CC BY
29
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ и А Г И
Т о м XI 19 8 0
Л° 6
УДК 517.9:533.7
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ЗАТУПЛЕННОГО КЛИНА СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА
С. В. Мануй.гович, Е. Д. Терентьев
Рассматривается задача обтекания затупленного клина равномерным сверхзвуковым потоком совершенного газа. Изучается решение на больших расстояниях от затупления. Форма ударной волны и искомые газодинамические функции раскладываются в асимптотические ряды, в которых роль малого параметра играет неизвестная функция, стремящаяся к нулю при удалении от вершины клина. Показано, что эта неизвестная функция удовлетворяет простому функциональному уравнению, из решения которого следует, что- возмущения, вызванные затуплением клина, имеют колебательный характер с амплитудой, затухающей, за исключением особых случаев, по степенному закону.
Задача обтекания затупленного клина сверхзвуковым потоком совершенного газа на больших расстояниях от затупления в различных постановках изучалась многими авторами. Первой работой, в которой не выдвигалось требование о стремлении к единице отношения удельных теплоемкостей газа х, была работа |1]. В ней использовалась обратная постановка задачи с формой ударной волны в виде гиперболы и числом М набегающего потока Мос, равным бесконечности. Однако решение, построенное в [1], нельзя было считать полностью удовлетворительным, поскольку оно описывало течение за конкретной ударной волной и не выявляло возмущений, вызванных затуплением клина. Этот недостаток был исправлен в работе [2], где рассматривались возмущения фронта ударной волны, задаваемые по степенному закону. Показатели степени были определены из условия, что нулевая линия тока совпадает со щекой острого клина с тем же полууглом раствора Ь. Последнее условие привело к комплексным показателям степени и, следовательно, к медленно колеблющимся возмущениям ударной волны. Наличие медленных колебаний в возмущениях ударной волны при удалении от вершины клина были обнаружены и в других постановках задачи [3, 4].
В настоящей работе форма ударной волны и искомые газодинамические функции раскладываются в асимптотические ряды, в которых роль малого параметра играет неизвестная функция, стремящаяся к нулю при удалении от вершины клина. Для медленно меняющихся функций условие совпадения нулевой линии тока с поверхностью острого клина позволяет записать функциональное уравнение, которое решается в явном виде. В результате возмущения, вызванные затуплением клина, имеют колебательный характер с амплитудой, затухающей, за исключением особых случаев, по степенному закону. В изучаемом приближении возмущения формируются в процессе отражения характеристик от ударной волны [5, 6], энтропийный слой на их формирование влияния не оказывает.
I. Внешнее течение. Рассмотрим обтекание затупленного клипа (рис. 1) с полууглом раствора 0 и характерным радиусом затупления г„. Пусть набегающий поток равномерный с числом М >1,
Рис. і
плотностью рас, давлением рж и скоростью ІІЖ, направленной вдоль оси симметрии клина. Будем считать газ идеальным и совершенным с постоянным отношением удельных теплоемкостей •/.. Полуугол раствора 0 и число Мх выберем такими, чтобы течение за ударной волной при обтекании острого клина с тем же полууглом раствора О было сверхзвуковым М» >1. В качестве основной используем систему уравнений газовой динамики в переменных Мизеса х, Ч' (¿/Ц’ = рисіV — рг»^Аг), записанную в безразмерной форме
ду_____ду ________ 1 ді< , др__
дх и ' д Т ры ’ дх дЧ' | (11)
и? + + -Ь — = 1 -і—— мст2, 4=/(Ч-).
У. — I О V, — 1 р I
В формулах (1.1) использованы следующие обозначения: х, у — оси декартовой системы координат с осью х, направленной вдоль линии симметрии клина и с началом в вершине соответствующего острого клина (рис. 1); и и V — компоненты вектора скорости вдоль осей х и у, о — плотность; р давление; /(Ч‘) — энтропийная функция. Переменные д-, Ч', и, V, ?, р, у будем считать безразмерными, равными отношению соответствующих размерных величин к г,,
Ґп Рс' ^о:, £/сс, ['эс, рх, Рос ^эс, Г0.
