Гамильтонова формулировка задачи о движении системы вихревых колец в присутствии границ потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIII 1992 № 2

УДК 532.527

ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ В ПРИСУТСТВИИ ГРАНИЦ ПОТОКА

М. А. Брутян, П. Л. Крапивский

Дана гамильтонова формулировка задачи о движении системы вихревых колец в идеальной несжимаемой жидкости при наличии твердых границ. Полученные для вихревых колец результаты являются прямым обобщением результатов работы {1] аналогично тому, как в случае прямолинейных вихревых нитей результаты Линя [2) являются обобщением результатов Кирхгофа [3].

Рассмотрим систему соосных вихревых колец, движущихся в идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности (далее будет показано, как полученные результаты легко распространяются на случай ненулевой скорости на бесконечности). Область течения предполагается осесимметричной с осью симметрии, совпадающей с общей осью вихревых колец. Такая ситуация возможна, например, при движении вихревых колец в цилиндрической трубе или вне осесимметричного тела. Последний случай возникает при моделировании осесимметричного отрывного течения вихревыми Кольцами (см., например, [4]). Подобные методы исследования получили широкое распространение ввиду того, что прямой путь численного решения уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса наталкивается на серьезные трудности, связанные'с ограниченными возможностями современных компьютеров.

Введем цилиндрическую систему координат хгв, где ось х направлена вдоль общей оси симметрии. Пусть Г«—циркуляция вихревого кольца с номером а, а— 1,2..........N-, га—радиус

кольца; —продольная координата вихря. Представим скорость V в виде

-St.. о). (О

Здесь -ф — функция тока, а V* — дифференциальный оператор, введенный для удобства записи. Для завихренности ш = rot V из (1) получаем

Поскольку вся завихренность сосредоточена на вихревых кольцах, окончательно имеем следующее уравнение для определения -Ц):

а

Для компактной записи решения уравнения (2) введем функцию Грина G, которая по определению является решением уравнения

(д2 I д \ д2 \

^г + -а7-^ + *') = «(*-*'). (3)

где Л= (х, г). Функция Грина, как обычно, должна удовлетворять однородным граничным условиям на твердых границах и на оси симметрии. Для случая произвольного распределения завихренности ш = а>(Я) скорость выражается через функцию Грина следующей формулой:

V%G(R, Я'МЛ'МЯ'-

(4)

В случае вихревых колец ш(/?) = 2Г.6(/? — /?„), поэтому из (4) находим скорость вих-

Штрих в знаке суммы означает, что член с номером а отсутствует. Второе слагаемое в (5) связано с воздействием вихревого кольца самого на себя и по определению равно

Формальный переход к пределу приводит к сингулярности, так как О(/?„, /?„) = + оо. Поэтому представим функцию Грина в виде двух слагаемых:

Здесь К и £ — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Теперь необходимо вычислить два предела:

Первый_ предел по-прежнему содержит сингулярность, а второй предел конечен ввиду конечности б(Л«, Для устранения сингулярности в первом пределе, как известно [5], требуется ввести некоторую модель 'вихревого ядра. При этом рассматриваемый предел даст самоинду-цированную скорость Гаи(га) движения вихревого кольца в безграничной жидкости.

Отметим важное для дальнейшего свойство рассматриваемой функции Грина:

где функция /) является симметричной, т. е. 0(Л, /?') = /)(/?', /?). Действительно, умножая (3) на г и используя тождество г6(/? — /?') = г'6(/? — /?'), имеем

а

ревого кольца:

(5)

(I

г„ Ііш V* (/?,/?„) .

О (Л, /?') = Оо(Я, «') + 6(Я, Л'), где Со — функция Грина в безграничной области [5]:

Ііш ^О0(Л,/?,) и Ит ^<3(Я, /?„).

0(Л, /?') =г'0(*,*'),

(6)

/?') = г'6(Л-/?'),

(7)

Оператор I является самосопряженным, так что соответствующая ему функция Грина £)(/?, #') симметрична [6]. Таким образом, из (7) сразу следует (6).

Окончательно уравнения движения вихревых колец при наличии твердых границ имеют вид:

Здесь Дф = £>(/?«, /?р); 1/*=11(га); г„=б(Л«, /?«). Коэффициент 1/2 в (8) и (9) обусловлен свойством симметрии (6).

Перейдем к гамильтоновой формулировке уравнений движения (8) и (9). Вспомним, что в случае безграничного течения, как было показано в [1] и позднее в [7], можно ввести обобщенные координаты Ца = ДС« и обобщенные импульсы Рл = Г, в которых уравнения движения вихревых колец имеют вид канонических уравнений Гамильтона. Если, как это принято в гидродинамике, использовать переменные ха и = г1, то уравнения движения вихревых колец совпадут по форме с -известными уравнениями Кирхгофа [3], которые описывают эволюцию прямолинейных вихревых нитей (дискретных вихрей).

