Задача на собственные значения в теории обтекания тонких профилей с большой сверхзвуковой скоростью Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIX 1988

№ 2

УДК 533.6.011.55:629.7.025.73

ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В ТЕОРИИ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ПРОФИЛЕЙ С БОЛЬШОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ

С. В. Мануйлович

Рассматривается плоскопараллельное сверхзвуковое течение идеального газа около тонкого профиля, форма которого на больших расстояниях от носка описывается степенной функцией продольной координаты. Изучается распространение вниз по потоку возмущёний, вносимых особенностями формы передней части профиля. Поиск таких возмущений ведется в обратной постановке: задается поправка к форме ударной волны в виде степенной функции с неизвестным показателем и строится течение во всей области возмущенного движения. Искомые показатели степени, определяемые условием непротекания, оказываются комплексными величинами. Поставленная задача исследуется с помощью численных и аналитических методов.

1. Постановка задачи. Рассмотрим обтекание тонкого профиля равномерным сверхзвуковым потоком с числом М»1. Будем предполагать, что газ является идеальным и совершенным, а отношение его удельных теплоемкостей постоянно и удовлетворяет неравенству 1<х<2. В качестве ОСНОВНЫХ единиц измерения будем использовать роо—плотность ¡набегающего потока, £/<*,—его скорость, г — характерный размер передней части профиля.

Введем декартову систему координат х, у (рис. 1). Обозначим 1 + Ух, % — компоненты вектора скорости, р — давление, р — плотность, ш — удельную энтальпию. В качестве независимых переменных будем использовать переменные Мизеса х, Т.

Пусть контур профиля на больших расстояниях от носка описывается степенной функцией

у„ = Вхт, 0</га<1, Д«1. (1)

При обтекании такого тела течение вдали от носка разделяется на две области: внешний поток и энтропийный слой. Внешняя область отделена от невозмущенного набегающего потока ударной волной вида

у3=Схп + ..., х-*■ оо. (2)

Если т<2/3, течение во внешней области определяется в основном силой сопротивления /•'х передней части тела. Параметры такого

течения могут быть рассчитаны с помощью взрывной аналогии [1], при этом постоянная С пропорциональна /^/3, а показатель степени в разложении ударного фронта (2) определяется равенством « = 2/3. Форма профиля при х-уоо (1) играет в этом случае второстепенную роль [2] и влияет лишь на высшие приближения в разложении ударного фронта.

Если т>2/3, то течение во внешней области описывается поршневой аналогией [1], показатели степени в (1) и (2) совпадают п = т, а амплитуда ударной волны С и профиля В пропорциональны.

Нестационарная аналогия перестает быть справедливой вблизи поверхности профиля: применение этой аналогии к расчету всей области между скачком и телом дает бесконечное значение энтропии на нулевой линии тока, в то время как в стационарных течениях энтропия частиц, прошедших скачок уплотнения, всегда конечна. Для построения корректного решения вблизи поверхности обтекаемого тела при х—>-оо необходимо задать правильное распределение энтропии поперек энтропийного слоя [3]. Это распределение определяется формой головного скачка уплотнения, и, следовательно, зависит от формы передней части профиля.

Таким образом, в первом приближении, форма носка влияет лишь на течение в узкой области энтропийного слоя; течение во внешней области определяется либо интегральной характеристикой ¥х, либо формой контура профиля вдали от носка. Для исследования влияния формы передней части профиля на течение во внешней области необходимо изучить высшие приближения.

Распространение возмущений во внешнем течении было впервые рассмотрено в работах, посвященных задаче о сверхзвуковом обтекании клина [1]. Оказалось, что эти возмущения формируются в процессе последовательного отражения от ударной волны и поверхности тела.

Для изучения распространения возмущений вниз по потоку рассмотрим задачу о течении газа с большой сверхзвуковой скоростью около профиля, имеющего форму клина с полууглом раствора 0«1. Будем предполагать, что возмущения течения порождаются слабым искривлением обтекаемой поверхности, локализованным вблизи носка:

= + У(х)\,' (3)

где функция У отлична от 0 лишь в некоторой окрестности носка и удовлетворяет соотношению й¥!йх<.\.