Задачу об обтекании клина рассмотрим как обратную, т. е. по форме ударной волны и параметрам набегающего потока построим
течение и соответствующее тело. Зададим форму ударной волны в общем виде:
у s = F(x) = Cx + Fl(x). (1.2)
Изучим течение за фронтом (1.2) при х-*ос. С ростом х влия-
ние затупления на наклон ударной волны уменьшается. Пусть используемая в (1.2) постоянная С определена как C^tgo», где — угол наклона ударной волны, вызванной острым клином с иолу-углом раствора 6. Тогда при х -* ос относительно функции F^x) справедливы оценки
dFx (х), dx - О, F, (х),х -+ 0. (1.3)
В свою очередь в области, близкой к вершине ударной волны ■ .V = 0(1)), за исключением малой окрестности самой вершины, имеем
dFl(x)ldx = 0(1), /-',(*)= 0(1). (1.4)
В системе уравнений (1.1) перейдем от независимых переменных х и Ч- к переменным х и т) = Ч'/Сдг. Тогда уравнение, задающее форму ударной волны, запишем в виде
ris — 1 + Ft (х)!Сх. (1.5)
В соответствии с условиями Рэнкина — Гюгонио для ударной волны (1.5) в области, где энтропия газа почти постоянна —области внешнего течения, газодинамические параметры удобно искать в виде
и = и01U(l0 (г,) + и, ¿У01 (х, г,) •+ . ..], v — «о [V'oo (т<> + »1 1/0, (*, tq) + . . •],
р —Pol^ooM + Pifloii*. 7!) + - - Ь О-6)
р=р0\рМ +Р\роЛх> ч)+
у = Сх [К00 (т)) -i-j'i (х, т() 4 . .
Здесь постоянные
Un —
_ (х — l)Ç3 + x+ 1
+
(х+1)(1-0>) (х+1)М
Л 2 »
Vr\ —
2 С
Ро =
<х + 1) Сг м*
(X + 1)(1 +С=)
2 а
(X- I) С» Ml,+ 2(1 +CÎ)
(х+ 1)(1 + С») 4СМ1
(х + 1)СМ*
X— I Х(Х+1)М* ’
[(X- 1 )С5 + х — 1J (I С-(1-С-)м1 -г (1 - С-)3
0)М*
•2(1+ Са)-4
С<1 -г С2) (С5 М2
РI
1-С3)’ (х—I)C3M^-2C(I+C3) *
4хСМ2.. t-o
2xCJ (1 + С3) М^, - (х — 1)(1 — С3)'- ’
У1 =
а и,
выбраны из того условия, чтобы начальные данные задачи Коши при т, = 1 имели по возможности более простой вид
£/оо(1)= Koo(l)»/?,«(l)=P(lû(l) = roo(l)=l,
Yol(x, \) = Fl{x)x, t/о, (a-, l)=V’0i(x, 1) = /?0|(л, 1)=Ри1(х, lj = dF, (x) dx.
0.7)
Подставляя выражения (1.6) в систему уравнений (1.1) и учитывая, что, согласно (1.3), значения функций с индексом „00“ значительно больше, чем с индексом „01“, получим системы первого и второго приближений. Функции первого приближения задают значения газодинамических параметров за косым скачком уплотнения
Uoo (Г.) = Уо. Ы = R00 (Т<) = Р00 (Tl) “ 1. Уоо (т.) = 1 - (г< — 1) Ро «О- ( 1 -8) При условии, что функции первого приближения описывают сверхзвуковое течение М£ 00 = Ро (Ио -+- ®о)/*/>0 > 1» решение системы для функций второго приближения, удовлетворяющее условиям Рэнкина — Гюгонио, (1.7) имеет вид
и, £/01 (х, т,) =, си F¡ (xit) + с, с< Fi (5) + с, с, F[
®» Ц>, (х, Tj) = Си F'l (Xrt) -j- с, Fi (i) -f c3 Fi (',).
