокса и считая его таким же в приближении Барнетта, тем самым можем определить значение параметра £) (например,, методом проб в сочетании с методом итераций).

Отметим далее некоторые свойства решений системы (8). Продифференцировав первое уравнение системы (8) и сложив его со вторым, получим линейное дифференциальное уравнение относительно (тГ(р)2:

(ХГ<Р)2 + К9)2 = 0,

решение которого С учетом условий ДЛЯ (^о)2, ('/-9)2 при 9=0' будет:

С'гЛ = [-щг + (х??)2 (°)] 81‘п ?■ 03)

Тогда из первого уравнения системы (8) следует

+ Ы2 = [ъйг + (х99>2 (0)] сое ср. (14>

Третье уравнение системы (8), очевидно, допускает следующий интеграл

(<79)2 + (* — 1)* М2 0^)2 и2 — 0. (15)

При использовании условий (10) значение постоянной интегрирования в уравнении (15) равно нулю.

Условие (15) физически отражает тот факт, что работа газа на преодоление силы трения должна компенсироваться притоком тепла, так как внутренняя и кинетическая энергия газа вдоль линий тока в рассматриваемом автомодельном течении (а = 0) не меняется. Выражения (13) —(15) одинаково справедливы как в приближении Навье — Стокса, так и в приближении Барнетта.

На основе вышеизложенного получены численные решения уравнений (8). В качестве примера на фигуре приведены рассчитанные профили скоростей, температур и давлений в сечении канала, отвечающие автомодельному течению при М=1, Не=100. Число Рг = 2/3, ^ = 5/3, п— 1. Значения коэффициентов о и а предполагались равными 0,9. При этом число Кп = 1,256 -х1/2 М/Йе = = 0,0162.

гься

1Н0,

рой

юга

;п).

тть ием ким е — зна-?»• бра-

а на нич-(вые :нии тта, мер,

1ро-

его

тно-

. = 0-

(13)

(14>

;ую-

(15>

иро-

газа жом: ли-5 ме-при-

гния :счи-[ ка-100. ред-?е =

Штриховые линии соответствуют результатам, пол; в приближении Навье — Стокса. В этом приближении полуугла раствора <рто равно 0,1725. Скольжение газа на Дм = 0,226, скачок температуры ДГ= —0,05. Для числа К в качестве характерного размера используется половина канала, при этом получаем значение, примерно равное 0,0'

М=1;Ие-100

Сплошные линии на фигуре относятся к приближен нетта. Случай 1 соответствует значению й = 80, случай = 79,47, случай 3 — .0 = 79,4 (значение £>н-с, следующее сматриваемых условий из приближения Навье — Стокса, ра: В случае 1 9^ = 0,1582 (Ди = 0,311, ДГ=— 0,0815), в сл ¥,» = 0,1725 (Дм = 0,210, ДГ = — 0,037), т. е. течение реа в канале с углом раствора, равным ?то|н-с. В случае = 0,1776 (Дм = 0,172, Д7'= — 0,023). Обращает на себя в что во всех представленных случаях профили скорости и туры на графике неразличимы, в то время как профили , отличаются заметно; причем в случаях 2, 3 по сравнению с жением Навье — Стокса р2 (?) качественно меняется (вог В целом на основе рассмотренных примеров можно вывод, что учет барнеттовских членов сказывается в < на величине тт<р и в силу соотношения (14) на величине д Отметим, что полученные решения уравнений Барнетта, мому, имеют физический смысл только в малой окрестш чения 0=79,47. Так, при й > 80 скольжение газа на сте новится очень большим, а давление по <р сильно умен При О < 79,4 давление по наоборот, сильно возрастает Остановимся еще на одном примере течения вязке В работе [2] исследовано стационарное автомодельное

газа от плоского источника (г/ кости на основе использования уравнений Навье

0, -^-=0) с учетом эффе

Сток

рое соответствует а = 0. Такой режим течения от источника в приближении Навье — Стокса возможен при Ке/хМ2 = 4/3. При этом радиальная скорость и температура постоянны во всей области течения, а давление и плотность в радиальном направлении убывают по гиперболическому закону. Анализ показывает, что в приближении Барнетта рассматриваемый автомодельный режим от источника невозможен.

В заключение укажем, что исследованные в работе классы автомодельных решений имеют место в случае уравнений, более полно описывающих течение разреженного газа (например, уравнений Грэда).

ЛИТЕРАТУРА

1. Щенников В. В. Об одном классе точных решений уравнений Навье —Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа. ПММ, т. 33, № 3, 1969.

2. Быркин А. П. О точных решениях уравнений Навье — Стокса для течения сжимаемого газа в каналах. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970.

3. S h i d 1 о v s k i V. P. Spesial case of viscous gas motion in cylindrical tube in slip flow-regime Rarefied gas dynamics sixth symposium, July, 1968, vol. 1. Academic Press, 1969.

4. Быркин А. П. Автомодельные течения вязкого газа в каналах с тепло- и массообменом на стенке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 2, 1976.

5. Быркин А. П. Об одном классе точных решений уравнений Навье — Стокса для нестационарного течения сжимаемого газа в каналах. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 6, 1972.

6. Lin Т. S., Street R. Е. Effect of variable viscosity and thermal conductivity on high — speed flow between concentric cylinders. NACA Rep. N 1175, 1954.

7. Галкин В. С., Коган М. Н., Фридлендер О. Г. О свободной конвекции в газе в отсутствие внешних сил. „Изв. АН СССР, МЖГ“, № 3, 1971.

8. Б ы р к и н А. П. Об одном точном решении уравнений Навье —Стокса для сжимаемого газа. ПММ, т. 33, № 1, 1969.

Рукопись поступила 16/XII 1977 г.