Об обменном члене в неизотропных однородных турбулентных течениях с градиентом средней скорости Текст научной статьи по специальности «Физика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м V 1974

№ 4

УДК 532.517.6

ОБ ОБМЕННОМ ЧЛЕНЕ В НЕИЗОТРОПНЫХ ОДНОРОДНЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЯХ С ГРАДИЕНТОМ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ

В. А. Сабельников

В линейной постановке анализируются точные результаты о роли обменного члена в однородной турбулентной среде, подверженной действию однородной деформации. Показано, что пульсации давления не всегда, как это предполагается при выводе уравнений для турбулентных напряжений в полуэмпирических теориях турбулентных течений, приближают турбулентность к изотропному состоянию. Последнее справедливо лишь для однородной безвихревой деформации однородной турбулентной среды, в случае же однородного сдвига происходит аномальное перераспределение пульсационной энергии— от меньшей компоненты вектора пульсационной скорости к большей, увеличивая тем самым степень анизотропии турбулентности. Показано также, что с уравнениями динамики жидкости совместимо состояние однородной турбулентности, вовсе не стремящейся к изотропии вследствие пульсаций давления.

Разработке полуэмпирических теорий турбулентных течений (см. обширную библиографию в книге [1]) посвящено большое число работ. При построении расчетных схем, использующих уравнения для среднеквадратичных составляющих вектора пульсационной скорости {и]) основной, и пока не решенной, проблемой является аппроксимация обменного члена, представляющего корреляцию пульсаций давления и пространственных производных от пульсационной скорости (см., например, [2] и [3])

Здесь и далее угловые скобки означают осреднение по ансамблю. Трудность в аппроксимации заключается в том, что пульсации давления определяются всем полем скоростей и граничными условиями (например, [3], [4]). Еще одно важное свойство связи между пульсациями давления и скорости можно увидеть, если рассмотреть

уравнение для пульсаций давления, получаемое применением операции дивергенции к уравнениям Навье—Стокса

I . ^£7 дил Л2

~ /?==_ дхадх9 ~ м“ир)'>

^ г>, = £Л + а4.

Здесь р — плотность среды; ю1 — мгновенная скорость; здесь и в дальнейшем предполагается суммирование по повторяющимся индексам, обозначаемым греческими буквами.

Это соотношение показывает, что пульсации давления вызываются, во-первых, взаимодействием пульсационного поля скоростей с полем градиента средней скорости (линейное инерционное взаимодействие — первый член правой части), во-вторых, взаимодействием пульсационного поля скоростей самого с собой (нелинейное инерционное взаимодействие—второй член). Для однородной турбулентности без градиентов скорости перераспределение пуль-сационной энергии по различным направлениям вследствие обменного члена (определяемого в данном случае лишь нелинейным инерционным взаимодействием пульсаций скорости) тесно связано со стремлением турбулентности к состоянию изотропии [2—10]. Поэтому обычно принимается, что и в общем случае неоднородной турбулентности, вследствие пульсаций давления имеет место перенос пульсационной энергии от большей компоненты вектора пульсационной скорости к меньшей.

Имеется идеальный случай, когда можно получить точное представление о роли обменного члена —быстрая деформация турбулентной среды (точный смысл этого термина указан ниже).

Постановка задач линейной теории однородной деформации однородной турбулентности—для краткости будем говорить о быстрой деформации, тем более, что это оправдывается при рассмотрении условий применимости, линейной теории — подробно приведена в следующих работах [4, 11, 12, 14].

Мы здесь ограничимся поэтому лишь указанием на то, что в этой теории пренебрегается пульсациями плотности, эффектами молекулярной вязкости и взаимодействием пульсаций скорости самих с собой (но не взаимодействием пульсаций скорости с полем средней скорости). Отметим также, что предположение о малости отброшенных членов является справедливым лишь при довольно-таки жестких ограничениях на параметры турбулентности и деформации, которая, в частности, должна быть достаточно быстрой по сравнению с характерным временем вырождения турбулентности. Подробный анализ возможности пренебрежения указанными эффектами (и связанных с этим ограничениями) для некоторых частных случаев однородной деформации приведен в работе [11] и монографиях [4] и [5]. В реальных турбулентных потоках с градиентами средней скорости предположения линейной теории (возможность применения к реальным турбулентным потокам представлений однородной деформации однородной турбулентности может быть в некоторой мере объяснена тем, что турбулентность в достаточно малых по сравнению с зоной турбулентного смешения движущихся жидких объемах может рассматриваться как однородная, а распределение средней скорости линейным; естественно, что все эти соображения носят чисто локальный характер, более подробно они приведены в [5]) в большинстве случаев не выполняются, поэтому на первый