Pi До, (X, 7¡) = ct F\ (xrt) 4- C0 F'l (;) -f с. F\ C),
P\ Pox (*, rt) = xce Fi (?) + XC; F\ (C),
УI У01 (*. ri) = СУ Fi (xrl)¡x 4- cs F} (?) AC + c9 /•', C)/x,
где
(1.9)
F i (x) = dF, (x)¡dx, c0 = — xM* A, 1 (m0 I M¿ «, — I — ü„)~
с, = xM\ * Ро С- > («о/MU-1 + W«)“1. 6 = . С =
с, = [с, г>, + Clx(J¡| _ ^ М*£ + I (с, - £•„),
<■* = Ь«. + М* - + Й51]/ ífo -«
с< = (г»0 с0 С ро — х»о) «о, с5 = (^о с, С/р0 - *>о) «о ,
Со === Clí0 Cq Coj x^7(í, С; C, Cqi х/7у,
(1 4- с,) c¡¡ t»o с, С 4 ) ’
С« =
(I 4-to) /1*0 со С
?0«0 ч
Р.. М.. */>о
_ /?| — *<>1 м-2 Л _ Р\— *¡>1 , ,__V» -2
С" ~ V. (-А - | ) — Р1 7. 1 СУ— Ч, и0 1 + 7. - 1 -
Построение течения во внешней области в рассматриваемом приближении полностью завершено, оно дается формулами (1.8) и (1.9). Как и следовало ожидать, функции второго приближения зависят от неизвестной функции /^(х) и ее производной /м (л). Определение Ег(х), задающей положение ударного фронта при .V — ое, во внешней области не может быть проведено. Для нахождения Т7, (х) решение из внешней области необходимо продолжить во внутреннюю область — энтропийный слои — и удовлетворить условию обтекания.
2. Течение в энтропийном слое. Разложения (1.6) основаны на том факте, что в потоке в первом приближении энтропия газа постоянна; она определяется почти постоянным на основании (1.3) углом наклона ударной волны (1.2). При приближении к телу расположена область потока — энтропийный слой, образованная струйками тока, которые пересекли ударную волну в окрестности ее
4—.Ученые записки ЦАГИ0. 6. 49
вершины. О необходимости введения такой области можно заключить из анализа решении (1.8) и (1.9). Действительно, обратимся, например, к функции и и выпишем ее асимптотику при т, — 0: .
« = «о [ 1 + си Я (*т<) + с, с< Л [ | + с3 сь Р1 ['^\~‘|)] + ...}. (2.1)
При 0 второй член разложения (2.1) может стать, ввиду (1.4), порядка единицы, т. е. того же порядка, что и главный член, однако это противоречило бы условию линеаризации, на основании которого получены формулы (1.9). Для того, чтобы этого не случилось, введем новую область. Как показывает сравнение первых двух членов (2.1), в качестве характерной внутренней переменной в ней следует взять 'Г вместо используемой ранее Т|. Решение в новой области будем искать в виде
и = н0[{/,0(4') + (/„(*, Ч")4-...], ^ = ^о(^о(,1г)+ Уи(х, Г)+ ...], р = Ро1Я«о(«')4-Я.1(*, 40 + ...]. />=/>о[Я,о('П + Я11(*1 **)+...|. ^ = лК10(Т) + Кп(х, 4-) + ...,
(2.2)
где значений функций с индексом „10“ значительно больше значений функций с индексом „11“.
Предельные условия при Ч' -* оо для функций (2.2), как это следует из метода сращиваемых внешних и внутренних асимптотических разложений [7], находятся из асимптотических выражений для функций (1.6) при г, -* 0. Для функций первого приближения при ЧГ -* оо имеем:
ии (»л -*\+си р; (ч- о +..., 1/10(‘Г) - 1 + си р; (т/о +....
/?ю(Ч*) - 1 +срр;(Т/0 + ..., Ло(^)-1 + .- . (2-3)
(Ч ) -*■ v0|u0~lr... ; для функций второго приближения при Ч‘ — со :
ии(х, Ч) - с., р; (?,) + с„ С; Л (С,) -Ь... ,
уи(х, «г)-с,р;(?,) +с,р;с,
/?„(*, ч )-»гвр;(5,) + Р, (;;,) + ...,
^¡1 (*. *Р) -*■ У-Со Р| («|) + *С- р! (;,) 4-... , у„ (х, Т) Т/Роип + Су СР, (Ч7С) + С8 СР, (;,) + С9 СР, (:,)+...,
«« = , С+ с0х), (1 4- с0), С1 = (Ч С с, х), (1 4- С|).