Задачу расчета течения около тела (3) удобно решать в обратной постановке. Зададим форму ударного фронта, соответствующего профилю (3), соотношением

(4)

где поправочная функция Т7 подлежит определению. Простой характер основного течения за ударной волной (равномерный поток) позволяет в явном виде [4] определить форму контура, соответствующего ударной волне вида (4)

Г (с — 1) (с + 2) / сх \

уь = \% 6 ------^-------МТ^г) +

(с + I) (с — 2) / сх \] ЛГ 2х

2 с3 \ с + 1 IJ ’

Сравнение (3) и (5) приводит к неоднородному функциональному уравнению для функции F:

F(x)- -^F(kx)^F0(x), (6)

где

Коэффициент отражения возмущений от ударной волны л = = — (с—2)/(с + 2) и постоянная £= (с—1)/(с+1) [1] удовлетворяют

соотношениям —1<Х<0, 0<&<1.

Решение уравнения (6), построенное в [1], имеет вид

Непосредственной проверкой можно убедиться, что в случае финитной У решение (7) представимо в виде

1_ 1п 1х 1 Р{х) = х 1*кРп(1пх),

где функция /41 (&), начиная с некоторого I, обладает свойством •^п -{- 1п Л) = — /'п (?)• Разложение функции Ёп в ряд Фурье позво-

ляет представить выражение (4) для формы ударного фронта в виде

-tg Ьх

1 -f- У^(С[х*1 + Ci xzi)

(8)

Здесь символом Сг обозначены коэффициенты Фурье функции Рп, звездочкой отмечены комплексно сопряженные величины, а комплексные постоянные

2 _ _!Е_Ш I (Д±л^ / = 0,1,2,.... (9)

1 \ък 1 1п£ ’ ’ 4

Таким образом, возмущение сверхзвукового течения около тонкого клина, обусловленное малым искривлением поверхности вблизи ноока, имеет вид суперпозиции комплексных степеней. Построенные возмущения являются собственными решениями линеаризованной задачи, поскольку ударной волне (8) соответствует невозмущенный клин.

Приведенные выше рассуждения не могут быть проведены для случая произвольного профиля вида (1) (из-за неравномерности основного течения при тф\), поэтому в дальнейшем с учетом (8) будем ограничивать класс рассматриваемых возмущений классом степенных функций.

2. Формулировка задачи на собственные значения. Задачу поиска свободных возмущений течения около профилей вида (1) будем также решать в обратной постановке. Пусть асимптотическое разложение ударного фронта при х-*~оо имеет вид

Уз = Схп (1 +'** + ...), 2/3 < я <1, Кег<0. (10)

По сравнению с (8) в разложении (10) сохранено лишь одно поправочное слагаемое, а также опущен индекс I и мультипликативная постоянная С; (в асимптотической постановке она не может быть определена).

Решение во внешней области течения, соответствующее ударной волне (10), будем искать в виде

я = Чо(х)[дЛ^ + хжд,Ы + •••]> ? = р, р> У- С11)

Функции первого и второго приближения в разложениях (11) зависят от автомодельной переменной т] = Чг/(Схп), множители определяются равенствами

2л2С2 „ 2пС . ,

Ро = - о = —ГГ * ’ 0 = —Т7" * ’

X + 1 X + 1

х + 1 2хп2 С2 9,и п ^ „

Ро=------Г’ та)0= - , . П2 х > Уо — Схп.

X — 1 (х + I)2

Подстановка разложений (11) в систему уравнений Эйлера дает системы обыкновенных дифференциальных уравнений для функций q^ и Нелинейная система первого приближения

„ 4У1 _ 2 * + 1 - 1

-^1 ^ -- , 1 1 Г1 ^

йг\ х + 1 л х— 1 1 1 йц

1 ^

+ -лГ"°> —

Р1

(12)

имеет второй порядок (из первых двух уравнений исключением производной может быть получено еще одно конечное соотношение), поэтому для построения ее решения достаточно двух данных Коши

А(1) = У,(1)=1, (13)

которые следуют из соотношений Рэнкина—Гюгонио, записанных для ударной волны (10). В силу нестационарной аналогии задача (12), (13) определяет решение автомодельной задачи о расширяющемся поршне в переменных Лагранжа!

Функции второго приближения удовлетворяют линейной системе

г + п йу2 2 ¿у2 , ¿У1 п

------у,- -П—г1-= —Р1 —г2- + Р2 -г- = °.