взгляд может показаться, что результаты линейной теории не имеют никакого отношения к структуре сдвиговых турбулентных потоков. Тем более удивительным является экспериментальный факт, по-видимому, впервые отмеченный А. А. Таунсендом в его монографии (5) и более подробно им же проанализированный в обзорной работе [15], который, видимо, является достаточно общим для свободных турбулентных течений с градиентами средней скорости. В несколько общей форме этот факт можно сформулировать следующим образом: пространственная структура турбулентности

(в масштабах вихрей, несущих основную энергию пульсаций скорости) в свободных потоках с градиентами средней скорости очень близка к той, которая устанавливается при воздействии на первоначально изотропную турбулентность быстрой однородной деформации (тензор деформации среды при этом, естественно, зависит от пространственных координат и от конкретного типа течения). Этот факт для некоторого частного случая независимо от А. А. Таунсенда использовался Зимонтом В. Л. и автором в работе [16].

Имея в виду отмеченные выше особенности в пространственной структуре турбулентности в потоках с градиентами средних скоростей, можно ожидать, что выводы линейной теории, касающиеся роли обменного члена, точнее, той его части, которая определяется взаимодействием пульсаций скорости с полем средней скорости, в основных своих чертах сохраняется даже при учете нелинейных эффектов.

1. Общие уравнения. Рассматривается однородная деформация однородной турбулентности, вызванная следующим полем относительной средней скорости (отметим, что в общем случае такое-поле реализуется лишь при наличии внешних сил, отличных от давления):

где Л/а являются лишь функциями времени, ха— компоненты радиус-вектора между двумя точками.

Уравнения для соленоидальных пульсаций скорости иь получаемые обычным способом из уравнения Навье—Стокса и неразрывности, после линеаризации и пренебрежения вязкостью имеют вид: .

Представим пульсации скорости и давления посредством стохастического интеграла Фурье (см. например, [4])

V'I — Л/а (0 Ха] Л

1_ ¿2-р (И ’

(1)

дЛ± л- п дл- » Шк. —___________________________!_ ЁЕ.

дг иа дхя + “ дха ~ Р дх1 •

(2)

м;- = / ехр (I & х) dZ) (А), р = / ехр (¿к х) йР (к), (й21 {к)йЕ* (£)) =Ф 1](к)йк, (Щ иу) = /Фи-йй.

Здесь I — мнимая единица; ¿ — волновой вектор; а, й1г =

= йкхйк^кг, dZj^k) и с1Р (&)—компоненты Фурье пульсаций ско* рости и давления соответственно; Фгу-{к) — спектральный тензор энергии; верхним индексом * обозначается сопряженное комплексное число.

Применяя преобразование Фурье к уравнениям (2), получим уравнения для компонент Фурье пульсационной скорости *

д(12: дЛ2{ I

—Щ-------щ- + А и йга=— — 1к1 йР\ (4)

кайга=о. (5)

Компоненту Фурье пульсаций давления можно выразить через

компоненты Фурье пульсаций скорости, умножив уравнение (4) на ку и просуммировав по } от 1 до 3. После использования уравнения неразрывности (5) получим для йР

к„ йХа

йР = 2/РЛиР^1 .

Подставляя это соотношение в уравнение (4), имеем окончательное уравнение для dZj.

. к„ к,

~ ~ = Лпрка -------AjadZrl.■\-2A^—^-dZ^. (6)

Укажем физический смысл отдельных членов в уравнении (6) (см. [4]). Три члена в правой части описывают соответственно:

— перераспределение пульсационной энергии по волновому пространству без изменения общего количества энергии, так как

вклад в /dZldZ*j от первого члена равен нулю;

— порождение энергии, так как второй член дает вклад в ^fdZidZ)■

— перераспределение энергии от одной компоненты вектора

dZj к другой, так как вклад третьего члена в / dZ* dZl равен

нулю, по этой причине указанный член называется обменным. Решение уравнения (6) ищем методом характеристик

—____д . ь •

си — >

^ =— A[adZa ~7~ 2,А а@ ^2 dZp .

Из последнего уравнения для спектрального тензора энергии Ф,;-обычным способом (см., например, [4]; имеем уравнение

йФц к„

= Лаи Фу----Ai а Фа /— А / а Ф! а -(- 2 Лар (к I Фр / + ¿у Ф/ р). (8)

Уравнения (7) и (8) в общем случае необходимо решать численно. Ниже мы ограничимся некоторыми частными случаями, когда возможно получение аналитического решения или интересующие нас выводы можно сделать непосредственно из уравнения (8).

дщ

* Преобразование Фурье в смысле, указанном в [4], от члена не

существует. Для получения уравнения (4) в качестве промежуточного этапа необходимо рассматривать преобразование Фурье в смысле обобщенных функций.