Подставляя разложения (2.2) в систему уравнении (1.1), получим для функций первого приближения нелинейную систему; ее решение, удовлетворяющее предельным условиям (2.3), имеет вид
(2.4)
(2.5)
и г о (Ч-) = К10 (Ч) = (и? 4- VIГ1/2 [1 + м;2 - ^ * (Ч*)]1Л,
Л.о('**)=/0-,*(»Г), Я,о(Ч')-1, К10(Ч ) = ^0 «0.
Здесь и(40 задает распределение энтропийной функции вдоль линий тока. Пусть в потоке отсутствуют внутренние скачки у плот-
нения, и имеется лишь одна головная ударная волна (1.2); тогда для /0(Ч') имеем
2 а <ц > а — 1
U* -н i)Ii
X'
м»(»-Dig5*m
tg= = (V)l tg »(«•)=
*(* + !)МИ dF\x(V)\
Iх
lix
(* — 1) Igî s (4’) — 2 [1 + tgJ s (V)]J ’
Ч- = Г(х). (2.6)
Используя решение (2.5), выпишем выражение для числа М в энтропийном слое
Ml (Т) = Méoo/ô’1'* (Ч-) + I/o'U (V) - 1 ]•
Из полученного выражения следует, что при заданных и 6 = arctg-^- число Mé(U‘) монотонно убывает с ростом /0(*Р)иста-
и{)
новится минимальным там. где функция /0(Ч") максимальна, т. е. на нулевой линии тока,
<2 /г\\_ 1 (*—!)/* I
Mi (0)=^rPÔ
х[;
l/i + -^-гМ"2)/ ———г)х
\ 7--‘ А *-1 + 2М“ )
х- 1
ПМ-2
-1 »
С возрастанием 0 давление уэ0 монотонно возрастает [8|, следовательно, Мй(0) будет монотонно убывать. Поэтому уравнение
М*(0)=1 (2.7)
для заданного М^>1 будет иметь единственное решение 6*, причем ввиду монотонности Мй(0) для Ь>6* будет выполнено неравенство Мй(0)< 1. Таким образом, для углов 6>0* на больших расстояниях от затупления около щеки клина имеется область дозвукового течения и существует звуковая линия, уходящая в бесконечность. На рис. 1 звуковая линия изображена сплошной линией на больших расстояниях от затупления, что касается ее формы около затупления, то она в этой работе не изучается и поэтом\ изображена условно штриховой линией. Доказательство того факта, что звуковая линия в плоских течениях всегда наклонена под острым углом (угол между звуковой линией и направлением вектора скорости на теле) к поверхности тела [9], основано на предположении о том, что звуковая линия пересекает образующую тела, что не всегда выполнено.
На рис. 2 изображены зависимость М» (0), определяемая уравнением Мй(оо)=1, пунктирной линией, и зависимость Л\х (0), определяемая (2.7), сплошной линией для значений •/=1,1 и 1,4. Точки плоскости (Мае, 6), лежащие выше пунктирной кривой, отвечают сверхзвуковому обтеканию острого клина с иолууглом раствора О и числом М набегающего потока Мес. Точки, лежащие выше сплошной кривой, отвечают
Нас. 'j
сверхзвуковому течению при удалении от затупления с локальной дозвуковой зоной. Точки, лежащие в заштрихованной части плоскости, соответствуют течению с дозвуковой областью, уходящей в бесконечность (см. рис. 1).
