Численный метод построения стационарных состояний вихревого диполя в круглом проточном бассейне Текст научной статьи по специальности «Физика»

III. HITECH

УДК 519.63, 532.5.031, 551.465

А.И. Шавлюгин1

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ ВИХРЕВОГО ДИПОЛЯ В КРУГЛОМ ПРОТОЧНОМ БАССЕЙНЕ

Рассматривается задача об определении стационарной формы вихревого диполя, образованного ВП в бассейне с проточным течением, индуцированным источником и стоком равной интенсивности, расположенными на границе бассейна в его диаметрально противоположных точках. Предложен численный метод определения стационарной формы вихревого диполя, сводящий исходное условие стационарности границы составляющих его ВП к системе нелинейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения формы вихрей диполя в ряд Фурье и интенсивности источника и стока.

Введение

Изучение стационарных состояний фронтов завихренности (ФЗ) и вихревых пятен (ВП) является актуальным направлением исследований в классической и геофизической гидродинамике. Под ФЗ в плоских задачах гидродинамики понимается линия, разграничивающая области с постоянными и различными значениями вихря скорости, а ВП представляет замкнутую область, ограниченную ФЗ. Такой интерес объ-

1 Шавлюгин Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, начальник НИС, доцент кафедры электроники ВГуЭС. e-mail: Alexander.Shavlyugin@vvsu.ru

ясняется прежде всего тем, что в ходе эволюции плоского течения идеальной несжимаемой жидкости, индуцированного некоторым начальным распределением завихренности, как правило наблюдается (это подтверждается результатами численных и лабораторных экспериментов) его трансформация к квазистационарному состоянию, сопровождаемая незначительными колебаниями относительно положения равновесия.

В зависимости от граничных условий рассматриваемых задач возможны различные виды стационарных состояний ФЗ и ВП. Так, в частности, для неограниченной жидкости известно, что однородно завихренная эллиптическая область (вихрь Кирхгофа) вращается как твердое тело с угловой скоростью

г. аЬ

U =-тсо,

(а+Ь)2

где а, Ъ - полуоси эллипса, о - величина завихренности внутри него (вне вихря завихренность равна нулю). Выполненный в последующем линейный анализ устойчивости показал, что вихрь Кирхгофа устойчив относительно бесконечно малых возмущений его формы при условии, что отношение полуосей эллипса не превышает 3. Полученные Кирхгофом результаты нашли свое развитие в работе Deem, Zabusky1, где были численно построены ш-симметричные ротационные стационарные состояния ВП в неограниченной жидкости (форма вихря совпадает с исходной при повороте относительно его центра на угол 2л/т). Фактически, найденные в цитируемой работе решения представляют собой волны конечной амплитуды и различной длины, возмущающие ВП круглой формы. Кроме того Deem, Zabusky определили стационарную форму вихревого диполя, движущегося с постоянной линейной скоростью, не меняя своей формы.

В дальнейшем стационарные формы областей постоянной завихренности были численно найдены и в других модельных задачах. В частности в работе Pullin, Jacobs2 были построены стационарные волны конечной амплитуды на фронте завихренности, разделяющем в невозмущенном состоянии полуплоскости, на границе которых завихренность изменяется скачком. Шавлюгиным3 было обнаружено, что от стационарных состояний таких фронтов, расположенных возле прямолинейной границы и обладающих максимальной амплитудой, должны бифурцировать другие стационарные состояния, в которых исходная область постоянной завихренности становится неодносвязной.

1 Deem G.S., Zabusky N.J. Vortex waves: stationary V-states, interactions recurrence and breaking // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. №13. P. 859-862.

2 Pullin D.I., Jacobs P.A. Nonlinear waves in a shear flow with a vorticity discontinuity // Stud. Appl. Math. 1986. V. 75. № 1. P. 77-94.

3 Шавлюгин А.И. Стационарные состояния областей постоянной завихренности возле прямолинейной границы (плоская пространственно периодическая задача) // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1992. Т. 28. N»5. С. 529-537.