^ ^ I V 2^ 11

п йт\ % + 1 Л) йт[

1 ЛУу2 йр2 р% Р2 2 ±

г-7!-лг +-^г = °» ТГ”х1Г = ^Г(2: + 1)71"’

Р, о;2 + р2 да, = /?2, ^ 2 = —(2®, 2 1 + *а/2),

х + 1 ^ '

коэффициенты которой зависят от решения задачи (12), (13). Система второго приближения (14) также имеет второй порядок; данные Коши для нее следуют из линеаризованных соотношений на скачке (10)

р,( 1) = А[г +

1 + (3я — 2)%

X + 1

(15)

Внешнее решение (11) — (15) становится непригодным вблизи поверхности профиля. Для построения решения, описывающего возмущенное течение в области энтропийного слоя, необходимо выписать асимптотические разложения функций дч и при т]-Н) и, подставив их во внешние разложения (11), перейти к внутренним переменным х, Ч'-. Полученные таким образом разложения газодинамических параметров описывают течение в области сращивания т]<1, МУ1; эти разложения подсказывают вид решения в области энтропийного слоя, а также дают предельные условия, которым должно удовлетворять внутреннее решение прй 'Чг-»-оо. Не останавливаясь более детально на построении решения во внутренней области (эта процедура подробно изложена во многих работах, например, в [2, 5]), выпишем лишь внутреннее разложение функции у при ^ = 0, которое определяет контур обтекаемого профиля, соответствующий ударной волне (10),

В это разложение входит комплексная постоянная су, обозначающая конечную часть разложения функции у2 при г)-»-0 и определяющаяся из решения задачи (12) — (15); условие непротекания (1) накладывает на это решение дополнительную связь

Задача (12) — (16), представляющая собой задачу на собственные значения, определяет искомые показатели степени г. Нетрудно показать, что собственные значения поставленной задачи являются попарно комплексно сопряженными величинами, поэтому в дальнейшем будем отождествлять значения г, отличающиеся знаком мнимой части.

Если обтекаемый профиль представляет собой тонкий затупленный клин (и=1), задача поиска собственных значений может быть решена точно [6, 7]. В этом случае невозмущенное течение, описываемое решением задачи (12), (13), представляет собой равномерный поток, поэтому система второго приближения (14) сводится к гипергео-метрическому уравнению для функции р2 и ее решение, удовлетворяющее условиям (15), выписывается в явном виде. Уравнение (16) может быть приведено к виду А£2=1, и собственные значения задачи совпадают с (9).

При произвольных к и п задача (12) — (16) исследовалась численно в работе [8].

3. Предельный переход *->1. Рассмотрим еще один случай, когда собственные значения задачи могут быть рассчитаны аналитически. Предположим, что течение около профиля описывается взрывной аналогией (я = 2/3), а отношение удельных теплоемкостей газа близко 1, т. е. к= 1 + е, е<1. Этот предельный переход рассматривался ранее в [9] для эквивалентной одномерной нестационарной задачи о

3—«Ученые записки» № 2 зз

уь — Вхт 4- ССу хп+г ... .

Су (2, х, П) = 0.

(16)

течении идеального газа в трубе перед вдвигающимся поршнем. Там была получена бесконечная последовательность корней соотношения (16), обладающих свойством 1т 2~е~1/2-»-оо. Расчет, проведенный в работе [8], показал, что корень г0 этим свойством не обладает, поскольку 1т.го->-0. Таким образом, в асимптотическом анализе х—*~1 работы [9] отсутствует корень наименьшего модуля.

Изучим более подробно поведение собственного значения 20 при х-»-1, я=2/3. Численный анализ [8] показывает, что асимптотическое представление г0 в рассматриваемом предельном случае следует искать в виде

~0 = 2ч>1 + *02 е1/2 + 20з е +

Главные члены разложений функций первого приближения при е^-0 даются формулами

= +4), Уг = ^-

Поведение функции г/1 является особым, поэтому при построении решения системы (14) необходимо рассмотреть две области. Область 1 занимает почти весь промежуток изменения переменной г),, за исключением малой окрестности точки 0. В этой области можно положить У1=1, а функции второго приближения следует искать в виде разложений по степеням е

/>2=РиМ + />12^)£1/2 + Р1з(Ф + -” • (17)

Системы уравнений и начальные данные для функций р1и ра и ра получаются в результате подстановки (¡7) в задачу (14), (15) и объединения членов при одинаковых степенях 8.