2. Однородная осесимметричная деформация несжимаемой в среднем среды. При выборе системы координат, оси которой совпадают с главными направлениями тензора скоростей деформации (ось хг направлена по оси симметрии), среди компонент тензора Ац от нуля отличны лишь Ап, А22 и Л33, причем Л22 = Л33 и Ааа => 0, т. е. Л22 =—1/2 Ли. Обменный член при этом осуществляет перенос от большей компоненты вектора пульсационной скорости (и|) (поперечной) к меньшей (и*) (продольной), как это обычно и предполагается в полуэмпирических расчетных схемах турбулентных течений.

Этот вывод можно сделать, если проинтегрировать уравнение (8) по волновому пространству

Так как Фц^-0, то при Лп>0 обменный член (второй член в правой части этого уравнения) вносит положительный вклад

ведливо для компоненты {и\}). ■

Перенос от большей компоненты вектора пульсационной скорости к меньшей имеет место и в общем случае однородной безвихревой деформации со стационарными направлениями главных осей тензора скоростей деформации несжимаемой в среднем среды, т. е. когда Лп, Л22 и Л33 не равны между собой и Ааа = 0, что показывается непосредственным вычислением обменных членов, имея соответствующее решение линейной задачи для Фу "[11].

3. Однородный сдвиг. При такой деформации среди компонент тензора АцЦ) от нуля отлична лишь АпЦ). Решение системы уравнений (7) имеет вид (см. также [15]):

Индексом нуль обозначены значения параметров перед деформацией, которая происходит в момент времени ¿ = 0.

в производную

(9)

где

Из соотношений (9), используя определение (3), легко получить

выражения для компонент спектрального тензора энергии Фу (/г, ¿), «оторые ввиду их громоздкости здесь не выписываются.

На фигуре приведены численные результаты по изменению средних квадратов компонент вектора пульсационной скорости для начальной изотропной турбулентности при однородном сдвиге (при ¿ = 0 (и\) = {и\) = (и|) =Иц). Расчет показывает, что при этом происходит рост {и\), {и\) и уменьшение {и\). Так как в уравнение

N*3 * л Оч . . ^ *»

‘¡г

о Ь 6 12 А 15

для {и,\) (которое получается при интегрировании уравнения для Ф22 по волновому пространству) входит лишь обменный член, то отсюда вытекает, что роль обменного члена в этом уравнении сводится к извлечению пульсационной энергии из меньшей компоненты (и*) и переносу ее (как показывают прямые расчеты обменных членов в (н|;). Таким образом, при однородном сдвиге однородной турбулентности происходит аномальное перераспределение пульсационной энергии по различным направлениям, вызванное обменным членом.

Имеются некоторые основания предполагать, что именно эта возможность реализуется в слое постоянного напряжения турбулентного пограничного слоя (имеется в виду, конечно, линейная часть обменного члена), но ввиду их недостаточной строгости они здесь не приводятся.

4. О возможности состояния однородной турбулентности, не стремящейся к изотропии вследствие пульсаций давления. В первых разделах настоящей работы получены результаты о роли той части обменного члена, которая определяется линейным инерционным взаимодействием пульсаций скорости с полем средней скорости. Роль же остальной части обменного члена, вызванного нелинейным инерционным взаимодействием пульсаций скорости самих с собой, остается до сих пор не выясненной. Обычно удовлетворяются лишь качественным указанием (см., например, [2]) на то, что роль этого члена состоит в стремлении однородной турбулентности к изотропной (для простоты под термином изотропная турбулентность

здесь будет просто подразумеваться лишь равенство средних квадратов компонент вектора пульсационной скорости), тем самым рассматривая изотропию в качестве наиболее вероятного состояния однородной турбулентности. Строго это предположение не доказано, тем не менее оно широко используется во всякого рода по-луэмпирических теориях турбулентности (см., например, [2]). На-самом деле положение здесь оказывается намного более сложным,, чем предполагает эта гипотеза. Ниже приводится пример, показывающий, что эта правдоподобная гипотеза в общем случае доказана быть не может. Она может быть справедливой лишь при наложении дополнительных ограничений на структуру однородной турбулентности. Перейдем к изложению этого примера, а именно* мы укажем на возможность состояния однородной турбулентности* не стремящейся к изотропии вследствие пульсаций давления.

Уравнение для изменения спектрального тензора энергии Фг/ имеет вид [4]:

здесь V — кинематическая вязкость.

Три члена в правой части уравнения (10) представляют собой соответственно действия сил инерции, давления и вязкости.