-97-

В настоящей работе предложен численный метод построения стационарных состояний вихревого диполя, представляющего собой два зеркально симметричных ВП с противоположными знаками завихренности в круглом бассейне. Подобная постановка задачи безусловно представляет интерес, поскольку позволяет учесть граничные условия, являющиеся типичными для лабораторных экспериментов и присутствующие в модельных задачах геофизической гидродинамики при изучении течений в замкнутых водоемах.

Принципиальное отличие рассматриваемой в работе модели от случая неограниченной жидкости заключается в том, что присутствие в потоке твердых границ делает невозможным неограниченное во времени прямолинейное движение диполя. Чтобы остановить движение пары, требуется дополнительный учет некоторого фонового течения, генерируемого, например, источником и стоком равной интенсивности, расположенными на границе бассейна. Это придает течению жидкости в бассейне проточный характер и позволяет остановить движение пары. Таким образом, предложенный подход также имеет ясное геофизическое содержание и позволяет моделировать течения в замкнутых водоемах с проливами, которые характерны, в частности, дтя окраинных Дальневосточных морей.

Описание поля течения

Рассматривается движение однородно завихренной области D(t) в плоском потоке идеальной однородной несжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности

и + v =0

х у

позволяет ввести функцию тока Щх,\/,f), связанную с проекциями вектора скорости и, v известными соотношениями

m

где индексы означают частное дифференцирование по соответствующей переменной. Благодаря уравнениям движения Эйлера

Pr Pv

и, + иих + vuy = v, + uvx + wy = —

где р - давление, р - плотность), завихренность удовлетворяет закону сохранения

dco Л

— = со. + ucar + v« „ = 0 dt %

Предположим, что в пределах D(t) завихренность постоянна и равна сзо, а вне рассматриваемой области равна нулю. Тогда, обращая оператор

-98-

Лапласа и принимая во внимание закон сохранения завихренности, получаем

W(x,y,t) = oiü \\G(x,y;t,ri)dZdri, (2)

Dfl)

где введена функция Грина G(x,y&T]); (х,у), - координаты точек наблюдения и интегрирования соответственно.

В дальнейшем ограничим рассмотрение случаем, когда область течения представляет круг радиуса а. Функция Грина для оператора Лапласа, удовлетворяющая сформулированным граничным условиям (G = 0 при

г = V*2 + у2 = а}, имеет вид

e-L

2 п

lnÄ-ln^

а

(3)

где обозначено р = + т}2)*2, (£>') = "^(£>>7), Я = &- х)1 + & - у)г]г,

Вычисление функции тока, а в силу (1) и поля скорости можно свести к контурному интегрированию, что позволяет построить намного более эффективный численный алгоритм вычисления поля скорости. Для этого введем функцию

1

у:£ч) - \в(х,у;х + ({-х)г,у + (г1-у)г)2ск, (4)

о

удовлетворяющую легко проверяемому тождеству

0 = [((-хЩ+[(г,-у)Р]ч

/

с помощью которого и теоремы Стокса из (2) следует

Г(х,у,0 = а>0 ^-х)с1г,-(п-у№], (5)

С(!)

где С(У - граница области Подставляя (3) в (4) и выполняя квадратуру, находим

8л

_ , _ , с с1-2bd. b + c + d се е

2\nR-ln(b + c + d) — +--—In-+ -arctg-

b 2b d b2 c + 2d

где введены обозначения

al aL а

2(аг-х2-у2) в =-?-

Vn-yt I

Из соотношений (1), (5) следуют выражения для поля скорости

и = -О)0 -х)(1г}-(г,-у№) + ОД], (6)

со)

V = «О ][РМ - -(1- у№ - Лй/]. (7)

С(0

Формулы (5-7) позволяют определить поля функции тока и скорости по известному положению границы ВП, что обеспечивает решение эволюционной задачи о трансформации формы вихря при помощи интегрирования лагранжевых уравнений движения принадлежащих границе вихря жидких частиц

сЬс Ау

— = «,— = у. (8)

