CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м IX 1 9 7 8 М3
УДК 533.6.013.2.011.3/55:629.7.025.73
ОСОБЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ТОКА В НЕСТАЦИОНАРНЫХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ
ГАЗА
А. И. Щедрин
Методом асимптотических координатных разложений рассмотрена структура нестационарного автомодельного течения идеального газа в малой окрестности плоской „поверхности тока". Показана возможность существования двух классов решений, соответствующих .поверхностям тока”, являющихся поверхностями постоянной энтропии, и .поверхностям тока“ с переменной энтропией, но постоянным значением давления на них. Для полученных классов решений проведен анализ течения в окрестностях особых точек, имеющих энтропийную особенность.
При рассмотрении нестационарного автомодельного течения идеального совершенного газа в малой окрестности плоской „поверхности тока" методом асимптотических координатных разложений получены два решения, указывающие на существование двух различных по структуре течений. Один тип решений соответствует „поверхностям тока", которые являются поверхностями постоянной энтропии. В работе показано, что для таких „поверхностей тока" уравнения нестационарного автомодельного течения допускают асимптотические разложения по степенным функциям автомодельной переменной •»), характеризующей расстояние вдоль нормали к „поверхностям тока". Значениям показателей степеней в разложениях определяются числами г'Л + у, г, / = 0, 1, 2, 3, ...; 0<Л<1. Полученные асимптотические разложения равномерно пригодны во всей исследуемой области течения, за исключением отдельных точек разрыва энтропии, наличие которых свойственно такому типу „поверхностей тока". Получено равномерно пригодное асимптотическое разложение в окрестности особой точки, имеющей энтропийную особенность.
Другой тип решений соответствует „поверхностям тока", имеющим переменное значение энтропии и постоянное давление. Такие „поверхности тока" являются огибающими семейств изоэнт-
Ю
роп поля течения и допускают симметричные решения без каких-либо энтропийных особенностей.
1. Рассматривается нестационарное плоское течение идеального совершенного газа. Предполагается, что все газодинамические параметры течения являются однородными функциями нулевого порядка по времени Ь. Это означает, что рассматриваемое течение является автомодельным, а указанные параметры будут функциями двух переменных £ = .*/£, -г\==у!Ь. Уравнение неразрывности, количества движения и сохранения энтропии частиц газа в переменных С, т\ запишем в виде
4г№+ -^(р10 + 2р=0; иЖ + У^ + и+>~'^ = °'
у4г+ 1/т£+1/+р“1тт=(); 0>
"тг+^-зН0-
где ц=£У-ЬС, V = V-\- у — компоненты вектора скорости частиц соответственно в направлении С, р— давление, р — плотность, 5 = рр_х — энтропия, х — показатель адиабаты.
Известно, например [1—3], что решения уравнений газовой динамики для сверхзвуковых конических течений газа обладают рядом особенностей, связанных с существованием особых поверхностей тока и особых точек. В работе показывается возможность существования аналогичных по структуре особенностей и в нестационарных автомодельных течениях жидкости и газа. Без ограничения общности положим, что в плоскости С, ц рассматриваемое течение обладает симметрией с центром в точке 0(С = 0), а плоскость т)=0 является „поверхностью тока“, на которой, по определению, нормальная составляющая компонента скорости V равна нулю. Проведем анализ структуры течения в окрестности „поверхности тока“
7)=0.
Искомые параметры течения, вблизи плоскости т) = 0 с учетом условия непротекания, представимы асимптотическими рядами вида
°° 1 и К, ч)= ‘2 ад*!м+/;
1=0, у=о
СО 'г
1/(С, Ч)= £ У1у(С)чм+^;
/ =0, /=0
оо
/мс, ч)= 2 уМ^гл+/;
1 = 0, /=0
оо
р(с»ч)= 2 рц$ыл+1>
1-0, ]' = 0
оо
5 (С, X 5у(С)т1м+/,
/ = 0. / = 0
(2>
)
где i, j — О, 1, 2, 3, . . A — некоторая постоянная, 0<Л<Ч.
Отметим, что для каждого фиксированного i из (2) получаются частные асимптотические представления газодинамических величин в виде обобщенно-степенных рядов.
Постановка разложений (2) в уравнение (1) дает непротиворечивые рекуррентные соотношения для коэффициентов рядов (2). Относительно коэффициентов для главных членов разложений (2) получаем систему уравнений
(Роо и09у -}- Роо + 2р00 = 0;
Роо &0Q 0 “Ь ^Лю) “Ь Роо ==
Роо (^00 Цх> + V'oo "г Vlo) + 2/?02 — 0;
^00 5оо — 0, 500 = р00 Pqq .