Тензоры Фг;, Гу и Пу можно записать следующим образом [4]

где комплексные векторы а, Ь, с, й являются функциями волнового вектора к, причем

Если ПОЛОЖИТЬ ¿2 = С2*, ТО легко Проверить, ЧТО ПуН=0, т. е. стремление к изотропии вследствие пульсаций давления отсутствует.

Из этого еще нельзя сделать вывод о том, что однородная турбулентность с П.;- = 0 вовсе не будет стремиться к изотропии в процессе вырождения, так как остается другой возможный источник, стремящий турбулентность к изотропии, — вязкий член, или диссипация. Лишь при дополнительном условии пропорциональности диссипации среднего квадрата каждой компоненты вектора пульсационной скорости среднему квадрату этой же компоненты мы придем к случаю, когда степень анизотропии однородной турбулентности остается постоянной в процессе вырождения. Действительно, предполагая выполненными указанные условия, из

* Это выполняется, например, при изотропных третьих моментах. [Пу=0 и для турбулентности, поле скорости которой является гауссовским (нормальным) случайным полем].

(Ю>

0>а ¡к>а — Ьа. Ьа — С& А?«--------¿/а — Са (%а. — 0,

уравнения (10) после интегрирования по волновому пространству получим *:

где

или

Трудно ответить на вопрос, можно ли практически получить однородную турбулентность с указанным выше свойством. Можно лишь сослаться на известный экспериментальный факт о том, что турбулентность за решетками на некотором расстоянии вниз по потоку является почти однородной в сечениях, перпендикулярных средней скорости, но продольная пульсационная скорость (направленная по потоку) всегда остается больше поперечной. В качестве-наиболее яркого примера отметим работу [13], где отношение продольной пульсационной скорости к поперечной, равное примерно 1,45 (см. фигуру этой работы), сохраняется на всей начальной стадий вырождения турбулентности.

В заключение автор выражает признательность Зимонту В. Л. за дискуссию при постановке настоящей задачи и обсуждение результатов.

* В работе [17] исследованы закономерности вырождения однородной турбулентности с постоянной степенью анизотропии на основании гипотез подобия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Launder В. E., S р а ] d і n g D. В. Mathematical models of turbulence. Academic Press. London —New York, 1972.

2. Хинце И. О. „Турбулентность“. М., Физматгиз, 1963.

3. Pott a J. Statistishe theorie nicht homogener turbulenz. I. Zeitshrift für Physic, Bd. 129 (1951), И. Bd. 131 (1951).

4. Бэтчелор Дж. Теория однородной турбулентности. М., Изд. иностр лит., 1955.

5. Т а у н с е н д А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М., Изд. иностр. лит., 1959.

6. Jberoi М. S. Equipartition of energy and local isotropy in turbulent flows. J. Appl. Phys., vol. 28, No 10, 1957.

7. J b e r о і M. S., W a 11 і s S. Small axisymmetric contraction of grid

turbulence. J. Fluid Mech., vol. 24, No 3, pp. 539—543, 1965.

8. Mills R. R., Corrsin S. Effect of contraction on turbulence and temperature fluctuations generated by a warm grid. NASA Memo. 5—5—59w, 1959.

9. T u с k e r H. J.. R e у n о 1 d s A. J. The distortion of turbulence by

irrotational plane strain. J. Fluid Mech., vol. 32, pt. 4, 1968.

10. Champagne F. H., Harris V. G., Corrsin S. Experiments on nearly homogeneous turbulent shear flow. J. Fluid Mech., vol. 41, pt. 1, 1970.

d ( и?) 2

-^sr- = -№ («?).

1 d(U*Ua)

fit) — (мама) dt '

<«?> , const.

<«?>

11. Batchelor G., Proudman J. The effect of rapid distortion of a fluid in turbubeut motion. Quart. J. Mech. and Appl. Math., vol. 7, pt. 1, 1954.

12. Ribner H. S., Tucker M. Spectrum of turbulence in a contracting stream. NACA Report 1113, 1953.

13. Uberoi M. S. Energy transfer in isotropic turbulence. Ph. of Fluids, vol. 6, No 8, 1963.

14. Pearson J. A. R. The effect of uniform distortian an weak homogeneous turbulence. J. FI. Mech., vol. 5, pt. 2, 1959.

15. Townsend A. A. Entrainment and the Structure of turbulent flow. Journ. of FI. Mech., vol. 41, pt. 1, 1970.

16. Сабельников В. А. Поведение однородной турбулентности в каналах переменной площади сечения. Труды МФТИ, 1972.

17. Корнеев А. И. Применение гипотез подобия для решения задачи о вырождении однородной турбулентности. 1973, ПММ, 37, № 5.

Рукопись поступила 22/V 1973