Функции второго приближения из разложений (2.2) удовлетворяют линейной системе уравнений
Для решения системы (2.8) функцию К,, удобно разбить на два слагаемых Уи(х, Ч^)= Уио(Ф) + Ущ (•*. *0 и потребовать, чтобы согласно (2.4) вновь введенные функции удовлетворяли при Ч' предельным условиям
Уравнения, которым подчинены функции КП0(Ч') и К„, (х, Ч'), получаются из двух первых уравнений системы (2.8)
Здесь уголком над расходящимся интегралом обозначена его конечная часть в смысле Адамара [10], символ ^ (со) обозначает конечную часть в разложении функции при Ч' — оо, определяемую
как /г,(хг)= ((<//?,/с№)</и'-г/•', (Л). В частности, если И, при Ч—
д¥и _ г0 1 дх и0 ию дУх.
и
тН^.-С/п),
(2.8)
Ло
(2.9)
дх и0 и,0'У" дЧ- — ?0и0 Я,о¿Ли 1^1« ип.
Интегрируя первое уравнение из (2.10), получим
(2.10)
К,.о(Ч’)= С 1Ро«о/?ю(Ч •,)£/„(«•.)]-1 ¿4-, + С.-,
0
где Су — постоянная.
Выпишем разложение интеграла при 4’— :
•г
I ГРо «о Я,о (ч\) (Ч-,)]-1* «Г, - Ч- Ро ип + су СЛ (Ч- С)
о
6
имеет конечный предел, то |/?,(эс) = Ит/?1(,®‘). Требуя выполнения
Ч‘-*оо
для Упо предельного условия (2.9), найдем постоянную Су
Су =-| (Ро«о Я,о(«'.)и10(‘I*,)]-«аЧ\ + су С(2.1!)
о
Что касается функции второго приближения (/,,, V’,,, Ри. У ш, то они удовлетворяют системе пяти уравнений, состоящей из трех последних уравнений (2.8) и двух последних уравнений
(2.10). Если величины М*, и 9 выбраны так, что течение на больших расстояниях от носка клина в первом приближении является всюду сверхзвуковым, то эта система может быть сведена к уравнению Дарбу для функции Ухи
1=0.
СО. = х —
сОо = X
Н (ш, — с^)
ч
_!— Г ' ! м2(Ч-,)-1 - ®в]
о
ч*
— Г ^(Г|) \и0 УМ1(Ч\)-\ +У0\</Ч*„
*Ро J М2 (Г,) 10 *' 17 01 1
о
Г М\ (У)
[ 1 \и*(«Г)- ,
й
ЛЧ‘
(2.12)
Решение этого уравнения должно удовлетворять предельном} условию (2.9). Задача (2.9), (2.12) возникает в том случае, если не сделать никаких дополнительных предположений о поведении функции Рх(х) при х — со. Однако, как известно в механике, быстро меняющиеся возмущения затухают значительно быстрее, чем медленно меняющиеся возмущения. Поэтому предположим, что функция Рх(к) для больших значений х принадлежит к медленно меняющимся функциям, и для нее характерное значение самой функции значительно больше характерного значения производной, т. е. Рх (л -т- Л)~ /■*, (л) для х>Д. Это предположение позволяет дополнительно разложить в ряд второе предельное условие (2.9) и сохранить лишь главный член. Действительно, для переходной области от внешнего течения к энтропийному слою, где справедливо (2.9). выполнено неравенство л:^> Т, поэтому, используя явный вид и из (2.4) имеем
уш(*. Ч-')-*свС/?[свх (1 _с0)1 4-с9СГ,[г,лг (1+с,)|4------(2.13)
Тогда функцию Г,м можно искать в виде
^ш(Л> *0 = С {Са /г, [с,х (1 4- г0)] + с,,/7, [с, л- (1 -Нс,)]| К(Ч‘).
где для функции У(*Г) на основании (2.13) должно быть вынолиет. предельное условие К(Ч‘) — 1 — . . . при Т -» эс.
Из уравнений (2.10) сразу находим
К(4*)=1. (2.14)
Отметим, что полученное решение не связано с предположением о сверхзвуковом движении во всем энтропийном слое.