В области 2 (г|—*-0) решение системы (14) ищется в виде разложений по степеням Г]

—2 + 1 + е

Ръ = Ср +Р%\Су1\-,гРпСр1\х+г-\-Рп'П*Я+ +‘+ ... • (18)

В разложение (18) входят постоянные р2ь Р22 и р2з, определяемые явными выражениями

Рг\— — 1)(3^ + 2)(2 + 2),

■ Р22--~^Ъг~ 1 — 2$) (Эг + 2 — 2е) (1 Ргг = 2 (2 + 1) е/\г (Зг: 2 + 2е)].

Для нахождения постоянных ср и су = су 1 ■+ су2е1/2... необходимо произвести сращивание разложений (17) и (18) в области, задаваемой неравенством в1/2<| 1п^|-1 1.

Главный член разложения (17) определяется формулой

Ри — ~ [(Зг01 + 4) (Зг01 + 1) — (3^01 — 1) (Зг01 + 2) т)].

Производя сращивание в разложениях (17) и (18) членов порядка 1, получим главный член в разложении су:

Су1 ==-2'(го1 “I" -3-)

Из численного расчета [8] видно, что Ке20>—1, поэтому из су1 = О следует 201 = —2/3. С учетом найденного значения г01 выпишем выражения для остальных функций из (17):

= +3*1),

р13 = - 1 + 371 + — 1п -~±-Т|- + (1 + 37])---1.

2(1+-<1)2 2 2т) 4 р2 4 ' 4 ‘ 4

Сращивая в разложениях (17) и (18) члены порядков е1/2 и е, получим

Су2 — %02 (^02 +

откуда, учитывая су2 = 0, имеем г0 2 = ■+1 V 8/9.

Полученный результат хорошо согласуется с численными расчетами: при 8=10-4 рассчитанное значение 20 = —0,667+10,943 • 10-2.

Перейдем к сравнению результатов расчета корней соотношения (16)' с асимптотическим анализом х->1, проведенным в работе [9]. Как уже упоминалось ранее, мнимая часть корней, найденных в [9], неограниченно возрастает с уменьшением е. Численный анализ, проведенный в работе [8], показал, что таким свойством обладают все комплексные собственные значения, за исключением г0.

При 8=1/1200 численный расчет дал для корня г1 значение —0,709 + 10,400- 102, в то время как асимптотическая формула [9] дает величину —0,604+¿40 с довольно сильно отличающейся действительной частью. В связи с этим в настоящей работе было проведено дополнительное исследование корней вида г1 — г12 г~1/2 + г1, + .... Решение задачи для этого случая строилось аналогично случаю корня г0: в области 1 функции второго приближения (11) представлялись в виде двучленных разложений по степеням е, а в области 2 — в виде разложений по степеням г]. Сращивание решений в областях 1 и 2 для членов порядка е~112 позволило найти 2 = + ¿2 ^/7 (2/+ 1)/3, / = 2,

3, ...; сращивание для членов порядка 1 дало значение г1Х — = — 1/2 —(4/+ 1)Р2г(0)/6 (здесь Р4(|) — полином Лежандра степени в [10]). В работе [9] формула для гп содержала ошибку. Исправленное значение гп согласуется с результатами расчетов.

Выпишем теперь окончательные формулы для собственных значений задачи при « = 2/3 в пределе *—1 = е->0:

*„ = - +

_№_]> 2 угщ+п ,-,р (=1 2, з....

2 (/!)2 ] 3

1 4/ + 1

— 2 6

В отличие от случая обтекания клина (9)действительная часть корней зависит от номера I.

При I -*■ оо справедлива асимптотическая формула

*.= -Т-^Г + ‘Лг(‘ + т)*-да+-- 09)

4. Асимптотическое выражение для 1>1. В заключение выведем асимптотическую формулу, позволяющую вычислить собственные зна-

чения с большими номерами / для любых значений параметров к и п. На существование такой формулы указывают результаты расчета первых восьми собственных значений задачи (12) — (16) при х=1,4, п = 2/3:

Как это видно из приведенных результатов, при /-»- оо справедливы соотношения: Ие гг-нюпэ!:, 1т гг+°°, 1т (г^—г^-^сопв!;. Ниже проведено теоретическое обоснование выявленных закономерностей асимптотического поведения собственных значений задачи (12)—(16).