Штрих означает дифференцирование по С.
*------- S~con$t
^ _________________
Четвертое уравнение системы (3) указывает на возможность существования трех случаев
U00 = 0, S'oo — 0; (4а)
и00ф 0, 5ш = 0; (46)
и00 = 0, 5оо Ф 0. (4в)
Случай (4а) соответствует течению с постоянной энтропией во всей рассматриваемой области. Соотношение (46) указывает на существование течения, в котором плоскость г) = = 0 является по-
верхностью постоянных значений энтропии, причем изоэнтропы поля течения параллельны поверхности "»]i = 0 вблизи этой поверхности (фиг. 1). Действительно, подстановка главных членов разложений (2) в уравнение для наклона линий равной энтропии по-d-n V
ля течения — -у дает следующее уравнение для изоэнтроп вблизи поверхности 7] = т]1 = 0:
\ {S) (^оо Роо) 1 ехР ^ J ’
где С, — постоянная вдоль v-й изоэнтропы. В этом случае соотношения для коэффициентов рядов содержат одну произвольную функцию £/00(С):
^оо — ^А)о С*)> ^оо = 2 U0о— U00 (In Роо)г;
. ^00
Роо = [Роо ~ ^ V / U оо (l + ^oo)^]7' 1 , роо = (-^10 = Рю(^Ло Роо Роо) ^10 J Роо ^00 (1 + Un) ЙС ] ;
V10 = - (Роо ui0У [(1 + А) Роо]-1, poi = - М (U00 + Vw+ Voo);
Роо — ^ХР
здесь 500, £/‘0, р*0, 5‘0 — некоторые постоянные.
Если и0о (С) = 0, 5^=^= О, то построение решения в виде асимптотических рядов с непротиворечивыми рекуррентными соотношениями относительно искомых коэффициентов разложений (2) возможно только при А = 1/2. При этом коэффициенты разложений содержат две произвольные функции 50(С), 5,(С) и обладают несколько большим произволом, чем коэффициенты в разложениях
В этом случае „поверхность тока“ 7) = т)2 = 0 является огибающей семейства изоэнтроп поля течения, уравнение которых можно записать в виде
Следовательно, ИЗОЭНТрОПЫ Вблизи ПОВерХНОСТИ 7) = Т)2 = 0 имеют форму парабол, которые касаются этой поверхности в точках С» (фиг. 2). Давление р~р0 на такой „поверхности тока“ постоянно, плотность р и энтропия 5 переменны.
Таким образом, в нестационарных автомодельных течениях, как и в конических потоках, могут существовать „поверхности
(5)
и = 7)1/2 ^ (5;Г, + -1- 7) [5? (БоГЧ' + О (713/2); У = -2ц—%- 7)3/2 (5') -1]/ + О (7)*);
+ 0(7)3);
(6)
5 = 50 (С) + Vе ^ (С) + Г) ш [4 (1п 50' - 5; (^Г ] + О (тР);
650
р0 = сопэ1.
тока“ с переменными значениями энтропии на них. Следует отметить, что „поверхности тока" ?h = 0 и ^2 = 0 являются „особыми поверхностями тока". Термин „особые поверхности тока" в настоящей работе понимается в том смысле, что производные по нормали к плоскости vj = 0 от некоторых газодинамических функций, например энтропии S, являются неограниченными на этих поверхностях. Это обстоятельство указывает на существование в нестационарных течениях областей с сильной завихренностью потока, например, вблизи поверхностей различных рассматриваемых тел.
Очень важно исследовать вопрос о возможности непрерывной стыковки участков „поверхностей тока" с постоянным и переменным значениями энтропии [3]. Рассмотрим участок особой „поверхности тока" г| = 0 и предположим, что в точке Ох с координатой £ = С) имеет место стыковка участков особых „поверхностей тока" f]i=0 и т]2=0 (фиг. 3). Для описания течения в окрестности точки Ох следует применить степенные разложения по другим переменным, которые можно продолжить влево и вправо от точки Oj для согласования с рядами (5) и (6). Заметим, что непрерывная стыковка участков особых „поверхностей тока" тг)] и щ возможна, по-видимому, только при значении параметра А = 1/2. Следуя работе [3], введем переменные Z и ЧГ:
z=т+ V(C" ’i)2+4V'2):
W = ± (С - - С,)2 + 4^1/2);
линии ¥ = const соответствуют параболам, касающихся оси -ц — О, причем величина Ч?\ а также кривизна парабол стремятся к нулю при стремлении их точек касания к так, что последняя парабола Ч1* = 0 совпадает с линией = О, О-^. Переменная Z представляет собой проекцию на ось т] = 0 расстояния от рассматриваемой точки M(Z, Ч1-) до начала соответствующей параболы (фиг. 4). В этих переменных система уравнений (1) допускает решение, удовлетворяющее условию непротекания при 'Г] = 0, в виде следующих степенных разложений по переменной Z:
о 1
U = ZUl (V) + Z2 4 (1 + Ul) ЧГ (Ul W~'y + О (Z3);
V — — 2Z2 V8 — Z3 W3 (Uo ЧР-1У + О (Z4);
Здесь штрих означает дифференцирование по ЧГ.