Л Л

Модель без труда обобщается на случай, когда поле течения определяется наличием нескольких ВП. Обозначая завихренность 1-го пятна через со,, а его границу - через С, (0, можно записать соотношения (5-7) в виде

= ^[К-хМ-Ь-уЖ], (9)

' ф

«—5> №(({-х)<1г1-(г1-у)<Ю + Рс1{], (10)

v = YJcoi ^((£ -х)Л,-(ц-у№- /чЛ/]. (И)

' ф

Учет в модели произвольного безвихревого фонового течения, как уже говорилось выше, достигается добавлением к правым частям (8) слагаемых, определяемых уравнениями

где *Р0(х,у) - решение уравнения

е¥п . зХ

а*? ■ т=0- (13)

удовлетворяющее определенным граничным условиям. В частности, фоновое течение описанного выше проточного типа должно удовлетворять условию

где /(<р) - заданная (в данном случае - стационарная) функция, характеризующая интенсивность источников (стоков) на границе. Решение (13) с учетом приведенного граничного условия записывается в виде (интеграл Пуассона)

Ч^г.р) = ± J /(0) 2 °2"/2

В частном случае, когда на концах вертикального диаметра расположены источник и сток равной интенсивности ± q, функция тока фонового течения запишется в виде

( _2 „2 „2 „2

(14)

2л

а -г а -г

г2 -2ars\n(p + a2 г2 +2ars'm<p + a2

где (г,<р) - полярные координаты точки наблюдения.

Перейдем теперь к описанию численного метода построения стационарных состояний вихревого диполя в круглом бассейне с проточным фоновым течением вида (14).

Численный метод построения стационарных вихревых диполей

в круглом бассейне

Условие стационарности вихревого диполя заключается в том, что границы его ВП являются линиями тока, т.е.

+ -const. (15)

Очевидно, что диполь должен располагаться симметрично относительно того диаметра бассейна, на концах которого расположены источник и сток. Для описанного выше случая расположения источника и стока на концах вертикального диаметра исследуемая конфигурация ВП показана на рис. 1. Учитывая очевидную симметрию задачи, будем искать стационарную форму ВП с положительным знаком завихренности, полагая, что его граница задана параметрически соотношениями x=x(v), y=y(v). Тогда, дифференцируя (15) по параметру с учетом (1), получаем

f dx dy\

(v + v0)--(u + u0)-f t=0. (16)

, dv dv)

+ 4

Рис. 1. Искомая форма вихревого диполя в круглом проточном бассейне

Условие (16) совместно с формулами (10-12), (14) представляет нелинейное интегродифференциальное уравнение относительно неизвестной формы ВП диполя и интенсивности источника и стока с\.

Аппроксимируем границу ВП множеством из N опорных точек, полагая, что параметр V принимает в них целочисленные значения

V = 1, А^ . Будем искать решение (16) в полярных координатах согласно соотношениям

= £с+ р(у)со$в(у), 17(1/) = р(у)зшв(у), (17)

где хс - горизонтальная координата «центра масс» ВП,

N

/

а р(у) ищется в виде ряда Фурье

Еа

\ Ь.(18,

/п-0

Удовлетворяя уравнению (16) в точках V = / = {,N/2-1 (очевидно, что N должно быть четным) и вычисляя входящие в (16) интегралы по

формуле трапеций, получаем нелинейных, уравнений относи-

N

тельно — +1 неизвестных коэффициентов Ьт разложения (18) и интенсивности ц. Два дополнительных условия, позволяющих выделить единственное решение из рассматриваемого семейства, определяют фиксированную площадь ВП

5 = -§уск (19)

с

и заданное положение его «центра масс»

2Я*С. (20)

с

Система уравнений (16), (19), (20) решается методом Ньютона. Начальное приближение к первому решению семейства с заданными площадью и «центром масс» имеет форму круга и интенсивность источника и стока, следующую из стационарности диполя, образованного точечными вихрями. При поиске последующих решений из данного семейства последнее из полученных используется в качестве начального приближения.