Итак, пусть |г|^1. Как и в предыдущем анализе, решение системы (14) будем строить методом сращиваемых разложений. В области I (г]~1) решение, удовлетворяющее данным Коши (15), может быть построено методом ВКБ [11]:

Решение (20) перестает быть справедливым вблизи г] = 0, поскольку в этой точке коэффициенты системы (14) имеют особенность, и, следовательно, метод ВКБ становится непригодным. Для построения решения в окрестности 0 введем область II (14« 1). В этой области система (14) упрощается путем замены коэффициентов их асимптотическими представлениями при г| —>- 0; после этого она может быть сведена к уравнению Бесселя, и решение в области II, удовлетворяющее условию сращивания с (20), принимает вид

В этих формулах М1,2)(£)~ функции Ханкеля [10], решение (21) выписано для случая 1т г <0. Сращивание решений (20) и (21)

—0,779+і 0,582; —0,835+і 2,651; —0,857+і 4,626; —0,863+і 6,594;

—0,865+18,560; —0,866+ ¿10,525; —0,867+і 12,489; —0,867+і 14,454.

Р2 = С1Ри + С2Рі2+...,

2п

Рі 1. 12 =

/Н)2

4 ЄХР Уг (і) + [/і (ч) 2 + Ь (ч)]Ь ё (Е) = \Рх (6) Рі (5)]-1, т = С* - 6* ё,

(20)

р2 — С1 Р21 + с2 Р2і + ,

Р21, 22 = А ехр

{/г(0)+ [м0);г + /2(0)-^-^ + і-)]}

X

ХУ-пН{ї'*[іа(г + Ь)т?'\,

(21)

V =

іпгсч

производится в области, определяемой неравенством \г\ 1

Заметим, что в решении (20), (21) опущено частное решение неоднородной системы (14), поскольку в области '/ оно является малым, а в области II является малым его вклад в искомую постоянную су, хотя само частное решение неограниченно возрастает при т]->-0.

Решение (21) позволяет ВЫЧИСЛИТЬ постоянную Су

Приравнивая ее к 0, получим искомую асимптотическую формулу

Для х=1,4, п = 2/3 формула (22) принимает вид 2; = —0,868+ + г 1,964-(/+0,361) +..., и, начиная с 1 = 3, ее точность становится не менее 0,01. При п= 1 и п=2/3, х-М разложение (22) приобретает форму (9) и (19) соответственно.

Введем величины Я и I, представив формулу (22) в виде 2г = = —^ — 21 (1+8)1+ ... . Зависимости величин 1?, /, б от к для п=2/3 и от л для х=1,4 приведены на рис. 2 и рис. 3 соответственно.

Полученная формула (22), описывающая случай |г[;»1, одновременно доказывает существование бесконечного числа собственных значений задачи (12) — (16) во всем диапазоне допустимых параметров хил.

Автор благодарит О. С. Рыжова, Е. Д. Терентьева и В. В. Михайлова за плодотворные обсуждения.

«^«1.

ехр|/г (0) + [л (0) г + /2 (0) + ”-(ч- }.

(22)

где

4 — За

4(2 — я)

0

О

х I

из

5/6

п 1

Рис. 2

Рис. 3

1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959.

2. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. К теории высокоэнтропийного слоя в гиперзвуковых течениях. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, т. 11, вып. 2.

3. Сычев В. В. К теории гиперзвуковых течений газа со скачками уплотнения степенной формы. — ПММ, 1960, т. 24, вып. 3.

4. Мануйлович С. В., Терентьев Е. Д. Об асимптотическом решении задачи обтекания затупленного клина сверхзвуковым потоком совершенного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. 11, № 6.

5. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. Об энтропийном слое в гиперзвуковых течениях со скачками уплотнения, форма которых задается степенной функцией. — ПММ, 1970, т. 34, вып. 3.

6> Ellin wood J. W. Asymptotic hypersonic-flow theory for blunted slender cones and wedges. — J. Math and Phys., 1967, vol. 46, 'N 3.

7. Мануйлович С. В. О сверхзвуковом обтекании затупленного клина. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, № 4.

8. Мануйлович С. В., Сидорюк М. Е. К асимптотической теории гиперзвукового обтекания затупленных полутел.—Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 3.

9. Stewartson K., Thompson В. W. Eigenvalues for the blast wave.— Phys. of Fluids, 1970, vol. 13, N 2._

10. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами./Под. ред. М. Абрамовица и И. Сти-ган. — М.: Наука, 1979.

11. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1983.

Рукопись поступила 18/XII 1986