Импульс и циркуляция вихревых колец Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IX 1978

№ 5

УДК 532.527

ИМПУЛЬС И ЦИРКУЛЯЦИЯ ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ

В. А. Владимиров, Л. Я• Рыбак

Рассмотрена задача о вихревом кольце,налетающем на круглый диск, являющийся частью плоской стенки. Вычислены сила, действующая на диски различных радиусов, и импульс, переданный диску. Предлагается объяснение экспериментальных результатов работы [1], в котором изложены данные по измерению циркуляции и импульса полых вихревых колец. Обращено внимание на ошибочность предложенного в этой работе вывода для частоты осессимметричных пульсаций полости таких кольцевых вихрей.

1. Неоднократно предлагался способ измерения импульса вихревого кольца с помощью динамометрированной стенки (диска) [1]. При этом предлагалось измерять импульс сил, передаваемый диску достаточно большого радиуса налетающим на него по нормали вихревым кольцом. Измеряемый импульс отождествлялся с так называемым „вихревым“ импульсом течения [2]:

гдеш=го11>; v=v(r, — поле скоростей течения. В случае вихревого кольца с тонким ядром ненулевой завихренности (вихрь Максвелла) Рв~жР Г. Здесь / — радиус кольца, Г — его циркуляция.

Таким образом, если бы удалось измерить РВ: то сразу определялась бы циркуляция Г.

Здесь следует подчеркнуть, что классический вихревой импульс (1) определялся только для жидкости, заполняющей все пространство [2]. Необходимость

введения Рв была вызвана тем, что истинный импульс йУ в этом случае не

существует. Величина Рв обладает размерностью импульса и изменяется аналогично истинному импульсу, поэтому его производная по времени равна внешней силе, действующей на жидкость. Обобщение понятия вихревого импульса на случай присутствия ограничивающих жидкость поверхностей предложено в работе [3]. При этом оказывается необходимым вводить в определение вихревого импульса интегралы по этим поверхностям, так как производная по времени от выражения (1) уже не равняется действующей на жидкость силе. Например, в рассматриваемом случае нормально налетающего на диск кольца импульсы Рв = Г возрастают в силу расширения кольца при приближении к диску и

сохранения Г, в то время как сила со стороны диска направлена против Рв.

(1)

Более того, можно показать, что при радиусе диска -*■ оо сила с которой жидкость давит на диск в любой момент времени, и, следовательно, переданный диску импульс силы стремятся к нулю. Действительно, асимптотика поля скорости в этом случае удовлетворяет условиям [4]:

I V (г, ¿) I < при г = I г I —оо (2)

г1

с подходящим образом выбранной константой. Это ограничение просто получить, используя дополнение течения в полупространстве до течения во всем пространстве известным методом введения „отражения“.

Поэтому существует истинный (физический) импульс течения:

Р1 = j VI йУ = ^ (х1 ук) йУ= ^ г/к ЛБ«,

в котором использовано правило суммирования по повторяющимся индексам и

уравнение непрерывности. Здесь —элемент замкнутой поверхности, состоящей из плоскости стенки и удаленной поверхности в жидкости. На стенке кк = 0 (условие непроницаемости), интеграл по удаленной поверхности в жидкости стремится к нулю в силу условия (2). Поэтому Р1 = 0. Из равенства нулю истинного импульса жидкости вытекает равенство нулю силы, с которой вихревое кольцо действует на бесконечный диск на любом этапе своего движения.

Таким образом, мы можем сказать, что выражение (1) не является подходящей характеристикой рассматриваемого течения, и вычисление силы и импульса, сообщаемых диску, не связано прямо с выражением (1).

2. Рассмотрим теперь задачу в следующей постановке: на диск радиуса являющийся частью бесконечной плоской стенки, концентрично и нормально к нему с расстояния Ь налетает вихревое кольцо начального радиуса 10 (фиг. 1).

2а„

' 0

О

Фиг. 1

Начальный радиус ядра вихревого кольца й0 < /0- Жидкость на бесконечности покоится. Требуется определить силу, с которой вихревое кольцо действует на диск, и переданный диску импульс.