Коэффициенты рядов (7), как и в случае (6), содержат две произвольные функции 5о(¥) И $!(¥). Легко видеть, что при некоторых условиях для функций 50(ЧГ) и 51(ЧГ), обеспечивающих сходимость степенных рядов (7), возможна рассмотренная картина течения вблизи точки 01, как это отмечалось в работе [3].
2. В окрестности точки симметрии течения О С!-* 0 при С -* 0. Предположим, что функция £/00(С) в выражениях (3) представима в виде
где и1п — некоторые постоянные.
Тогда уравнение для изоэнтроп поля течения в окрестности точки симметрии С = 0, 7) = 0 можно записать в виде
изоэнтропы.
При Дг<0 имеет место особая точка типа „седло“ (фиг. 5). Легко видеть, что асимптотические ряды (5) являются равномерно
со
£/00(9 = 2 иоп?п+\ П = 0,1,2,...,
л=0
величина вдоль у-й
г
-Г.7-Г77777Т7777-ГГГГ’
-77У7777Х7777777777ТГГ
0
Фиг. 5
пригодными в окрестности особой точки, являющейся „седлом" семейства изоэнтроп поля течения. Если N^>0, то окрестность точки симметрии является „узлом" семейства изоэнтроп поля течения. Эта точка соответствует особенности, называемой в ряде работ [2, 3] „энтропийной особенностью Ферри". В этом случае асимптотические разложения газодинамических параметров (5) теряют смысл, так как коэффициенты рядов обращаются в бесконечность при С — 0. В окрестности рассматриваемой особенности возможно получить равномерно пригодные решения, если применить степенные разложения по новым переменным S, tp, связанные с физическими t и у] по формулам Y) = (0sin<p)B, C = 6cos<p, где В = const>0, 0<<р<7г.
Условия непротекания и симметрии течения в новых переменных запишем в виде
К(0, 0) = У(0, *) = К(0, ?)=и[е, y) = £/(°> T) = t/(0’ •)==0-
С учетом этих условий искомые параметры течения представим в виде разложений
и=0^о(<р) + 2^(т)в“^;
к = 0я(ко(<р) + 2^(т)-0Р');
Л 00 Л
Р = Ро{?)+ 2М?)бТ'; i (8)
i=1
00
р = ро (?) + 2 р; (?) в*';
/ =1
A “ A 5.
5 = SO(?) + 2^(T)01.
(=i
где показатели степеней ah рг, f,., ог, 8г образуют последовательности возрастающих положительных чисел, определяемых в процессе почленного построения разложения по степенным функциям переменной 0. После подстановки разложений (8) в уравнения (1) для коэффициентов нулевого приближения получаем систему
уравнений, которая указывает на существование трех характерных случаев
5о(<р) = 0, cos? У0 — 5 (sin «р)5-11)0 = 0; (9а)
§о(?)#0, cos fV0 - В (sin ?)*-> U0 = 0; (96)
So(?) = 0, cos <?V0 —В (sin ?)B-J U0 ф 0. (9в)
Случай (9а) соответствует изоэнтропической особенности и, следовательно, течению с постоянной всюду энтропией. В случае (96) система уравнений для коэффициентов нулевого приближения допускает единственное решение:
Л Л
В=*\, Ti>2, = const, V0= — sin?,
Л Л Л Л ( Л \Ч'
U0 = — cos?, S0 = S0 (?), p0=|^-j .
Рассматривая следующее приближение, можно показать, что непротиворечивые соотношения между искомыми коэффициентами
Л Л Л Л Л
Ui(?)f (?)> Р\ (?), Pi(f), S, (?), содержащими произвольную функ-Л л
цию S0(<f), получаются, если положить а, = р, =о, = 8t = А, -^ = 2+
Л л
+ Л, 0<Л-<1. Система уравнений относительно коэффициентов, отмеченных индексом i—l, сводится к одному дифференциальному
л
уравнению для рх(у)
сп ?„) А+(2+4)г=о.