Определение остальных функций второго приближения из (2.2) не сопряжено с какими-либо трудностями, однако, поскольку они имеют довольно громоздкий вид, приводить их не будем. Используя (2.5), (2.11) и (2.14), выпишем полное выражение для поперечной координаты
У = -Ц- * + / [Ро «о Я,о (Ч:1> ¿Ло (Ч*.)]-1 ¿4-, - ^|р0 и0 /?,0(^',)и^\)\-‘X
х <№, + суС\Р,(оо) + с,СРх |с0 а:, (1 4- С0)] + С',СР1 [с, х/(1 +с,)] +-
До сих пор проводилось решение обратной задачи с произвольной функцией /> Поскольку основной целью работы является определение возмущений, вызванных затуплением клина, потребуем, чтобы при больших х нулевая линия тока совпадала
с формой щеки острого клина, т. е. у(х, 0)=— х. Это требовало
ние приводит к функциональному уравнению для определения
¡00 ___________________________________
— ((Ро «О я.0 (*-.) и» (Ч-,)]-1 сМ'^су С Р, (ОС) + С, сг, [с0 */(1 +С0)| +
4- СеС/7, [с,х/(1 с,)] = 0. (2.15)
Уравнение (2.15) является неоднородным; используя замену Т7,(дг) = |/71(эо) + Г2(х), приведем к однородному
с8 Р, [с0ХЦ1 4- Со)! + с9 ^2 \с% -*/(1 + О] = о (2.16)
и определим ранее введенную постоянную
Г/=-,(ЭО) = С-1(су +с8 + с9)~' ] [Ро«оД1о(Ч'.)^ю(^)]-1^Ч-1. (2.17)
о
Запишем уравнение (2.16), используя новые обозначения
С0Х ____ V С1 х Л. Ь у Ь_ С| (I + <~о) \ ______£э_ и.
Хи I . г. ‘ К Л.с.1 ’ --- /V К-
1 +Со 9 1 + С1 ’ со0+с)) 9
2 (*1)----Т №Х\) = 0. (2.18)
Уравнение (2.18) принадлежит к функциональным уравнениям Шредера [11]. Для задач обтекания слабо возмущенного заостренного клина уравнение (2.18) рассматривалось в [5, 6]. причем в работе [6] было построено его решение.
В уравнении (2.18) величина к удовлетворяет условию 0<£<1, а >. — коэффициент отражения возмущений от поверхности скачка уплотнения — условию |). | <11 - Ниже приведем несколько отличную от полученной в [6] более полную форму решения (2.18), удобную для сравнения полученных результатов с результатами [2]. Будем искать решение Р-, в виде
^2 (-V,) — х\ ^П(1п *,),
где а —искомый параметр, а Т5» — новая искомая функция. Подставляя это выражение в (2.18), получим Рп (1п л-,) = '/.А*-1 Гн (1п л, 4- 1п к).
Выбирая а из условия | X | Л*-1 = 1, имеем а = 1 — 1п |Х |/1п к, т. е. уравнение для Еп примет вид
Рп (1пх,) = sign/./'п (1пл:, — 1п£). (2.19)
Для положительных X уравнение (2.19) определяет Г» как произвольную периодическую функцию периода 1п к [/41 (г) = Ра (г -т-1п£)|; для отрицательных >. период будет равен 21п к, прибавле ние же к аргументу величины !п£ меняет знак функции на противоположный, сохраняя абсолютное значение функции |А'п (г) = = — Рп(г + 1пЛ)].
Вычисляя коэффициент перед интегралом в (2.17), запишем окончательный вид возмущения ударного фронта, вызванного затуплением
|х _ )п |Х|
РЛх) = С^ \ [РоИоЯ.оОГ,)*/,»^,)]-’<*«•, + * •"* Ри (1пл). (2.20;
О V
и
В выражение для Рх(х) входит произвольная периодическая функция Гп, что и определяет колебательный характер возмущений. Появление произвола з (2.20) связано с произвольной формой затупления клина.
-2
-3
-5
О
На рис. 3 изображена зависимость коэффициента а от полуугла раствора клина 0 для различных чисел /И» набегающего потока и х = 1,4. Как видно из графика, 1, поэтому при х -*
влияние /'п быстро уменьшается, и основное воздействие затупления клина сводится к смещению ударного фронта на постоянную величину, равную первому слаыемому в (2.20).