Действуя аналогично [1], представим уравнения (8) и (9) движения вихревых колец при наличии твердых границ в гамильтоновом виде

с гамильтонианом Н:

у = Г2 (10)

« dt дуа » dt дха ' «

Н = 2^1 Г.Чу.г,^ + £+ Г») • (П)

а<р а

В этих формулах № (уа), dW/dy = и (у). Полученное выше обобщение результатов работы [1] для вихревых колец аналогично найденному Линем [2] обобщению результатов Кирх-

гофа [3] для прямолинейных вихревых нитей.

Отметим некоторые следствия из полученных уравнений (10), (11). В случае, когда система инвариантна по отношению к сдвигу вдоль оси х, из (10) следует существование инва-

рианта Р :

а а

так что система, помимо обычного для гамильтоновых систем интеграла движения /> = Н, обладает еще дополнительным интегралом /г = Р, который с точностью до постоянного множителя является импульсом жидкости. В этом случае для системы двух колец теорема Лиу-вилля [8] гарантирует полную интегрируемость. Заметим, что описанная ситуация соответствует Движению вихревых колец либо вне, либо внутри цилиндрической трубы.

В случае движения вихревых колец в жидкости, обтекающей осесимметричное тело, уравнения (10) не меняются, а к гамильтониану (11) следует добавить слагаемое

2£Га

гФ

где Ф. = Ф(Я«), Ф —функция тока потенциального течения жидкости около заданного осесимметричного тела в отсутствии вихревых колец. п

В качестве примера рассмотрим движение двух вихревых колец в цилиндрическои трубе. Пусть в начальный момент времени они располагаются в точках с координатами х\ = 0, гі — 1; х2 = 0, гі < 1. Циркуляцию обоих вихрей выберем одинаковой Гі = Г2 = 1. Для определение функции ВР, входящей в выражение для гамильтониана (11), необходимо выбрать конкретную модель вихревого ядра. Если а — радиус вихревого ядра, то № определяется из следующего уравнения [1]:

где константа Е зависит от характера распределения завихренности внутри вихревого ядра. Расчеты проводились ках для случая однородного распределения завихренности (модель Кельвина, £ = 1/4), так и для случая полого вихря (модель Хикса, £ = 1/2) [5]. Результаты оказались слабо зависящими от модели, поэтому для определенности далее приводятся результаты только для модели Кельвина. Начальный радиус ядра обоих вихрей выбран одинаковым ai = as = 10-3, что согласуется с необходимым условием тонкости вихревых колец, а С г. В силу теоремы Кельвина о циркуляции величины г и а оказываются связанными:

га2 = const.

В соответствии с теоремой Лиувилля поверхность уровня интегралов движения Н = const и Р = const с топологической точки зрения эквивалентна либо плоскости, либо цилиндру, либо тору [8]. В рассматриваемом случае движения вихревых колец в цилиндрической трубе радиусом р = 3 получено, что первый тип движения, при котором расстояние между вихрями стремится к бесконечности при t -*■ + оо, осуществляется при г2 < г* ж 0,54. Второй тип движения, соответствующий известной «чехарде» вихревых колец, обнаружен при г* < гг < 1. Третий, финитный тип движения не обнаружен. На рисунке приведен график зАисимости периода чехарды Т от отношения начальных радиусов вихревых колец Во всех. расчетах конт-

ролировалось условие сохранения инвариантов движения Н и Р, изменение которых за период не превышало величины 10~4.

ЛИТЕРАТУРА

1. Брутян М. А., Крапивский П. Л. Движение системы вихревых колец в несжимаемой жидкости // ПММ.— 1984. Т. 48. № 3.

2. L i п С. С., Ргос. Nat. Acad. Sci.— USA, 1941, Vol. 27.

3. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике.— М.: Изд. АН СССР, 1947.

4. D е В е г n а г d i n i s В., G г a h a m J. M. R., Parker К. H. Oscillatory flow around disks and through orifices // J. Fluid Mech.— 1981. Vol. 102.

5. Л а м б Г. Гидродинамика.— М.; Гостехиздат, 1947

6. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.— М.: Гостехиздат, 1951. Т. 1.

7. N о v i к о v Е. A. Hamiltonian description of axisymmetric vortex flows and the system of vortex rings // tJ*s.Phys. of Fluids.— 1985. N 9.

8. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М.: Наука, 1979.

Рукопись поступила 2/Х 1990 г.