Об одном свойстве сильно квазивыпуклой нормы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

2. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

3. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении непрерывного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 13-15.

4. Сорина Е.В. Критерий решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины // Математика. Механика: Сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 127-130.

УДК 519.853.3

А.С. Дудова

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СИЛЬНО КВАЗИВЫПУКЛОЙ НОРМЫ

Пусть функция n(x) удовлетворяет на конечномерном пространстве Rp аксиомам нормы.

Определение 1. Будем говорить, что норма n(x) является r-сильно квазивыпуклой, если ее шар единичного радиуса является r-сильно выпуклым множеством, то есть представимым в виде пересечения евклидовых шаров радиуса r [1, с. 289].

В силу положительной однородности любая норма не может быть строго или тем более сильно выпуклой функцией на любом выпуклом телесном множестве. Цель данной статьи - показать, что на некоторых отрезках сильно квазивыпуклая норма может вести себя как сильно выпуклая функция.

Далее используются обозначения:

||x|| - евклидова норма элемента x £ Rp; 0p = (0,0,.., 0) £ Rp;

B(x, r) = {y £ Rp : ||x — y || < r}, Bn(x, r) = {y £ Rp : n(x — y) < r} -шары в евклидовой норме и норме n(x) соответсвенно с центром в точке x и радиуса r;

str cor A - r-сильно выпуклая оболочка множества A, то есть наименьшее по включению r-сильно выпуклое множество, содержащее A [1, с. 297].

Напомним, что все нормы в конечномерном пространстве являются экви-валентыми. Поэтому для нашей конкретной нормы найдется положительная константа C такая, что

C||x|| < n(x), Vx £ Rp. (1)

Теорема 1. Если п(х) является г-сильно квазивыпуклой нормой, то для любых Х\ и х2, отличных 0Р, и а £ [0,1] выполняется неравенство

n(ax 1 + (1 — a)x2) < an(x\) + (1 — a)n(x2) —

Ca(1 — a)n(x1)n(x2) 2r(an(x1) + (1 — a)n(x2))

x1 x2

n(x1) n(x2)

(2)

Доказательство. 1) Сначала рассмотрим случай, когда n(x1) = n(x2) = = 1.

Точки x1 и x2 содержатся Bn(0p, 1), который, по определению 1, является r-сильно выпуклым множеством. Тогда в соотвествии с известными свойствами сильно выпуклых множеств, с одной стороны [1, с. 302], справедливо включение

strcor ({x1}U{x2}) С Bn(0p, 1), (3)

а с другой стороны [1, с. 298], также выполняется

B(xa,ra) С str cor ({x1} U {x2}), (4)

где _

xa = ax1 + (1 — a)x2, ra = r — \Jr2 — a(1 — a)^x1 — x2||2. (5)

Если только точка x удовлетворяет неравенству n(xa — x) < Cra, то в силу (1) будет выполняться ||xa — x|| < ra. Это означает, что

Bn(xa,Cra) С B(xa,ra)• (6)

Тогда из (3), (4) и (6) получаем включение

Bn(xa,Cra) С Bn(0p, 1), (7)

которое говорит о том, что справедливо неравенство n(xa) < 1 — Cra. Подстановка в него вместо xa и ra их представлений (5) и последующее простое преобразование правой части дает

n(ox: + (1 — a)x2) < 1--Cf Г2''2 ||2■ (8)

r + у r2 — a(1 — a)"x1 — x2||2

Знаменатель вычитаемого в правой части (8) можно оценить сверху величиной 2r. Поэтому из (8) вытекает неравенство

C

n(ax1 + (1 — a)x2) < 1 — — a(1 — a)"x1 — x2||2, (9)

2r

соответствующее неравенству (2) в рассматриваемом случае.

2

2) Теперь рассмотрим случай, когда точки х = 0р, х2 = 0Р и, кроме того, ха = ах + (1 — а)х2 = 0Р. Обозначим через у = х/п^), у2 = х2/п(х2), а через у7 - точку, которая лежит на луче, проходящем через точку ха из начала координат 0Р и одновременно принадлежит отрезку [у1, у2]. То есть для точки у7 существуют числа в > 0 и 7 £ [0,1] такие, что

у7 = вха, у7 = 7У1 + (1 — 7)У2. (10)

Из системы уравнений (10) легко находим соотвествующие значения

в = 1/(ап(х1) + (1 — а)п(х2)), 7 = ап(ж1)/(ап(ж1) + (1 — а)п(х2)). (11)

Так как п(у1) = п(у2) = 1, то к точкам уьу2 и у7 можно применить неравенство (9):

п(у7) < 1 — (1 — 7)11ш — У2112• (12)

Подставляя в левую и правую части неравенства (12) выражения

п(уа) = п(вха) = п(ах1 + (1 — а)х2)/(ап(х1) + (1 — а)п(х2)),

7 (1 — 7) = а(1 — а)п(ж1)п(ж2)/[ап(ж1) + (1 — а)п(х2)]2,

которые следуют из (11), и умножая левую и правую части получившегося неравенства на ап(х1) + (1 — а)п(х2), получаем (2).

3) Включение (7) обеспечивает неотрицательность правой части неравенства (9). А значит, неотрицательной является и правая часть в (12) при любом 7 £ [0,1]. Поэтому и правая часть неравенсва (2) всегда неотрицательна. Таким образом, неравенство (2) остается справедливым и в случае

ха —

Теорема доказана.

Непосредственно из теоремы 1 вытекает

Следствие. Если п(-) — г-сильно квазивыпуклая норма, а точки х1 и х2 таковы, что п(х1) = п(х2) = р > 0, то для любых а £ [0,1] выполняется неравенство

/ > ч ч Са(1 — а),, ||2

п(ах1 + (1 — а)х2) < р--11ж1 — ж21г.

2гр

Таким образом, на отрезках, соединяющих равноудаленные от 0р точки, сильно квазивыпуклая норма ведет себя как сильно выпуклая функция.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Половинкин Е. С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004. 416 с.