К асимптотической теории гиперзвукового обтекания затупленных полутел Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XVII 19 86

М 3

УДК 533.6.011.55:532.582.33

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ЗАТУПЛЕННЫХ ПОЛУТЕЛ

С. В. Мануйлович, М. Е. Сидорюк

Изучается распространение вниз по потоку возмущений, вносимых затуплением носка в гиперзвуковое течение совершенного газа около тела степенной формы. Строится асимптотическое решение задачи на больших расстояниях от затупления. Возмущения основного автомодельного решения ищутся в классе степенных функций продольной координаты с неизвестным показателем. Задача решается в обратной постановке: задается степенная поправка к форме ударного фронта и строится соответствующее ей возмущение всего поля течения. Допустимые показатели степени, определяющиеся условием непротекания, оказываются комплексными величинами. В работе произведен расчет этих показателей в широком диапазоне изменения параметров задачи.

Постановка задачи. Будем изучать плоскопараллельное или осесимметричное течение идеального газа около тонкого затупленного по-лубесконечного профиля или тела вращения (рис. 1). Набегающий поток будем считать гиперзвуковым с давлением рао = 0. Будем предполагать, что газ является совершенным, а отношение х его удельных теплоемкостей постоянно. Все величины будем считать безразмерными, используя в качестве основных единиц измерения роо — плотность набегающего потока, £/« — его скорость, I — характерный размер затупления.

Введем обозначения: х, г — оси прямоугольной декартовой или цилиндрической системы координат (см. рис. 1); l + vx, юг — проекции вектора скорости на эти оси; р — давление; р — плотность; ш — удельная энтальпия. Для описания движения газа будем использовать уравнения Эйлера, записанные в переменных Мизеса х, Чг, где V — функция тока. Поскольку при этом г становится искомой величиной, удобно ввести новую искомую функцию а = г\ Параметр V принимает значения 1 и 2 для случаев плоской и осевой симметрии соответст-Рис. 1 венно.

Пусть уравнение образующей тела на больших расстояниях от затупления имеет вид степенного одночлена

rb — bxm, 0</rassl. (1)

Задачу обтекания такого тела будем решать в асимптотической постановке при х-»- + оо, поэтому для m< 1 тело (1) можно считать тонким. Если т= 1, то обтекаемое тело представляет собой клин или конус с полууглом раствора 0 = arctgb. В этом случае будем предпа лагать, что угол 0 фиксирован и мал (0С1).

При гиперзвуковом обтекании тонкого затупленного тела возмущенное течение на больших расстояниях от затупления разделяется на две основные области: внешний поток и энтропийный слой. Внешняя область отделена от набегающего потока ударной волной вида

rs = Cx"+ .... (2)

Если tn<2/(2 + v), течение во внешней области (а вместе с ним

и величина коэффициента С) определяется в основном силой сопро-

тивления передней части тела. Параметры такого течения могут быть рассчитаны с помощью нестационарной взрывной аналогии [1, 2], вследствие чего показатель степени в разложении ударного фронта (2) равен п = 2/(2 + v). Форма тела при х-^ + оо играет в этом случае второстепенную роль [3] и влияет лишь на высшие приближения асимптотического решения.

Если m>2/(2 + v), то течение во внешней области рассчитывается с помощью поршневой аналогии [4], при этом амплитуда ударной волны С пропорциональна коэффициенту Ь, а показатели степеней в (1) и (2) совпадают: п = т.

Нестационарная аналогия перестает быть справедливой вблизи поверхности тела: применение этой аналогии к расчету течения во всей области возмущенного движения дает бесконечное значение энтропии на линии Чг = 0, в то время как энтропия частиц, прошедших прямой скачок уплотнения, должна быть конечна. Для построения корректного решения в области энтропийного слоя необходимо задать распределение энтропии на линиях тока, расположенных вблизи тела [5, 6]. Это распределение непосредственно связано с формой головного скачка уплотнения, положение которого зависит от формы поверхности обтекаемого тела в окрестности носка.

Таким образом, в первом приближении форма затупления влияет лишь на течение в узкой области энтропийного слоя; течение во внешней области определяется либо интегральной характеристикой — силой волнового сопротивления, либо формой тела вдали от носка. Из этого следует, что с помощью одних главных членов асимптотического решения невозможно выяснить влияние затупления на распределение давления вдоль обтекаемой поверхности при л:->- + оо. Действительно, давление мало меняется поперек тонкого энтропийного слоя, поэтому распределение давления на теле определяется течением во внешней области. В связи с этим необходимо исследовать возмущения, вносимые затуплением во внешний поток.