Сила, действующая на диск, вычисляется как интеграл по его площади:

Р = ] (Р—Ро) ¿Б,

где р — давление в точке на длине, р0 — заданное давление на бесконечности.

В силу потенциальности течения всей жидкости за исключением ядра вихревого кольца из интеграла Коши — Лагранжа следует:

+ •

где 9 — потенциал течения, который можно сделать однозначным с помощью соответствующего разреза; <р0—значение потенциала на бесконечности.

Импульс, переданный диску, определяется как

Р = | Реи.

Используя известный метод построения решения в полупространстве с помощью введения „отражения* вихревого кольца другого знака, симметричного реальному относительно плоскости стенки, получаем следующее выражение для силы

ГЯ2

Л к

■(тН-'

6 о

Здесь г — расстояние от плоскости кольца до стенки; V — радиальная скорость на стенке в цилиндрической системе координат с осью, совпадающей с общей осью симметрии кольца, диска и „отражения*; / — радиус кольца.

Скорость V равна

« = — Г^-~ ІК (к) - * + * + * Е (*)) ,

11 (г — /)2 + г*

4 гі

где к2 -

(г + О3 + *2

яг у (г+іу +г* ( (/- — іу 4- г*

, £(£) и Л-(А) — полные эллиптические интегралы.

Фиг. 2

Производная от скорости V по времени ді/ _ ди (Іг ді дг аі

+

где

дг

ді

Г

4я/

1п-

(II

<и

81_

а0

+

2 1п /0

ди Л1

ді

<и

I

2т,I У Р + г»

%-■

■ [* (¿о) -

УР + & Р + 2г2

2«2

(К(к0) --£(*„) )| ,

■£(ад],

р

Р+г*

Член с 1п— в появился вследствие учета изменения сечений ядра вих-

/о йЬ

ревого кольца при сохранении его объема в процессе движения кольца. При этом использованы известные выражения для скорости перемещения вихревого кольца и создаваемого им поля скоростей [2].

Вычисления силы и импульса проводились численным методом. При этом бралось яо = 0,01, что обеспечивало достаточно большое расстояние от ядра вихревого кольца до стенки во всех рассматриваемых случаях.

8—Ученые записки № 5

113

Зависимость силы Т7 от расстояния г кольца до плоскости приведена на фиг. '2. Пик силы на фиг. 2 связан с прохождением ядра кольцевого вихря вблизи края диска. Наличие этого пика просто объяснить качественно, если вспомнить, что ядро завихренности, находясь вблизи плоской поверхности, в первом приближении образует течение типа прямолинейной вихревой нити над плоскостью. Течение этого типа обладает распределением давления на плоскости, объясняющим пик силы. Зависимость полного импульса силы Р, переданного диску, от радиуса Я диска приведена на фиг. 3. Видно, что импульс Р, для

Р--------------------------

2

1

О { 2 3 * Я фиг з

1</?<2 достигает значений, несколько больших значения начального вихревого импульса, равного it в выбранных единицах (/0 = 1, Г = 1), затем падает и, в соответствии с доказанным в п. 1 утверждением, стремится к нулю.

При сравнении полученных результатов с экспериментом могут возникнуть трудности, связанные с эффектами вязкости, которые становятся особенно существенными при небольших расстояниях от ядра вихревого кольца до стенки, т. е. при больших R. При этом пограничный слой, возникающий на стенке, может сильно изменить течение в окрестности ядра. Поэтому для сравнения с экспериментом целесообразно выбирать часть эволюции кольца, удаленную от стенки, например до точки г на фиг. 2.

Следует помнить также о возможных отклонениях реальных вихревых колец от модели вихря Максвелла [б], которые также могут служить источником расхождения результатов расчета и экспериментов.