В некоторых точках оси 0 показатель степени а обращается в — -50. Это связано с тем, что в этих точках коэффициент отражения /. = 0. На рис. 4 изображена зависимость периода (или полу-
периода) Т = |1п£| функции Fn от Ь. С ростом 6 величина Т монотонно убывает и при приближении Ь к критическому значению, при котором в основной области скорость становится звуковой, период Т -*• 0. Значение а в этом пределе является конечным и ненулевым, поскольку Х-» — 1.
Толщина вытеснения энтропийного слоя, определяемая первым слагаемым в правой части формулы (2.20), совпадает с толщиной вытеснения, вычисленной в работе [2]. Что касается второго слагаемого в (2.20), то в [2] вычисления были проведены для М\ж-+оо, 0-*0 при постоянном произведении 6Мсс, причем с самого начала вид возмущений ударного фронта был задан как хл cos (В In л*). В результате было получено единственное значение Л(6, М», х) и спектр значений А = В„(6, Мж, х), где п — целое число. Хотя исходный вид отдельных возмущений ударного фронта в [2] имел колебательный характер, тем не менее в [4] было высказано замечание относительно колебательного характера всего решения. Рассмотрим этот вопрос на основании формулы (2.20). В предположениях работы [2](Мсс-*-эс, 6->-0) параметр >.<0, и поэтому функция Fn удовлетворяет, согласно (2.19), уравнению Гп(1пл-) = = — Fn (In х+ In k)\ тогда разложение Фурье для функции Fn имеет вид
/^(In*) = V [a„cos [—sin ['»¿Г- In.vjj.
Я=1
Сравнивая аргументы иод знаками тригонометрических функций, находим, что они точно такие же, как и в работе [2], т. е. в работе [2j действительно получены гармоники разложения в ряд Фурье периодической функции, описываемой уравнением (2.19).
Итак, затупление клина приводит к появлению в потоке области с повышенной энтропией — энтропийного слоя, вызывающего в основном смещение ударной волны относительно волны около острого клина на постоянную величину. Возмущения более высокого порядка формируются в процессе отражения характеристик от ударной волны [5, 6), энтропийный слой в первом приближении не оказывает на них влияния. Эти возмущения имеют колебательный характер и степенную амплитуду. Исключениями являются случаи, в которых коэффициент отражения >. обращается в нуль, что приводит к амплитуде возмущений, меньшей при любой напе-
ред заданной степени. Отметим также, что при >.<0 не колеблющееся решение (2.19) тождественно равно нулю. При /.>0 решением (2.19) может быть и постоянная Гп= const. Конечно, полное решение /rn=const, приводящее к чисто степенному возмущению, если и возможно, то реализуется лишь для какого-то специального вида затупления клина.
ЛИТЕРАТУРА
1. Якура Д ж. Теория энтропийных слоев я затупление носка в гиперзвуковом течении. Рид дел л Ф. Р. Исследования гипер-звуковых течений. М., .¡Мир*, 1964.
2. Ellinwood J. D. Asymptotic hypersonic flow theory for blunted, slender cones and wedges. .J. Math. Phys.“, 1968, 46.
3. Schneider \V. A. Asymptotic behaviour of hypersonic flom over blunted slender wedge. „AIAA“, 1968, 6.
4. Cheng Н. К., Kirsch J. W.. Lee R. S. On the reattachment of a shock layer produced by an instantaneous energy release. .Fluid Mech.“, vol. 48, part. 2, 1971.
5. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.
6. Boa-Teh С h u. On weak interaction of strong shock and Macl: waves generated downstream of the shock. .J. Aeron. Sci.“, vol. 19. X 7, 1952.
7. В a ii - Д a ii к М. Методы возмущений в механике жидкости М., .Мир-, 1967.
8. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М. Гос-техиздат, 1953.
9. Hayes W. P., Probstein R. F. Hypersonic flow theory, vol. 1. Acad. Press, N. V. — London, 1966.
10. Ада мар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М., .Наука*. 1978.
11. Schr<5der Е. Yeber iterirte Functionen. Mathemat. Annalen В. 3, 1871.
Рукопись поступила 31 VII 1979