Возмущенное течение во внешней области было впервые изучено в работах, посвященных задаче о сверхзвуковом обтекании заостренного тела, по форме близкого к клину (см. например, [2]). Оказалось, что возмущения, распространяющиеся вдоль характеристик, формируются в процессе последовательного отражения от ударной волны и поверхности клина. Как показано в [7], в случае гиперзвукового обтекания тон-

кого клина возмущения внешнего потока при х—>- + оо затухают по закону х°^(1пл:), где ^(1)—произвольная функция, обладающая колебательным свойством /?($ + 7’) — — Р{%), 7’>0, а постоянная а = 1п | X |/Г<<0, X — коэффициент отражения возмущений от ударной волны. Разложение функции Т5" в ряд Фурье позволяет представить возмущение течения во внешней области в виде суперпозиции возмущений типа Ие (скх2ь), где ск и 2к = а + 1$к— комплексные числа, рА = 1г(2&-|- \)1Т, /г = 0, 1, 2 .... Исходя из этого будем, следуя [8], искать возмущения гиперзвукового течения около полутела (1) в классе степенных функций.

Итак, пусть при х->+оо асимптотическое разложение ударного фронта имеет вид (везде далее в поправочных членах опущен символ действительной части Ие и индекс £):

г, — Схп (1 + сх* + ...), —</г<1, Кег<0. (3)

2 + V

Задачу поиска возмущений внешнего потока будем решать как обратную, т. е. по форме ударной волны (3) построим возмущенное течение и получим соответствующее разложение образующей обтекаемого тела. Потребовав затем, чтобы форма тела в рассматриваемом приближении совпадала с (1) (т. е. не была возмущена), сформулируем задачу на собственные значения и определим допустимые показатели степени г.

Решение задачи во внешней области течения будем искать в виде: 2”2 С2- л:2(п~1) [ъх! (?]) схг V ,; 2 (г,) 4- ...],

(4)

%+ 1

Vг = 2пС, Хп~1 [р, ! (71) + сх2ъг2 (т)) + ...], х + 1

р — -2я* ^ \рг (п) + СХгр, (ц) + ...],

Р = -^-7- [р1 Ы + схг р2 (Ч) +

% — 1

на = С!! х2<-п~*> [да, (■/;) + схг (у) ...],

(*■+ О2

а = (Сх")'1[а1(г1) + сх!!о2(7}) + ...].

Функции первого и второго приближений в разложениях (4) зависят от автомодельной переменной ц = \л¥/(Схп)\ Постоянные множители в правых частях равенств (4) выбраны таким образом, чтобы функции первого приближения принимали значение 1 при т)=1. В силу нестационарной аналогии эти функции могут быть получены из решения задачи о расширяющемся поршне [9], записанного в переменных Лагранжа.

Отметим, что в разложениях (4) опущены поправочные члены порядка х^п~1\ соответствующие вторым членам разложений соотношений Рэнкина—Гюгонио для скачка (2), а также члены порядка х-1(т-п)> описывающие возмущения, вносимые во внешний поток телом с показателем роста шJ<2/(2^-v). Эти члены, подробно изученные в [3, 10], могут иметь больший порядок, чем рассматриваемые здесь, однако в силу линейности задачи расчета возмущений основного течения такие поправки могут быть исследованы независимо от изучаемых в данной работе.

Функции второго приближения удовлетворяют линейной системе дифференциальных уравнений:

ЧП

ЙОо 2 /2 I V —

-------г- = ---------------------- О! «2 Н---------------------------

й-ц X + 1 \ 2

V-!

1

1 2 -0201 , ,

р! Ь Рг

ЙТ)

г + и — 1

2 , „ ^Д1 а Рг

» и>

Л) р!

V-!

Р2

Р1

■(г+1)тГ,

(IV г

V— 1

V/: ■' (1*1 ' 1 йт)

Р|®2 + РЯ®1=Л. ^2 =

(5)

«>2 О, 2 4^=0,

возникающей в результате подстановки разложений (4) в систему уравнений Эйлера и линеаризации ее относительно основного течения.