3. В работе [1] рассмотрен круг вопросов, связанных с измерением циркуляции кольцевых вихрей с полостями. В частности, излагается способ вычисления частоты симметричных пульсаций полости, который представляется авторам настоящей работы неверным. Эта задача была впервые исследована Хикксом [6] с помощью весьма сложной техники тороидальных функций. Выражение для частоты, полученное Хикксом, в 1^2 раз отличается от результата работы [1].

Более простой вывод выражения для этой частоты основан на законе сохранения энергии [7], который для рассматриваемого случая потенциального полого вихревого кольца запишем в виде

Е + U = const, (3)

где Е — кинетическая энергия течения,

£ = ^“’+1&)1,(т)[| + °(т)].

здесь/ — радиус кольца, а — радиус каверны, Г —циркуляция вокруг каверны. Это выражение для Е получается после разложения в ряд по а/1 из общего определения [7]; U — потенциальная энергия течения,

U = Ро V= 2*2 lefipo [l + О ;

здесь V — объем полости, р0— давление на бесконечности.

Давление в полости предполагается нулевым. Предполагая колебания каверны малыми, получим для Е и U следующие выражения:

Е — Еп _„4‘, 8/ , Г2 (jfl

/N

1 (.—

1

Здесь д = а0(1 + х), члейы с хп при я>2 отброшены. Индексом „0“ обозначены равновесные значения величины. Таким образом, разложения для энергий не являются чистыми квадратами х и х, как это предполагается в [1]. Член с хг в разложении Е обусловлен сохранением циркуляции, вследствие чего приблизившиеся к оси вращения частицы начинают вращаться быстрее. Теперь из уравнения (3) получаем уравнение пульсации:

Эта частота и была впервые получена Хикксом [6].

4. Возникающее несовпадение экспериментально измеренных значений частоты [1], которые ложатся на кривую

с теоретическими значениями (4) объясняется непотенциальностью течения вблизи полости. Действительно, вокруг полости имеется кольцевая область завихренной жидкости (ядро), образовавшаяся в результате накручивания на каверну пограничного слоя, стекающего со стенок генератора вихрей в процессе формирования вихревого кольца.

В работе [7] показано, что частота пульсаций такого вихревого кольца (в приближении твердотельного вращения жидкости в ядре) связана с частотой (4) следующим образом:

приведенных в работе [1] экспериментах к =е 2,13. Вычисляя из выражения (7) циркуляцию, видим, что Гг 1,6ГП. Таким образом, полученное в работе [11 несоответствие между значениями циркуляции, вычисленными разными способами, снимается.

Принятое предположение о твердотельности вращения жидкости в ядре не является принципиальным, при любом другом распределении завихренности в ядре можно получить аналогичные результаты.

1. Шорыгин О. П. Свободные кольцевые вихри в жидкости. „Ученые записки ЦАГ'И“, т. 4, № 4, 1973.

2. Лэмб Г. Гидродинамика. М., ОГИЗ, 1947.

3. Владимиров В. А. О вихревом импульсе течений несжимаемой жидкости. ПМТФ, № 5, 1977.

4. Бэтчелор Дж. К. Введение в динамику жидкости. М., .Мир*, 1973.

б. Ахметов Д. Г., Кис а ров О. П. Гидродинамическая структура кольцевого вихря. ПМТФ, № 4, 1966.

6. Hicks W. М. On the steady motion and stall vibations of a hollow vortex. „Phil. Trans. Roy. Soc.“, vol. 175, part 1, 1884.

7. Владимиров В. A., Рыбак Л. Я. Некоторые вопросы движения полых вихревых колец в идеальной несжимаемой жидкости. Сб. статей „Динамика сплошной среды“, вып. 24. Новосибирск,

(4>

(5)

<“о = 7 (¿) о>„.

Здесь k= boloo, Ьй — равновесный радиус ядра,

(6)

Показано также, что циркуляция в этом приближении

г — р ----

Хпущ=1 ’

(7)

где

Г„ = 2 %а У 2р0.

Отсюда во всех

ЛИТЕРАТУРА

1976.

Рукопись поступила ljVfl 1977 г.