Легко видеть, что в случае (96) изоэнтропы поля течения сходятся В особой точке С = 0, V) = 0, являющейся для изоэнтроп „узловой*, по разным направлениям (фиг. 6). Плотность р и, следовательно, энтропия S в этой точке многозначны. Асимптотическое решение в окрестности особенности в общем случае содержит
л л
одну произвольную функцию 50(?)и произвольную постоянную Л. Их значения зависят от общей картины обтекания и могут быть найдены, например, через распределение энтропии на ударной
А
волне. Если функция S0f?) определена, то, выполнив соответствующее интегрирование, можно в явном виде найти значения
2—Ученые записки М3 17
Л Л л л л
функций ии V,, ри р,, 5,. Анализ рассмотренной особенности был ранее проведен в работе [4]. Однако в [4| была выбрана частная асимптотическая последовательность в виде целых степеней переменной 6. Искомое решение зависело только от двух произвольных постоянных, т. е. обладало меньшей степенью произвола. Более полное асимптотическое представление параметров течения (8) достигается, когда показатели степеней в этих разложениях суть
Л
числа тА + у, т, у = 0, 1, 2, 3 ... .
дУ ? ди
Важно отметить, что значение вихря 2 = -^-
ности исследуемой энтропийной особенности
в окрест-
Л Л Л
а А + 2 Р\
д ТГ
А + 1 Ро
(1п р0) + О (6 + 6 )
р
и, следовательно, обращается в нуль в самой особой точке.
Случай (9в) в решении нулевого приближения определяет однозначные значения плотности ри энтропии 5 в точке симметрии. При рассмотрении последующих приближений эти функции оказываются многозначными при наличии особой точки типа „узел", причем сами разложения оказываются заведомо непригодными из-за обращения в бесконечность коэффициентов рядов (8) либо на „поверхности тока“ т'ь = О, либо в плоскости симметрии С = 0. Однако возможно получить равномерно пригодное решение в окрестности особой точки (не являющейся „седлом“ для изо-энтроп ноля течения) с однозначными и непрерывными значениями всех параметров течения. Это решение соответствует „размазанной* особенности в окрестности точки симметрии в схеме обтекания с „особой поверхностью тока“ т] = ?]2 = 0. При этом имеет место В = 2, а, = рг = ^ = а(. = г, = 1, г = 1, 2, 3, 4 ..., а искомые газодинамические параметры представляются асимптотическими разложениями вида:
и = С?]1'2 а* + -у- 2 + О (С*!3'2);
1/ = —2т)
2 л
__ а* 7]3/2
7)2-^- а*2 + 0(^/2);
Р=Ро
+ О (т]3);
— а* + О (С2^);
5 = 5о +.С2 Ь* С2 V'2 2а* Ь* -4- О (С2 ч),
(10)
АЛ Л.
где а*, Ь* — произвольные постоянные, ро — значение давления на
л.
„особой поверхности тока“ = щ — 0, 5о — значение энтропии в точке симметрии О.
Подстановка главных членов разложений (10) в уравнение для наклона линий равной энтропии йч]/(К.— У/и и последующее интег-
рирование дает уравнение для изоэнтроп поля течения в малой окрестности особой точки £ = 0, 7) = 0:
sv ~ Cv (S) exp (— a* tj1'2), (11)
где Cv(5) — постоянная величина вдоль v-й изоэнтропы. На фиг. 7 показаны две возможные конфигурации изоэнтроп в окрестности особой точки. Заметим, что прй 0 из (11) получаем форму линий равной энтропии в виде парабол
7|,sba*-*[C,(5)J-s[Cv(S):-C]*.
Значение вихря в окрестности „размазанной" особенности
Л
2 ж — а* Стр1/2 + О (С), причем, в отличие от решения с энтропийной особенностью, в данном решении значение вихря многозначно в особой точке С = 0, т] = 0 и обращается в бесконечность на „особой поверхности тока“.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мелник Р., Шеинг Р. Структура сжатого слоя и энтропийные слои в гиперзвуковых конических течениях". Сб. „Исследование гиперзвуковых течений". М., „Мир", 1964.
2. Голубинский А. И. Особые поверхности тока в конических течениях газа. ПММ, т. 34, 1970.
3. Булах В. М. О вихревом слое на круговом конусе. „Изв.
АН СССР, МЖГ", 1971, № 1.
4. Ludloff Н. F., Friedman М. В. -Aerodynamic of blast-diffraction of blast around finite corners. JAS, N ‘1, 1955.
Рукопись поступила 20jIV 1977 г.