Система дифференциальных уравнений (5) может быть сведена к системе второго порядка, поскольку из первых двух уравнений можно получить еще одно конечное соотношение. Поэтому для построения решения задачи Коши достаточно двух условий

Л<1)=2(-1. + 1)-.^ч1), -£Мо], (6)

которые следуют из соотношений Рэнкина—Гюгонио, записанных для ударной волны (3).

Внешнее решение, описываемое разложениями (4), становится непригодным вблизи поверхности обтекаемого тела. Для построения решения в области пристеночного энтропийного слоя необходимо подставить асимптотические представления функций первого и второго приближений при Т)-»-0 во внешние разложения (4) и перейти к внутренним переменным х, Ч*'. Полученные таким образом разложения газодинамических параметров описывают течение в области сращивания Г1<с1, 4^1; они подсказывают вид внутренних разложений, а также дают предельные условия, которым должно удовлетворять внутреннее решение при У->+00.

Не будем более детально описывать построение решения в области энтропийного слоя: эта процедура подробно изложена во многих работах (см., например, [3, 10]).. Для дальнейшего необходимо лишь выписать внутреннее разложение для функции о при 4я = 0, которое определяет контур обтекаемого тела, соответствующий ударной волне (3)

а = (ЬхтУ + Оссах-*п+!! + .... (7)

В выражение (7) входит комплексная величина с*, обозначающая конечную часть разложения функции а2 при Т1-Я). Эта величина определяется из решения задачи (5), (6) и зависит от параметра г.

Условие непротекания, записанное для тела (1), гласит, что на нулевой линии тока должно быть справедливо равенство

в = (Ьхту. (8)

Сопоставляя (7) и (8), получим дополнительное условие, которое накладывается на решение (5), (6)

са(г, V, х, п) = 0. (9)

Задача (5), (6), (9) представляет собой задачу на собственные значения, решение которой определяет допустимые комплексные параметры г. Постоянные с из (3), (4) в асимптотической постановке при оо не могут быть определены. Нахождение этих величин возможно лишь в том случае, когда построено решение полной задачи (при любых л:), например, в задаче об обтекании клина со слабо искривленным участком вблизи носка [2] или в задаче обтекания тонкого затупленного клина (конуса) в предельном случае х-И [11].

Результаты расчетов. В данной работе для нахождения постоянных г, удовлетворяющих условию (9), была составлена программа интегрирования системы (5) с начальными данными (6). Одновременно интегрировалась система (5), продифференцированная по г. Поскольку численное интегрирование в силу разных причин не могло быть проведено до слишком малых значений т], для вычисления величин са и ([СэШг с достаточной точностью приходилось использовать асимптотическое разложение функции стг, выписанное до седьмого члена включительно.

Расчет корней соотношения (9) выполнялся следующим образом: сначала производилась их грубая локализация путем построения на плоскости г линий уровня действительной и мнимой части сзатем величина корней уточнялась методом Ньютона. Поиск корней производился только в верхней полуплоскости 1гп2>0, поскольку можно показать, что собственные значения задачи (5), (6), (9) являются попарно комплексно сопряженными.

Анализ результатов расчета собственных значений начнем с рассмотрения течений, описываемых взрывной аналогией, когда п = 2/(2 + + у). При т=1 задача (5), (6), (9) оказывается полностью эквивалентной задаче поиска свободных возмущений одномерного нестационарного гиперзвукового течения идеального газа в трубе перед вдвигающимся поршнем [12]. В работе [12] были аналитически исследованы предельные случаи х->-1+0, х—>-оо, а в случае одноатомного газа (х = 5/3) был найден лишь один корень соотношения (9) г1=—0,907 + + 12,467, который авторы [12] считали наименьшим по модулю. Расчеты, проделанные в настоящей работе, показали, что корень г1 — второй по малости модуля, а наименьший модуль имеет корень г0 = = —0,790+г 0,743. Первые пять собственных значений приведены в левой и средней части таблицы для случаев плоскопараллельного и осесимметричного течений соответственно (х=1,4).

На рис. 2 приведены графики зависимости действительной и мнимой частей наименьшего по модулю корня г0 от х для течений, описываемых взрывной аналогией (здесь и далее кривые, соответствующие плоскому течению, отмечены сплошной, а осесимметричному — штриховой линией). Как это видно из рисунка, 1т г0 стремится к 0 при х—>-1 + 0 (дополнительное исследование показало, что 1т 20~ (х—1)1/2). Таким

ч=1, п = 2/3

4 = 2, п= 1/2

V = 2, п = 1

—0,779 + г 0,582 —1,184 + г 0,692

—0,835 +г 2,651 — 0,918 + / ?,203

—0,857+ / 4,626 —0,932 + /5,577

—0,863 + /6.594 —0,936 + / 7,935

—0,865 + /8,560 - 0,938 + /10,289

—4,415 + /7,409 —4,414 + /23,203 —4,415+ /38,803 -4,415+ /54,375 —4,415 + /69,937

образом, наименьший по модулю корень отсутствует и в результатах асимптотического анализа х-»-1+0, проведенного в работе [12]: полученные там корни обладают свойством Imz~ (х—1)~1/2->-оо. Как показал численный анализ, таким свойством обладают все комплексные корни соотношения (9) за исключением z0.

В настоящей работе исследовалась также зависимость собственных значений от параметра п, характеризующего скорость роста толщины обтекаемого тела. На рис. 3 показана зависимость действительной и мнимой частей z0 от этого параметра для и=1,4. Вычисленное значение Зо при v=l, п= 1 совпадает с первым собственным значением задачи о гиперзвуковом обтекании тонкого затупленного клина, исследованной в [7, 8]. Собственные значения этой задачи определяются точной формулой, принимающей для х=1,4 вид

z* = — 2,481 + 13,950 (2k + 1), Л = 0, 1, 2, .

При v = 2, п= 1 рассматриваемая задача описывает гиперзвуковое обтекание тонкого затупленного конуса. Первые пять собственных значений для этого случая приведены в правой части таблицы (х=1,4). Кривые, описывающие зависимость Rez0 и Imz0 от х в задачах обтекания затупленного клина и конуса, приведены на рис. 4.

Как это следует из данных, приведенных в таблице, с ростом номера корня k его действительная часть Rez^ и приращение мнимой части

Im Zh+i—Im zk стремятся к некоторым пределам (в случае обтекания клина эти величины вообще постоянны [7, 8]). Эта закономерность может быть обоснована с помощью асимптотического анализа задачи (5), (6), (9) в предельном случае |2|^-°о, однако такой анализ выходит за рамки данной работы.

Действительные и мнимые части собственных значений задачи характеризуют, соответственно, скорость затухания и частоту колебаний возмущений гиперзвукового течения при х->-+оо. Проделанные расчеты свидетельствуют о том, что, как и следовало ожидать, в осесимметричных течениях возмущения затухают значительно быстрее, чем в плоскопараллельных.

В заключение авторы выражают благодарность О. С. Рыжову, Е. Д. Терентьеву и В. В. Михайлову за обсуждение результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tsien Н. S. Similarity laws о! hypersonic flows. — J. Math, and Phys., 1946, vol. 25, N 3.

2. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.: Физматгиз, 1959.

3. Р ы ж о в О. С., Т е р е н т ь е в Е. Д. К теории высокоэнтропийного слоя в гиперзвуковых течениях. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,

1971, т. 11, вып. 2.

4. Коробейников В. П., Мельникова Н. С., Рязанов Е. В. Теория точечного взрыва. — М.: Физматгиз, 1961.

5. Cheng Н. К. Similitude of hypersonic real-gas flows over slender bodies with blunted noses.— J. Aeronaut. Sci., 1959, vol. 26, N 9.

6. Сычев В. В. К теории гиперзвуковых течений газа со скачками уплотнения степенной формы. — ПММ, 1960, т. 24, вып. 3.

7. Мануйлович С. В., Терентьев Е. Д. Об асимптотическом решении задачи обтекания затупленного клина сверхзвуковым потоком совершенного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. 11, № 6.

8. El bin wood J. W. Asymptotic hypersonic-flow theory for blunted slender cones and wedges. — J. Ma'th. and Phys., 1967, vol. 46, N 3.

9. Седов Л. И. Методы подобия и размерностей в механике. — М.:

Наука, 1967.

10. Рыжов О. С., Т е р е н т ь е в Е. Д. Об энтропийном слое в гиперзвуковых течениях со скачками уплотнения, форма которых задается степенной функцией. — ПММ, 1970, т. 34, вып. 3.

И. Cheng Н. К., Kirsch J. W., Lee R. S. On the reattachment of a shock layer produced by an instantaneous energy release. — J. Fluid Mech., 1971, vol. 48, pt. 2.

12. Stewartson K., Thompson B. W. Eigenvalues for the blast wave. — Phys. of Fluids, 1970, vol. 13, N 2.

Рукопись поступила 11 /I 1985 г.